CC BY
21
22th, 2008 - M.MAX the Press, 2008, pp. 383-384.
3. Ferris M.C., Zavriev S.K. The Linear Convergence of a Successive Linear Programming Algorithm // Computer Sciences Department, University of Wisconsin, Madison, WI 53706, Mathematical Programming Technical Report 96-112, December 1996.
4. Bertsecas D.P. Nonlinear Programming. Athena Scientific, Belmont, Massachusetts. 1995.
5. Panferov S.V. The resulted method of a linearization for the decision of problems nonlinear optimization // Numerical Methods and Programming. 2012. Section 1. pp. 137-142. (http://num-meth.srcc.msu.ru/).
УДК 513.88
В.И. Филиппенко
канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Математика», ФГБОУ ВПО «Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса»
РЕЗОЛЬВЕНТЫ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ СИММЕТРИЧЕСКОГО КВАЗИДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ L2 (H, (a, b))
Аннотация. Пусть L0- минимальный оператор в пространстве L2 (H, (a,b)) для формально самосопряженного квазидифференциального оператора n - го порядка. В данной работе описываются обобщенные спектральные функции, соответствующие обобщенной резольвенте оператора L0.
Ключевые слова: обобщенные резольвенты, спектральная функция, минимальный оператор.
V.I. Filippenko, South-Russian State University of Economics and Service
RESOLVENTS AND SPECTRAL FAMILY SYMMETRIC QUASI-DIFFERENTIAL OPERATOR IN HILBERT SPASE L2 (H, (a,b))
Abstract. Let L0 be a minimal operator in L2 (H, (a, b)) for the formally self-adjoint quasi-differential
operator of ordern . In this paper, we describe the generalized spectral family corresponding to a generalized resolvents for operator L0.
Keywords: generalized resolvents, spectral family, minimal operator.
Актуальность спектрального анализа квазидифференциальных операторов обусловлена возможностью исследования природы спектра операторов, более общих по сравнению с классическими операторами.
1. Пусть H - сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (,) и нормой II, а L2 (H, (a, b)) - гильбертово пространство всех измеримых на
интервале (a,b) вектор-функций со значениями из пространства H и с суммируемым
квадратом нормы. Скалярное произведение в L2 (H,(a,b)) определяется формулой
^ *> = Ку С), * С)) <*.
а
Введем квазидифференциальную операцию I[у] следующим образом. Пусть F = (/у.) - операторная матрица п -го порядка. Ее элементы ^ при каждом фиксированном t е(а,Ь) являются ограниченными самосопряженными операторами в н.
к = 1,...,п -1 существуют и ограничены при t е(а,Ь), операторные функции ^ (1 < i,' < п) непрерывны вместе со своими производными до (п -1) -го порядка включительно на каждом конечном сегменте [а,р]^(а, ь). Кроме того, предполагаем, что на промежутке I = (а;ь), (-<»< а < Ь <+^): ^ = 0 в интервале I для индексов, удовлетворяющих неравенствам 2 < i +1 <' < п .
Следуя [1], определим квазипроизводные у[к] следующим образом:
у[0]= у, у[к]= С+1
(у[к-1]) -Iк/'-1] , к = 1,...,п-1, у[п] = (у[п-1]) -Xгп/'-1]. |_ '=1 ] 1=1
Пусть квазипроизводные у[0],у[1],...,у[п-1] функции у абсолютно непрерывны (на каждом сегменте, лежащем в промежутке I). Кроме того, матрица F удовлетворяет условию симметричности: F = -3(F' - матрица, сопряженная к матрице F; 3 = ((-1)' 8,п+чЕ), 8у - символ Кронекера, где Е - тождественный оператор в н). Предположим, что матрица 3 совпадает с матрицей 3, если число п четно, и с матрицами '3, -'3, если натуральное число п нечетно. Можно считать, что квазидифференциальное выражение I [у] = \пу[п], где ' - мнимая единица, порождается матрицей F. Множество D состоит из тех вектор-функций у(^е -2(н,(а,Ь)), которые имеют квазипроизводные до порядка п -1 и такие, что у[п]^)е -2 (н, (а, Ь)). На многообразии D введем оператор I: 1у = I [у]. Обозначим через D0 множество всех финитных вектор-функций из многообразия D. Пусть | - сужение I на D0. Замыкание оператора | обозначим символом -0. | - минимальный замкнутый и симметрический оператор в I (н, (а, Ь)).
Каждой вектор-функции у^), для которой I[у] имеет смысл, поставим в соответствие одностолбцевую матрицу у(^ = (у[0]^),...,у[п-1](^). Если х(0 = (х.,хр(t)) какая-либо система вектор-функций, к которым применима операция l, то через £^) обозначим матрицу, ' -м столбцом которой является х1 ^).
Для любых функций у и*, к которым применима операция I, имеет место
обобщенная формула Лагранжа
---- {
I [у] * - у1 [ * ] = {у, *} , (1)
где {у,*} ='п 1(- 1)п+1-'у[ ' ]--. Интегрируя почленно левую и правую части формулы
1=0
Лагранжа (1), получим формулу Грина.
Рассмотрим однородное квазидифференциальное уравнение
I [у]-Яу = 0, (2)
где я - комплексное число. Зафиксируем какое-либо значение ^ в интервале (а,ь). Пусть и1 (^Я),...,ип ^,Я) - операторные решения уравнения (2), удовлетворяющие начальным условиям и[.к-1](^,я) = 8кЕ. Пусть и ^,Я) - операторная однострочная матрица (и1 ^,я),...,и„. При каждом фиксированном tе(а,ь) и^,Я) является оператором,
действующим из пространства нп в пространство н.
Самосопряженный оператор 1ар (Я) (а < а < р < ь) в пространстве нп определим
р
формулой 1ар (Я) = | и * (^я)и (t,я)dt. Оператор 1ар (Я) имеет ограниченный обратный при
а
любом комплексном я и любых а,р , таких, что а < а < р < ь. Значит, линейное многообразие решений уравнения (2) замкнуто в пространстве С (н,(а,р)) (а < а < р < ь). Поэтому С = С .
2. Если и дефектные подпространства Со, то его обобщенная резольвента имеет вид RЯ = (ця) -яе) 1 (1тЯ- 1тЯ >0), где Р(Я) - регулярная в полуплоскости, содержащей точку Я0, операторная функция из в , не превосходящая по норме единицы. (Я) - квазисамосопряженное расширение оператора С0.
Теорема 1. Обобщенная резольвента RЯ = (ця)-яе) 1 (1тЯ- 1тя >0) оператора С при любом невещественном я является интегральным оператором:
ь
RЯf = |К (^ в,Я) 1 (в) ds (1 е С (Н, (а,Ь))).
Ядро К(ив,я) имеет вид К(^в,я) = и(t,я)íМ(я) + ^дп(в -1)ОIи*(в,я), где м(Я) -
2
регулярная операторная функция (1тЯ ф 0), такая, что м * (Я) = М (Я); ее значениями являются ограниченные операторы в пространстве нп и для любого невещественного я и любого х е нп (1тЯ)-11т (м (я) х, х) > е(я)||х||2, где е(я)> 0 не зависит от переменной х.
ь ||2 2
Кроме того, для любого h е Н имеет место неравенство |||К(t,в,я)^ dt < к(в,я)|Щ\ , где
а
0 < к(в,Я)<<», к(в,Я) не зависит от параметра h .
3. При любом вещественном а существует слабый предел 1а
р(а) = Нт — Г 1тМ(а + ¡т)dа . р(а) - неубывающая функция, значениями которой являют-
л 0
ся самосопряженные ограниченные операторы в нп. Функцию р(а) называют спектральной функцией распределения оператора С0, соответствующей обобщенной резольвенте RЯ.
Обозначим через Е% (-да< % <да) спектральную функцию оператора Введем обозначение Еар = 0,5((Е^+0 + Ер)-(Ея+0 + Еа)). Для вектор-функций f,д (f,д е L2(н,(а,Ь)))
имеет место соотношение
р
{Еа/ , д) = |« **+,/ , g>-<R*-,/, д)) <1*.
а
Теорема 2. Для любой вектор-функции ^ )е L2 (н, (а, Ь)) имеет место равенство
Ь да
Л^(0|| ^ = ,*)), где
^,*) = }и* (з,*)f (з)ds ; (3)
а
при этом интеграл в (3) сходится в смысле метрики пространства
- да,да),<р(*)) .
Следствие. Совокупность всех спектральных функций оператора ^ опреде-
р
ляется формулой Ер = | и < ,*).
а
Замечание. Если пространство н конечномерно, то р(я) представляет собой
матрицу, ранг которой можно оценить, следуя методике, изложенной в [2]. В результате возникает возможность оценить кратность спектра самосопряженного расширения оператора ^.
Список литературы:
1. Эверит В.Н., Зетль А. Обобщенные симметрические обыкновенные дифференциальные выражения 1: Общая теория // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. - Т. 27, № 3. - С. 363 - 397.
2. Филиппенко В.И. О кратности спектра самосопряженного обыкновенного дифференциального оператора нечетного порядка // Мат. заметки. - 1975. - Т. 17, № 4. - С. 631-638.
List of references:
1. Everitt W.N., Zettl A. Generalized symmetric ordinary differential expressions 1 : The general theory // Nieuw Archief Vood Wiskunde, 1979. - V. 27, N 3. - P. 363-397.
2. Filippenko V.I. Multiplicity of the spectrum of a self-adjoint ordinary differential operator of odd order // Mathematical Notes. 1975. V. 17. № 4. P. 375 - 379.
