Спектральный анализ одночленного симметрического дифференциального оператора четного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК517.2+517.984.5(045)

БРОЙТИГАМ Ирина Николаевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова. Автор 14 научных публикаций, в т. ч. двух учебнометодических пособий

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОЧЛЕННОГО СИММЕТРИЧЕСКОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ЧЕТНОГО ПОРЯДКА*

В настоящей работе исследуются задачи об определении дефектных чисел одночленного симметрического дифференциального оператора четного порядка и характера спектра его самосопряженных расширений. При этом предполагается, что оператор порождается иррегулярным дифференциальным выражением

^2т [-У ]С0 _ (_ 1) (С(*0У (Х)) \ где X Є I '.= [—1;1], коэффициент с(х) имеет единственный нуль на множестве I, при этом порядки этого нуля справа и слева не обязательно равны.

Иррегулярное дифференциальное выражение, порядок нуля, дифференциальный оператор, дефектные числа, дискретный спектр

1. Введение. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное выражение произвольного порядка 2т (т = 1,2,...):

1[ У ](*) = (-1)" (с( х) у("}(х))(т \ х є I := (а; Ь) (-да < а < Ь < +да) •

(1)

Введем понятие иррегулярного дифференциального выражения и расширенное понятие порядка нуля коэффициента с(х).

Дифференциальное выражение называется иррегулярным дифференциальным выражением, если коэффициенты этого выражения достаточное число раз дифференцируемые функции и старший коэффициент обращается в нуль в некоторых точках множества I [1].

Точка х0 е I называется правосторонним нулем коэффициента с(х) порядка р > 0 (соответственно левосторонним нулем порядка q > 0), если с(х) = (х - х0)р а(х) при х е (х0;х0 + Щ , где функция а(х), положительная или отрицательная на отрезке [х0;х0 + И] (соответственно с(х) =| х - х0|? Ъ{х) при

х е [х0 - к,х0), где функция Ь(х), положительная или отрицательная на отрезке \х0 - к; х0 ]).

Везде далее под множеством I будем подразумевать отрезок [-1;1].

Предположим, что коэффициент с(х) выражения 12т определен на I и имеет на этом множестве единственный нуль х0 = 0 право-

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 07-01-00192-а). Автор благодарит профессора Мирзоева К.А. за постановку задачи и внимание к работе.

стороннего порядка р и левостороннего порядка q , причем р, д е {1,2.2т -1}, т.е. для

него справедливо представление

где

с( х) =

хра(х), х є [0;і],

(-х)д Ь{х), х є [-1;0].

і=і

(2)

Определим минимальный замкнутый сим-

Предположим также, что функции а(х), Ь(х) принимают вещественные значения при х е I,

а(£), Ъ{г) - аналитические при |г| < 1 и

а{г) := а0 + ^а]г], а0 Ф О,

М

ВД:= Ь0 6^, Ь0 Ф 0.

]=1

Здесь же отметим, что полученные далее результаты настоящей работы остаются справедливыми также и в случае, когда функции

а(£), Ъ{г) - аналитические при |г| < х0 < 1 для

некоторого х0 е а вне отрезка [-х0;х0]

- интегрируемые по Лебегу и не обращаются в нуль. Случай х0 = 1 выбран для удобства.

Определим квазипроизводные заданной функции /(х), соответствующие выражению

/2т, следующим образом:

у[,](х) Л /('Ч*), I = 0,1,...т -1;

^(_1)/-туМ)х), I — щт + 2т-1.

Пусть / и £ - две функции, для которых выражение /2т имеет смысл. Хорошо известно,

что тогда имеет место формула Грина (см., например, [2]):

|(кт [/]\? - / • 12ш ¡8])= [/, Ш]|I> а»1 >

метрический дифференциальный оператор ЬР0Ч

в гильбертовом пространстве £2 (I), порожденный иррегулярным дифференциальным выражением /2т \у ], как замыкание оператора і!0 с областью определения С0"(-1;1) (Ґ0/ = /2м[/] при / є С¿°(-1;1)). Обозначим область определения оператора ЬР0Ч символом Б0.

Так как ЬР0Ч - вещественный оператор, то

его дефектные числа в верхней и нижней открытых комплексных полуплоскостях совпаляют. Обозначим их общее значение символом прч.

Данная работа посвящена доказательству следующих теорем.

Теорема 1. Дефектное число оператора

ЬРц определяется по формуле:

Ат - тах{р, q}, р, q є{т +1, т + 2,... 2т -1};

2т + тіп{р,q},р,q є {і,2,...то};

Ът + р - q, р є {і,2,... т}, q є {т +1, т + 2,...2т -1}.

Теорема 2. Спектр любого самосопряженного расширения оператора Ц_\ч дискретный.

Отметим, что вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов, порожденных иррегулярными дифференциальными выражениями, изучены мало, хотя такие операторы возникают во многих областях современного анализа, например, таковыми являются обобщенные операторы Лежандра в теории квази-классических ортогональных многочленов [3]. В частности, лить сравнительно недавно стали появляться работы, посвященные определению

дефектных чисел операторов, порожденных одночленными иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами. Хорошо известно, что если с(х) > О или с(х) < 0 на некотором интервале, то дефектные числа минимального замкнутого симметрического оператора не превышают порядка соответствующего дифференциального выражения. В работе Ю.Б. Орочко [4] приведены примеры, показывающие, что если интервал содержит конечное или счетное множество нулей коэффициента с(х), то может выполняться противоположное неравенство. Далее в работе [5] рассматривается минимальный симметрический дифференциальный оператор Ь0, порожденный иррегулярным дифференциальным выражением (1) на множестве I, где

с(х) = хра(х), р е {1,2,_,2ш -1}, а(х) -

бесконечно дифференцируемая действительная

функция, и а( х) Ф 0 для любого х е I .В ней доказано, что для верхнего дефектного числа

п+ (= п_) оператора Ь0 справедлива формула

п+= 2т + р, если р е {1,2,..., т]. Кроме того, в [5] сформулирована гипотеза о справедливости равенства п+= Ат - р в случае

р €.{т+\т+2,...,2т}. В работе [6] эта гипотеза

доказывается. Ю.Б. Орочко исследовал также задачу об определении дефектных чисел минимального симметрического оператора, порожденного иррегулярным дифференциальным выражением (1) на/, коэффициент которого с(х) имеет разные порядки нуля р > 0 и д > 0, причем р и д не являются целыми числами. При этом для корректного определения оператора требуется дополнительное условие, а именно: для этого необходимо и достаточно, чтобы

тт{р, q} > т - —, в своих работах Ю.Б. Орочко получил некоторые оценки для дефектных чисел оператора в этом случае.

В данной работе получены точные формулы для определения дефектных чисел оператора Lp0q при конкретных значениях р и q, а также определен характер спектра самосопряженных расширений оператора Lp0q.

Здесь же отметим, что при изучении поставленных задач Ю.Б. Орочко опирался на хорошо развитые асимптотические методы теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, однако, в силу специфики рассматриваемого дифференциального выражения (старший коэффициент обращается в нуль на заданном множестве), сложность вычислений при определении фундаментальной системы решений соответствующих уравнений значительно возрастает при возрастании порядка 2т. Этим фактом и обусловлено предположение об аналитичности функции а(z) и b(z) в данной работе, поскольку в таком случае уже можно пользоваться методами аналитической теории дифференциальных уравнений.

2. Вспомогательные результаты. Сформулируем основные факты, необходимые при доказательстве теорем 1 и 2.

Лемма 1. Для любой функции f (х) е С^° справедливо следующее:

A) в случае р e{l,2,...,т}

1) /1(0) = 0 и f ^!(х) = 0(хр+т-1) при х ^+0> если I = т,т +1,...,р + т-1;

2) для произвольных 2т - р комплексных

чисел Ь1 при I = 0,1,___, т -1 и I = т + р,т +

+1,...,2т-1 можно найти функцию f (х) е Cq такую, что f ^^(0) = для ука-

занных значений индекса /;

B) в случае р е{т +1, т + 2,... ,2т -1}

1') f 1(0) = 0 и f ^!(х) = 0(хр+т-1) при

х ^+0> если I = т, т +1,... ,2т -1;

2') для произвольных т комплексных чисел Ь1 при I = 0,1,...,т -1 можно найти

функцию f (х) е такую, что f ^^(0) =

для указанных значений индекса I.

Рассмотрим два вспомогательных дифференциальных выражения:

4„, - [ / ]( X) = (-1) ’ ((-х) 'b( х) /!( х»<">,

х е[-1;0),

4 * [/](х) = (-1) " (xra{ x)f>( х))w, х е (0;l].

Зафиксируем комплексное число X >

ImХф 0, и рассмотрим дифференциальные уравнения:

12т,- [УК*) = Ых), X е[-1;0), (3)

12 т, + [ У К *) = АК X e(0;lj (4)

Обозначим символом Npq дефектное подпространство симметрического оператора Lp0q, отвечающее числу X,&Nq'&Np- дефектные подпространства вспомогательных симметрических минимальных операторов L90 и Ц), порожденных дифференциальными выражениями [f](х) в L2(-1;0) и /2и>+ [/](х) В L2(0;1) соответственно, отвечающие указанному числу X-

Дефектные числа операторов, порожденных выражениями /2м>_ и /2м>+ - dim Nq и dim

- определяются максимальным числом линейно-независимых решений уравнений (3) и (4), принадлежащих пространству Ь2(-1;0) и L2 (0;1) соответственно.

Пусть билинейная форма [/, g](х) определена формулой (2) для х е [- 1;0)и (0;1] и лю-

бых двух функций / и ^, имеющих абсолютно непрерывные квазипроизводные всех порядков до 2т -1 -го порядка включительно в некоторой окрестности ТОЧКИ X .

Символами [/, g](-0) и [/, §](+0) обозначим

[/, g ](-0) = Нт[/> 8 ](*),

[/, £](+0) = Ит[/,8 ](х);

если указанные

пределы существуют.

Символами у+ и у_ обозначим сужение функции у(х), заданной при х е / на (0;1] и [—1;0) соответственно.

Справедлива следующая лемма [5].

Лемма 2. При любых натуральных р и

д дефектное подпространство Nрч оператора Ц? совпадает с линейным многообразием, состоящим из функций _у(х) е Ь2 [- !;!]■ обладающих тремя свойствами:

1) У - (х) е , у+ (х) е Ыр;

2) для любой функции /(х) е существуют односторонние пределы [/. 5 ](-0) “ [/. 51+°) •'

3) в точке х = 0 для любой /(х) е выполняется условие сопряжения

Ь, у](-0) = [Т, у](+0).

Из этой леммы следует, что для нахождения дефектных чисел оператора ЬР0Ч существенным является определение пределов билинейных форм [/, ^](-0) И [/, у](+0), а для этого достаточно определить пределы [/, У к ](-°) и [/ > Ук ](+°) , где функции ук образуют базис пространства Ыд, а ук - базис

пространства Ыр.

Таким образом, следует определить базисы пространств Nq и Np, т.е. максимальное число линейно-независимых решений уравнений (3) и (4), принадлежащих пространству L2{-1;0) и

L2 (0;1) соответственно, с такой точностью,

чтобы можно было вычислять вышеуказанные пределы. Отметим, однако, что в билинейные

формы [/, ук ](-0) и [/, у, ](+0) входят и квазипроизводные функций ук и ук ,а для определения их поведения в окрестности нуля недостаточно знать только главный член асимптотики решений уравнений (3) и (4), но сделанное

предположение об аналитичности функций а(х)

и Ь(х) уже позволяет построить точные решения соответствующих уравнений. А именно: при сделанных предположениях относительно функции а(х) уравнение (4) является уравнением с единственной регулярной особой точкой х = о, поэтому, применяя метод Фробениуса [7], можно построить фундаментальную систему решений этого уравнения.

Отметим, что процесс построения фундаментальной системы существенно зависит от порядка нуля коэффициента уравнения, т.е. от числа р . В силу этого целесообразно разбить значения показателя р на 2 группы, а именно:

р e{l,2,...m} и р е{т +1, т + 2,...2т -1}. Справедливы следующие леммы.

Лемма 3. При р e{l,2,...m} дифференциальное уравнение (4) имеет, фундаментальную систему решений у0,уг,...,у 2т_1 такую, что все решения этой системы принадлежат пространству Z2(0;1) и определяются по следующим формулам:

Г » л

_ „2т-p-i-1 Si ~ Л

Vv-0

т - p+2i-2

Ут-р+2/-1 Х

= X

z fiy ’ (! -1 - р)’

Vv=0 )

xv + ^«v2xv Inx ], (l < i < p),

\v=0

= xm-pil

v=0

\

I«. *'

Vv=0 J

(0 < i < m - p -1),

У т+р+1

где а1, а„2, Д, ,уу ,8У - числа, зависящие от т, р, I

и коэффициентов разложения в ряд функции а(х).

Лемма 4. При р +1,т + 2,...2т-1}

дифференциальное уравнение (4) имеет фундаментальную систему решений у0,уг,...,у2т-г такую, что Ът - р решений принадлежат пространству Ь2 (0;1) и определяются по следующим формулам:

^ ж \

Уг = Х

m-1-i

X

V v=0 J

Znxv , (о < i < р - т -1),

Уз.

<m-p—2i—2

= X

xv In х + ^p£xv In2 х+...

v=2m-p

\

v=2m-p+l

+ m~Mxv In^ х , (О < i < 2m - p -1),

у

Уът-р-ПЛ X

'УPlxV +^j3lxV lnx + ''УPlxV In2 X+...

\^v=0 v=0 v=2m-p

\

3P-m-lxv v=m-i J

Zft

(0 < i < 2m - p-l),

где а^, , Д/ ,уу - числа, зависящие от т, р, I и коэффициентов разложения в ряд

функции а{х)•

Отметим, что доказательства этих лемм приводят к значительным, хотя и не сложным вычислениям, которые мы здесь опускаем.

Используя результаты лемм 3 и 4, можно показать справедливость слел-ующей леммы. Лемма 5. Пусть /”(х) е , тогда

1)при р е{1,2уравнение (4) имеет фундаментальную систему решений ук, к = 1,2,... ,2 т, все элементы которой принадлежат пространству Ь2 (0;1], и значения [/. >■„ к+о) для них вычисляются по формуле:

[/. Л ](+0) =

а/[2“-t](0), к = 1,2,________т - р;

О, к = т — р +1, т — р + 2,..., т;

akf]'1т~к 1(0), к =■ т +1,т + 2,...,2т;

2)при р е{т +1,т + 2,...2т-1} уравнение (4) имеет фундаментальную систему решений ук, к = 1,2, ,2т; Ът - р элементов ух,У2,...,ут,Ур+1,Ур+2,---,у2т Которой принадлежат пространству Ь2 (0;1], и значения [/, п ](+0) для них вычисляются по формулам:

[/, Ук ](+0) =

рк[[2т *](0), к = р +1,р + 2,...,2т;

0, во всех остальных случаях.

Здесь ак, где к е {1,2,_,2т]\{т-р + 1,т-р +

+ 2,...,т},и ¡Зк, где к е {р +1,р + 2,_,2т} -

ненулевые постоянные.

Отметим, что заменой х ^ — х уравнение (3) сводится к уравнению вида (4), поэтому в пространстве существует базис ук (х), элемен-

ты которого обладают свойствами Леммы 5.

Для определения характера спектра оператора ЬР0Ч нам понадобится следующая лемма [8].

Лемма 6. Все самосопряженные расширения оператора Ь0, порожденного дифференциаль-

ным выражением l[y](x) = (-1)й (р(х)у (»)(х) )(й},

где х е (0;l], имеют дискретный и ограниченный снизу спектр тогда и только тогда, когда

X

lim x'-2n f54п-2р-\s)ds = 0. (5)

х^0+ J ^ '

3. Дефектные числа оператора ЬР0Ч.

Схема доказательства теоремы 1 одинакова для всех случаев и повторяет рассуждения, приведенные в работе [5], для случая

р = я = 1,2, —, т .

Выше мы определили структуру линейнонезависимых решений дифференциальных уравнений (3) и (4), принадлежащих пространству

£2[-1;0) и Ь2 (0;1] соответственно (леммы 3 и

4), а также определили значения пределов билинейных форм, соответствующих этим решениям (лемма 5).

Предположим, что

р, д е{т +1, т + 2,... ,2т -1}.

Множество функций из Ь2 [- у] , обладающих свойством 1 леммы 2, есть совокупность функций у(х), заданных на [-1;1] , для которых справедливы представления:

т 2 т

у - (*) = X dkУk (х) + X dkУk (х е[-1;°)’

к=1

к=q+\ 2т

у+(х) = X сьУк (х) + Е ск Ук (*Х х е (6)

к=1 к=р+1

с произвольными комплексными коэффициентами ск {к = 1,2, ,т,р +1,р + 2,...2т), (Лк

{к = 1,2,...,т,д +1,д + 2,...2т), где ук(х) и

ук (х) - базисы пространств и Nр.

В силу формул (6) и линейности формы [/^ ё](х) получаем, что для каждой функции

у(х) е Ь2 [- и] и любой функции /(х) е С7 справедливы равенства:

2т

[/>^ - ](-°) = Е ^ I/-’ & К- °)>

&=^+1

2т

[/, 7 + ](+0) =£ с* I/" ’ ^ К+ °)-

& = _р+1

Применяя далее лемму 5 определяем, что

2т

[/. У -](-«) = £<*, Л/|2"-‘1(о),

к=q+\

2т

Ь,7 +](+0) - ^скак/[2т~к](0), к=р+1

где /Зк и ак - ненулевые числа.

А) Предположим для определенности, что Ч > Р ■

Выделим из множества функций у(х) совокупность таких, которые дополнительно обладают свойством 3 леммы 2. Выполнение этого условия для функции у(х) с произвольной

функцией /(х) е С^° равносильно следующей системе ограничений:

«Л = ДА, £ = ^ +1,^ + 2,...,2т,

акск = 0, £ = р +1,р + 2,...,q, (7)

на 6т - ^ - q коэффициентов с* (& = 1,2,________,

т,р +1,р + 2,...,2т) и dk (к - 1,2.......т,q +1,

д + 2,...,2т).

Таким образом, по лемме 2 дефектное подпространство оператора ЬР0Ч есть линейное многообразие функций у (х), допускающих представление (6) с коэффициентами ск,

(к = 1,2,...,т,р +1,^ + 2,...,2т) и dk {к = 1,2, ,

, т, q +1, g + 2, ... ,2m), которые связаны соотношениями (7), а в остальном произвольны. Размерность этого подпространства равна

количеству тех из перечисленных 6m - р - q коэффициентов, которые при этих условиях могут принимать произвольные значения.

В соотношении (7)

- отсутствуют коэффициенты ск, dk при к = 1,2,..., т, следовательно, эти 2т коэффициентов произвольны,

- коэффициенты ск = О

при к = р +1,р + 2,...,q,

- среди коэффициентов ск, dk при к = q +1,q + 2,... ,2т произвольны только 2т - q коэффициентов.

Следовательно, общее число рассматриваемых коэффициентов, принимающих произвольные значения, равно 2т + 2т - q = 4m - q , а значит, в данном случае дефектное число npq оператора L\]q определяется по формуле Прч = 4m - q.

В) Предположим теперь, что q < р , тогда, повторяя рассуждения проведенные выше, приходим к следующему результату: npq = 4m - р . Таким образом, из А и В следует, что

npq = 4т - max{р, q} в этом случае.

Случаи р, q е {l,2..т} и р е {l,2,__, т},

q e{m +1, m + 2,... ,2т -1} доказываются аналогично предыдущему.

Теорема 1 доказана.

4. Спектр самосопряженных расширений оператора Lp0q. Для исследования характера спектра самосопряженных расширений

оператора Lp0q воспользуемся методом расщепления (см., например, [2, 9]).

Проанализируем ортогональное разложение Ь2[-1;1] = Ь2[- 1;0)ФЬ2(0;1] ,где Ь2[-1;0), Ь2 (0;і] рассматриваются как подпространства в Ь2 [-1;1], состоящие из функций /(х) е [-1;1] равных нулю соответственно при х є (0;і] их є\-1;0). Определим ортогональную сумму Ь90 ® оператора Ь90, действу-

ющего в Ь2 [-1;0), и оператора Ьр0, действующего в Ь2 (0;і], которая является действительным симметрическим оператором в Ь2 [— 1;і]. Очевидно, что оператор Ц? является симметрическим расширением оператора Ь90 ® Ьр0.

Далее расширим операторы Ь90 и ^ до самосопряженных операторов Ь9й и и Ьр0 и в пространствах Ь2 [-1;0) и Ь, (0;1І соответственно, тогда прямая сумма А - Ь90и © Ьр0и будет самосопряженным расширением оператора Ь90 ® , а спектр оператора А будет теорети-

ко-множественной суммой спектров операторов П,и И .

Так как дефектные числа оператора Ь90 ® Ьрй конечны, то все его самосопряженные расширения имеют один и тот же непрерывный спектр. Такими расширениями являются как

оператор А, так и всякое самосопряженное расширение Ц^и оператора Ьр09, и, следовательно, непрерывные части спектра операторов А и Ц^и совпадают.

Определим теперь характер спектра операторов Ь90и и Ьр0и. Для этого воспользуемся леммой 6.

Проверим выполнение условия (5) для коэффициента дифференциального выражения (4). В

го

данном случае р{х) = хра{х) = хр ^ акхк .

к=0

Подставляя это выражение в левую часть формулы (5), получаем, что равенство (5) справедливо при 0 < р < 2т .

Аналогично получаем условия на д, т.е. 0 < д < 2т .

Следовательно, в соответствии с леммой 6, спектр операторов Ь90 и и Ьр0 и дискретный при 0 < д < 2т и 0 < р < 2т .

Таким образом, спектр самосопряженных расширений оператора Ь90 ® Ьрй, а следовательно, и самосопряженных расширений оператора Ьр09 при данных значениях р ид, является дискретным.

Теорема 2 доказана.

Список литературы

1 .ДанфордН. Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Спектральная теория: пер. санг. М., 1966. Т. 2. С. 447.

2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

3. ТрибелъХ. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М., 1980.

4. Орочко Ю.Б. Примеры симметрических дифференциальных операторов на прямой с бесконечными индексами дефекта// Функциональный анализ и его приложения. 1994.28:2. С. 69-72.

5. Его же. Индексы дефекта одночленного симметрического дифференциального оператора четного порядка, вырождающегося внутри интервала II Математический сборник. 2005. Т. 196, № 5. С. 53-82.

6. Долгих И.Н., Мирзоев К.А. Индексы дефекта и спектр самосопряженных расширений некоторых классов дифференциальных операторов II Математический сборник. 2006. Т. 127, № 4. С. 53-74.

7. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: пер. с англ. Харьков, 1939.

8. Hinton D.B., Lewis R.T. Singular differential operators with spectra discrete and bounded below II Proc. R. Soc. Edinb. 1979. Sect. A, 84. P. 117-134.

9. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов методы. М., 1963.

Braeutigam Irina

SPECTRAL ANALYSIS OF ONE-TERM SYMMETRIC DIFFERENTIAL OPERATOR

OF EVEN ORDER

The present paper considers the problems about determining the deficiency numbers of one-term symmetric differential operator and the spectrum structure of self-adjoint extensions of this operator. The author supposes that the operator is defined by the following irregular differential expression /2m[_y](x) = (-1)m (c(x)у(m)(x))(m') where x e I := [-1;1], the coefficient c(x) has only one zero on the set I and the degrees of this zero are not necessarily equal from the left and right sides.

Контактная информация: e-mail\ [email protected]

Рецензент - Мирзоев К. А., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа Московского госуцарственоого университета имени М.В. Ломоносова