Рассеяние на стыке нанотрубок «Зигзаг» и «Кресло» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517, 958

РАССЕЯНИЕ НА СТЫКЕ НАНОТРУБОК «ЗИГЗАГ» И «КРЕСЛО»

И. С. Лобанов1, И.Ю. Попов1

1 Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Россия

[email protected], [email protected]

Рассматривается модель квантовых графов сочленения однослойных нанотрубок типа «зигзаг» и «кресло». Дается полное описание спектра. Находятся условия возникновения связанного состояния на соединении нанотрубок. Приводится полное описание всех локализованных состояний.

Ключевые слова: соединение нанотрубок, однослойные углеродные нанотрубки, квантовый граф.

1. Введение

Общепризнанно, что углеродные нанотрубки являются одним из наиболее многообещающих материалов в наноэлектронике. В настоящее время проводится много работ по различным соединениям нанотрубок вместе, что позволяет создавать диоды, транзисторы и более сложные электронные приборы [9]. Наиболее простым нетривиальным соединением является соединения однослойный углеродных нанотрубок типа «зигзаг» (2N, 0) и «кресло» (N,N), которое было недавно синтезировано [2], [10]. Соединение нанотрубок приводит к нарушению кристаллической структуры на месте соединения (интерфейсе), что приводит к ухудшению проводимости (часть электронов отражается), а также к возникновению локализованных состояний [6]. За последние несколько лет появилось несколько математических моделей такого сочленения, призванных объяснить наблюдаемые эффекты [7], [8]. В настоящей статье мы предлагаем модель такого сочленения на основе квантовых графов. В отличии от дискретных моделей, квантовый граф обладает большим числом параметров, позволяющих отделить эффекты, возникающие из-за ограниченности модели, от эффектов, связанных с геометрией системы. В отличии от пертурбативных моделей модель квантовых графов является явнорешаемой, что позволяет всесторонне исследовать систему. В этой работе мы подробно излагаем математический аппарат моделей квантовых графов для однослойных трубок типа «зигзаг» и «кресло», а также для построения сочленений. Мы находим в явном виде операторы монодромии и перечисляем все локализованные состояния для указанных нанотрубок. Следует отметить, что этот результат перекликается с полученными нами ранее результатами в работах [1], [5], однако здесь мы рассматриваем другой потенциал и группу симметрий, более подходящие для исследования сочленения. Наконец мы предлагаем необходимые и достаточные условия на возникновение локализованных состояний на интерфейсе, и проверяем их на сочленении квантовых графов «зигзаг» и «кресло». Для соединения кристаллов с более простой геометрией критерий возникновения локализованных состояний был получен раннее в работах [3], [4].

2. Оператор Хилла

Напомним необходимые сведения об операторе Хилла. Рассмотрим уравнение

-f (x) + V(x)f (x) = Xf (x)Vx e R, (1)

где Л Е C, V Е L;(R, R) и V(x + 1) = V(x) для всех x. Обозначим через вх(Л) и фх(Л) два фундаментальных решения уравнения (1), удовлетворяющих следующим граничным условиям

во = Ф0 = 1, в'0 = фо = 0.

Общее решение уравнения можно записать в виде

f (x) = f (0)вх + f '(0)фх. (2)

Отметим, что вронскиан

W(f,g) = f(J) fx)

не зависит от x. В частности

вхф'х - в'хФх = 1, (3)

и для каждого решения f уравнения (1),

f(0) = fШ'х - ГШх, (4)

f'(0) = -f (x% + f '(x)вх. (5)

Воспользовавшись (2), (3) мы вычисляем производные через значения в концах интервала:

в1

f'(0) = - f f (0) + - f (x), (6)

фх фх

f'(x) = вхf (0) + ф'хf'(0) = f (0)[вх - ввф] + f (x)^ = -ф-f (0) + &f (x), (7)

х х х фх фх фх фх

за исключением случая Л, принадлежащих спектру Дирихле aD = {Л Е R: фг(Л) = 0}.

Если f является решением уравнения (1), трансляция на 1 действует на f как линейный оператор, называемый матрицей монодромии М0(Л), а именно

(га) = Мо(Л^да ■ МШ = (в; фо . (8)

Матрица М0(Л) оказывается симплектической.

Для Л Е &D мы вводим новый базис с матрицей перехода R = diag (1,ф;), который удобен при анализе графов типа «зигзаг» и «кресло». Всюду далее мы используем буквенное обозначение, например, А для матрицы оператора А в стандартном базисе, и обозначение с крышкой для А = RAR-1. В этих обозначениях

в; ф; \ (1 0 ^ = (в; 1 \ М-; = ( в; -1 в;ф; ф1ф1) у0 ф-;) Цф; ф';) , Мо \-в[ф; ф[

Если в; = ф'; = а, то справедливо

Мо = ( 2а 1 1) , М- = (1 а 2 0 ^а2 - 1а) ' 0 - а2 а

Предположим, что потенциал V четен, т.е. V(1 - x) = V(x). Тогда уравнение Хилла инвариантно относительно замены координат x м 1 - x. Следовательно, если f является решением уравнения Хилла, то g, определённое как g(x) = f (1 - x), также является решением. Следовательно,

^ = ($) == мл f).

или

{т) = КМ0(Л)К ffy , к = diag (1, -1).

Рис. 1. Гексагональный граф

Используя эти уравнения вместе с (8), мы заключаем, что

И-1{\) = КМо(Х)К, т.е. К сплетает М0 с его обратным. В стандартном базисе

Ф1 -Фг

-в[ вг

М

-1

следовательно Ф1 = в1 =: а. Более того,

Мо

а

а2- 1

1

а

КМ0К

М-1

в1 -Ф1 -в'г Ф1

а -1

1 а2 а

3. Гексагональная решетка

Все рассматриваемые в данной заметке графы получаются некоторым преобразование гексагонального графа, который определяется в этом разделе. Гексагональный граф Г - это квантовый граф, такой что его множество вершин совпадает в узлами гексагональной решётки, а его множество ребер состоит из всех сегментов, соединяющих соседние узлы гексагональной решётки (см. рисунок 1). Подобно гексагональной решётке, гексагональный граф Z2-периодический, мы будем обозначать образующие группы трансляций через векторы 01 и 02. Наш граф можно разбить на подграфы (называемые ячейками), которые пересекаются лишь по граничным вершинам, и любую ячейку можно получить из другой, подействовав на нее элементом группы трансляций. Ячейки графа занумеруем парами п = (п1,п2) € причем ячейка п получается трансляцией фундаментальной ячейки, имеющей индексы (0, 0), на вектор п101 + п202. Ячейка п состоит в точности из четырёх вершин Ап, Вп, Вп+(0,1), Вп+(_11). и содержит ровно три ребра е0;п = Ап — Вп, е1;п = Ап — Вп+(о,1), е2;п = Ап+(1,о) — Вп+(о,1), где V — ^ обозначает ребро с началом в У1 и концом в У2. Если не принимать в рассмотрение магнитное поле, нет необходимости фиксировать вложение нашего графа в трёхмерное пространство, так как вся метрическая информация кодируется в длинах ребер, которые мы будем считать равными единице,

так как изменение длины приводит лишь к перенормировке энергетической оси. По техническим причинам нам удобно зафиксировать ориентацию на графе. Пусть все ребра начинаются в вершинах А. и заканчиваются в вершинах В.; очевидно, что таким образом мы получаем двудольный граф.

Пусть / некоторая функция на гексагональном графе Г. Это означает, что функция / определена на ребрах е.;п, где Л;п суть сужения Л на е.,п, являющиеся коплекснозначными функциями на отрезке [0,1], причем значению в нуле отвечает значение в начале ребра. Пространство С1 (Г) непрерывно дифференцируемых функций на Г состоит из функций f, таких что

• Все сужения fj;n суть непрерывно дифференцируемые функции на [0,1].

• Значения в вершинах совпадают для всех сужений, т.е Л0;п(0) = Л1;п)(0) = Л2;п-(1 , 0)(0),

Ло;п+(1,0) (1) = Л;п)(1) = f2;n(1) для всех п.

• Сумма внешних производных во всех вершинах равна нулю, т.е. f0д■n(0) + Лп)(0) +

f2;п-(1,0)(0) = 0, Л;п+(1 ,о)(1) + Л;п)(1) + f2;п(1) = 0 для всех п.

Эти условия обычно называются условиями Кирхгофа. Пространство Ь2(Г) квадратично интегрируемых функций определено обычным образом и состоит из функций л, таких что

• Л;п € ь2([0,1]) для всех ], п.

• £. п НЛ>112 < где | • || обозначает Ь2-норму функций на [0,1].

Рассмотрим оператор Б, действующий на функции Л € С 1(Г) по правилу

БЛ>(х) = —Л.;п(х) + V (x)fj;;n(x),

для всех ],п и х € (0,1). Будем считать, что потенциал V является вещественнозначной интегрируемой функцией на [0,1]. Гамильтониан Н на гексагональном графе Г определен как сужение оператора Б на ёош Н = ёош Б П ¿2(Г). Легко убедиться, что оператор Н самосопряжен.

Далее мы работаем с так называемыми фактор-графами, которые мы сейчас и определим. Отношение эквивалентности ~ на множестве вершин графа Г называется отношением эквивалентности на графе Г, если а сохраняет ребра, т.е. если для каждого ребра — у2, и вершин ь'1 ~ у1, у'2 ~ у2, ребро ь'1 — у'2 также принадлежит множеству ребер графа Г, более того у1 — ь2 и ь'1 — у'2 имеют одинаковую длину. По определению, фактор-графом Г/ ~ называют квантовый граф, множество ребер и вершин которого образовано классами эквивалентности множеств ребер и вершин графа Г, задаваемыми отношением эквивалентности Киральным графом типа (Ы1,Ы2) называется фактор-граф Г/ где Г — гексагональный граф, и v1 ~ у2, если и только если у2 является трансляцией у1 на вектор, кратный вектору киральности Ы101 + Ы202. Так как мы задали одинаковые граничные условия во всех вершинах гексагонального графа, так же как и одинаковые потенциалы на всех ребрах графа, ясно, что мы имеем оператор гамильтона на каждом киральном графе, действующий на каждом ребре как оператор Б, и определенный на функциях, удовлетворяющий граничным условиям Кирхгофа.

4. Граф типа «зигзаг»

Графом типа зигзаг Г; называют квантовый граф, получаемый из гексагональной решетки Г отождествлением всех вершин и ребер, получаемых трансляцией на вектор 2М01. Следует отметить, что граф типа «зигзаг» имеет ту же структуру, что и однослойная углеродная нанотрубка с киральностью (2Ж, 0). Развертка графа «зигзаг» показана на рисунке 2.

Рис. 2. Граф типа зигзаг

Для произвольной функции / на ^, мы определяем вектор-функцию ;к(х) = (^;п,к(х))™-1. Далее все действия с индексом п выполняются по модулю , т.е. = 0. В терминах Г условия Кирхгофа можно записать так

Fo; к (0) = Г1 ; к (0) = ЬГ2 ; к (0), Г0 ; к (0) + Г к (0) + ЬГ2 к к (0) = 0. (9)

Го;к+г(1) = (1) = (1), Г^!) + Я,к (1) + К,к (1) = 0, (10)

где 5 - оператор циклического сдвига = ¡]п-1,к. Так как граф «зигзаг» инвариантен

относительно вращений на угол ;, условия Кирхгофа могут быть разделены переходом к собственным подпространствам оператора Ь. Однако, так как рассматриваемый в следующем разделе гамильтониан на графе типа «кресло» инвариантен лишь относительно вращений на угол ;, мы будем принимать во внимание лишь эту меньшую группу инвариантности. Введем фукнции

Гз;п,к (х) =

Тогда условия Кирхгофа имеют вид

Г];2п , к (х)

Г3;2п+1, к (х)

Ро;к (0) = Р1;к (0) = I Р2.,к (0), Ро;к+1(1) = Ь* (1) = Ьк (1),

, рг*(х) = (р,п,к(х));-0\

К,к (0) + К* (0) + Ь Р^к (0) = 0. Кш(1) + Кк (1) + К* (1) = 0,

где все матричные элементы матрицы Ь зануляются, кроме

Ь п

0 0 1 0

, Ьп.п-1

0 1 0 0Г

Рассмотрим преобразование Фурье Т: ^ , матричные элементы которого в стандартном базисе задаются Тп,п' = N-2в-пп', где 5 = ехр(—;¿). Так как Ь действует как свертка (Ьп , к = Ьп-к,0), ее преобразование Фурье Ь имеет диагональную матрицу, в самом деле,

г _ (ИТ ~Г-1\ _ 1 \ -пп'+кк'

Ьп,к = (Т ЬТ )п,к = N / у

N -1

5 ..... Ьп',к'

1 N-1 1 N-1

1 -п(п'+к')+кк' т = 1 Х^ Т 8

,к'=0

1

N

N -1

Е

п',к'=0

-пп'+кк'

8 ..... Ьп'-к',0

N-1

пп

N

п',к'=0

^ 8(п-к)к = 5п,к Ьп, (11)

п'=0

к'=0

Рис. 3. Граф типа «зигзаг» ГЦ. Тройки ]; п, к нумеруют носители функций Л;п, к

таким образом Ь = diagп(Ьп), где

Т = ^ я-пп' т = в-п\

Ьп / у я Ьп', 0 =11 0 I '

п'=0 ^ '

Переходя к образам Фурье

. (X) = 12). (X) = ( к (ХХ)^-0 ,

(Л;2п+1, к (х))п=0 )

условия Кирхгофа переписываются в виде

Ро;к (0) = А;к (0) = Ьр2;к (0), ^ (0) + А'к (0) + ЬР2.к (0) = 0.

¿0;к+1(1) = А;к (1) = А;к (1), ^^;к+1(1) + А'к (1) + ^2;к (1) = 0.

Так как Т разложено в прямую сумму, естественно переписать условия Кирхгофа для каждого значения квазиимпульса р отдельно. Обозначим

¡Г;к;Р(х) = Л ^^ , .,к;р(х) = (^Л+п,к);=о1)р, Р.;к (X) = ЛкрХ)!-1.

Мы окончательно переписываем условия Кирхгофа в виде: для всех к,р,

Л 0;к;р (0) = /1;к;Р(0) = Ьр/2;к;Р(0), /0;к;р(0) + /1 ;к;Р(0) + Ьр/2 ;к;Р(0) = 0, (12) Л0;к+1;р (1) = Л1;к;р(1) = Л;кр(1), /0;к+1;р(1) + /1;к;р(1) + /2 ;к;р(1) = 0. (13)

Следовательно, гамильтониан Н на графе «зигзаг» унитарно эквивалентен прямой сумме операторов Нр по р = 0..Ж — 1, где Нр действует на графе «зигзаг» Г1 с N =1 (см. рисунок 3), т.е. действующий на функциях (Л;к;р).к, удовлетворяющих (12) и (13), следующим образом

НрЛГ;к;р = — Л"к;р(х) + V (х)/з;к;р (х).

Далее мы фиксируем и выбрасываем (для краткости) из обозначений р, т.е. / .;к;р = Л;к. Перейдем к анализу уравнения

— Л";к (х) + V (х). (х) = /к (х), (14)

где / € С 1(Г1) и / удовлетворяют (12), (13), т.е. мы ищем обобщённые собственные функции оператора Нр. Покажем, как можно исключить из рассмотрения сужения / .;к с

] = 1, 2. Для этого выпишем условия Кирхгофа (12), (13) для каждой компоненты *;к(х) =

(¡г;0,к(х), ¡л,к(х))т. А именно,

и,0,к(0) = к(0) = 8рк(0), }0ю,к(0) + Ц0,к(0) + 8р/21 ,к(0) = 0, ¡0;1,к (0) = ¡1;1,к (0) = ¡2;0,к (0), ¡^к (0) + Ц ;1,к (0) + Ь ;0,к (0) = 0,

/0», к+1(1) = ¡1*, к (1) = /2;, к (1), ¡0 .¿¿+1(1) + ¡1 к (1) + ¡2 к (1)=0, УЗ, к. (15)

Положим X ф ао. Воспользовавшись (2), (4), (5), (6), (7), получим

¿к (х) = ¿к (0)вх + ¿к (0)фх, ¿к (1) = ¡¿к (0)в[ + ¿к (0)Ф1,

1 0 1 Ф'

¿к (0) = - ¿;,к (1) — ¿;,к (0), %п(1) = —1 ¿п(0) + ф- ¡¿к (1).

ф1 ф1 ф1 ф1

В силу (12),

¡0 ;0(0) + ¡100(0) + ЬрЦ 0(0) = fи(0) + 1(/ 1;0 (1) + ьр/2;0 (1) — (f1;;0(0) + Ьр10;1 (0))01)

ф1

= ¡0,0(0) + Ф-(и,1(1) + Ьри,1(1) — (¡0;0(0) + ¡0;0(0))01) = 0 , ф1

Следовательно

(1 + Ьр)иА(1) + ф/;0(0) — 2в1/00(0) = 0. (16)

В силу (13),

¡0 ;1(1) + ¡10(1) + ¡'2 0(1) = /0;1(1) + фг( — М0) — ¡2;0(0) + Ф[(к0 + /2^(1))

ф1

= Л;1(1) — ф-(1 + Ь-1)10;0(0) + ^ ¡01(1). ф1 ф1

Поэтому

Ф/0 11(1) — (1 + ^¡(0) + 2ф[и,1(1) = 0. (17)

Таким образом, уравнения (16), (17) дают граничные условия на f0;к, следовательно компоненты 1;к, ¡2;к можно исключить из рассмотрения.

Заметим, что для р = 0 решения уравнения (14) однозначно восстанавливаются, если известны ¡0;0; с другой стороны для р = 0 решение уравнения (14) на ячейке не зависит от его поведения на других ячейках. Рассмотрим сначала случай р = 0. Непосредственные вычисления доказывают, что

Тогда (16), (17) равносильны соотношениям

¡0;1(1) = 201 (1 + Ьр)-1 ¡0;0(0) — ф1(1+ Ьр )-1/^(0), 1 ф'

¡01(1) = -(1 + Ь-1)М0(0) — 2 ф- ¡01(1)

ф1 р ф1

= (ф-(1 + Ь-1) — ^(1 + Ьр¡0;0(0) + 2ф1(1 + Ьр)-1й0(0).

Следовательно, существует матрица перехода Тр(Л), такая что

/0;1(1)\ = Л;о(0)

/0;1(1)У р ( ЧЛ0;0(0)

имеющая следующий явный вид

Т = [12 0 (1 + Ьр)-1^(Ьр + Ь-1 + 2(1 — 2в1Ф1)12)Ф-1 2^) . (18)

Так как на отрезке (0,1) функция /0;0 является решением уравнения (1), матрица монодромии оператора Нр имеет вид

м; (л) = [Мо(Л)-1 ® 1]тр (Л).

Матрица Т( имеет полюса, однако эти особенности можно исключить с помощью преобразования подобия Я = diag (1, Ф1), Я = Я 0 12, а именно

т; = Я-'Т;Я, Т; = [12 0 (1 + Ьр)-'](л + ь-1 2в1Ф1)12 2—IV ■ (19)

Заметим, что матрица Т;, вообще говоря, не симплектическая.

Рассмотрим случай р = 0. Разложим /0;к по собственному базису оператора Ь0

f o;k(х) = L go;k(х) + 1 gik(х).

go;k(х) +

Очевидно, что функция g0 ;. удовлетворяет (14) для всех j, и граничные условия (16), (17) принимают вид

2go;i(1) + ф^О;o(0) - 2^igo;o(0) = 0, М;i(1) - 2go;o(0) + 20lgo;i(1) = 0. (20) Следовательно

g0;i(1) = 2go;o(0) - 2^go;i(1) = 2go;o(0) + ^(фlg0;o(0) - 29^(0)) фl фl фl фl

2 ф> 9

= -go;o(0) + ф\g0;o(0) - 2ф-igo;o(0) = -29;go;o(0) + ф^О;o(0) ф1ф1

Таким образом, найдется матрица перехода ТО (Л), такая что

g$0=то<4goй, то=(д Ц)- (21)

Наконец, решения можно продолжить, воспользовавшись матрицей монодромии MZ(Л), такой что

ЙО = Mw (Й0)), Mл = щЧхщw (22)

Однако, для компоненты gl;k ситуация в корне иная. А именно, уравнения (16), (17) влекут, что

ф^;k(0) - 29igi;k(0) = 0, ф^1 ;k(1) + 2ф/lgl;k(1) = 0Vk. (23)

Следовательно, мы имеем семейство независимых задач на отрезках [0,1]. Очевидно, если для некоторого Л найдется решение уравнения (23), то Л будет собственным значением оператора H0. В силу (2), второе уравнение можно переписать в виде

(gik(0)9; + g[ k(0)ф!)ф1 + 2(gi,k(0)9i + g[ ¿(0)ф1 )ф\ = 0,

(фО + 2ф[01)д1,к (0) + 3ф[Ф1д[ ^ (0) = 0, (301 ф1 — 1)д1,к (0) + 3фф д[ ^ (0) = 0. Принимая во внимание первое уравнение, из системы (23) мы получаем

(90ф — 1)д1,к (0) = 0.

Множитель д1к(0) зануляется лишь на X € ао, которые мы проанализируем ниже. Таким образом, мы получили уравнение на собственные значения оператора Н0, отличные от ао :

901 ф1 = 1.

На данный момент мы описали все решения уравнения (14) для всех случаев за исключением X € ао. Теперь рассмотрим X € ао. Мы доказали, что X является собственным значением оператора Нр для всех р и нашли собственный базис. В рассматриваемом базисе

01/¿;к (0) = ¡'¿;к,

следовательно, в силу условий непрерывности, входящих в условия Кирхгофа (12), (13), мы получаем что f ¿,к (0) = 0. Следовательно f ¿;к(х) = с*;кфх, или в координатах:

¡¿;0,к (х) = С*;0,к фх, ¡¿;1,к (х) = ¿1,к фх. Тогда вторая часть условий Кирхгофа (12), (13) принимает вид

с0;0,к + с1;0,к + 8 с2;1,к = 0 с0;1,к + с1;1,к + с2;0,к = 0 С0;0,к+1 + с1;0,к + с2;0,к = 0 с0;1,к+1 + с1;0,к + с2;0,к =

Прямой подстановкой убеждаемся, что функции f = фк, такие что зануляются, за исключением

¡2;0,к = ¡1;0,к+1 = ¡0;1,к+1 = ф, ¡0;0,к+1 = ¡2;0,к+1 = ¡1;1,к = —ф, являются собственными функциями Нр для каждого р. Форма остальных собственных функций зависит от р. Рассмотрим произвольное решение f , и пусть

I = I — ^ ¡0;0,к+1(х)фк.

Рассмотрим р = 0. Тогда функции f = фк, зануляющиеся всюду, кроме

¡1;0,к = ¡1;1,к = ф, /2;0,к = ¡2;1,к = —ф,

являются собственными значениями оператора Н0 (см. рисунок 4). Вычитая функции фкк из f, получаем гораздо более простое выражение. В самом деле, сужения на (0; 0, к) зануляются для всех к (см. рисунок 5 (а)). Пусть / = f — ^ке2 ¡1;0ккфк; очевидно, / зануляются на ребрах (1; 0,к) для всех к (рисунок 5 (Ь)). Однако, в силу условий Кирхгофа f 2 равно нулю на ребрах (2; З, к) для всех З, к (см. рисунок 5 (с)). Окончательно, / имеет носителями (0;1,к), (1; 1,к). В силу условий Кирхгофа

¡0;1,к = —]:1;;1,к = ¡0;1,к+1Ук.

В силу включения для каждой собственной функции f € Ь2(Г1), мы заключаем, что = 0. Таким образом, в каждом собственном подпространстве, отвечающем собственному значению Дирихле, множество функции фк, фк, к € 2, является базисом.

Теперь рассмотрим р = 0. Тогда мы определим собственный базис фк следующим образом: f = фк обнуляется всюду, кроме

11;0,к = /2;0,к-1 = ф, ¡2;0,к = ¡1;1,к-1 = ¡1;0,к-1 = —ф,

(а)

(Ь)

(с)

-дг*

ж*

0;0,к+1 1;0,к+1

1;1,к 0;1,к+1

1;1,к 2;1,к+1 1;1,к+1

Рис. 4. Носители локализованных состояний спектра Дирихле «зигзаг» графа Г1: (а) для функций Фк для всех р; (Ь) для фк, р = 0; (с) для фк, р = 0

(а)

1;0,-1

1;0,0

1;0,1

1;1,-1 0;1,0 1;1,0 0;1,1 1;1,1

(Ь)

1;1,-1 0;1,0 1;1,0 0;1,1 1;1,1 :.........Г*...............................ч.........

(с)

1;1,-1 0;1,0 1;1,0 0;1,1 1;1,1

Рис. 5. Редуцированные носители собственных функций спектра Дирихле графа типа «зигзаг» Г1. (а) носители для /; (Ь) насители для / (с) более точные носители для /

Л 2;1,к = —я рФ, / 1;1,к = /2;1,к-1 = ЯРФ, /о;1,к = (1 — Я Р)Ф,

(см. рисунок 4 (с)). Доказательство того, что все Фкк и фк образуют собственный базис, аналогично.

4.1. Симметрии

Отображение Лк: / — д, определённое по правилу

д0;п,к (х) = Л0;-1-п,-к (1 — х) , д1;п,к (х) = У 1;-1-п;-к-1(1 — x), д2;п,к (х) = Л2;-п,-к-1(1 — x),

задает действие на функциях на графе типа «зигзаг» группы центральных симметрий. В определённых выше векторных обозначениях,

Со;к (х) = ЬТГо-к (1 — х), 01;к (х) = ЬТ^1;_к_1(1 — х), С2-к (х) = Т^2;-к-1(1 — х), где Тек = е-к. Воспользовавшись явным видом обратного преобразования У0;п,к (х) = д0;-1-п,-к (1 — x), Л1;п,к (х) = gl;_1_n;_k_ 1(1 — x), Л2;п,к (х) = д2;-п,-к-1(1 — x),

Г(;к (х) = ЬТСо-к (1 — х), ^1;к (х) = ЬТС1;1-к (1 — х), ^2;к (х) = ТС2;-к+1(1 — х), мы получаем уравнения на каждую функцию /, удовлетворяющую условиям Кирхгофа,

(9), (10)

ЬТОо-к (1) = ЬТС1.-1-к (1) = ЬТС2.-1-к (1), —ЬТС'о-к (1) — ЬТС,1;-1-к (1) — ЬТС/2;-1-к (1) = 0.

ЬТСо;-к-1(0) = ЬТСг—к (0) = ТО,— (0), ЬТС0;-к-1(0) — ЬТО'1;-1-к (0) — ТО'2;-1-к (0) = 0. Так как ЬТ = ТЬ-1, мы видим, что О удовлетворяет (9), (10), т.е. условия Кирхгофа инвариантны относительно Лк.

Предположим теперь, что V четно, т.е. V(х) = V(1 — х). Тогда дифференциальное выражение — + V инвариантно относительно замены х — 1 — х. Следовательно, мы заключаем, что Лк Нк = НкЛк. Найденная нами симметрия накладывает некоторые ограничения на матрицу монодромии. В самом деле, рассмотрим решение Г уравнения НкГ = ЛЬ. В силу отмеченной симметрии, О = ЛкГ также является решением этого уравнения. Обозначим через Щ следующий оператор, определенный

щ:

к' 1 — Г'

\Г0;к

Предположим пока, что матрица монодромии существует, тогда

Пк+10(0) = Мк (Л)Пк 0(0).

Следовательно,

Пк+1Лк Г (0) = Мк (Л)Щ Лк Г (0). Очевидно, ПкЛкГ(х) = (К 0 (ЬТ))П-кГ(1 — х) где К = ^ (1, —1). Тогда

(К 0 ЬТ)П-к-1Г(1) = Мк(Л)(К 0 ЬТ)П-кГ(1). Так как Пк Г является решением уравнения Хилла,

(КМо(Л) 0 ЬТ)ПкГ(0) = Мк(Л)(КМо(Л) 0 ЬТ)Пк+1Г(0), Воспользовавшись снова определением матрицы монодромии, мы получаем Мк(Л)-1 = Кк(Л)-1Мк(Л)Кк(Л), Кк(Л) = КМо(Л) 0 ЬТ.

Однако, мы знаем, что матрица монодромии существует только на подпространстве пространства всех начальных условий для р = 0. Чтобы отделить это пространство мы применяем преобразование Фурье,

Мк(Л)-1 = Кк(Л)-1Мк(Л)Кк(Л), Кк(Л) = КМо(Л) 0 ЬТ. (24)

Преобразование Фурье от Ь, найденное выше, представляет собой прямую сумму операторов Ь , и преобразование Фурье от Т может быть легко посчитано

*=(;V). /=(и

Рис. 6. Развертка графа типа «кресло»

1 ^ 1 м

ттз=т -'+кк' з*=N е -^/,-к'=-к=т.

N ^ 3,к N

3' ,к'=1 З',к'=1

Ранее мы доказали, что Мк = Ф^Л^М^, поэтому мы окончательно получаем

Мк(X)-1 = Кк(\)-1М-рМК(X), Кк(X) = (КМ0(\)) ® (Ьр1). (25)

Воспользовавшись явной формулой для М^ (X), можно доказать, что

Мкр(X) = щ (X), X € к,

где М обозначает комплексно-сопряжённую к М матрицу. Наконец, для вещественных X и четного потенциала V,

к; (X)Мкр (X)-1 = Мк (\)К; (X).

5. Граф типа «кресло»

Графом типа «кресло» ГN называется киральный граф типа N, Развертка графа «кресло» состоит из ребер (З; п, к), таких что З € {0,1, 2}, к € 2 и к ^ п < к + N (см. рисунок 6). Фундаментальная область графа типа «кресло» состоит из трех ребер, и граф инвариантен относительно перестановки ячеек по правилу п м п + (1,1). Нам удобно рассматривать произвольную функцию f на графе типа кресло, как векторную функцию ;к(х) = (¡з;п,к(х))%=-о. Тогда условия Кирхгофа принимают следующий вид:

Ь0;к (0) = Ь1;к (0) = ЬР2;к+1(0), Ь0);к (0) + (0) + ЬЬ2,;к+1(0) = 0,

Г0;к+1(1) = Ьцк (1) = Г2;к (1), Г';к+1(1) + ?1.к (1) + ^ (1) = 0,

где Ь обозначает оператор сдвига Ь/п = ¡п-1. Мы ищем обобщённые собственные функции гамильтониана На графа «кресло» ^, т.е. мы решаем уравнение

—Р'з* (х) + V (хЩ* (х) = XFз;k(x), (26)

вместе с граничными условиями Кирхгофа. Воспользовавшись симметрией графа, мы можем расцепить данную систему уравнений. Пусть Ьз* (х) = ТЬз* (х), где Т обозначает преобразование Фурье на 2 определённое в предыдущем разделе. Обозначим через f з;к;р(х)

2;-1

0;0

2;1

И. С. Лобанов, И. Ю. Попов 0;2 2;3

- > I*- - I г- --

1;-2 1;-1 1;0 1;1 1;2

* г - 1 —_ _ >' г - —_ _ > Г 1 -:

0;-1 2;0 0;1 2;2

Рис. 7. Граф типа «кресло» Г'

0;3

компоненты вектора Fj;;k (х) = (Л;к;р (х))р=0 . Очевидно, каждая функция / j;k;p удовлетворяет (26), и условия Кирхгофа принимают вид

Л 0;к;р (0) = /1;к;р(0) = Л;к+1;р (0) , /0 ;к;р(0) + /1 ;к;р(0) + ЯрЛ^;к+1;р(0) = 0,

Л0;к+1;р(1) = Л1;к;р(1) = Ькр^ , Л0;к+1;р(1) + Л1;к;р(1) + Л2 ;к;р(1) = 0

(27)

(28)

(29)

(30)

Мы видим, что функции /;.;р не связаны при различных р. Это означает, что гамильтониан На унитарно эквивалентен прямой сумме гамильтонианов На на графе Га (см. рисунок 7) с чуть более сложными граничными условиями, чем условия Кирхгофа.

Далее мы фиксируем и выбрасываем (для краткости) из обозначений р, например, / j;k = / j;k;p. Положим Л ф ав .В силу (29) мы имеем

Л;к (1) = Л2;к (1) = Л + Ф1Л2 ;к (0).

Воспользовавшись (27), мы получаем

/2;к+1(0) — Я-р/0;к (0) = Ф1я-рЛ0;к (1) — Ф1Я-р/0;к (1).

В силу (27) и (29),

(31)

(32)

1 а

/1 ;к (0) = - /1;к (1) — -1 /1;к (0) к Ф1 Ф1

1

Ф1

а 1 а

~Т~ Л 2;к (1) — -1 /0;к (0) = "(Л (0) + ФЛ2 ;к (0)) — ^ (Ф1/0;к (1) — Ф1 Л0;к (1))

Ф1

Ф1

а1

-1 /2;к(0) + /2;к(0) — (- + а1)Л0;к(1) + Л;к(1). (33)

Ф1 к Ф1 к

Из (28) мы заключаем

/2;к+1 (0) = — ^/0;0(0) — Я-рЛ[;к (0)

а1

= — Я-р(91/0 ;к (1) — 91Л0;0 (1)) — Я-р( -1 Л2;к (0) + /2 ;к (0) — ("" + 91 )Л;к (1) + а1/^;0(1))

Ф

Ф1

1а (291 + - Я-р/0;к (1) — 2в13-рЛ0 ;к (1) — -1 я-рЛ2;к (0) — я-рЛ'2 ф (0). (34)

Ф1 к Ф1 к

_ 0;к

(а)

(Ь)

1;к-1

1;к

>Г-

2;к 0;к-1

■А.

0;к+1

2;к-1

0;к

2;к+1

....................-................. ; 1 Г- г................■>] 1 Г- г................

1 1;к-2 1;к-1 1;к 1;к+1

...................и................. -:—^ < ^-:- -:-^ 1 \

Рис. 8. Носители функций фа из собственного базиса, отвечающего спектру Дирихле: (а) для р = 0 (Ь) для р = 0

Из (30) мы получаем

А; к+1(1) = —А; 0(1) — ¡22; к (1)

ф' , 1

фт и,к (1) — 10 к (1) — (- + 01 )12к (0) — ф12 к (0) — 01 ¡2* (0) — фЛ,к (0) ф1 ф1

Ф1 * - 1

= ф- А* (1) — А * (1) — (- + 201 )А* (0) — 2Ф/2 * (0). ф1 к ф1 к

(35)

Таким образом, мы видим, что решение может быть продолжено из любой ячейки для каждого р, и матрица монодромии М а имеет вид

( ¡0;к+1 \ ¡2;к+1(0) — /0;к+1 (1) V ¡22к+1(0) )

Ма(X)

( ¡0;к \ ¡2к (0) —¡0 к (1) V ¡2к (0)

(

М а

р

0

ф[в-р _Ф1

Ф1

01 0

201 Ф1

0

ф1в

-

1

\(20[ + ф;>-р — Ф1- 2°1*-:

Ф1

ф1 0

2ф1 — 8-р/

(36)

Следует отметить, что матрицу монодромии можно представить в виде произведения матрицы Рр = diag(1,s-p, 1,в-р), зависящий только от р, и матрицы, не зависящей от р. Более того, особенности последней матрицы можно исключить заменой базиса Я =

diag (1,1,ф1, ф1). А именно,

= РрЯ-1Ма Я, Ма

0 01 0 1

ф1 0 1 0

—ф1 2ф10[ + 1 —1 2ф1

\2ф101 + Ы —01 201 —1

(37)

Остается рассмотреть X € а о. Покажем, что каждая X € а о является собственным числом оператора Н£ для всех р и найдем собственные базисы. Для таких X мы

имеем /з* (1) = / з;к (0), следовательно, в силу условий Кирхгофа, / € Ь2(Га) влечет, что ¡3*(0) = 0, и поэтому / з;к(х) = с,*фх. Вид собственного базиса зависит от р.

Рассмотрим р = 0. Тогда, очевидно, / = фа, обнуляющаяся всюду, кроме

¡0к = 1 2;к = ф, 1 1;к = ¡1;к-1 = —ф,

...........>5 > I*- ...........->1 ) Г- ...........■>-

0;-1 0;-0 0;2 0;0 0;1 0;3

* г - 1 .......... Г - ..........■>5 г -

...........»А*...........■>*-«-

2;-0 2;0 2;3

Рис. 9. Носитель разности / между обобщенной собственной функцией гамильтониана графа типа «кресло» Г", отвечающей спектру Дирихле, и ее проекциями на функции фк

является собственной функцией (см. рисунок 8 (а)). Рассмотрим /, произвольную собственную функцию для этого собственного числа Л, и рассмотрим / = / — ^кеъ /о-к(0)ф". Функция / тождественно равна нулю на ребрах (0; к) для всех к, следовательно, ее носитель имеет вид ломаной без самопересечений (см. рисунок 9). Более того, в силу условий Кирхгофа

/1-к = — /2-к = /1-,к+гУк,

это означает, что / Е Ь2 только, если / = 0. Таким образом, мы заключаем, что набор из всех ф" образует собственный базис.

Теперь рассмотрим р = 0. В этом случае мы имеем семейство собственных функций ф", таких, что / = ф" обнуляется всюду, кроме

/о-к = — 1)ф, /2;к+1 = /о-к+1 = /1-к-1 = ф,

/\; к+1 = /о; к-1 = —ф, /1 ;к = /2; к-1 = — $Рф, /\ ;к-2 = 8Рф. Процедура, аналогичная проделанной для р = 0, доказывает, что набор всех функций фк образует собственный базис.

5.1. Симметрии

Отображение Л": / м д определение формулами

Оо-к (х) = ЬТЬо--к (1 — х), Ох-к (х) = ЬТЬх --к-х(1 — х), 02-к (х) = ТЬ^-к (1 — х),

где Тек = е-к, задает действие группы центральных симметрий функций на графе типа «кресло». Во введенных ранее векторных обозначениях, пользуясь явным видом обратного преобразования,

Ьо - к (х) = ЬТОо --к (1 — х), Ьх - к (х) = ЬТОх -- (1 — х), ;к (х) = ТО 2--к (1 — х),

мы заключаем, что для всех /, удовлетворяющих условиям Кирхгофа (27), (28), справедливы тождества

ЬТОо --к (1) = ЬТОх --х-к (1) = ЬТ02;-1-к (1), —ЬТО'о --к (1) — ЬТО'х - -1-к (1) — ЬТО2 --1-к (1) = 0. ЬТОо --к-х(0) = ЬТОх --- (0) = ТО2 --к(0), ЬТО'о--к-1 (0) — ЬТО'х ---(0) — ТО2--к (0) = 0. Так как ЬТ = ТЬ-1, мы видим, что О удовлетворяет (27), (28), т.е. условия Кирхгофа инвариантны относительно Л".

Теперь предположим, что V четно: V(х) = V(1 — х). Тогда дифференциальное выражение — + V инвариантно относительно замены координат х м 1 — х, откуда мы заключаем, что ЛаИа = ИаЛа. Найденная нами симметрия накладывает ограничения на

матрицу монодромии. В самом деле, рассмотрим решение Ь уравнения НаЬ = XF. В силу отмеченной нами симметрии С = ЛаЬ также является решением этого уравнения. Обозначим через Щ оператор, заданный

Пак: Ь м

( Ь0;к (1 — х) \ Ь2;к (х)

— К,к (1 — х)

V ;к(х) У

По определению матрицы монодромии,

па+1 С(0) = М'^^паа^).

Следовательно,

Щ+1ЛаЬ (0) = Ma(X)ПakЛaF (0).

Очевидно,

палаЬ (х)

( ЛаЬ0к (1 — х) ^ ЛаЬ2;к (х) — (ЛаЬ )0;к (1 — х) V (ЛаЬ )'2.к (х)

( ЬТЬ0;-к (х) \ ТЬ2.-к (1 — х) ЬТЬ0);-к (х) \—ТЬ2>;-к (1 — х))

К аПаЬ (1 — х), (38)

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

где Ка =(К 0 diag (ЬТ, Т))(У^ (М--1, М0)У 0 1м), К = diag (1, —1)

У

Тогда

К аПа-к-1Ь (1) = М а(\)К аПа-к Ь (1). Воспользовавшись снова определением матрицы монодромии, получаем

Ma(X)-1 = Ka(X)-1Ma (X)Ka(X). Применяя преобразование Фурье, выводим

Ма(\)-1 = Ка^М-р (X)ка^), Кда = (к 0 ^ (Ьр1,1))(У ^ (М-1,М0)У 012).

Воспользовавшись явным выражением для Мк^), заключаем, что

Мар(X) = М;(X), X € к,

где М обозначает комплексно сопряженную к М матрицу. Окончательно, для вещественных X и четных потенциалов V,

(39)

ка^Ма^)-1 = Ма^ка^).

zigzag

(-2,2) ;

: (-1,2)

(-2,1)

fí^;n 2;пЧ

iü;n 1

: n=(-i,i); i (0,1) ,

armchair

Рис. 10. Развертка сочленения графов типа «кресло» и «зигзаг»

6. Сочленение графов типа «зигзаг» и «кресло»

Пусть Г; и Г; графы типа «зигзаг» и «кресло» определенные в предыдущих разделах, соответственно. Мы рассматриваем графы разных типов с одинаковым числом ребер в фундаментальной ячейке. Далее мы будем добавлять букву г ко всем обьектам, имеющим отношение к графу типа зигзаг, и букву а, к обьектам, относящимся к графу «кресло», например, (г; ]; п, к) обозначает ребро (]; п, к) графа Г;. Сочленением Г; графов Г; и Г; называется квантовый граф, состоящий из всех ребер (г; ]; п, к) и (а; ]; п,к) с п ^ 0 и произвольными ], к, в котором ребра (г; 0; 2к, 0) отождествляются с (а; 2; —к, 0), и (г; 0; 2к +1, 0) с противоположно направленным к (а; 0; —к, 0) для всех к (см. рисунок 10). Структура графа Г; аналогично структуре сочленения двух однослойных трубок типа «зигзаг» и «кресло» (см. рисунок 11).

Пусть Б обозначает оператор в Сх(Г;), действующий на ребрах по правилу

Б/и-]-п,к (х) = —/и- j-п,к (х) + V (х)/-]-п,к (х).

Мы определим гамильтониан И на Г; как сужение оператора Б на И = Б П Ь2(Г;). Очевидно, что И действует как И" на функциях с носителем только на ребрах из графа Г", и как И* на функциях с носителем на ребрах из графа Г*.

Проверим, что непрерывный спектр оператора И совпадает с обьединением спектров операторов Г* и Г". В самом деле, пусть Б* обозначает сужение оператора И * на функции /, такие что

/о - п,о(0) = /о - п,о(0) = 0Уп,

и пусть Бо" обозначает сужение оператора И" на функции /, такие что

/2по(0) = /2по(0) = 0, /о -по(1) = /о;п,о(1) = 0.

(a)

(b)

Рис. 11. Сочленения графов типа «кресло» и «зигзаг» для N = 20: (а) вид с оси симметрии, (Ь) вид сбоку

S< ф S>, где S> действует на ребрах (j; n,k) с n ^ 0, и S< - на ребрах

Очевидно, Б0 = з>, ^^ з> (З; п,к) с п < 0; подобно За = Б< Ф Б>. Легко видеть, что Н является самосопряженным

З^. Так как индексы дефекта операторов За и Б0 конечны,

>0

расширением оператора S> ф s>. мы имеем spec H = spec Ha П spec Hz.

Следовательно, остается найти точечный спектр и собственные значения. Начнем со спектрального уравнения

-fj; n,k (x) + V (x)fv; j; n,k (x) = Xfv ;j ;n,k (x) , (40)

где функция f удовлетворяет условиям Кирхгофа и следующим уравнениям склейки

fa; 2;-k,0(0) = fz ;0 ; 2k,0(0), fa; 2;-k,0(0) = fZ ;0 ;2k,0(0)

fa;0;-k,0(l) = fz ;0 ;2k+1,0(0), - f'a;0;-k,0(1) = f'z ;0;ak+1,0(0) ^k•

Снова удобно перейти к векторным обозначениям

77 _ /77 \N—1 77 _ (fa;2;k,n

(0)\ * /77/ \N —1 77/ _ j fa;2;k,n

(0)

Fa;n (Fa;k,n)k=0 , Fa;k,n I f /i \ I , Fa;n (Fa;k,n)k=0 , Fa;k,n I f/ (л \ I ,

\Ja;0;k,n(1)J \-J a;0;k,n(1) J

(41)

(0)

n(1)

(42)

F = (F , )N —1 F

1 z;n V z;k,n)k=0 ' z;

fz;0;2k,n(0)

;k,n \ f

Jz;0;2k+1,n{

Тогда условия склейки принимают следующий простой вид

Fa;0 = YFz;0, F'a;fi = YF^^, где Yfn = f—n где -n = -n (mod N).

0) / ( F/ )N—1 F/ = J z;0;2k,n

(0)

, Fz;n (Fz;k,n)k=0 , Fz;k,n I f/ /i\

(1)/ \Jz;0;2k+1,n(1)

a;2;2 a;0;1 а;2;0 z;1;0,0 z;0;0,1 z;1;0,1

; 1 ;2 a; L.......... 1 a;1;1 i ;0 a; i sy \c> Л/ \o 1y \f о \-y V/

armchair a;0;2 a;2;1 a;0;0 z;1;1,0 z;0;1,1 z;1;1,1

M a (E) M-Zp(E) zigzag

Рис. 12. Сочленение Г графов типа «кресло» и «зигзаг»

Граф Г^ инвариантен при перестановках ребер (и; ]; к,п) м- (и; ]; к + 1,п), так же как и графы Г" и Г, и следовательно, мы снова можем воспользоваться теорией Блоха-

Флоке. Пусть Fv;n = FFvn вание Фурье на Z, определённое выше. Так как

F'

v;n

FF'v ;n для v

a,z, n G Z, где F обозначает преобразо-

Fn = ^ £ +kk"Sn-< = "1E

N-1

n',k'=0

N-1

—n'(n+k)

n'=0

fin' -

k' j

т.е. Т УТ = У, условия Кирхгофа принимают вид

Ра; 0 = ТЬг; о, Р'а. 0 = Т . 0, или в координатном виде = (/ ;п;р)£=0\ ^ ,п = (/;П;р)^=01,

f a;0;p = fz;0;-p, fa;0;p = f z;0;-p ^P

(43)

Как было показано ранее, граничные условия для f a.... и f z.... так же разделяются (одинаковы при различных p), следовательно, оператор H унитарно эквивалентен прямой сумме операторов Hp, где каждый оператор Hp действует на Г1 с граничными условиями, отвечающими данному фиксированному p (см. рисунок 12). Далее мы фиксируем и выбрасываем из обозначений P, т.е. fa;n = fa;n;p и f z;n = f z;n;-p.

Следует отметить, что граф rN не является двудольным, в отличии от его составных частей rN и rN, следовательно, естественно считать потенциал V четным, т.е. V(x) = V(1 — x). В этом случае мы имеем ф'1 = в1 =: а.

Начнём описание собственных значений Л G spec D. Очевидно, собственные функции фк, фк, k ^ 0, и фк, k > 0, для графов «кресло» и «зигзаг», описанные выше, будут удовлетворять уравнению на обобщённые собственные функции для k > 0, т.е. там, где их носитель не пересекается с областью склейки. Следовательно, каждая Л G является собственной фукнцией оператора Hp. Пусть f является произвольной собственной функцией, отвечающей такому Л. Вычитая фк, фк, k ^ 0, и фa, k > 0 из f как описано выше, мы получаем новую собственную функцию f, носитель которой сосредоточен на ребрах (a;0,0), (a; 1, 0), (a; 2, 0) (см. рисунок 13). Так как носитель функции f не содержит циклов, функция f тождественно равна нулю. Таким образом собственный базис формируется функциями ф<к, k > 0 и фк, фк, k ^ 0.

a;2;0

a;0;0

Рис. 13. Собственные функции оператора Нр отвечающие спектру Дирихле, отличные от собственных чисел операторов Щ и Н-р, должны иметь носитель, заключённый в отмеченной области. Однако, область не содержит циклов и, следовательно, не допускает собственных фукнций

7. Собственные значения, не входящие в спектр Дирихле 7.1. Случай р = 0

Рассмотрим собственные значения Л ф ав. Для таких Л существует матрица моно-дромии для На, следовательно, мы имеем

f a;k+1\ _ мa (A) I f a;k

f

J a;

a;k+1

f a;

a;k

Ma _

( 0 a 0 1

a 0 1 0

-a 2a2 - 1 -1 2a

i^2a2 — 1 —a 2a -1

Ма = РрЯ~1МаЯ, Рр = , м-р), Я = diаg (1,1,ф1,фх).

Если Л является собственным значением, то / Е Ь2(Г1), и следовательно, вектор X = (/а;о ¡'а,0)Т должен лежать в линейной оболочке собственных векторов оператора М^(Л), отвечающих собственным значениям меньше единицы по модулю.

С другой стороны, если р = 0, существует матрица монодромии для Щ, следовательно

( 2а 0

f z;k+1\ _ ъ /fz (\\ ( f z;k

J z;k+1/ \J z;

z;k

T

J- r>

Mz —p

(Mo(A)"1 0 (1 + L-p)-1 )R-1TкR, Lp

0 -1 0

2a 0 -1

1 + s- 2a 0

2 — 4a2 0 2a у

s-p \ 0, Mo _ (

Обозначим через xd (A) собственное подпространство оператора A, соотсветствую-щее собственным значениям из области D. Очевидно, если A Е aD, то A Е spec (Hp) если и только если X|z|<1(Ma(A)) П X\z\<1(Mz_p(A)) _ {0}.

7.2. Случай p _ 0

Как было показано выше, матрица монодромии Ma для кресла имеет вид

fa ;k+1) _ M0a(A) (fa , Ma (A) _ R-1MaR, R _ R 0 1, R_ diag(1,01).

\Ja;k+1/ \Ja;k/

Переходя к образам Фурье ga-k _ Ff a;k, g'a;k _ F2 fa;k,

T,

2 _

-fi 1 ,

M1 -y

2

мы получаем

Ыа(Х) = (1 0 Т2)М0а(Л)(1 0 Т2)-1 = Я-1 (1 0 Т2)ЛГ(1 0 Т2)~1Я Обозначим через и оператор, действующий как и(е ^ 0 ек) = ек 0 е^, тогда

и

/ а;к /а;к

/ аа ;0,к

/а;1,к

Х-Та ;1,к /

/а;к

/а;0,к /а;1,к

Далее,

им аи

а1

А В В А

Более того,

(Т2 0 1)имаи-1(Т2 0 1)-1 = -

А

1 (1 1

0 0 -а -1/'

В

а

1

2а—1 2а

А В\ (1 1

2 -1) \В А) -1 1 [А + В А + В\ /1 1

2 V А - В В - А \ 1 -1

А + В 0 0 А — В

Следовательно,

иМ0а(Л)и-1 = и(1 0 Т2)(Я 0 1)-1Ма(Я 0 1)(1 0 Т)-1и-1

(10 Я-1)(Т2 01)имаи-1(Т2 01)(Я 01) = м0 ® м1

где Ма = Я-1ЩЯ, Э = 0,1, и

а

1

М0 = ^ 2а2- а- 1 2а — 1

м" =

а

1

1 2а2 а 1 2а

Э = 0,1-

(44)

Таким образом, мы имеем

(9а;,,к+Л = м°(За;3,к ■ }

Теперь рассмотрим решение на части типа «зигзаг». Переходя к образам Фурье, мы получаем

_ т- 9 _ Т 9 л _ I 9о;0,к

9о;к = Т2]х;к, 9о;к = Т21о;к, 9о;к = -

\9о;1,ку

Как было показано ранее,

9;0'к+1 = м^ (ЛИ /Ак) , мо = м0-1т

9 г;0,к+1/ \У о;0,к

м0(Л)(^ §) , Ъ(Л)=^ ^ 2

Ф1 2

-2в[ Ф1

Покажем, что матрица монодромии подобна матрице, зависящей лишь от а самом деле,

- 2

-20'1ф1 ф\

61 = ф1. В

грг Т0

Я то Я -1

Mz = M-1^

Ф1 -i -0'Ф 01

Qi - 2 -20ф Ф1

Ф101 + 201Ф1 - 3 Ф1

-010; Ф1 - 20101Ф1 2 01Ф1 + Ф101

- 2 Ф1

301Ф1 - 2 -301(01Ф1 -1) §01 ф\ - 2

Для оставшейся компоненты мы имеем

ф1д'г ,хк (0) = 201gz;1,fc (0),

3а2 - 2 - 2 -За3 + 3а § а2 — 1

(45)

или

R | gfk

Ф1

201

t

i

201

t

i

1 0

Kgz;1,kJ V0 ф1 В силу условий склейки

ga;j,0 = gz;j,0, ga;j,0 = gz;j,0, j = 0, 1

Обозначим

Gj

2 Л, te R.

ga;j,0 gz;j,0

Gj = R Gj.

Очевидно, если A Е aD, то A Е spec (H0) если и только если существует нетривиальная функция G _ (G0, G1) такая, что

Go Е X|z|<1(Moz) П X|z|<1(Moz), (46)

G1 е X\z\<i(Ma) П span ( 2а

1

(47)

Так как условия на G0 и G1 независимы, мы имеет два семейства собственных значений.

Рассмотрим сначала компоненту G1 = (1, 2а)Т. Так как матрица Ма является сим-плектической, подпространство Х\А<1(Ма) либо одномерное, либо вырожденное. Если подпространство невырожденное, то С1 1 является собственным вектором. Поэтому

MiaG 1

а

1

1 2а2 а 1 2а

21а

-3а -6а2 - 3а + 1

1

2а

следовательно, соответствующее собственное значение матрицы Ы^ есть v = —3а, и G1 является собственным вектором если и только если —6а2 — 3а + 1 = v2а. Следовательно, а = 3, а значит v =1, что влечет вырожденность пространства x\z\<i(Ma). Мы заключаем, что это семейство собственных значений пусто.

Теперь рассмотрим компоненту G1. Предположим, что найдется нетривиальная G1, удовлетворяющая (46). Так как M£ и M0 симплектичны, их собственные значения просты. Следовательно, X|z|<i(MMo) и X|z|<i(MMZ) имеют нетривиальное пересечения, если и только если эти пространства совпадают. Следует отметить, что матрица 2 х 2 симплектична, если и только если ее определитель равен единице, т.е. любая замена базиса сохраняет симплектичность. В собственном базисе матрицы матрицы Ы^ и MIZ имеют вид

L~1MZL

X 0 0 i

L~1MZ L

¡

0

v i

i

для некоторых v, ¡,X. Тогда их коммутатор получается так

L-1 [mz\MZ ]L

X0 0 i

¡

0

v i

i

¡

0

v ±

i

X0 0 i

0 vX 0 0

Отметим, что det[Ma|MZ] = \MMIZ] = 0. Более того, эти условия достаточны, чтобы

удовлетворить (46) для некоторого невырожденного С0.

v

Теперь вычислим коммутатор.

а l\ / За2 — 2 — 3а \ f а

i

ЩЩ — ( 2а2 - а - l ) {-За3 + 3а 2а22- 2) = \-а2 - а + 2 а +2|

л> м* - ( За2 - 2 - 3а \( а 1 М0 М0 = За3 + За 3а2 - \) ^2а2 - а - 1

3 а2 _ а 3 а _ 2

2 2 2

- § а3 + 2 а2 + 2 а + 2 - 2 а2 + 2а + \

32

[м*\м*

3 а а2 l а

следовательно,

[л>а1 мо 1 = 3 2 2

2 \а3 - а2 - а + 1 а2 - а

Очевидно, ^ [мамо 1 = 0 для всех а. Далее,

¿е^мЦмО 1 = -(а-а)2-(1-а)(а3-а2-а+1) = -а2 (1-а)2-(1-а)2(1-а2) = -(1-а)2.

Тогда (1еЛ[ма] = 0, если и только если а =1; Более того, для а = 1, мы имеем [ма\м0] = 0. Однако, если а =1, матрица имеет собственные значения

-(За - 1) (За - 1)2 - 4 А — 2 — -1' Следовательно, условия (46) выполняются лишь для тривиальной G0. Подытоживая, H0 не имеет собственных значений, не входящих в спектр Дирихле.

Работа поддержана ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы» (контракты Р689 NK-526P, 14.740.11.0879, 16,740,11,0030), грантом 11-08-00267 РФФИ.

Литература

[1] A. Badanin, J. Brüning, E. Korotyaev, I. Lobanov. Schrödinger operators on armchair nanotubes. I. arXiv:0707.3909

[2] Chuanhong Jin, Kazu Suenaga, Sumio Iijima Plumbing carbon nanotubes // Nature Nanotechnology 3, 17 -21. - 2008. Published online: 9 December 2007 doi:10.1038/nnano.2007.406

[3] E. Korotyaev. Lattice Dislocations in a 1-Dimensional Model // Commun. Math. Phys. - 2000. - 213. -P. 471-489.

[4] E. Korotyaev. Schrodinger operator with a junction of two 1-dimensional periodic potentials // Asymptotic Analysis. - 2000. - 45. - P. 73-97.

[5] E. Korotyaev, I. Lobanov. Schrodinger Operators on Zigzag Nanotubes // Journal Annales Henri Poincare. -2007. - 8 (6). - P. 1151-1176.

[6] A. Rochefort, P. Avouris. Quantum Size Effects in Carbon Nanotube Intramolecular Junctions // Nano Letters.- 2002. - 2 (3). - pp 253-256 DOI: 10.1021/nl015705t

[7] H. Santos, A. Ayuela, W. Jaskolski, M. Pelc, L. Chico. Interface States in Carbon Nanotube Junctions: Rolling up graphene // Phys. Rev. B. - 2009. - 80. - 035436.

[8] Wang, R. N., Zheng, X. H., Song, L. L. and Zeng, Z., Ab initio study on the electronic transport properties of carbon nanotube intramolecular junctions // Physica status solidi (a). 2011. - 208: 2803-2808. doi: 10.1002/pssa.201127314

[9] Wei, D. and Liu, Y., The Intramolecular Junctions of Carbon Nanotubes // Advanced Materials. 2008.- 20: 2815-2841. doi: 10.1002/adma.200800589

[10] Yagang Yao, Qingwen Li, Jin Zhang, Ran Liu, Liying Jiao, Yuntian T. Zhu, Zhongfan Liu. Temperaturemediated growth of single-walled carbon-nanotube intramolecular junctions // Nature Materials. - 2007. -6.- P. 283-286. Published online: 18 March 2007 doi:10.1038/nmat1865