Аппроксимация эволюционных задач с носителем на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.671

АППРОКСИМАЦИЯ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ЗАДАЧ С НОСИТЕЛЕМ НА ГРАФЕ

В.В. Провоторов, О.А. Махинова

В работе рассматриваются вопросы аппроксимации граничных задач для уравнений с распределенными параметрами на графе - основополагающем математическом объекте при моделировании процесса переноса тепла в сетеподобных конструкциях. При этом исследуется устойчивость полученных разностных схем, сходимость решений разностной задачи к решению исходной

Ключевые слова: граничные задачи на графе, аппроксимация

Работа посвящена основополагающим вопросам теории разностных схем для граничных задач на графе: аппроксимация граничной задачи конечно-разностной, устойчивость разностных схем, сходимость решений разностной задачи к решению граничной задачи. Особое внимание уделено построению алгоритма для вычисления границ неотрицательного спектра положительного оператора, являющегося конечномерным аналогом дифференциального оператора на графе, основанный на методе Л.А.Люстерника [1]. Т.к. различные классы графов требуют различной техники, мы ограничиваемся исследованиями граничных задач на деревьях.

1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР НА ГРАФЕ. В этом пункте для дифференциальных операторов, порождаемых дифференциальным

ё 2

выражением - —2 У + Ч(х)У на дереве, строятся и

ёх

изучаются им соответствующие разностные аналоги.

Рассмотрим компактное связное дерево 3 в Ят с ребрами единичной длины. Ребра графа обозначаются через уі, узлы — через % і (здесь і, і

номера, причем нумерация ребер предполагается независимой от нумерации узлов). Узел дерева называется граничным, если он принадлежит только одному ребру. Такое ребро также называется граничным, все остальные узлы и ребра называются внутренними. Множество граничных узлов обозначается 53, 3(3) - множество внутренних

узлов. Характерной особенностью графа-дерево является возможность выбора ориентации на нем так, что одно граничное ребро (ребро-выход) будет

и ГГ

ориентировано наружу , остальные граничные

ребра (ребра-входы) — внутрь дерева. При этом для любого узла % є 3(3) из всех ребер, примыкающих к %, одно ребро будет

ориентировано от узла % , остальные к узлу

% . Каждое ребро рассматривается как отрезок

[0,1] и параметризуется параметром х є [0,1].

Множество непрерывных на дереве 3 функций обозначается через С(3), С[3] -

множество кусочно-непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле % по разным ребрам могут быть различными, функции не приписывается никакого значения в узле), С2[3] -

множество функций, на каждом ребре два раза непрерывно дифференцируемых вплоть до границы (т.е. все производные до второго порядка включительно принадлежат С[3], в концевой точке

ребра применяется одностороннее

дифференцирование). Скалярная функция /(х) на

графе 3 - отображение /: 3^ Я, сужение

функции /(х) на ребро у обозначается через

/ (х V

Пусть «3 - множество функций

у(х) є С(3) I С2[3], удовлетворяющих

следующим условиям в произвольном узле

% є 3(3):

т%—1

Провоторов Вячеслав Васильевич - ВГУ, канд. физ.-мат.

наук, доцент, е-шай: wwprov@mail.ru

Махинова Ольга Алексеевна - ВГУ, магистр, е-шаД:

moa1002@mail.ru

(условие Кирхгофа) в силу выбранной

параметризации дерева 3, где т% - число ребер

£

у і , примыкающих к узлу %. Условия (1)

называются стандартными условиями [2]. В электрических сетях (1) выражают закон Кирхгофа; в сетях тепломассопереноса (1) выражают баланс тепломассопотоков, при колебании упругих сетей -баланс напряжений.

На функциях у(х) є «3, определим

дифференциальный оператор Л3 соотношением :

ё 2

Л3 у = ——2 У + Ч (х) У, (2) ёх

где д(х) є С(3). Областью определения оператора

Л3 является множество Ф3 (Ф3 С ¿2 (3)),

элементы у(х) которого удовлетворяют граничным условиям в узлах д єд3 ребер-входов у'(0) - кду(0) = 0, д є 53, (3) и граничному условию в граничном узле д ребра-выхода

у '(1) + Ну (1) = 0.(4)

Таким образом, оператор Л3 определен в пространстве ¿2(3).

ЛЕММА 1. Оператор Л3 симметричен в ¿2(3).

Доказательство леммы 1 основано на применении формулы Лагранжа к функциям из

области определения оператора Л3 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Лемма имеет место, если изменить граничные условия (3)-(4), описывающие множество Ф3, на условия Дирихле: у(а) = 0, д є 53.(5) здесь а - числовое значение параметра, соответствующее узлу д (а = 0 или а = 1). Условия (5) достаточно часто встречаются в прикладных задачах. Соответствующий оператор

обозначим через л33, а его область определения —

через ф3 . Будем считать, что тіп д (х) > 0, кд , Н

3

- положительные.

ЛЕММА 2. Операторы Л 33 и Л являются положительно определенными.

2. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ АНАЛОГ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ГРАФЕ. Здесь и далее мы будем придерживаться обозначений книги [4]. Обозначим через

{хк (к = 0, п)} множество точек х'к, принадлежащих ребру у1 с 3: каждой точке хк соответствует

число 1/ п , началу и концу ребра у соответствуют числовые значения 0 и 1 .

Пусть к = 1/п. Множество точек

{хк (к = 0, п)} , где і принадлежит множеству

индексов ребер у с 3, назовем сеткой дерева 3 и обозначим через 3к, величину к - шагом сетки 3к. Обозначим через 3к \ д3к множество точек

с~к

сетки 3 , не совпадающих с граничными узлами

кк дерева 3 , а через д3 - множество точек сетки 3 ,

совпадающих с граничными узлами дерева 3 .

к

Обозначим через «3 множество сеточных

Уук )%=( *)

т%%

, і = 1, т г -1,

т%—1 ( 2 і=1

ук)'%—(>"'%

\

п—1

( к) % ( к) % (6)

=(у А —(у А, ,(6)

для всех узлов % є 3(3). Соотношения (6) являются разностными аналогами условий, определяющих многообразие «3. Множество сеточных функций

ук є «3, удовлетворяющих соотношениям

к((у‘)д —(у" А) — кд(у")0 = °,д є (д3\д), ((у" А-(у‘1,)+Н (у К = ^

обозначим Ф3 (соотношения (7) являются

разностными аналогами (3),(4)). Множество Ф

0к

сеточных функций у соотношениями

к

■. «3 вводится аналогично

у у" )0 = 0,?є(д3 \ g), (у" )0 = 0,(8)

(соотношения (8) являются разностными аналогами

(5)).

Каждой функции у єФ (или у є Ф0) сопоставим сеточную функцию (у)к: значение

, Лк і с~к ґ і \ і і с~

(у) к в точке хк є 3 равно у( хк), хк є у с 3,

к = 0, п, индекс і пробегает множество всех

значений индексов ребер у1. Указанное

сопоставление является линейным оператором,

к 0 0к действующим из Ф в Ф (или из Ф в Ф ); этот

оператор назовем проектированием функции у на

сетку 3к (введенный оператор аналогичен оператору проектирования на отрезке [4]).

„ . 0к . к .0 Пусть Л3 , Л3 - проекции операторов Л3,

л с~к

Л3 на сетку 3 , соответственно, т.е. конечно-

0

разностные аналоги операторов Л3 , Л3 .

Введем разностные выражения

((у" А = к ((у" А —(у" А -),к = ^,

у "у" А = 1 ((у" А+, —(у" А) •к = ^ •

для произвольного ребра у графа 3.

Оператор Л3 на сеточных функциях ук є «3 имеет представление:

(Л* у" );%=> ‘V "у" ):%+(, п/)%

функций у , удовлетворяющих условиям:

12((у* Y -2(У*С) +

(qh )!'V )>

+

'к V 'к

здесь % - произвольный узел множества 3(3), (/ = 1,т%) - прилегающие к этому узлу ребра, дк

- сеточная функция на сетке 3к, соответствующая

к

функции ц(х). Областью определения Ф3

. 0к

оператора Л3 является множество сеточных

функций ук е , удовлетворяющих условиям (7).

Аналогично определяется оператор Л 3 с областью

0к

определения Ф3 , состоящей из удовлетворяющих

к к

условиям (8) сеточных функций у е .

3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРАНИЦ СПЕКТРА ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ МАТРИЦЫ. Эволюционные задачи с учетом начальных и граничных данных редуцируются к линейной алгебраической системе относительно компонент сеточных функций. К аналогичной системе сводятся и граничные задачи для уравнений гиперболического и эллиптического типов, а также интегральные уравнения на графе. Анализ вычислительных алгоритмов

соответствующих разностных схем существенно опирается на априорную информацию о границах спектров конечно-разностных аналогов

дифференциальных операторов, т.е. на изучение спектра соответствующих матриц. Ниже рассмотрим задачу отыскания минимального и максимального собственных чисел положительной к

матрицы А , возникающей при аппроксимации дифференциальных операторов на дереве. С этой целью воспользуемся методом Л.А.Люстерника [1] для матриц с положительными собственными числами.

Рассмотрим спектральную задачу на сеточных

к ^к

функциях У еФ

Ahyh = Лу* ,(10)

к

здесь А - матрица конечно-разностного аналога

к

оператора А с областью определения Ф , каковым

г \ 0" * к

может быть один из операторов Л3 или Л3 на Ф3" или Ф3. Представление матрицы Ак на

ребрах уі(і = 1,тр) звезды Гр с произвольным узлом р е J(3) имеет вид

A* =

Л

0 1 -2 1

0 0 0 0

V

-2100 1 -2 10

0 0 0 0

00

1 -2

0 0 0 ^

000

1 -2 1

-(q* ) E, (і = 1, т -1),

(A* )=- £

+ | q" I E, І і = 1, т - 1)

(1 -2 1 0

0 1 -2 1

V

0 0 0 0

0 0 ^ 0 0

1 -2

(q )

E

единичная

E,

(n -1) x (n -1) -матрица,

компоненты сеточной функции у к удовлетворяют соотношениям (6) и (7) (или(8)).

Спектральная задача (10) определяет полный

набор собственных векторов {и"} и набор

положительных собственных чисел {л" } .

Рассмотрим итерационный процесс

"(/+1) 1 .к к(1) "(0) к Р = — А р , р - g ,

а

ul

где а>1 =

р

h(l)

h

Ф

вектор.

. Тогда р*(l+!) = A

произвольный ненулевой

h (l)

h р

(11).

а

hh Пусть а(A ) > 0, ß(A ) > 0 - минимальное и

собственные

значения,

максимальное соответственно.

ТЕОРЕМА 1. Минимальное и максимальное собственные числа определяются формулами:

а( Ah )=ß( Ah )-ß( Bh ),(12)

где Bh = ß(Ah)E- Ah , ß(Ah) = lim L{1)'

l I IФ'

,0h

31

Доказательство. Вследствие базисности

системы собственных векторов } имеет место

к(0) к к к к разложение р = g = 2 , где gj = (g , иу-).

Учитывая рекуррентное

h (l-1)

h(l) = Ah Р_________= =

соотношение

р

а

l-1

где

h

h

1

Г/ а

а и*

получаем

А* )1 -1 Я*

0*

31

Ф

ііш

І

<Р

к (І)

Ф

0к

Ііш

ІіГО

(Ак )

Ф0к

^1

Так как,

к , •і“.! 1 =

лУ(0) = (а"/ / = (Ак)‘^ Я,

^(Яу) Я,“*, то при достаточно больших І

)

получаем асимптотическую формулу

(а* /V =[^(а*)

“И + о

( ' лЛ Ли-1 ят

Ж

где Ят = в(А ). Из последнего соотношения получаем

Ф,

*(І) р у ’ = (А* Іц* / (А* )І-1 Я*

ф0* ч. \ / фО* \ /

= в(А ) + О и, следовательно,

(А* )

в( А") = Ііш

І іто

= Ііш

Ііто

ф0*

^1

р

Первое соотношение в (12) доказано.

Далее рассмотрим матрицу 5* (очевидно, что

Т-,* . „ ч

В > 0) и спектральную задачу В у = Яу .

* *

Матрицы А и В имеют общий базис, как это следует из

В*“* = в(А*)Е“Ь -Ап* = (в(А*)-Я,)“*.

Аналогично предыдущему рассмотрим

итерационный процесс

* (І+1) /

/ = В —

* (І)

*(0)

/ = Я (13),

* (І)

где ®І = / в(В*)= Ііш Ір(І)

. В результате получим, что

ф0*

^1

ІІФ

0*' ’ 31

Из представления матрицы В и общности базиса матриц А и В следует соотношение

в(В*) = в(А) -а(А*), откуда «(в*) = в(А*)

*

-в(В ), второе соотношение (12) доказано.

ЗАМЕЧАНИЕ. Итерационные процессы (11) и (13) сходятся медленно. Для ускорения сходимости можно применять различные методы, наиболее употребительными из которых являются чебышовское ускорение или методы сдвига спектра

[4].

4. УСТОЙЧИВОСТЬ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ ГРАНИЧНУЮ

ЗАДАЧУ НА ГРАФЕ. Для эволюционной задачи

д

— р = Лр + /, (х, ґ) є Г х (0,Т), дт

р = 3, х єГ, ґ = 0,(14)

(здесь оператор Л - один из Л^, Л3), рассмотрим явную разностную схему вида 1+1 р

р -р л * ! г] 0 „ п -ч

----------+ Л р = у , р = 5,(15)

т

/ а * A0kAkч

(здесь оператор Л - один из Л3 , Л3).

Решение р1 ищется на сетке Б* х [0, Т]т , где

[0, Т]т = {ґ, : ґ] = ]т, т = Т /М,0 < ]т < Т(] = 0М)}.

Оператор Л* > 0 имеет полную систему собственных функций {“п} и множество

К} положительных собственных значений Яп > 0.

4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО НЕЙМОНУ. Рассмотрим разложения векторов р1 , /], 3 в обобщенные ряды Фурье:

р = 2 р}п“п, Iі = ^/П“п, 3 = 2 3п“п,

п п п

где рп = (р, “п^ її = (/] , “п ), 3п = (3, “п) -

коэффициенты Фурье.

В соответствии с определением устойчивости по Нейману [4] разностная схема называется устойчивой (счетно-устойчивой), если для каждого

коэффициента Фурье рп имеет место соотношение

< с1 зз+с'п і ¡п\,(16)

- постоянные, равномерно

где с1п

с

ограниченные при 0 <]т< Т0 = 0,М).

Подставляя полученные разложения в (15), приходим к следующим соотношениям для коэффициентов Фурье:

?П+1 =(1 -ТК )^П + Т/П ^ = 3п,

откуда

Из

рп = г13п +т^ гп 'ї'п 1, гп = 1 -тЯпп.(17) і=1

соотношений (17) следует

1

1

р< \гп\ 3 + Т \гЛ] і

= шах

і

і=1

получим

Л

і-1

заменив

Л

і-1

на

И | < кп|] 33 + ((1-|гпIі )/(ЧгпI)] Н/п I .(18)

Оценки (18) будут выполнены при

Ы < 1.(19)

Пусть спектр оператора Л * расположен в

интервале 0 < а (л* ) < Яп (л* ) < в (л* ), тогда,

учитывая (16), соотношения (19) выполняются при условии

т < Ув(л*).(20)

Получено достаточное условие устойчивости разностной схемы (15).

Замечание. Разностная схема (15) остается устойчивой и при

т = У в(л * ).(21)

получаем

Действительно, при т = 2^ в (л* ) тв (л * ) = 2, |гп| = 1 и соотношение (18) приводится

к виду:

3

+ ]т

Г

¿г,

і-1

.(22)

Т.к. ]т < Т , устойчивость по Нейману разностной схемы (15) сохраняется.

Для эволюционной задачи (14) рассмотрим неявную разностную схему +1 - р1

р р і л* 1 +1 _/•] 0 0 ,0,,ч

----------+ Л р = у , р =3, (23)

т

соответствующее рекуррентное соотношение относительно р^1 для (23) имеет вид: р+1 = © р + тЭ р ,(24)

где оператор

© * = (Е+тЛ*) . Получим

оценки,

аналогичные (18):

К | < Ы рп| + [(Чгп\3 )11-\гп|] ЦгпI |/пI ,(25)

где Гп = V С1 + Ып ) . Т.к. при любом значении т > 0, |гп | < 1, то устойчивость разностной схемы будет

абсолютной.

Для разностной схемы Кранка-Николсона

]+1 ] ]+1 ,

К -К+Л К +К Г] 0 а (26)

---------+ Л -= /^ ,к =5,(26)

2

ей соответствующего

рекуррентного соотношения

1+1 ¿-Л і , 1

р = © р + ГУ р ,

где

©* ^Е+тД/Л*) 1 (Е-(гД/Л* ),

У * = (Е+(т/ 2)Л* )-1; оценка для коэффициентов Фурье имеет вид:

/(1-1 Ч )] ф,

рп < Ы1 3 +И1-1 п

где

гп =(1 -т/2Яп]/(1 + т/2Яп] ,Ип = V(1 + т/2Яп].

Абсолютная устойчивость разностной схемы Кранка-Николсона (26) следует из |гп| < 1, |ип| < 1 при любых т > 0 .

4.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО НОРМЕ. Спектральный критерий устойчивости

(устойчивость по Нейману) вытекает из анализа спектра конечно-разностного аналога оператора исходной задачи, что не всегда возможно в силу свойств этого оператора. При этом устанавливается устойчивость решения по отношению к каждой гармонике ряда Фурье и иногда не дается никакой информации об устойчивости решения в энергетической норме, которая зачастую

оказывается

единственной

характеристикой

решения задачи. Например, для операторов Л3,

Л3 с областями определения Ф^, Ф3 в общем

случае невозможно установить знак собственных значений, но оценки норм их разностных аналогов

Л 0* А * тт

Л^ , Л^ доступны. Ниже рассматривается понятие

устойчивости, связанное с нормами операторов задачи.

Рассмотрим задачу (14) которая аппроксимируется в общем случае разностной задачей вида:

р+1 = ©р +тУ}1р], р0 = 3.(27) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разностная схема (27) устойчива по норме, если при любом параметре * , характеризующем разностную аппроксимационную схему, и 1 < Т / т имеет место соотношение

Л

ІІФ

< С Изо* + С2

где О*, Е^т - множества сеточных функций 3, /]. Постоянные С, С2 равномерно ограниченны при 0 < ґ < Т и не зависят от т, *,3, /.

ЛЕММА. Если разностная схема (27) устойчива по норме, то решение ее непрерывно зависит от исходных данных.

Определение устойчивости по норме в форме (28) связывает само решение с априорными сведениями об исходных данных задачи. Такое понимание устойчивости полезно в случае, когда отсутствует информация о спектральных характеристиках исходного оператора и его разностного аналога, как это имеет место для

0

операторов Л3, Л3. С этой точки зрения рассмотрим разностную схему (15), решение

т

которой имеет вид:

J+1 = e*j

p =ГЗ + ті: e' fi П.(29)

i=1

Оценив по норме решение (29), получим

llp ІІФ*т

e

e

||3Gh + т Z II llG i=1

І — т IHIg* + т~

e

f

i—1

F

*т к

Если предположить, что устойчивой

І —

eh

e

J

F

*т .

будет

p+1 p

< І (30), то схема (ІЗ) по норме:

Ф*т к II^Hg* + T

F

*т .

Аналогичным образом можно рассмотреть устойчивость схемы Кранка-Николсона (26) и неявной схемы (23), получим в предположении (3О)

p

j+l

Ф*т к Іг IIg* + T

Y

F

*т

(26) У * =( Е + (т/ 2)Л0* ) 1, для

схемы (15) У * = (е + тЛ0* ) .

Замечание. Отметим, что при исследовании на устойчивость разностных схем, аналогичных

(15),(26) и (23), где разностный оператор Л

где для схемы

h

0h

заменен на Л3 , естественно использовать понятие

устойчивости по норме ввиду отсутствия априорной информации о знакоопределенности собственных значений.

В заключение отметим, что при

аппроксимации эволюционной граничной задачи в

пространстве сеточных функций на 3* х [0, Т] определение устойчивости аналогично (28). Пусть разностная задача имеет вид

¿,тр}1т = /}1т (31) на (3* \ д3*) х [0, Т]т ,

І^р^ = 33 (32) на д3* х [0, Т]т ,

где

V phTJk+1—phTJk

(Ер*)1 ' 'к т

+Л^р^], к = 1, п -1,1 = 0, М -1,

и І р - конечно-разностный аналог оператора, описывающего граничные условия исходной задачи на д3х [0, Т ].

Устойчивость разностной схемы (31),(32) определяется в форме

*т

p

h к Cl

*т

G

*т

+ Co

f

*т

F

*т

,(33)

где с1 , с2 - постоянные, не зависящие от

*, т, /Т 3/гг на [0, Т].

Если исходная задача аппроксимируется так, что разностный аналог (32) граничных условий учтен в разностной схеме (31), устойчивость такой

схемы удобно определять в форме

*т

p

где C - постоянная.

фт

к C

f

*т

F

*т

5. СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИИ РАЗНОСТНОЙ ЗАДАЧИ. Введем понятие сходимости решений разностной схемы к решению исходной задачи. Исследование сходимости решения разностной схемы к решению исходной задачи как для стационарных, так и эволюционных задач осуществляется на основе одних и тех же принципов. это позволяет проследить основную идею анализа на примере стационарной задачи Лр = /К е ^(34) на 3\53,

1р = 5(35) на 53, которая аппроксимируется следующей разностной схемой:

Л= /И (36) на 3И \ 53И,

/ИрИ = 5И (37) на 53й .

И

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решение р разностной задачи (36),(37) сходится к решению К исходной задачи

(34),(35), если

lim

hi0

(p -

p

= 0,(3S)

причем имеет место следующая оценка сходимости:

'* * к Mh* ,(39)

(p) —

p

Ф

h

здесь є - порядок сходимости, М - фиксированная постоянная.

Имеет место утверждение, являющееся следствием теоремы А.Ф.Филлипова [5] для задач с носителем на одномерных компактах либо их декартовых произведениях.

ТЕОРЕМА. Пусть 1) разностная схема (36),(37) аппроксимирует задачу (34),(35) на решении р с * *

порядком 5; 2) Л , І - линейные операторы; 3) разностная схема (36),(37) устойчива по норме.

Тогда решение разностной задачи решению p задачи (34),(3З).

h

p сходится к

Доказательство. Пусть И - минимальное из И , введенных в представлении аппроксимационной формулы (9) и определении устойчивости (28). В силу устойчивости для любых правых частей

h

h

и при

h

h < h существует

/" є , 3" є О

единственное решение р разностной задачи

Ґ \* * *

(36),(37). Рассмотрим разность (р) - р =/ . В

*

силу линейности оператора Л получаем:

Л k ((р/ -/ ] = Лк (р -Л у = Лк (р/ - г” ,(40)

аналогично

І* ((р/-р*) = І* (рр - І*рЬ = І* (р/ - 33.(41)

Ф

Из

. h h . h t \h ,h h ,h ґ \h n Л y = Л (p) - f , l y = l ((p ) - 3

h i \h rh 7h h 7h ґ \h

в силу устойчивости и аппроксимации вытекает

h

У

ф

(p) -

h h P

ф

h * C1

+C2

Лh (p)h - /

lh (p)h -3h < C1M1hS1 + C2M2 h2 < Mhs

F

где s , S2 - степени аппроксимации схемы (36),(37),

є = min{s1, S2>, C1, C2, C

фиксированные

постоянные.

СЛЕДСТВИЕ. В случае эволюционной задачи рассмотрим разностную схему (31),(32) и пусть / \Ит Ит Ит гг,

(р) - р = у . Тогда

Thr ht Thr

L y = L

jhr ht jhr

l y = l

hT-phT\ =

hT-phT) = LhT(pf- f ht \hr

ht

) = lhT (p) T -3hT.(42)

Из (42) и условия устойчивости (33) получаем

ht

y

Ф

ht

hr| ^ ^

p LhT < C1

LhT(pf- f

hr

F

hr

+C2

lhT(p)hT-3

ihr

или, учитывая неравенства аппроксимации

:C1 (h + N1rp ) +

hp

\\p IU<'

+C2 IM2hs + N2rp ) = )hs + K2rp,

где K1 = C1M1 + C2 M2 , K2 = C1N1 + C2 N2 .

Оценка

hr

p

hr < K1h + K2p

h

показывает

сходимость разностного решения р к точному р и дает представление о сходимости как по отношению к шагу И по пространственной

сИ

переменной сетки З , так и по отношению к шагу т временной переменной сетки [0, Т]т.

Литература

1. Люстерник Л.А. О разностной

аппроксимации операторов Лапласа УМН. 1954. Т.9, №2. С. 45-63.

2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.

3. Провоторов В.В. Собственные функции краевых задач на графах и приложения. Воронеж: Научная книга, 2008, - 247с.

4. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977, - 455 с.

5. Филлипов А.Ф. Об устойчивости

разностных уравнений. Доклады РАН. 1955. Т.100, № 6. С.81-87.

Воронежский государственный университет THE APPROXIMATION OF THE EVOLUTIONARY PROBLEMS ON THE GRAPH V.V. Provotorov, O.A. Makhinova

The questions of approximation of the boundary problems for equations with distributed parameters are considered on the graph. The graph is a basic mathematical object, wich is used for modeling the heat-conduction processes in constructions with net. Stability of this difference scheme and convergence decisions of the difference problem to the decision of the boundary problem are investigated

Key words: boundary problems on the graph, approximation