CC BY
42
УДК 519.671
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ НА ГРАФЕ
В.В. Провоторов
Рассматриваются вопросы аппроксимации граничных задач на графе-дереве, устанавливается порядок аппроксимации
Ключевые слова: аппроксимация, разностная схема, устойчивость, граничные задачи на графе
Пусть оператор Л определен дифференциальным выражением
Л^ = —ТГ Я>+Ч( Ф, (1)
Тх (1)
х е (Г \ дГ) \J(Г), на множестве Я функций
р( х) е С (Г) п С 2[Г], удовлетворяющих
следующим условиям в произвольном узле множества J (Г) внутренних узлов графа:
Z y'(adY = уИЪ ’
(2)
i=1
где т; — число ребер у; , примыкающих к узлу
; , а,; — фиксированное число, соответствующее
узлу ; в силу выбранной параметризации дерева Г (общепринятые обозначения на графе см. в монографии [1]); вещественная функция q(х) є С[Г] (q(х) > 0) . Областью определения Ф оператора Л является множество функций р(х) є Я и удовлетворяющих граничным
условиям
ср(Ъ;) = о,; є 5Г, (3)
число Ъ; соответствует узлу ; в силу выбранной
параметризации на 3.
Рассмотрим некоторую задачу в операторной форме
Лр = /, р єФ, (4)
где / є Е , Ф и ^ — подпространства Ь (Г).
Наряду с задачей (4) рассмотрим задачу в конечномерном пространстве сеточных функций р"
(5)
где Л к , — линейный оператор, зависящий от
шага сетки к, е , а Фк и —
пространства сеточных функций,
соответствующие пространствам ФГ и Е (здесь использованы обозначения книги [2]). Введем в сеточных пространствах Фк и нормы ||. ||фЛ
Провоторов Вячеслав Васильевич - ВГУ, канд. физ.-мат. наук, тел. (4732) 75-54-05, E-mail: [email protected]
и || .||Е*. Пусть (•)" — линейный оператор,
который элементу р єФ ставит в соответствие элемент (р)" є Ф" так, что
Нш||(р)" ||Ф„ =||р||Ф . (6)
"^0 " "Фз Г"Ф3
Определение. Задача (5) аппроксимирует задачу (4) с порядком 5 относительно шага " на решениях р є Ф, если существуют
положительные постоянные И, М такие, что
для всех И < И имеют место неравенства
|| ЛИ(р)И — /И ||<МИ0, (7)
иными словами, оператор ЛИ аппроксимирует оператор Л на решениях р задачи (4), если выполняется соотношение (7). В случае, когда решение р задачи (4) обладает достаточной гладкостью, порядок аппроксимации удобно
находить с помощью нормы, естественной для пространства непрерывных и дифференцируемых функций.
Введем разностные выражения
(V "у )•, =!« уи )к—( уи %—,),
h
1
(А "у" )к = " ((у" )к+, — (у" )к),
для сеточной функции у" .
Рассмотрим аппроксимации оператора Л на простейшем графе, цепочке из Ь звезд и произвольном дереве, а также аппроксимации эволюционных уравнений, порождаемых оператором Л.
1. Обозначим через Г0 простейший граф и
рассмотрим
множество
Rr
функций
у (х) є С (Г 0) Пі С2 [Г 0 ], первая производная
которых в каждом узле ;, (і = 1, М — 1) удовлетворяет условиям:
у ('Mi,
і = 1, М — 1.
Пусть далее Л = ЛГ р є ФГ — решение задачи
ф = фг
(8) и пусть
Шь-1
лг0^ = f, f є FTn.
(9)
Обозначим через R-T* множество функций yh
удовлетворяющих условиям ' = 1, M — 1:
(yh )П = (yh С
h «yh )Г1 — (yh О— h
—|((y‘ )П — (yh )П—1) = a( yh С h
аппроксимирующим условия (8). Оператор л
0 h
имеет представление (к = к, и — 1, ] = 1, М)
(Л Го ук )к =—(Ак V кук )к + (дк )к (ук )к =
= —"-(( У" )к+1 — 2( Ук )к +
+(Ук )к—1) + (чк )к (Ук )к),
областью определения ФГо этого оператора является множество сеточных функций ук е , обращающихся в нуль на границе дФГо сетки ФГ , т.е. функции ук удовлетворяют условиям
(у )0=(уг = о,
аппроксимирующие граничные условия (3).
Разлагая решение (р(х) по формуле Тейлора
окрестности
точек
(к = 1, п — 1, і = 1, М) и предполагая
ограниченность производных до четвертого порядка включительно в точках
х є (Г0 \ дГ0) \ 3(Г0), получаем і = 1,М :
р(х)п = ^ р(")(хк)п (х — хкУ + (10)
У=1
+4р(4)( хк+&К)п(х—хк)4>
где хє [хк—1,хк+1]є^, |#Ч< 1 (І = 1,М).
Аналогичное разложение будем иметь и для функции /(х) є ЕГ0 .
Введем в качестве нормы в пространстве
величину
ch
ll f !L = , ma^_|Cfh)k |.
FT0 k=1, n—1, j=1,M
(11)
В качестве (ф)к возьмем вектор, компонентами которого являются значения функции ф в
соответствующих
точках
сетки
г
принадлежащий множеству . Тогда,
используя разложения функций <р(х) и /(х) по формуле Тейлора вида (1о), получим
!|ЛГ0 (V — f |L <Mh,
(12)
где M = -¡7 max | f( J(x) |.
12 (Г0\ЭГ0)\./(Го)
Аппроксимация условий (8) имеет погрешность порядка 1 относительно h, если предположить ограниченность производных до второго порядка включительно в
полуокрестностях концевых точек xk, xk+1 ребер
, / = 1, М — 1. Аппроксимация граничных условий (3) является точной.
2. Пусть Г = ГЬ — цепочка из Ь звезд.
Обозначим через ЯГ множество функций у (х) е С (ГЬ ) п С2 [ГЬ ], удовлетворяющих
условиям в узлах (] = 1, Ь) вида: т1 —'1 ~-
I у(2*,; = у(2),;'
в узле £ ,
(13)
у' а ^ +Е у,(І :2) у) = (14)
2 ■4—1 г-=1 2 Л
= у'(І (І =1Ь),
2
в узлах ; (І = 2,Ь).
Пусть Л = ЛГь , Ф = ФГь и пусть
р єФГь — решение задачи
ЛГьр = /, / є Егь • (15)
Множество КГ сеточных функций ук
определяется соотношениями, являющимися конечно-разностными аналогами условий
(13),(14):
mj —1
(/ у; = (y Г,' = 1, m — 1,
mj —1
Z ((yh)"— (yh )'n'—1) =
'=1
= ( уй Г — ( уй D
(yh)';=(yh )0mj;,
i = 1, m} — 1, j = 2, L,
(yh )mj—1 j—1—(yh )jj—1+
г
в
mj -1
+I ((yh У,! - (yh j =
i=1
=(yh r - (yh )mjj,
i = 1, m} -1, j = 2, L.
Оператор Л^ на сеточных функциях yh G RL имеет представление (k = 1, n -1, i = 1, m} -1, j = ):
(Л^у? )kj =-(A hV hyh )kj +
+q )k (yh)k =
= -h-(( yh )k+1 -2( yh )kj + (yh j + h
+(qh )kj (yh )kj),
здесь mj - число ребер в j -й звезде цепочки
ГL (j = 1, L); областью определения Ф^ этого оператора является множество сеточных функций yh G Rj , удовлетворяющих условиям
(yhj=_о, (yh)mLL=о,
(i =1, mj-1,j=1, L)
аппроксимирующие граничные условия (3).
Предположим, что решение р уравнения (15) имеет ограниченные производные вплоть до четвертого порядка в точках
x G (Г L \ дГ L ) \ / (Г L ) . В силу разложений функций р(х) и f (x) по формуле Тейлора в окрестности точек x’kJ G у.
(k = 1, n -1, i = 1, mj, j = 1, L ), аналогичных (10), получим
\\лГх (p)h - fh\\Ph <Mh, (16)
L FrL
где M = 12 max | f (4)(x) |, норма в
(ГL\дГ£ )\/(ГL )
пространстве Fj определена соотношением
\\ fh \Fj = _ma_L l(fh )kj|. (17)
L k=1,n-1,i=1,mj, j=1,L
Аппроксимация условий (13),(14) имеет погрешность порядка 1 относительно h , если предположить ограниченность производных до второго порядка включительно в
полуокрестностях точек xlJ G у! (i = 1, mj ) ,
x0j] G у 1rn при j = 1, L . Аппроксимация граничных условий (3) является точной.
3. Пусть, далее, Г - дерево, Л = ЛГ,
Ф = ФГ и р G ФГ - решение задачи
ЛгР = f ,f G F- (18)
Множество Rj сеточных функций yh со
h
значениями на сетке Г определим соотношениями, являющимися разностными
аналогами условий (2):
(yh)П' = (yh)m" i=ШТ-Г,
m^-1
I ((yh )'- (yh =
i =1
=(yh x"'- (yh
для всех узлов ' G /(Г). Оператор ЛГ на сеточных функциях yh G Rj имеет представление (k = 1, n -1, i = 1, m' -1):
(лг yh у: =
= - hr« у? Ж, - 2( yh )k' +
+(yh &)+(qh УН yh №)•
= -(AhVhyh )" + (qh )" (yh у =
здесь ' - произвольный узел множества /(Г), qh - сеточная функция на сетке Гй, соответствующая функции q(x) G С[Г].
Аналогично предыдущему, при условии существования ограниченных производных решения р уравнения (18) до четвертого порядка
включительно в точках x G (Г \ дГ) \ /(Г), получаем оценку
\\лГ?(р)? - fh \\Frh <ми2, (19)
где M = -1- max | f (4)(x) |; норма в
12 (Г\ЗГ)\/(Г)
пространстве Fjh определена соотношением
\\fh\\Fr = k1mx Г1 Cf)hЧ (20)
Г k=1,n-1,V/cr
здесь (f )h Y- сужение сеточной функции fh на сетку ребра у дерева Г .
Аппроксимация условий (2) имеет погрешность порядка 1 относительно h , если предположить ограниченность производных до второго порядка включительно в полуокрестностях точек, соответствующих узлам ' G /(Г), аппроксимация
(yh )0 = о, (yh )П = 0,
где Z G дГ, граничных условий (3) является точной.
4. Далее рассмотрим аппроксимации эволюционных уравнений на произвольном дереве Г .
Пусть R(t) - линейное многообразие функций р(x, t), для каждого фиксированного
г е [О, Т] принадлежащих множеству Г, каковым может быть одно из рассмотренных выше множеств ЯГ , ЯГ , ЯГ. Рассмотрим
задачу др
ді
+ Лр =/,
(21)
х, і є ((Г \ дГ) \ 3(Г)) х (0, Т],
р = О, х є Г \ дГ, і = 0,
на функциях р(х, і) єФ, где Ф — множество
функций р є К (і) , удовлетворяющих условию
р = g, х, і єдГх [0, Т]; (22)
О є G , оператор Л — один из рассмотренных
выше операторов ЛГ0, ЛГь , ЛГ .
Будем считать, что задача (21) имеет единственное решение р и это решение
непрерывно в Г х [0, Т], производные
V (у = 12)’ (^ = 12,3,4) непрерывны в
((Г \ дГ) \ 3(Г)) х (0, Т) . Аппроксимацию задачи (21) проведем в два этапа. Сначала эту задачу аппроксимируем в области Г" х [0, Т] по пространственному переменному. В результате приходим к дифференциальному уравнению по времени и разностному по пространственному переменному. В полученной дифференциальноразностной задаче легко исключить значения
решения в граничных точках области Г" х [0, Т ] в соответствии с разностным аналогом условий (22). Приходим к задаче вида
р + Л"р" = /", йі (23)
р" =О",
где р",/к — сеточные функции времени і; конечно-разностный оператор Л" может быть одним из операторов ЛГ0, ЛГь , ЛГ .
Рассмотрим явную разностную схему с погрешностью порядка О(т + " ) (5 — порядок
аппроксимации оператора
"
Л
оператором Л ):
р"т] +1 — р"т]
р-------р— + Л"р"т = /"т,
разностным
(24)
(ркт0 =вк,
где /кТ1— компоненты проекции функции
/кт} на сетку = ]т (] = 0,М), т = МмЬ
можно принять /кт] = /к (г.). Далее мы
опускаем индексы к и т у сеточных функций, предполагая, что мы имеем дело с разностным аналогом по пространственной и временной
переменной исходной задачи (21). Разностную схему (24) можно записать в виде
П"тр = ф,
где
(25)
(П"тр)к =
+ Л"рк
к = 1, п — 1, І = 0, М — 1, р°, к = 0, п,
/к, к = 1, п — 1, І = 0,М — 1,
О, к = 0,п.
Представление разностной схемы (25) удобно для построения алгоритма решения исходной задачи, представление (24) удобно для дальнейшего исследования.
Разрешая схему (24) относительно
компоненты р.1 (к = 1, и — 1), приходим к
рекуррентному соотношению:
ф+1 = + тф, (26)
где оператор 0к = Е — тЛк. Рекуррентное соотношение (26) назовем канонической формой разностной схемы (25).
Если в задаче (21) в качестве оператора Л взят один из операторов ЛГо, ЛГь , ЛГ (п. 4.1.1), тогда разностная схема (24) содержит один из конечно-разностных операторов ЛГо, ЛГь , ЛГ,
определенных на сеточных функциях р е Як
сетки О х {г.: г. = .т (. = о, М)} (здесь
линейное многообразие Я — одно из множеств
тук тук тук С1к -г^к
КГо, КТь , Кг , сетка о — одна из сеток 1 о,
гЬ , Гк).
Замечание 1. Большое применение в приложениях имеет схема Кранка-Николсона:
Р+1 — Р + дк Р +Р =
т
(27)
где = / (г.+1/2). Схему (27) можно
представить в каноническом виде, аналогичном (26):
Р+1 =вкр+тГ кр,
где
0" = (Е + т Л" )—1( Е — т Л"):
Ї" = (Е + -Т Л" )'. Схема (26) имеет
Т
Т
погрешность аппроксимации О(т2 + к11), где 5 — погрешность аппроксимации оператора Л.
На сеточных функциях множества Гк погрешность аппроксимации оператора Л равна
1, поэтому 1 = 1.
Замечание 2. Эволюционная задача (21),(22) с учетом граничных условий и начальных данных редуцируется к линейной алгебраической системе
(25) относительно компонент сеточной функции кт
р . К аналогичной системе сводятся граничные задачи для уравнений гиперболического и эллиптического типов, а также интегральные уравнения на графе.
Замечание 3. Переход к двум пространственным переменным x, y gT х Г
оставляет без изменений вышеприведенные утверждения с соотношениями для переменной x , дополняя их такими же соотношениями для
У.
Замечание 4. Полученные результаты переносятся на случай более сложных граничных условий (3), (22), например, условий третьего рода.
Литература
1.Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. - М.: Физматлит, 2004. - 272 с.
2.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. - М.: Наука, 1977. - 455 с.
Воронежский государственный университет
DIFFERENCE SCHEMES OF BOUNDARY PROBLEMS ON THE GRAPH
V.V. Provotorov
Questions of approximation of boundary problems on the graph-tree are considered, the approximation order is established
Keywords : аpproximation, stability difference schemes, boundary problems on the graph
