Конечная проблема моментов для краевых задач на графе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927

КОНЕЧНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ГРАФЕ

© О.А. Махинова

Ключевые слова: оператор Лапласа на графе-звезде; разностные схемы; граничное управление. В работе рассматривается ряд простых и вместе с тем типичных задач математической физики в приложении к распределенным системам на геометрическом графе. На некоторых моделях проиллюстрированы подходы к численному решению задач, в основе которых лежит базирующийся на анализе Фурье метод моментов.

В настоящей работе рассматривается возможность сведения при численном анализе задачи управления, задаваемой на графе дифференциальным уравнением второго порядка, к известной в математической литературе конечной проблеме моментов [1]. Основополагающая роль отводится конечномерному аналогу одномерного оператора Лапласа на сетке графа и его спектральным свойствам - положительность собственных чисел, спектральная полнота системы собственных векторов. При этом установлена устойчивость и сходимость соответствующих разностных схем.

1. Одномерный оператора Лапласа на графе. Пусть задан граф-звезда Г с ребрами у (к = 1, т) , примыкающими ко внутреннему узлу д (здесь и далее используются термины и обозначения монографии [2]). Ребра у (к = 1, т — 1) ориентированы «к узлу д»,

ребро ут - «от узла д »; каждое из ребер у (к = 1, т)

параметризуется отрезком

л

ребро у - отрез-

л 2'

л

(к = 1, т) - граничные узлы графа Г .

Обозначим через С(Г) - множество непрерывных на Г функций, С[Г] - множество кусочно непрерывных функций (непрерывность на ребрах, пределы в узле по разным ребрам могут быть различными, функции не приписывается никакого значения в узле), С2[Г] - множество функций, все производные которых до второго порядка включительно принадлежат С[Г]. Сужение функции р(х) на какое-либо ребро

ук будем обозначать р(х)у .

Пусть Ш - множество функций р(х) = С(Г) П П С2[Г], удовлетворяющих соотношениям:

1 йрх)

к=1

йх

йрх)

йх

= 0.

На функциях р(х) еШ рассмотрим дифференциальный оператор А, порожденный дифференциальным 1264

выражением (Ар)(х) = —

й 2р х) . Областью опреде-й2 х.

ления оператора А является множество функций р(х) еШ, удовлетворяющих условиям:

р(0)у= 0,(к = 1, т—1),р(л)Гя? = 0

в граничных узлах ^ (к = 1, т) ; оператор А действует в пространстве Х2(Г).

Лемма 1. Для функций р(х), ¡у(х) е Оа справедливо тождество:

| (Ар)(х)^(х)йх = | рх)(А\у)(х)йх.

Г Г

Лемма 2. Для функций рх), ¡у(х) еШ справедливо тождество:

р(х) Vх)йх = % р'(0)г^(0\ —

- рлх у{л)7 рх! V*- йх.

^ УтТ ут Г йх йх

Замечание. Из леммы 1 следует симметричность, из леммы 2 - положительная определенность оператора А.

Теорема 1 [3]. Собственные значения и собственные функции оператора А вещественны. Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны в Х2(Г).

Нетрудно показать, что собственные значения оператора А образуют множество чисел {Лп}™,\= П2 .

Структура множества собственных функций, их представление определяется кратностью собственных значений [3]: при п нечетном Хп простое, при п четном -

кратное, кратность его равна т — 1. Собственные функции имеют следующий вид (/ = 1,2,...):

Г

при п = 21 -1

(Ри-1 (х) = -/7= 51П(2/ -1) х, х е/, к = 1, т; (1) при п = 21

р (х) = -

]тя

— вт 21х, х е/,

0, х е/к, к = 2, т-1,

^ вт2^ х е /т,

Р27; (х) =

(7=2, т-2)

2

т ( 1

Т+11^77

21х, х е/], 0, х е/, к = 7 + 1, т-1,

вт 21х, х е/т

рт ~Чх)=-

т 1

7+177

- * ап 2/х, х е/ „ л/т-1

Vт-1 вт 2/х, х е /т-1, 1 в1п2/х, х е/т.

у/т-1

Обозначим через Шк множество сеточных функций р, удовлетворяющих соотношениям

(Р^рт-Д = 1, т-1,

| ((р/к -(РСр-!^-((Рл«)/, -= 0(А2).

(3 )

Заметим, что соотношения (3) являются аппроксимацией соотношений, описывающих множество Ш. На функциях р из Шк рассмотрим оператор Лк, задаваемый следующими соотношениями:

2(Р)/к -Рк

7,-1, (2) Лкр =< к2 , -р-,)кк + 2(р )кк - -(р+1)кк

1 к2

на ребрах / (к = 1, т -1) и

Г-(р-1 )кт + 2(р)/т - "(р<-+1)кт

1, т - 2, II к2 -(р2Л-2)кт + 2ре - ) 1' /т

к2 '

,/ = 2, N-1,

г = N +1,2 N - 2,

Упорядочим собственные значения {+}" по возрастанию Д < Д,..., причем собственное значение

входит в цепочку неравенств столько раз, какова его кратность. Каждому собственному значению цепочки соответствует своя собственная функция (1) или одна из (2). Такое множество функций обозначим {рп (х)}™, оно является ортонормальной системой

собственных функций оператора Л .

Теорема 2 [3]. Теорема собственных функций {рп(х)}™ полна и образует ортогональный базис в

1} (Г).

2. Конечно-разностный аналог оператора Лапласа на графе. Пусть для каждого к = 1, т -1 - сетка ребра /к , т. е. множество точек х, е /к (г = 0, Л) таких, что х. = гк, где к = 2 , и пусть - сетка

2 N

ребра Гт = {хе+г е/т, хе+, = 2 + г = 0,Л}. Через Гк обозначим сетку графа Г:

Гк = ( / . Функцию р, определенную на сетке

к=1

Гк , в дальнейшем будем называть сеточной функцией, значение функции р в узле х,- е (обозначается

(р)к ) равно значению р(хi)

на ребре / . Областью определения оператора Лк является множество ^ сеточных функций р еШк

удовлетворяющих условиям

(р0)/ = 0,(к = 1, т-1), (р е)/ = 0.

(4)

'Гк

/к

Ясно, что соотношения (4) - точная аппроксимация условий, описывающих область определения оператора Л .

Замечание. Оператор Лк наследует свойства симметричности и положительной определенности оператора Л [4]. Отметим также, что краевые задачи, порожденные оператором Л , аппроксимируются с погрешностью к2 алгебраическими системами.

Собственными векторами оператора Л являются т(Л -1) +1 сеточные функции ррк - проекции на

сетку Гк первых т(Л -1) +1 собственных функций ря (х) оператора Л . Нетрудно установить, что собственные числа рп оператора Лк имеют вид

п = Аст2 пк , п = 1,2Л-1. При этом, если п нерп = 1 мп 2

четное, собственное число простое, если п четное, оно имеет кратность т -1, собственные векторы определяются следующими соотношениями (см. (1),(2)): при п = 2/-1

2

1 лл

при п = 21

8т(2/ — 1)/Ъ, гк еуУ, к = 1, т;

(5)

8гп 2Ик, ¡к е уЪ,

-—г —г= вгп2//А, ¡к еуЪ, к = 1, /—1,

(6)

(здесь всюду / - произвольный фиксированный индекс: / = 0,2N). Расположив собственные числа рп

последовательно в конечную цепочку с учетом кратности (каждое собственное число входит в цепочку столько раз, какова его кратность), соответственно этому перенумеруем собственные векторы (5) и (6),

( ~к>™(N—10+1

получив конечную последовательность | .

Такое множество векторов является ортонормальной системой собственных векторов оператора АЪ .

Замечание. Имеет место конечномерный аналог

теоремы 2: собственные векторы ррИ™ 1)1 оператора АЪ образуют базис в евклидовом пространстве размерностью т(Ы — 1) +1. Оператор АЪ при любом И > 0 является оператором ограниченным, т.е. редукция дифференциального оператора к конечно-разностному «улучшила» свойства оператора.

3. Разностные схемы для эволюционных и динамических уравнений. Обозначим через ы(х,г) распределение температур для (х,г) еГх[0,Т], где Т > 0 - фиксированное число. Процесс распространения тепла на графе Г при г е (0, Т) описывается соотношениями

ды(х, г) _ д2ы(х, г)

дг

ы( х, г)

тг1 ды(х, г)

¿=1 йх

дх2

= ы(х, г) л (к = 1, т—1),

х=л,е7т

ды( х, г)

йх

=0,

(7)

называемые уравнением распространения тепла на графе Г. Краевую задачу получаем присоединением начального

ы(х, 0) = в(х), х е Г

и граничных условий (г е [0, Т])

(9)

ы(0, гу =Мк (г)(к = 1, т—1), ы(л, г у = у(г). (10)

Обозначим через К (Г) объединение ребер графа Г,

не содержащих концевых точек: Ц = Г \(дГ Ы{д}) .

Областью задания переменных уравнений (7) будем считать цилиндр Ц = ^(Г)х(0,Т) , соотношения (8)

задаются на множестве J(Ц) = {д}х[0,Т]. Решением краевой задачи (7)-(10) является функция ы(х,г) класса С2 (Ц) П С(Гх [0, Т]) , удовлетворяющая уравнению (7) в Ц, соотношениям (8) в J(Ц), начальным условиям (9) при г = 0, х е Г и граничным условиям (10) при х едГ, г е[0,Т].

Для функций (г)(к = 1, т — 1) ,у(г) выполнены условия согласованности:

р(0)у = ^к (0)(к = 1, т —1),р(л)ут = у'(0), ^0),, =К (0)(к = i),V(л)уm = у(0),

при этом необходимо должны выполняться условия гладкости в(х) е С2[Г] и /лк(г)(к = 1,т—1),у(г) е

еС 2[0,Т ].

В соответствии с разделом 2 построим дифференциально-разностную граничную задачу для вектор-функций ы(г)к еШЪ с компонентами (щ(г))к =

= ы(х, г), х еГЪ (через (ы.(г))Ъг , как и выше, обозначается сужение вектор-функции ы(г)к на сетку у^

ребра ук):

й ы (г))Ък — (ы,—1(г))Ъ + 2(ы, (г))Ъ — (ы,+1(г ))■

ук

'ук _

йг

к2

= 0,

к = 1, т—1, / = 1, N — 1,

й(ыШ , — (ы—1 + 2(ы, (г))* — (ы+

йг

-+

к2

- = 0,

/ = N+ 1^—1, ы(0)к =вк,

(11)

ы (0)Ъ = (г)(к = 1, т—1), (П^ (г))кт = у (г),

здесь ы(г)к еШк при г е[0,Т]. Учитывая условия в граничных узлах, приходим к системе вида:

к

d(uMhrk 2(иМ\к -_ Мк (t)

dt

2 ''

, к = 1, m-1,

d(щЩк -Uil + 2(U(0)h, ~(mi+m

dt

+ -

=

h2

■ = 0,

к = 1, m-1,i = 2, N-1,

d (U, (t))hm . -(U,-1(t))hm +2U.(t))hm-(U,+1(t))h

dt

h2

■ = 0,

■ = N+1,2N -1,

- (U2N-2(t))hhm + 2(U2N-1 (Ot _ V(t)

U(0)h =Qh,

+

h2

h2 ' (12)

Отметим, что дифференциально-разностные задачи (11) и (12) эквивалентны. Задача (12) в операторной форме для и(г)к еШк принимает вид

где

1 1 m-1 N-1

Щ = ^[Ujж] = ±- Z Z(U)rk)n rt-

к=1 i=1

1 2N-1

+ ^Z(U/)rm (Й )« rm

шп ■=N+1

m(N-1)+1 1

/j = Z ЩФп, 1 =-^[f] ,Фп ] =

n=1

(16)

1 m-1 1

= !NF к (^n Г +1ф V (^n rm ,

m( N-1)+1 1

d= Z ©П(Рп, ®n = тН0,Й, ],

n=1 ^n

(^ )пГ - компоненты вект°ра Фп , ^ = \Фп ,Фп ] .

г п Гк

Подставляя представления (15), (16) в (14) и умножая каждое из равенств на (рр )п , после суммирования от 1

до т(Л -1)+1 получим систему рекуррентных соотношений для определения коэффициентов изп в разложении (15):

dU(t )h dt

U(0)h =eh где

+ AhU(t)h = / (t )h

(13)

/(t X =

Hk (t),

■=1

h2

0,i = 2, N -1,

' (k = 1, m-1)'

/(t)L =

0, ■ = N + 1,2N - 2,

КО

h2

^ ■ = 2N-1.

Для простоты дальнейшей записи откажемся от индексов к , указывая лишь узел соответствующей сеточной функции с помощью индексов г, 7. Интегрируя

каждое дифференциальное уравнение в (13) по времени

на интервале [г ,t +] (г = 7Т,Т= Т, 1 = 0,7) и

777 7

заменяя интеграл значением подынтегральной функции в точке г , приходим к явной разностной схеме для

задачи (13):

u 0 = 0.

- = (AhUh )j + /j, j = 0, J -1,

(14)

В соответствии с замечанием для собственных векторов (« 1 )+1, решение задачи (14) может быть

записано в виде ряда Фурье

m( N-1)+1

U = Z Щфп

n=1

Uj+1 = (1-j> Uj , j = 1,J-1

(17)

U0 = 0

n n

(pn - собственные числа оператора Ah).

Последовательным исключением неизвестных Uj (j = 1, J -1) в (17) получаем

Uj = rj0 +TYrj-1F1-1,r = 1-rp . (18)

n n n i—in n ' n rn

1=1

Из равенства (18) следует (j > 0)

\щ\< \rn\0ni+*2у »VF -1|.

Усилим последнее неравенство, заменив \Fln | (1 = 1, J -1) на |Fn | = max |F11, получим

i I |j 1 - r

lUj| <|rn|j \®n\ + j1-r\\Fn|.

..... 1 - r

Разностная схема (14) будет устойчивой (счетно-устойчивой или устойчивой по Нейману) [5], если

■ 1 I К

< 1. В этом случае выражения |гя|7 , т ~|гп| бу-

1 - r„

дут равномерно ограничены:

. 1 - r _

|rn|j < 1j—L»V< j j< J J = T,n = 1,m(N-1) +1 1 - r„

h

T

Рассмотрим далее задачу распространения колебаний на графе. Обозначим через ы(х,г) ,

(х, г) еГ х [0, Т] функцию распределения амплитуд колебаний (0 < Т < <хз) . Процесс распространения малых колебаний на графе Г при г е [0, Т] описывается следующей граничной задачей:

д2ы(х,г) _ д2ы(х, г)

дг2 ы(х, г) л

х =2еГ

тГ1 ды(х, г)

¿=1 йх

дх2

= ы(х, г) л (к = 1, т—1),

х=леут

ды( х, г)

йх

=0,

ы(х, 0) = 6(х), ^^ г) = 6(х), х е Г, дг

(19)

(20)

(21)

ы(0,гу =мк(г)(к = 1,т—1),ы(л,г)ут =у(г). (22)

Областью задания переменных уравнения (19) будем считать цилиндр Ц = ^(Г) х (0, Т) , соотношения

(20) задаются на J(Ц) = {д} х [0, Т]. Решением краевой задачи (19)-(22) является функция ы(х, г) класса С2(Ц) , удовлетворяющая уравнению (19) в Ц, соотношениям (20) в J(Ц), начальным условиям (21) при г = 0, х е Г и граничным условиям (22) при х едГ, г е[0,Т ].

Для функций 6(х),6(х),^к (г), у (г) выполнены условия согласованности:

6(0у = ^к (0)(к = 1, т—1),д(л)Гт = у'(0),

6(0)у = ^ (0)(к = 1, т—1)6(л)ут =у(0),

при этом необходимо должны выполняться условия гладкости 6( х) е С 2[Г ], 6( х) еС![Г],

Иъ (г)(к = 1, т—1), у (г) еС'[0,Т ].

Аналогично предыдущему проведем редукцию задачи (19), (22) к системе дифференциально-разностных уравнений, имеющей в операторной форме для ы(г)к еШИ следующий вид:

+Акы(г)к = / (г )к, ы(0)Ъ =6к йы(0)Ъ - ¿к

(23)

где

7 (гу =

йг

^(г) г = 1 _

И2 , , (к = 1, т—1),

0, г = 2, N—1,

f (г )1 =

0, / = N + 1,2N — 2,

у(г) ,

/ = 2N — 1.

Приведем явную разностную схему для задачи (23): ы^1 — 2ы/ + ы/—1

ы0 = 6,

+ (Акык)/ = р', / = 0, J—1, (24)

(25)

ы1 =6 + 6 ——Ак6 + f„ 2 7

(здесь для простоты записи в обозначениях сеточных функциях в узловых точках отрезка также не указаны индексы И).

Как и выше решение задачи (24), (25) может быть записано в виде ряда Фурье (15) по собственным векторам |р |)+1. Получим систему рекуррентных

соотношений для определения коэффициентов изп в разложениях для ы / :

и/+1 — 2и/ + и/—1

П П П

—

- + рШ = К,

и0 = 0

п п

Т2

и1 = 0 + —э_ ——АЪ0 + к0

п п п

2

и и

здесь 0, 0и, К/ - коэффициенты Фурье в разложениях 6,6,/ по собственным векторам рЪ , соответственно.

Следуя рассуждениям, приведенным в [5] для задач с гладкими входными данными, получим условия счетной устойчивости схемы (24), (25). Характеристическое уравнение для (24), (25) при = 0 имеет вид

| — 2(1 — ^)1 +1 = 0,я2 = ^2р.

при /лп < 2 (т.е. при —2 < А) оба корня Ц урав-Р

нения (26) комплексные и Ц = 1(/ = 1,2) . Следовательно, разностная схема (24), (25) будет устойчивой

пРи — < 1. к

Оценки коэффициентов и / приближенных решений как эволюционной задачи (7)-(10), так и динамической задачи колебаний (19)-(22) дают возможность получения аналога теоремы А.Ф.Филиппова о сходимости разностных схем (14) и (24), (25) в терминах шагов к и — [5].

4. Конечная проблема моментов для краевых задач на графе. При решении задач оптимального управления в их общепринятой постановке для систем с распределенными параметрами на графе наиболее

(26)

2

к

т

2

подходящим средством является метод моментов (метод Ь -проблемы моментов), который дает единую вычислительную процедуру вне зависимости от сложности и порядка линейного управляемого объекта и числа управляющих воздействий [1]. Сложность вычислений также не зависит от числа управляющих воздействий, требуется лишь знание собственных функций соответствующего дифференциального оператора. Распространенной задачей управления распределенной системой является задача перевода этой системы из начального в конечное состояние, влияя на нее только граничными управляющими воздействиями. При редукции краевых задач для дифференциальной системы с распределенными параметрами на графе, например, задачи распространения тепла или задачи колебаний (раздел 3) к дифференциально-разностным системам (соотношения (13) и (23), соответственно) и далее, формируя разностные схемы (14) или (24), (25), получаем конечную проблему моментов для системы (13) или системы (23).

Пусть требуется перевести систему (13) или (23) из начального состояния

(ы0) = (6,)

(задача (13)) или начального состояния

(ы0) = (6,),

(и 1) = (6) + —6 ) + .

на сетке Гк, где сужения (uJ—1) (к = 1, m — 1)

2

(в,—i) + 2(в ) — (в,+1) h2

(f0)

ук

(ыJ —1) на сетках у (к = 1, т) зависят от ^,^2,

...,Ц}—1(к = 1,т—1) и у1, у2,..., у*7—1, соответственно.

Из явной разностной схемы (24), (25) для уравнения колебания получаем представление

(ы/+1) = (2ы/) ——([Акык]) — (ы/—1 + Т2(р). (31)

Учитывая соотношения (31), конечные условия (28) дают моментные равенства также в рекуррентной форме относительно Ц, к = 1, т — 1 и у-/ при / = 1, J — 1:

(uJ—n) = »h —т»к (uJ—2) = = »h — т» — т2 ([ Ahuh ]J—1 ) + т( fJ—1 ),

(32)

где сужения (ы}—1) и (ы—1) , как и выше, зависят

от цn,ц2,...,ц}—11 и У1,У2,...,УJ—1.

Сформулированные конечные проблемы моментов в терминах рекуррентных соотношений (30) и (32) для задач (13) и (23) позволяют не только достаточно эффективно решать целый класс задач автоматического управления нагревом или колебаниями континуумов, сочлененных но типу геометрического графа (сети), но и исследовать вопросы управляемости исходных краевых задач (7)-(10) и (19)-(22). Следует отметить также, что в случае наличия ограничений на управляющие воздействия ц (г)(к = 1,т—1) и у(г) получаем конечную Ь -проблему моментов [1].

(задача (23)) в конечное состояние

(uJ ) = (» ),

(задача (13)) или конечное состояние

(uJ ) = (» ),

(uJ 1) = (»i ) — т(» ),

(27)

(28)

(задача (23)). Здесь индекс / меняется в соответствии с выбранной индексацией сетки Гк .

Из явной разностной схемы (14) для уравнения теплопроводности получаем представление

(u j+n ) = (uj ) + т([ Ahuh ]j ) + т^1 ).

(29)

Учитывая соотношения (29), конечные условия (27) дают следующие моментные равенства в рекуррентной форме относительно Ц, к = 1, т — 1 и у-/ при

/=и—1:

ы—1) + т([ Акык ]—1) + т(f}—1) = Зк, (30)

ЛИТЕРАТУРА

Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568 с.

Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К. П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.: Физматлит, 2004. 227 с.

Провоторов В.В. Разложение по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля на графе-пучке // Известия вузов. Серия математика. 2008. № 3 (550). С. 50-62.

Махинова О.А., Провоторов В.В., Баркова Л.Н. Разностные схемы граничных задач для дифференциальных уравнений с распределенными параметрами на графе // Актуальные проблемы математики и информатики (труды математического факультета). 2010. № 1. C. 63-89.

Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

Поступила в редакцию 26 сентября 2011 г.

Makhinova O.A. FINAL PROBLEM OF MOMENTS FOR BOUNDARY VALUE PROBLEMS ON GRAPH

The number of simple and typical problems of mathematical physics relating to distributed system on the geometrical graph is considered. Problem-solving numerical procedures are illustrated on models. These procedures are grounded n the method of moments, which is based on Fourier analysis.

Key words: Laplace operator on graph-star; difference schemes; boundary management.

2