Разностная схема численного анализа динамики многофазной среды в сетеподобной гидросистеме при неизотермических условиях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

ЭО!: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-479-486

РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА ДИНАМИКИ МНОГОФАЗНОЙ СРЕДЫ В СЕТЕПОДОБНОЙ ГИДРОСИСТЕМЕ ПРИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

© О.Р. Балабан, А.В. Иванов

Работа посвящена вопросам построения разностной схемы для численного анализа процесса переноса многофазных сред в гидросистемах сетеподобного типа и базируется на анализе начально-краевых задач для дифференциальных систем с распределенными параметрами на сетях или сетеподобных областях. Представлены общие подходы к построению разностной схемы для ламинарного и турбулентного движений среды, исследуются ее свойства: аппроксимация, устойчивость, сходимость.

Ключевые слова: дифференциальная система; распределенные параметры на сетеподобных областях; разностная схема; устойчивость; сходимость.

1. Введение. Работа продолжает исследования, приведенные в [1-3], и посвящена общему описанию метода конечных разностей и некоторых принципов построения сходящихся разностных схем динамики многофазных сред с распределенными параметрами на сети или сетеподобных областях. Этот метод состоит в сведении начально-краевой задачи к системе алгебраических уравнений, неизвестными которой являются значения сеточных функций, и последующему изучению предельного перехода, когда длины сторон ячеек сетки стремятся к нулю. Принципиальным отличием от классических схем является аппроксимация начально-краевой задачи в слабом смысле, что позволяет рассматривать уравнения с коэффициентами, имеющими не более счетного числа разрывов-скачков. При этом обобщенное решение с конечной энергетической нормой определяется как предел слабо сходящейся последовательности приближений в энергетическом пространстве [4-6].

2. Постановки задач и формулировка основных результатов. Численный анализ прикладных задач переноса многофазных сред в различного вида гидросистемах сетеподобного типа носит фрагментарный характер, т. к. сопряжен с исследованием начально-краевых задач для дифференциальных систем с распределенными параметрами на сетях или сетеподоб-ных областях [2-3]. Ниже представлены подходы к исследованию таких задач для двух базовых случаев ламинарного и турбулентного движения среды. Используемые подходы обладают достаточно большой общностью и применимы к различным видам гидросетей.

2.1. Ламинарные потоки (линейный случай).

Ламинарный характер течений обусловлен соотношением диаметра и длины каналов гидроносителя: диаметр много меньше длин всех элементов гидросистемы. Конструктивные особенности таковых сетей, как правило, исключают турбулентный характер динамики течений (либо турбулентностями можно пренебречь). Последнее означает, что осевое изменение характера

V,

»

V,,

Рис. 1. Фрагмент гидросети

течения представляет наиболее информативную составляющую гидродинамики течения; таким образом, достаточно интерпретации линейных фрагментов гидросистемы одномерными континуумами, параметризованными одномерной переменной х пространства Щ1 (рис. 1).

Математическое описание процесса ламинарного течения в сетеподобной гидросистеме (функция и(х, ?) описывает скорость течения, р(х,/) - давление в гидросистеме) использует линеаризованную систему Навье-Стокса, аналогичную уравнениям передачи масс с распределенными параметрами на сети

ди |

—+ Ти + Фр = 0, и|^=0 = и0(х) (1)

с условиями согласования в узлах сопряжения линейных фрагментов гидросистемы (2), где

Тм( x, t)

=—— | a(x) dx { v x

—u(x, t) —x

+ b(x)u( x, t),

Op(x, t) =

—p(x, t) —x

(здесь a(x), b(x) - коэффициенты, характеризующие динамику процесса). К системе (1) следует присоединить соотношение, описывающее краевые условия (5), и соотношения, устанавливающие связь гидродинамических процессов с температурой среды (6), (7).

Для математического описания гидродинамического процесса в гидросистеме рассмотрим интерпретирующую ее геометрическую сеть Г с ребрами у (соответствуют линейным фрагментам гидросистемы) и введем следующие обозначения (работы В.В. Провото-рова, А.С. Волковой, Ю.А. Гнилицкой [4; 6-8]): —Г -множество граничных узлов С (соответствуют входам

в гидросистему), J(Г) - множество внутренних Е, узлов (соответствуют узлам ветвления гидросистемы) и пусть Г - объединение всех ребер, не содержащих концевых точек, —ЭТ - множество всех граничных ребер (ребер, содержащих граничные узлы С е —Г;

Г = Г х (0,T) (Г = Г х (0, t)), —rT = згх (0,т)

(5Ц=5Гх (0, t)) . Каждое ребро у сети Г ориентировано, параметризуется отрезком [0,i] и переменной x е [0,l]. Подробные описания используемых пространств приведены в [7]), здесь же по мере необходимости представлены только их общие свойства.

Основным пространством допустимых состояний u( x, t) динамики ламинарного течения является пространство V^'0°(a, Гт) , элементы которого суть непрерывные по переменной t и суммируемые по пространственной переменной x функции u(x,t) с обобщенной производной ux (x, t) е Х2(Гт) , причем для них справедливы условия согласования

£ а(1)у

у,

—u(i, t)y

—x

■= £ a(0)yj У, er(^)

—u(0, t)y —x

. (2)

(здесь Л© - множество ребер, ориентированных «к узлу Е, », г- множество ребер, ориентированных «от узла Е, »), и нулевые условия в граничных узлах: и(х,0|эг = 0 .

Рассматривается базирующаяся на системе (1) математическая модель динамики многофазной среды в гидросети для несжимаемой вязкой многофазной жидкости в терминах формализмов начально-краевой зада-

чи в области Г = Г х [0,T ]:

- ± (а(x) Mxtl) + b(x)y(x, t) + Wxtl dt dx dt dx

= f (x, t),

y\t=0 = У0(x) x еГ .

(4)

Коэффициенты а(х) и Ь(х), характеризующие внутренние свойства текущей среды (плотность, вязкость и пр.), являются фиксированными измеримыми ограниченными на Г0 функциями, суммируемые с квадратом; соотношения (2) - условия согласования (баланс потоков в узле Е, ) во всех внутренних узлах гидросети; соотношения (4) - начальные условия; краевые условия определяются соотношениями

У —Г =

(5)

Замечание 1. Наличие функции /(х, /) в правой части (3) обусловлено использованием при анализе однородных краевых условий (5) для описания пространств решений системы (1) для неоднородной исходной задачи относительно функции и(х,t) с нулевой правой частью в первом уравнении (1) и ненулевым краевым условием и| = х, Г) ; аддитивная замена у = и — у переводит неоднородность из краевого условия в правую часть уравнения (3).

В неизотермических условиях к соотношениям (3)-(5) следует присоединить уравнение теплопереноса

—T —2T —T , , ч

—г=а—? -y ux+fT(x,t)

(6)

с добавленными для скалярной функции T (x,t) начальным

T (x,0) = T,(x) и краевыми

T —Г= 0

(7)

(8)

условиями. Здесь а - коэффициент теплопроводности среды.

Соотношения (3)-(8) являются математической моделью динамики многофазной среды в сетеподобной гидросистеме при неизотермических условиях (см. также замечание 1).

Замечание 2. Следует отметить, что отыскание решения начально-краевой задачи (3)-(5) никак не связано с наличием решения начально-краевой задачи (6)-(8), что обусловливает введение понятия решения системы (8)-(13) как «разделенные» решения задач (3)-(5) и (6)-(8).

Пусть /(х, t), /т (х, 0 е Х2Д(Гг ) и Т>(х) е Ь2 (г) (элементами пространств Х2 у (Г) и ^ (г) являются суммируемые на Г и Г функции соответственно).

Определение 1. Слабым решением [3] начально-краевой задачи (3)-(8) называется пара {у(х, Г), Т (х, ,

у(х,t) е У^о (а,ГТ), Т(х,() (ГТ) где функция у(х, () удовлетворяет соотношению

^С дл (х t) у(х, t)л (х, t)йх - I у(х, {)-í—dxdt +1 í (у, л) +

Л дt

| р( х,.)

дл( х,t) дх

dxdt =

(9)

= | у0(х)л( х,0^х + | / (х, t )л( х, t)dxdt,

Г ГТ

а функция Т(х, () - соотношению

I

дТ (х, t) дt

Л( х, t )dxdt + ©, (Т, л) +

+ I р(х,^ дл( , dxdt = I/т (х,t)л(х,t)dxdt, (10) 1 дх 1

Г, Г,

Т (х,0) = То(х)

для любых л(х,О,^(х,^ еИ^0(а,ГТ) и при любом

t е [0,Т]; здесь Г) пространство суммируе-

мых функций с суммируемыми обобщенными производными л и л , (У, Л) , © (Т, л) - билинейные формы вида

£( (у, л) =1 (а(х) ^^ ^ дл^ ^ + Ь(х)у(х, t)л(х, {))dxdt,

дх дх

©

(Т, л) = «1 (■

дТ (х, I) дц(х, I)

дх

дх

+у( х, I)

дТ (х, г) дх

л( х, I)) dxdt.

Имеют место следующие утверждения, полное доказательство которых приведено в работах [6; 8].

Теорема 1. Начально-краевая задача (3)-(5) имеет единственное слабое решение {у(х, {), Т(х, , непрерывно зависящее от исходных данных /(х, ^ и у0 (х) .

Теорема 2. Начально-краевая задача (6)-(8) имеет единственное слабое решение Т(х, t) еУ2'0!(а, Гт ) , непрерывно зависящее от исходных данных /Т (х, ^ и

Т0( х).

Теорема 3. Начально-краевая задача (3)-(8) имеет единственное слабое решение Т(х, Г) е о (Г ) , непрерывно зависящее от исходных данных /(х, {) , /Т (х, {) и у0 (х) , Т (х) , т. е. является корректной по Адамару.

Замечание 3. Утверждение теоремы 3 лежит в основе анализа задач оптимизации дифференциальных систем (3), (6), к которым относятся, например, задачи граничной и стартовой оптимизации [4; 6].

Рис. 2. Фрагмент сетеподобной гидросистемы

2.2. Турбулентные потоки (нелинейный случай).

Рассмотрим, далее, математическую модель динамики вязких турбулентных потоков в пространственных сетеподобных гидропроводах (рис. 2). Все рассмотрения для сохранения общности подхода проводятся для

сетеподобных областей евклидова пространства Ш" произвольной размерности " (в конкретных ситуациях чаще всего используются случаи " = 2 или " = 3 ). Понятие «сетеподобная область» подразумевает конструкцию, построенную из областей по принципу вышеприведенной сети (см. п. 2.1), а именно: каждая область сопрягается частью своей границы с другой областью (другими областями) в узловых местах, аналогичным внутренним узлам сети.

Для дифференциальной системы, рассматриваемой в сетеподобной области 5г=5х[0,Т ]

(5Т = (5 ^ д5) х [0, Т]), введем следующие обозначения [14]. Пусть 5 - открытая область пространства Ш" с границей д5, имеющая сетеподобную структуру, состоящую из областей : 5 = и и^ (рис. 4,

к 1

поверхности 5 отделяют области 5^ друг от друга, и £]+ - односторонние поверхности для 5 , определяемые направлением нормалей "-, " + к ним) и

пусть (0, Т) (Т <ж) - интервал в Ш1. Для рассматриваемого случая используются аналогичные приведенным выше пространства, где обозначение сети Г заменено на обозначение сетеподобной области 5, а соотношения (2) принимают следующий вид:

и - = и +

divu = 0 .

I

ди

д"-

I

ди

д"+

= 0 , и1 = 0,

1д5

Рассмотрим дифференциальную систему и ей соответствующую начально-краевую задачу в замкнутой

области 5Т для вектор-функции У(х, () еУ20($1,ЗT):

Г

Г

Т

+

Г

Т

г,

Г

Г

+

5

5

dY ( x,t) dt ' = F( x,t),

divY = 0,

■AY (x, t) + £y (x, t)

—Y (x,t) —x,

+ gradp( x,t) =

Y (x,0) = Y0(x), x еЗ,

Yl d3T 0'

(11)

(12)

(13)

(14)

Соотношения (11), (12) образуют систему уравнений Навье-Стокса относительно вектор-функции У = {У,У2,-У„}, характеризующей течение несжимаемой (соотношение (12)) вязкой (V - коэффициент вязкости) многофазной среды в сетеподобной замкнутой области 5Т с постоянным давлением р(х, (); Д - оператор Лапласа; вектор-функция У (х, {) определяет скорости перемещения среды по всем координатным направлениям; /(х, t) е Х2 (55г ) , У (х) е Х2 (5) - заданные функции (исходные данные).

В неизотермических условиях к соотношениям (11)—(14) следует присоединить уравнение теплопере-носа для скалярной функции Т(х, С) , описывающей тепловое поле многофазной среды. Для этого введем пространство К21'°(^1,5Т) скалярных функций у(х, ^ по аналогии с пространством Р^ой, 5) (в описании множества ) отсутствует соотношение с11\и = 0). Функция Т(х, ^ е у!,'0^ , 5 ) удовлетворяет уравне-

—T (x, t) dt

= aAT - (Y, gradT) + FT (x, t)

с добавленными начальными T(x,0) = T (x) е L2 (3) и краевыми

T (x, 0| - = 0

(15)

(16)

(17)

условиями. Здесь а - коэффициент теплопроводности многофазной среды, gгadT характеризует температурные потоки вдоль координатных осей.

Замечание 4. Как и выше (замечание 1) наличие неоднородностей Е(х, t) и Ег (х, () в (11) и (15) обусловлено неоднородными краевыми условиями У^ = Уо(х,t) и Т(х,= То(x,t) (уо(х't), Tо(x,t) -

заданные значения скоростей и начальной температуры среды при входе в гидросеть) и последующей заменой, приводящей эти неоднородные условия к однородным.

Введем следующие формы (pj (u, v) - билинейная форма):

-А г du, dv,

pi(u,v)= £J-—,,

i,j=13'^ ^

n .

P2(u, v, ю) = £J

dv,.

dx,

. . , dxk

Pз(u, v, И) = £% ^M-

k=i dxk

на вектор-функциях и, V, ю и скалярных функциях и, ц (при этом сходятся интегралы в представлении данных форм).

Определение 2. Турбулентным решением начально-краевой задачи (11)—(17) называется пара функций

{У(х,О,Т(х,0} (У(х,0 е ^О^, 5т),

Т(х, ^ еЖ210(51,5Т ) ). При этом вектор-функция

У(х, t) удовлетворяет интегральному тождеству

(Y, q) - ГY(x, т) —-dxdx + v Г pi (Y, q)dx + J dx J

3 0

t

+ iP2(Y, Y, -)d— + (graÖp, =

0

= (Y0( x), x,0)) + Г F (x, x)q( x, x)dx, dx

S3,

для любых t е [0,T] и любых вектор-функций

q(x, t) е Wi(S, 3 ) > а скалярная функция T(x, t) -интегральному тождеству

T(xiT) ^(x, —)dxdx + a j* pi(T, C)dx +jp3(Y, T, Cdxdx = = T F (x, —)C(x, x)dxdx

для любых t е [0,Т] и любых скалярных функций С,(х,?) е ,5) (пространство ,5) стро-

ится по аналогии с ^'О0^, 5Т ) )

Теорема 4. Начально-краевая задача (11)—(14) при указанных выше условиях имеет турбулентное решение У(х, Г) еК20(^, 5 )' непрерывно зависящее от исходных данных Е(х, £) и У0 (х) .

Теорема 5. Начально-краевая задача (15)-(17) имеет турбулентное решение Т(хД) е Р^'оО^!, 5т ), непрерывно зависящее от исходных данных Е (х, 0 и Т0 (х).

i=i

u

нию

Доказательства утверждений представленных теорем приведены в работе [1].

Следствие из теорем 4 и 5. Начально-краевая задача (11)—(17) имеет турбулентное решение, непрерывно зависящее от исходных данных Е(х, ^, Ег (х, t) и

¥0(х), Т0(х).

3. Разностная схема численного анализа. Для упрощения анализа остановимся на случае ламинарного потока (п. 2.1), случай турбулентного потока (п. 2.2) аналогичен.

Разобьем ребра у сети Г точками кк (к - натуральные числа, к > 0 - фиксированное число, равное длине элементарного отрезка юй, называемого ниже элементарной ячейкой ребра сети), при этом считаем, что внутренние узлы \ е J(Г) графа входят в число

таких точек. Множество точек {кк} назовем сеткой Г и обозначим Гк . Для сеточных функций ий (индекс к для упрощения записи иногда опускается), определенных на Гк и соответствующих функциям и(х), х е Г, введем разностные операции (разностные

отношения) и х(х) = —(и(^х + к) -и(х)) , и х (х) = к

= — (и(х) — и(х — к)) (правое и левое разностные от-к

ношения). Разностные операции от произведения сеточных функций имеют следующий вид:

ч\t=0 = фк

(20)

Разностные уравнения (18) должны выполняться на слоях t = ^ (к = 1, N ) в точках сетки Гк ; равенства (19) выполняются для кк,к = 0—,...М; равенство (9) -в точках Гк . При этом в (20) сеточная функция фк в точке кк ячейки равна усреднению

Фк =

— 1ф(х)ёх,

взятому по ячейке акк . Аналогично

строятся сеточные функции а и Ь . Сеточная функция / (к) строится по заданной функции / в соответствии с соотношением (усреднение) 1 С

/4=»,^= ^ I /(х,^, где ГТ(к,к0) =

Гт (к ,к0)

= Юкй х (КхАК +1)х).

Для каждого слоя t = ^ (к = 1, N разностная схема (18)-(20) являет собой линейную систему алгебраических уравнений, однозначно разрешимую для всех х < т0 , где х0 > 0 - некоторое фиксированное число. Соотношения (18), (19) эквивалентны тождествам

I (и~лн + акихлх +Ььиьль ) =1 ЛПЙ,

(21)

(т>)х (х) = их (х^(х) + и(х + к^х (х) = их (х^(х) + + и( х + (х + к),

и) х (х) = их (хМх) + и( х - к^х (х) = их (хМх) + + и(х - К^х (х - к).

Разностным аналогом формулы интегрирования по частям является формула

М-1 м

к I их (кк V (кк ) = -¿I ик (кк )vx (кк) + ик (Мк>к (Мк) -

к=0

к=1

- ии (0^к (0),

здесь их, vh - произвольные сеточные функции, заданные в точках кк,к = 01,...М (М - число всех точек

сетки Гк , в прикладных задачах обычно к = 1/М). Ниже для удобства чтения индекс к у сеточной функции и (к ) указывает на то, что функция и берется

на слое t=tk (к = 1, N, N = [Т/ х]).

Рассмотрим следующую разностную схему (в работе [6] приведена аналогичная):

и (к) - (аких (к)) х + Ьки(к) = /к (к\ ик (к)\дГк =0,

(18)

которые выполняются на всех слоях t = ^ (к = 1, N и в которых л - произвольная сеточная функция Гк ,

равная нулю дГк .

Теорема 6. Система (18), (19) при х<х0 (значение х0 указано ниже) однозначно разрешима на слое

t = ^ (к = 1, N при любых / (к) .

Доказательство. На произвольном слое t = ^ возьмем однородную систему, соответствующую системе (18), (19), или, что то же, тождество (21), где / и и^-1 (входит в выражение и- (к) ) заменены нулями. Положив в этом тождестве ли =и^, получим

равенство !(— и2 + аки'2 +Ьки1) =0. В силу оценок

для функций а(х) и Ь(х) из него вытекает 11 и2 <!(1 ик + акиЪ < I(Ьки2к) < I(Ь'и2ь).

При 1/х> Ь (х< 1/Ь = х0 ) из полученной оценки следует ик (к) = 0 .

Теорема 7. Разностная схема (18), (19) устойчива. Доказательство. Положим в (21) л = 2хий (к) и воспользуемся соотношением 2хи- (к )ик (к) =

и

К)

к

+

к

+

Г

Г

к

+

Г

к

и

к

= и2 (к) — и2 (к — 1) + т2и-2 (к) , а также неравенствами

для функций а(х) и Ь(х) , которые остаются справедливыми и для их усреднений. Получим

INI2,Г+"(k) INI2,Г+"(k-1) +Т INI2,Г+*(k) +

+ 2ха* U

2

•I 2,Г+ (k ) 2

< 2xb u

Здесь

"2,r

<-2т^ bhul + i fhuh <

г+" (k)

+ 2т fh

"lb Г* (

2,Г"

- hif?

r+h (k)

xll2,Г"

- hI

следует

*hll2,r*(k) INl2,r"(k-1) < 2 Lb 11м*12,r"(k)'

U2 . Из полученного неравенства

<2xb Ui

■2i fh||

2,r+h (k )l N12,r+h (k)

при

последующем

INI 2,r+h (k)+lN1 2, r+h (k-i)

делении на неравенство

(1 — 2хЬ№+112,Г+ (к) Ф+И2,Г+ (к—1) + 2Х1|/+И2,г+*(к) .

При х < 1/(2Ь*) из этого рекуррентного соотношения для произвольного слоя t = ^ (к > 2 ) окончательно получаем

2ii2, г* (k)

< С(||Ф.

"II2,Г*

+

2 ? г"

2,Г+2 (k)

(22)

где С - постоянная, зависящая только от Ь* и Т . Неравенства (22) гарантируют устойчивость схемы (18), (19). Теорема доказана.

На основе неравенств (22) доказывается слабая

сходимость в ^2°(Гг) задачи (6)-(8). Именно из тождеств (21) для слоев t = t^. (к = 1, N ) следует тождество

|(—+ а+их;Лх + Ь+и+Щ)сСС — |ф;Л+ (0)Сх =

J fh~hdxdt

(23)

(здесь через ~ обозначена: кусочно-постоянные интерполяции сеточных функций уй : ~(х, I) = ^ +цт ) при

любой функции (к) , равной нулю на 5Г+ при всех к и равной нулю на слое t = Т . Предельный переход по + — 0 и х —^ 0 в (23) осуществляется, взяв в качестве значения в точках сетки Г+ какой-либо глад-484

кой функции х, t) , равной нулю в окрестности боковой поверхности цилиндра Гг и его верхнего основания. Таким образом, имеет место

Теорема 8. Пусть для начально-краевой задачи (6)-

(8) ф(х) е W2^0(a,Г), f (х,t) е L j(T) • Тогда разностная схема (18)-(20) однозначно определяет сеточную функцию uh при всех х < 1/b* и ее интерполяции при h — 0 и х —У 0 слабо сходятся в L2 (Г) к обобщенному решению и(х, t) eW^^°(a, Гг) задачи (6)-(8), производные от интерполяций сходятся слабо в

д

Li^r) к —и(х,t) е L2(rr) .

дх

4. Заключение. Следует отметить, что представленные выше идеи использованы ранее в работе [3], а также могут быть использованы при решении ряда смежных задач: оптимальное управление грузоперевозками в условиях мегаполиса, когда требуется учитывать переменную скорость движения в течение суток

[9]; аппроксимация процессов специальных течений в реакторах вытеснения [10]; построение систем мониторинга и управления объектами повышенной сложности - от ядерных реакторов до мобильных роботов [11]. Представленные результаты аналогичны классическим исследованиям устойчивости дифференциальных система и оптимизации [12-14].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Балабан О^Р^ Математическое описание динамики многофазной среды в сетеподобной гидросистеме при неизотермических условиях // Системы управления и информационные технологии. 2015. № 4.1 (62). С. 192-198.

2. Балабан О^Р^, Гнилицкая ЮЛ^ Математическая модель каскадно-последовательного течения несжимаемой вязкой многофазной среды // Современные методы прикладной математики, теории управления и компьютерных технологий (ПМТУКТ-2015): сборник трудов 8 Междунар. конф., Воронеж, 21-26 сент. 2015 г. Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2015. С. 43-45.

3. Балабан О^Р^, Гнилицкая ЮЛ^, Приходько И^В^ Задача оптимизации динамики течения вязких многофазных сред в сетеподобных объектах // Заметки ученого. Ростов н/Д, 2015. № 1 (1). С. 156-161.

4. Provotorov V. V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph // International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). 2015. C. 126-128.

5. Podvalny S.L., Provotorov V.V. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph // International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.I. Zubov (SCP). 2015. C. 117-119.

6. Подвальный С^Л^, Провоторов В^В^ Стартовое управление параболической системой с распределенными параметрами на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. СПб., 2015. № 3. С. 126-142.

7. Волкова А^С, Провоторов В^В^ Обобщенные решения и обобщенные собственные функции краевых задач на геометрическом графе // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 3. С. 3-18.

8. Гнилицкая ЮА Математическое моделирование и численное исследование процессов в сетеподобных объектах, описываемых эволюционными уравнениями: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2015.

9. Сергеев СМ Математическое моделирование сети торговых предприятий // Вестник Воронежского государственного технического университета. Воронеж, 2012. Т. 8. № 1. С. 66-71.

10. Потапов Д^К Непрерывная аппроксимация одномерного аналога модели Гольдштика отрывных течений несжимаемой жидкости // Сибирский журнал вычислительной математики. 2011. Т. 14. № 3. С. 291-296.

11. Веремей ЕИ^, Сотникова М^В^ Стабилизация плазмы на базе прогноза с устойчивым линейным приближением // Вестник

2

U

+

+

2

2

2

2

Г

Г

+

+

U

2

2

2

и

Г

Г

Г

T

Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. СПб., 2011. № 1. С. 117-134.

12. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об асимптотической устойчивости решений одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 5. С. 3-12.

13. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2006. № 9. С. 3-14.

14. Жабко А.П., Зараник У.П. О приближении решений экспоненциально устойчивых систем дифференциально-разностных уравнений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10: При-

кладная математика. Информатика. Процессы управления. СПб., 2011. Вып. 3. С. 29-38.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена в Военном учебно-научном центре Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» в 3-м научно-исследовательском отделе НИЦ.

Поступила в редакцию 18 марта 2016 г.

UDC 517.977

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21 -2-479-486

DIFFERENCE SCHEME FOR THE NUMERICAL ANALYSIS OF MULTIPHASE FLUIDS IN HYDRAULIC NET-LIKE TYPE AT NONISOTHERMAL CONDITIONS

© O.R. Balaban, A.V. Ivanov

The work is devoted to questions of constructing a difference scheme for the numerical analysis of the migration process of multiphase fluids in hydraulic net-like type and is based on the analysis of the initial-boundary value problems for differential systems with distributed parameters on the network or net-like domains. We present a common approach to the construction of a difference scheme for laminar and turbulent motions of the medium, its properties are investigated: approximation, stability, convergence.

Key words: differential system; distributed parameters on the net-like domains; finite difference scheme; stability; convergence.

REFERENCES

1. Balaban O.R. Matematicheskoe opisanie dinamiki mnogofaznoy sredy v setepodobnoy gidrosisteme pri neizotermicheskikh usloviyakh.

Sistemy upravleniya i informatsionnye tekhnologii, 2015, no. 4.1 (62), pp. 192-198.

2. Balaban O.R., Gnilitskaya Yu.A. Matematicheskaya model' kaskadno-posledovatel'nogo techeniya neszhimaemoy vyazkoy mnogofaznoy sredy. Sbornik trudov 8 Mezhdunarodnoy konferentsii "Sovremennye metody prikladnoy matematiki, teorii upravleniya i komp'yuternykh tekhnologiy (PMTUKT-2015) ". Voronezh, Scientific Book Publishing House, 2015, pp. 43-45.

3. Balaban O.R., Gnilitskaya Yu.A., Prikhod'ko I.V. Zadacha optimizatsii dinamiki techeniya vyazkikh mnogofaznykh sred v setepodobnykh ob"ektakh. Nauchno-prakticheskiy zhurnal «Zametki uchenogo», Rostov-on-Don, 2015, no. 1 (1), pp. 156-161.

4. Provotorov V.V. Boundary control of a parabolic system with delay and distributed parameters on the graph. International Conference "Stability and Control Processes" in Memory ofV.l. Zubov (SCP), 2015, pp. 126-128.

5. Podvalny S.L., Provotorov V.V. The questions of controllability of a parabolic systems with distributed parameters on the graph. International Conference "Stability and Control Processes" in Memory of V.l. Zubov (SCP), 2015, pp. 117-119.

6. Podval'nyy S.L., Provotorov V.V. Startovoe upravlenie parabolicheskoy sistemoy s raspredelennymi parametrami na grafe. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya, St. Petersburg, 2015, no. 3, pp. 126-142.

7. Volkova A.S., Provotorov V.V. Obobshchennye resheniya i obobshchennye sobstvennye funktsii kraevykh zadach na geometricheskom grafe. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika, 2014, no. 3, pp. 3-18.

8. Gnilitskaya Yu.A. Matematicheskoe modelirovanie i chislennoe issledovanie protsessov v setepodobnykh ob"ektakh, opisyvaemykh evolyutsionnymi uravneniyami. Avtoreferat dissertatsii ... kandidata fiziko-matematicheskikh nauk. Voronezh, 2015.

9. Sergeev S.M. Matematicheskoe modelirovanie seti torgovykh predpriyatiy. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, Voronezh, 2012, vol. 8, no. 1, pp. 66-71.

10. Potapov D.K. Nepreryvnaya approksimatsiya odnomernogo analoga modeli Gol'dshtika otryvnykh techeniy neszhimaemoy zhidkosti. Sibirskiy zhurnal vychislitel'noy matematiki, 2011, vol. 14, no. 3, pp. 291-296.

11. Veremey E.I., Sotnikova M.V. Stabilizatsiya plazmy na baze prognoza s ustoychivym lineynym priblizheniem. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya, St. Petersburg, 2011, no. 1, pp. 117-134.

12. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P. Ob asimptoticheskoy ustoychivosti resheniy odnogo klassa sistem nelineynykh differentsial'nykh uravneniy s zapazdyvaniem. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika, 2012, no. 5, pp. 3-12.

13. Aleksandrov A.Yu., Zhabko A.P. Ob ustoychivosti resheniy odnogo klassa nelineynykh sistem s zapazdyvaniem. Avtomatika i telemekhanika, 2006, no. 9, pp. 3-14.

14. Zhabko A.P., Zaranik U.P. O priblizhenii resheniy eksponentsial'no ustoychivykh sistem differentsial'no-raznostnykh uravneniy. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya, St. Petersburg, 2011, no. 3, pp. 29-38.

Received 18 March 2016

Балабан Олеся Руслановна, Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Российская Федерация, инженер 3-го научно-исследовательского отдела НИЦ, e-mail: [email protected]

Balaban Olesya Ruslanovna, Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin, Voronezh, Russian Federation, Engineer of 3rd Scientific-Research Centre Department of Scientific Research Centre, e-mail: [email protected]

Иванов Алексей Владимирович, Военно-воздушная академия им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент, начальник 3 научно-исследовательского отдела НИЦ, e-mail: [email protected]

Ivanov Aleksey Vladimirovich, Air Force Academy named after professor N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin, Voronezh, Russian Federation, Candidate of Technics, Associate Professor, Head of 3rd Scientific-Research Centre Department of Scientific Research Centre, e-mail: [email protected]