Десятичный номенклатурный код dncmkot для идентификации существующих и автоматической генерации новых конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532

Б01: 10.12737/24955

О.Н. Дмитроченко

ДЕСЯТИЧНЫЙ НОМЕНКЛАТУРНЫЙ КОД БМСМКОГ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ СУЩЕСТВУЮЩИХ И АВТОМАТИЧЕСКОЙ ГЕНЕРАЦИИ НОВЫХ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Предложена систематическая классификация конечных элементов в виде набора целых чисел. Геометрия и структура узловых координат представляются параметрами - размерностью ¿, числом узлов п, числом координат в узле с, количеством полиномов т и другими, по которым возможно сгенерировать геометрию и функции формы эле-

мента с помощью предложенной процедуры. Набор параметров к, о и t описывает физический функционал, реализуемый элементом. Приведены примеры применения указанной классификации.

Ключевые слова: конечные элементы, классификация, номенклатура, десятичный код.

0.К. БткгосЬепко

DECIMAL NOMENCLATURE CODE DNCMKOT FOR IDENTIFICATION OF EXISTING AND AUTOMATED GENERATION OF NEW FINITE ELEMENTS

The work purpose: a systematic (constant) classification of finite elements for designation unity, the exclusion of repeated investigations and results duplicating.

Methods. A decimal nomenclature dncmkot code for finite elements is offered. It is based on the geometry and structure presentation of

node coordinates by integral (whole) parameters: d - dimensionality, n - nodes number, c - parameter defining a structure of node coordinates, for example, coordinates number in a node, m - number of interpolation polynomials of an element. For more complicated elements the application of additional parameters is possible. To this there are added of an element physical functional: k - order of senior derivative upon

Введение

Существует множество конечных элементов, разработанных в различных инженерных областях, таких как строительная механика, механика жидкостей, электромагнетизм, и в других. Эти разработки были проведены большим числом авторов и поддержаны многими научными и коммерческими организациями. Однако до сих пор не существует общепринятой системы классификации либо обозначений конечных элементов. Это объяснимо, если принимать во внимание коммерческий аспект разработки научных инструментов, но серьёзно мешает академическим исследователям, так как приводит к дублированию исследований, научных статей и результатов. В результате отсутствия единой системы классификации авторы обычно описывают конечные элементы фразами

which depends a sub-integral expression of a physical functional, t - additional parameter-type.

Results. There is offered an algorithm allowing calculating functions of an element form, its matrix of rigidity and others through dncmkot code. The correspondence of the finite elements set from ANSYS software to their codes according to the classification offered is shown. The examples of new elements creation on the basis of the classification offered are presented.

Conclusion: the classification offered allows describing unambiguously existing finite elements and also creating in an automated way new ones according to dncmkot code.

Key words: finite elements, classification, nomenclature (range), decimal code.

вроде «двухузловой плоский балочный элемент». Этот подход приемлем, если в статье идёт речь об одном или нескольких разных типах элементов. Однако если необходимо оперировать многим числом разных типов элементов одновременно с целью описания их общих свойств или соотношений, необходимость в коротком и информативном универсальном обозначении становится очевидной [1 ].

В литературе существуют следующие способы обозначения элементов:

- словесное описание вроде «треугольный элемент пластины»;

- аббревиатуры вроде CST, LST или DKT (в основном в англоязычной литературе);

- по имени автора, например: балка Эйлера - Бернулли, пластина Кирхгофа

(приведенные выше описания не содержат фактической информации о кинематике элементов);

- указание числа узлов, например: четырёхугольники Q4, Q6, Q8, Q9 и т.д. (такое описание также не является полным);

- указание числа степеней свободы (однако разные элементы вполне могут обладать одинаковым числом координат).

В данной статье вводится универсальная классификация конечных элементов, основанная на указании их размерности (от 1 до 3), числа узлов, числа и типа координат в узле и других данных. Кинематическое описание произвольного элемента дополняется параметрами, которые описывают физический функционал эле-Одномерные элементы 1яс

Для обозначения конечных элементов предлагается базовая трёхразрядная номенклатура ёпс, содержащая следующие целые параметры:

ё - размерность элемента; она равна количеству аргументов в интерполяционном полиноме 2(х, ...), который описывает элемент (в частности, значение 1 используется для балочных элементов, 2 - для пластинчатых, 3 - для объёмных);

с = 1

2 (х)

1

Ч

Ч

П 121 Ч N Ч 2 2

мента. В качестве примера использования предложенной классификации приводится список элементов, используемых в программном комплексе АКБУБ, и их систематические обозначения согласно введённой номенклатуре элементов.

Данная статья является продолжением исследований, начатых в работах [1;2]. Однако в настоящей работе сделан упор на строгой систематичности предложенной классификации с подробным описанием каждого её параметра и деталей, объяснением численной процедуры, с помощью которой возможно по исходным параметрам классификации элемента построить его функции формы и другие необходимые матрицы.

п - число узлов элемента; может быть задано в виде набора групп узлов;

с - параметр, описывающий число и структуру координат в каждом узле; в простейшем случае с - это число производных от полинома 2 начиная с 0-й производной:

2

а0

2.

а1

а2

-г 2.

ах0 _ ' ах1 _ ' ах2 _ ' "'' ахс-На рис. 1 приведены широко используемые одномерные конечные элементы.

с = 2

21

г (х)

А. 7

11 ''2 (х) = а1 + а2 х ¡ +

п = 3

{мм

х1 1111 х3

2 (х)

2

2,

2 (х)а

а. 7 у а 2 ; а-22

а* 1/ а* 3 '

Рис. 1. Одномерные элементы 1пс и их интерполяционные полиномы

узловых координат (рис. 1, внизу). Ниже используются расширения ё

Код ёпс описывает элемент с п узлами, в которых введено с координат в узле. Это обозначение может быть расширено

до ёпГ1 сд, если добавлены щ узлов на сторонах элемента, каждый из которых имеет £

п с V V ко

и

п с

ё VV и ко

для двух- и трёхмерных элементов, в которых введены дополнительные п узлов на

х

х

* х2 х

х

х

2

2 I . 3

х2 х

гранях и V узлов в объёме трёхмерного элемента; о и С - соответствующие параметры узловых координат. Обозначение

¿пс позволяет непосредственно определить число степеней свободы элемента Б согласно следующему правилу:

Б = пс + 1д + жст + у£ . (1)

Для обозначения 11 сс, где параметр с

одинаковый для обоих уровней, допустима сокращённая форма 1Ыс, где N = п + п, как

Л п"г , ч к-1

I n c

Z h V

(x) = Z

ahx

:(1

k=1

x(x)

Граничные условия в узлах элемента Коэффициенты ак в формуле (1) определяются из граничных условий. Они формулируются в каждом узле элемента с индексом г; в каждом узле можно ввести

1=0

для i=1, . . ,N

для j=0, . . .,c-1 1=1+1

inc

d jZn (x)

показано на рис. 1 (внизу). Наоборот, краткую форму 1Мс можно привести к полной по правилу

1Nc ® 1

2 c

Р n=2 т-е- h=N-2; V=c ■

если N > 2.

Зная общее число координат Б, для одномерного элемента 1 П V можно записать интерполяционный полином с Б неопределёнными коэффициентами (рис. 1):

a

aD }T =x(x) - a.

(1)

одно или несколько граничных условий с индексом ]. Таким образом, возникает система линейных уравнений:

dxj

Zi,/ ° zi.

(2)

В уравнении (2) узловые координаты обозначаются двумя эквивалентными способами: с использованием двух индексов -Zr,í, где индекс г соответствует номеру узла, а ^ - индексу координаты в узле (начи-

ная с 0); с использованием одного индекса - 11, где I = 1, ..., Б - глобальный номер координаты в элементе. В разных частях работы одно из двух представлений оказывается более удобным, чем другое.

Автоматическое формирование функций формы элемента

Подстановка полинома (1) в уравнение (2) приводит к системе линейных уравнений:

1=0

для i=1, . . ,N

для j=0, . . .,c-1 1=1+1

Z ц-1)-/X?-1)- ч

^ ° Zi,j:

k=1

Wik

(3)

или, в матричной форме, W • a = z .

Величины (к -1)-представляют собой падающий факториал Похгаммера:

Га^, если а> г;

(а)-г = а-(а -1) •. ..-(а- г +1) =

0,

если a < r.

(4)

r сомножителей

Компоненты матрицы Wik определяются уравнением (3), где также указаны пределы изменения индексов i, j, k и I. По-

сле разрешения уравнения (3) относительно a имеем

Z1 (X) = ZZZ xk-1Wk-1 Zi,j

(5)

i=1 j=0 k =1

sf; y( x )

матрицей-строкой функций формы s1nc и матрицей-столбцом узловых координат г. Уравнение (5) будет обобщено ниже для

лП 1 лпс

(х,...) = х(х, . . .)•W-1 • г = х, . ..)• г .

элемента произвольной размерности d в следующем виде:

d / -, s . ( x, . .. )

N-2 c

a

x=x

с

Матрица W постоянна, вектор-строка х зависит от координаты х (а также у, в случае ё = 2, или обеих координат, у и г, в

Двухмерные элементы 2пс

Номенклатура двухмерных элементов более разнообразна. Различное число узлов может быть расположено в вершинах, на рёбрах и внутри элементов (рис. 2).

Где это возможно, элементы на рис. 2 идентифицируются просто общим числом их узлов. Однако в случаях, когда возни-

случае ё = 3), столбец г содержит узловые координаты.

кают конфликты обозначений, важно отдельно указывать число узлов в вершинах, на рёбрах и внутри. Следующий «препроцессор» может быть предложен для конвертации короткого обозначения 2Ыс в полное:

26с ® 23с, т.е. v=з,v=c, 28с ® 24с, т.е. Ц=4, ?=с,

п=3

>4 с

п=4

29с ® 24с, т.е. ,=4, ?=с

1 с К=1, 0=с

если N = 6; если N = 8; если N = 9;

общая формула:

210с ® 23с, т.е. ,=6,?=с, если N = 10; и т.д.

1 с к=1, о=с

Элементы матрицы на рисунке могут быть вычислены по следующему алгоритму.

ё = ["(4/1 + 8,0-1)/2 -1 кхг = {О = 12}{ё =

М = ((к0 +g-k-k 12)тоё2) • (1 - {ё = g}{d = k +1})

3с

п=3

п = №/ 2} -1) тоё2 + 3;

V = |_(N - п)/ п} п; к = N -п-,;

V = с.

g= (^1 + 8(к +1)-1)/2 -1 к0 = g (g +1)/2 В = + g-k-k 12У2}

аЦ = (1 - М)В+М(g - В)

а

22

Ок

О=1 2

3

4

5

6

7

8

аБк ';ат = 9

(1 - м)(g - в)+мв = g -а

21

Ок

2 = I

а,х

аВк у аВк

10 11 12

13

14

15

16

к=1

к=0 к=1 к=2 к=3 к=4 к=5 к=6 к=7 к=8 к=9 10 11 12 13 14 15 0;0

0;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

0;0 1;0 0;1

~ 2 " ------2

_______ху

0;2 2;1 1;2

2;0 0;2 2;1 1;2

2;0 0;2 2;1 1;2 2;2

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3 2;2

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3 3;1 1;3

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3 3;1 1;3 2;2

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3 3;1 1;3 3;2 2;3

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3 3;1 1;3 2;2 4;0 0;4

2;0 0;2 2;1 1;2 3;0 0;3 3;1 1;3 2;2 3;2 2;3 3;3

Рис. 2. Базовые элементы 2пс, треугольник Паскаля и его матричная форма

210

Интерполяционный полином произвольного двухмерного элемента с кодом

п с

2 рда зависит от двух локальных коорди-

нат, х и у, и может быть записан таким образом:

IV Б 1 21 22 21 22 21 22 21 22

7 жа{х,у) = £ак+1 хаБкуаБк = {хаБ0уаБ0 хату^1 ... х^'у0^1}{оа, а2 ... аБ}т = х(х,/)• а,

к=0

21 22 ~ где аБк, аБк - показатели степеней полиномиальных членов из треугольника Паскаля, определённые на рис. 2, в строке матрицы с номером Б; индекс к пробегает диапазон 0, ..., Б - 1.

х ( x, У )

Чтобы определить коэффициенты а, необходимо выписать граничные условия, как это было в уравнении (3). В двухмерном случае они имеют вид частных производных по х и у

21

1=0

для г=1, . . .,N

для У=0, . . .,с-1 1=1+1

а21 + а22 1 Эа+а°27 ~(х,у)

Б-1

а21 а22 — X (аОк)-а21(аОк)

Эха Эуа к=0 { а

^ х=хг

у=у!

„21 -ау21 „22 -гр22 аВк иФк «щ

Уг

(7)

которые опять имеют матричную форму W • а = г .

»м

После этого функции формы могут быть вычислены согласно уравнению (6).

Трёхмерные элементы 3пс

Произвольный объёмный элемент

имеет по крайней мере п-с координат

в вершинах; дополнительно он может иметь П'Я координат на рёбрах, п- о координат на его гранях и, наконец, ^^коор-

динат внутри объёма элемента. Интерполяционный полином 7 зависит от трёх координат, х, у и а показатели их степеней определены в матричной форме на рис. 3.

а]эк ;аБк ;аБк

Б=1 2

3

4

5

6

7

8 9

10 11 12

13

14

к=0 0;0,0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

0;0;0

к=1 к=2 к=3

0;0;1 0;1;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0 1;0;0

к=4 к=5 к=6 к=7 к=8 к=9 10

3п

11

12 13

14

->п с 31?

7 ■ ■ :(х,у, 1) = Xак^у^

к=0

0;0;1

0;1;0_

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;1;0

0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1 0;0;1

1;1;0 1;0;1 0;1;1 1;1;1 0;0;2

1;1;0 1;0;1 0;1;1 2;0;0 0;2;0 0;0;2

1;1;0 1;0;1 0;1;1 2;0;0 0;2;0 0;0;2 1;1;1

1;1;0 1;0;1 0;1;1 2;0;0 0;2;0 0;0;2 1;1;1 2;2;2

1;1;0 1;0;1 0;1;1 2;0;0 0;2;0 0;0;2 1;1;1 2;0;1 1;0;2

1;1;0 1;0;1 0;1;1 2;0;0 0;2;0 0;0;2 2;0;1 1;0;2 0;2;1 0;1;2

1;1;0 1;0;1 0;1;1 2;0;0 0;2;0 0;0;2 1;1;1 2;0;1 1;0;2 0;2;1 0;1;2

Рис. 3. Объёмные элементы 3 пс , полиномиальные члены, пирамида Паскаля

пс

а

п с

Полином X может быть записан в общей форме с использованием показателей степеней

Л 1 -Л Г\ ЛЛ

полиномиальных членов аБк, авк, авк, к = 0, ..., Б - 1 (в строке Б матрицы на рис. 3):

X^ (х,у,г) = X ак+1 х^у^г^

к=0

= {ха<

а32 а33

Б О уаБ 0 0

"в,в-1, а3,о-1 „ аЬ3,л-1 х • у - г •

}{а -

ав}т = х( х,у,г) ■ а.

Коэффициенты а1, ..., аБ в уравнении определяются из системы линейных урав-

х(х,у,г) а

нений, сформулированной ниже, где предполагается значение й = 3:

I=0

для ¿=1,...,^

для у=0,...,с-1 1=1+1

д'

.а

■¡пс

Xй- (Х1,...,х,)

дха ...дха

а -а<йу

Мпъ "л;

Б-1 й

йф ) хаБк ^=хи ^^ Бк) а Ф : к=0 ф=1 хй =хЛ 4-V-

ак+1 =

(8)

ш,

I ,к+1

или W ■ а = г .

После этого функции формы могут быть вычислены согласно формуле (6).

Формула (8) превращается в формулу (7) в случае й = 2 и в формулу (3) в случае й = 1.

Четвёртый параметр т, завершающий код

В предыдущих параграфах было введено описание интерполяционного полинома одной или нескольких переменных и показано, что он может быть представлен

обозначением йпс. Однако в приложениях

часто используется одновременно т таких полиномов для интерполяции различных полей переменных, например декартовых компонент перемещений. Для учёта этого

пет кинематики элемента

четвёртый параметр т присоединяется к

коду, и он превращается в йп ст .

На рис. 2 два простейших одномерных элемента 121 и 122 из рис. 1 показаны вверху, и их коды йпс модифицируются путём присоединения разряда т = 1 или 2. Это преобразование вкладывает эти элементы в пространство размерности т, формируя элементарные элементы стержня и изгибной балки для плоского и объёмного случаев.

А у

V (х) <к 2.

1212

X ,7

X (х), V (х)

/ 72

17,

о > 1- X 2 -о^1

л V

1222

А. г V ¿х 11У ___ г (х)

{х = х1 А. г ¿х 12

/Г2 X

122 XV = 1222;

Рис. 4. Преобразование линейного и кубического элементов путём удвоения полиномов

Такое же преобразование может быть применено к плоским элементам, как показано на рис. 5, где обозначения 2пст соседствуют с традиционными сокращения-

ми, принятыми в англоязычной литературе. То же применимо и к объёмным элементам типа 3пст.

*2 х

х

х

х

х

2

Рис. 5. Элементы 2п1т при п = 3,...,8 (используют только координаты узлов: с = 1; m = 1 или 2)

Элементы балок и пластин как комбинации

Структурные элементы балок и пластин имеют различный порядок полиномов для описания продольных и поперечных перемещений. Простейший пример: элемент плоской балки, состоящий из линейного элемента стержня 121 (поля продольных перемещений X) и кубического элемента изгибной балки 122 (поля поперечных перемещений У). Коды этих элементов можно «склеить» вместе для описания всего элемента плоской балки: 112212 , или, проще, 122.

В трёхмерном случае стандартный балочный элемент имеет по 6 координат в узле: перемещения X, У, 7 в трёх направлениях и повороты а в, У относительно трёх осей. Повороты обычно связываются с производными следующим образом:

Ь = -, У= + ^У. Таким образом, всего

образуется четыре независимых поля перемещений: два поля Х(х) и а(х), которые линейно интерполируют перемещения вдоль оси X и кручение вокруг этой оси

различных кодов йпет

между двумя концами балки (эти поля обозначим 121 (X) и 121 (А)), и два поля У(х) и 7(х), которые являются кубическими по х (в каждом узле - перемещение и поворот). Эти поля обозначаются 122 (У) и 122 (7). Кратчайшая комбинация всех этих

обозначений выглядит так: 1222.

Чтобы указать правильный порядок нумерации узловых координат, применяется следующая нотация: 1222[2з]6-5], или

121 2 [1,4]

122 2 [2,3,6,-5] .

Похожим образом комбинация элемента мембраны 2412 и изгибного элемента пластины 2431 приводит к следующему комбинированному коду: 24 11 [3Д4]. Однако такая формулировка не содержит вращательных степеней свободы в плоскости пластины. Примеры элементов балок и пластин, используемых в АКБУБ, даны в таблице.

Расширение кинематического кода йпет

Геометрия и кинематика конечного элемента были представлены выше набором целых параметров ¿, п, с, т и, возможно, дополнительных параметров п, Я, п, о, л и С

Теперь это кинематическое представление элемента расширяется парамет-

[ физического функционала ко(

рами, определяющими физический функционал, реализуемый элементом:

к - наибольший порядок производной, входящий в подынтегральное выражение;

о - алгебраический порядок полинома от производных, указанных выше;

t - дополнительный параметр, позволяющий различать элементы с одинаковыми к и о.

Физический функционал элемента определяется в виде интеграла

и

Уп стЫ

=1 ые Стк*4Стш . • ¿ху

2 У раз г=1 1=1

(9)

где Еу - компоненты матрицы размером £х£, определённой по матрице податливости Сард следующим образом: Еу = [Срт]-[см. (10)]. Величина £ равна числу скаляр-

ных деформаций (или величин, по смыслу близких к деформациям) и может быть определена так:

£ =

(У +1), если У = т ( для задач упругости);

У,

если й ф т ( для температурных и др. задач ).

Параметр к для часто встречающихся элементов может принимать значения к = 0,1,2,3, и тогда деформации соответст-

вующего порядка производной определяются так:

:и;

У m\ot

2

Чг1

если г<У

Эи Эи

- + -

Эх Эх„

+

у Эи1_ Эи1_

Э) Эхт,

- 1 - 2и,

V

если

линейные члены, tФ1

1

- Е-

квадратичные члены о=2 t=1 (

+ ■

Эи Эи

].

Эх, Эх,

Э 2и

Эи

2 1=! Эх Эх г=1 Эх,

^ Рг тг 1

если ротор, если t=-1

Л

е + Хт е —

1 д= 1 Эх2

если г<У

линейные

квадратичные члены, о>1

где е]Г = 1- г, е

(1-г )(г-д)( Д-1) 2

- 2- и 3-индексные символы Леви-Чивиты;

Уп m3ot

Э V ах?

-+

Такое определение деформаций для г = 1,...,У соответствует нормальным деформациям в случае й = 1,...,3, и сдвиговым деформациям для г = й + 1,...,£. Оно подходит для пружин, пластин и объёмных элементов, для температурных, электростатических и других задач. Параметр о определяет линейность (о = 1) или нелинейность (о > 1) используемых соотноше-

Э3и1

{х-

для пластины, У=2

ний между перемещениями и деформациями. Параметр t - это дополнительный тип, который позволяет различать формулы одинаковых порядков по к и о.

Компоненты матрицы ЕУ = [С^д ]-1 в уравнении (9) получаются из матрицы податливости СРУт . В случае ортотропного материала она выглядит так:

С Рт [ Еп \рт , С

1 -п21

Е11 Е22

-П12 1

Ец Е22

о о

о

0

1

°12

и т.д.

рт

Таким образом, полное описание элемента с учётом его материала имеет вид

п с

1

если t=2

Упс т2ог

т

2

d "cmkot [£„,Vl2 , E22 , G12 , E33 , П23 , П31, G23 , G31].

(11)

Применение кода dncmkot для существующих и новых элементов

Алгоритмы и формулы, приведенные в данной работе, были протестированы и реализованы в программном комплексе. С его использованием были созданы новые

конечные элементы (по результатам данных исследований были опубликованы статьи):

/- 1ООО121220 102 3 121220 ,~3 3 121220 0121 0121Г0 л-,

■ элементы балок: 1223 , 12j 1 , 123 3 , 22c2 , 32c3 [3 ;4J;

■ элементы пластин: 231103 121230, 23 43121230, 2nc2121, 4nc3121 [3;5-7];

121

- объёмные элементы: 3и43 [8;9]. В качестве дальнейшей иллюстрации данного подхода приведен список конечных элементов из программного комплекса

ANSYS и соответствующие им описания согласно данной работе.

Таблица

Элемент ANSYS dncm Kot [Параметры материала] Индексы Координаты узлов

LINK 1,8,10,180 1211 110 [E ] x y1 , 1); y2(, }

LINK 32, 33 1211 A ] x y1 , 1); y2(, }

LINK 34 1211 И-Heff ] x y1, 1; x2, 2, 2}

LINK 68 1011 110 [ Kx] 1211 110 010 [-sx -ßx] {x1,y1,z1; x2,y2,z2}

BEAM 3 12 11 110 [ ea,GI^ [1,4] 122021 1 210 310 [EI,(EI)2 /GA] [2,3,6,-5] {x1,y1; x2,y2}

BEAM 4, 188, 189 1n 1л 110 [ EA,GI1 ] [1,4] 1П2021 2 210 310 [EI2,E?3,(E?2)2/GA2,(EI3)2/GA3] [2,3,6,-5] n=2 for BEAM4,188 n=3 for BEAM189 K1=0

BEAM 188,189 1n 1 1 HO [EA] [1] 2021 2 210 310 [EI2,EI3,GA2,GA3 ] [2,3,6,-5] 2 1 110 210 [GI1,EIw] [4,7] n=2 for BEAM188 n=3 for BEAM189 K1=1

SHELL 57 2n11 lKx-1 x y1(, 1); ..., nyn(,zn , n = 3 or 4

SHELL 157 2n12 lKx , Krh x x y1(, 1); ..., nyn(,zn , n = 3 or 4

SHELL 41 2n12 ,tyh, y 1 x y , 1; x , n,zn , n = 3 or 4

SOLID 182 2412 ] x y ; ...;x4, 4} K2=0

SOLID 285 3413 [E,v,Ey,Gxy, , , , , ] x y1, 1 ...; 4, 4, 4}

SOLID 187, 92 3Ю13 [E,v,Ey,Gxy, , , , , ] x y1, 1 .; , , 10}

SOLID 185 3813 lE,v,Ey,GXУ, , , , , ] x y1, 1 ...; 8, 8, 8} K2=0

SOLID 185 3813 [E,v,Ey,Gxy,Ez,vyz ,vxz ,Gyz,Gxz] {x1,y1,z1; ...; x8,y8,z8} K2=3

SOLID 186 3813 [E,v,Ey,Gxy,Ez,vyz ,vxz ,Gyz,Gxz] {x1,y1,z1; ...; x20,y20,z20}

SOLID 70,87,90 3n11 lKx^y ] n = 4,5,6,8,10,13,15,16,20

122 123 SOTID SOLID 231, 232,96 3n11 [ßx,ßx,ßz] x y1, 1 ... n, n, n} n={20,15,13,10,8,6,5,4}

SOLID 127 3Ю11 [ßx ßx ] x y1, 1 ... 10, , 10 ,p-element

SOLID 128 3n11 lßxßx ] x y1, 1 ... xn,yn,zn n={20,15,10}p

SOLID 147 3n13 EvEy,Gxy, , , , , ] x y1, 1 ... xn,yn,zn n={20,15,10}p

SOLID 148 3Ю13 [E,v,Ey,Gxy, , , , , ] x y1, 1 ... 10, , 10} p

SOLID 45,46,64,185 3n13 [W,Gxy, , , , , J x y1, 1 ... xn,yn,zn , n={8,6,4}

SOLID 186, 95, 191 3n 13 [E,v,Ey,Gxy, ,vy , , , ] x y1, 1; ;xn ,zn n={20,15,13,10}

SOLID 187 3^13 [E,v,Ey,Gxy, , , , , ] x y1, 1; ; 10, 10, 10} Окончание таблицы

Элемент ANSYS dncm Kot [Параметры материала] Индексы Координаты узлов

SOLID 226,227 3 n 1 3 110 010 [ E,v,Ey,Gxy, Ez,vyz,vxz, ... ;-ßx-ßy,-ßz ] 11 110 [ Kx, Ky, Kz ] x y1, 1; ;xn ,zn «={20,15,13,10} K1=11

3n13 110 010 [ E,v,Ey,Gxy, Ez,vyz,vxz, . .. ;-ßx-ßy,-ßz ] 3 1 110 [ Kx, Ky, Kz ] K1=101

3n13 110 110 [ E ,v,Ey,Gxy, Ez ,vyz ,vxz, . . ,;e11, . . ,,e63] 3П11 110 110 [-¿x,-ey,-fi!;en, . . ,,e63] K1=1001

о -Л 110 [ Kx,Ky, Kz ] 3n 11 110 010 [-ex,-£y,-£z;-ßx,-ßy,-ßz] K1=110

3n13 110 010 [ E ,v,Ey,Gxy, Ez,vyz,vxz, . .. ;-ßx,-ßy,-ßz ] 3n11 110 [ Kx, Ky, Kz ] K1=111

3n13 110 010 110 [ E,v,Ey ,Gxy,.. ;-ßx,-ßy,-ßz;e11, . . ,,e63] 3П11 110 [ Kx,Ky, Kz ] 1 110 110 [-ex,-ey ,-e;e11, . . ,e 63] K1=1011

SOLID 231,232 3n11 ы ] x y1, 1; ;xn ,zn «={20,15,13,10}

SOLID 62 3n13 110 010 [E,v,Ey,Gxy,Ez,vyz,..:~ßx-ßy,-ßz] 3П13 11-1 [vx,vy,vz ] 1 110 110 [0,0,0;-gx,-gy ,-gz ] n=8,6,5,4;

SOLID 69 о i3 110 [ Kx,Ky, Kz ] 3n11 110 010 [-ex,-£y,-ez;-ßx,-ßy,-ßz] n=8,6,5,4;

SOLID 223 912 110 010 [E■ h,v,Ey■ h,Gxy■ h;-ßx,-ßy] 2П11 110 [ Kx ■ h,Ky ■ h] n=8,6; K1=11

223 _ -.2 110 110 [ E ,v,Ey,Gxy, Ez ,vyz,vxz, . . ,;e11, . . ,,e63] 2n11 110 110 [-¿x,-ey,-E!-,e11,.. ,,e63] K1=1001

SOLID 223 ?n12 110 010 [E■ h,v,Ey■ h,Gxy■ h;-ßx,-ßy] 2П11 110 [ Kx ■ h,Ky ■ h] 1 110 010 [mx,iiy;-gx,-gy] n=8,6; K1=1011

Заключение

Предложен новый способ систематического описания произвольного конечного элемента в виде набора целых чисел dncmkot, который однозначно отражает геометрию, кинематику и физический функционал элемента. Предложен также алгоритм в виде конкретных формул, позволяющий по данному набору чисел сгенерировать необходимые матрицы: функций формы, жёсткости и пр.

Приведены примеры применения данной классификации в виде обозначения существующих элементов из программного комплекса ANSYS посредством комбинаций dncmkot.

С использованием этого же подхода были созданы новые конечные элементы,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dmitrochenko, O. A formal procedure and invariants of a transition from conventional finite elements to the absolute nodal coordinate formulation

по результатам исследований опубликованы статьи в рецензируемых изданиях.

Приведенная классификация в её простейшей форме, безусловно, не охватывает все существующие элементы, поэтому в последующей работе, подготовленной к публикации, она будет модифицирована с целью включения в неё более сложных элементов:

- элементов сложной кинематики с конденсацией узлов на этапе построения;

- элементов, сочетающих разные физические поля и функционалы;

- неполиномиальных функции формы

и др.

/ O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Multibody System Dynamics. - 2009. - Vol. 22(4). - P. 323-339. 2. Dmitrochenko, O. Digital Nomenclature Code for Topology and Kinematics of Finite Elements based

on the Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineering. Part K: Journal of Multi-Body Dynamics. - 2011. - Vol. 225(1). - P. 34-51.

3. Dmitrochenko, O. Generalization of Plate Finite Elements for Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, D. Pogorelov // Multibody System Dynamics. - 2003. - Vol. 10(1). - P. 1743.

4. Yoo, W.-S. A new thin spatial beam element using the absolute nodal coordinates: Application to a rotating strip / W.-S. Yoo, O. Dmitrochenko, S.-J. Park, O-K. Lim // Mechanics Based Design of Structures and Machines. - 2005. - Vol. 33(3-4). -P. 399-422.

5. Dmitrochenko, O. Two Simple Triangular Plate Elements Based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. - 2008. - Vol. 3(4). - P. 1-8.

6. Olshevsky, A. A triangular plate element 2343 using second-order absolute-nodal-coordinate slopes: numerical computation of shape functions / A. Olshevsky, O. Dmitrochenko, S.-S. Lee, C.-W. Kim // Nonlinear Dynamics. - 2013. - Vol. 74. - P. 1-20.

7. Olshevskiy, A. Three- and four-noded planar elements using absolute nodal coordinate formulation / A. Olshevskiy, O. Dmitrochenko, C.-W. Kim // Multibody System Dynamics. - 2013. - Vol. 29(3). - P. 255-269.

8. Olshevsky, A. Three-Dimensional Solid Elements Using Slopes in the Absolute Nodal Coordinate Formulation / A. Olshevsky, O. Dmitrochenko, C.W. Kim // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. - 2014. - Vol. 9(2). - P. 1-10.

9. Dmitrochenko, O.N. Coupled deformation modes in the large deformation finite element analysis: generalization / O.N. Dmitrochenko, B.A. Hussein, A.A. Shabana // Journal of computational and nonlinear dynamics. - 2009. - Vol. 4(2). - P. 1-10.

1. Dmitrochenko, O. A formal procedure and invariants of a transition from conventional finite elements to the absolute nodal coordinate formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Multibody System Dynamics. - 2009. - Vol. 22(4). - P. 323-339.

2. Dmitrochenko, O. Digital Nomenclature Code for Topology and Kinematics of Finite Elements based on the Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Proceedings of the Institute of Mechanical Engineering. Part K: Journal of Multi-Body Dynamics. - 2011. - Vol. 225(1). - P. 34-51.

3. Dmitrochenko, O. Generalization of Plate Finite Elements for Absolute Nodal Coordinate Formulation / O. Dmitrochenko, D. Pogorelov // Multibody System Dynamics. - 2003. - Vol. 10(1). - P. 1743.

4. Yoo, W.-S. A new thin spatial beam element using the absolute nodal coordinates: Application to a rotating strip / W.-S. Yoo, O. Dmitrochenko, S.-J. Park, O-K. Lim // Mechanics Based Design of Structures and Machines. - 2005. - Vol. 33(3-4). -P. 399-422.

5. Dmitrochenko, O. Two Simple Triangular Plate Elements Based on the Absolute Nodal Coordinate

Formulation / O. Dmitrochenko, A. Mikkola // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics.

- 2008. - Vol. 3(4). - P. 1-8.

6. Olshevsky, A. A triangular plate element 2343 using second-order absolute-nodal-coordinate slopes: numerical computation of shape functions / A. Olshevsky, O. Dmitrochenko, S.-S. Lee, C.-W. Kim // Nonlinear Dynamics. - 2013. - Vol. 74. - P. 1-20.

7. Olshevskiy, A. Three- and four-noded planar elements using absolute nodal coordinate formulation / A. Olshevskiy, O. Dmitrochenko, C.-W. Kim // Multibody System Dynamics. - 2013. - Vol. 29(3).

- P. 255-269.

8. Olshevsky, A. Three-Dimensional Solid Elements Using Slopes in the Absolute Nodal Coordinate Formulation / A. Olshevsky, O. Dmitrochenko, C.W. Kim // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. - 2014. - Vol. 9(2). - P. 1-10.

9. Dmitrochenko, O.N. Coupled deformation modes in the large deformation finite element analysis: generalization /O.N. Dmitrochenko, B.A. Hussein, A.A. Shabana // Journal of computational and nonlinear dynamics. - 2009. - Vol. 4(2). - P. 1-10.

Статья поступила в редколлегию 27.10.2016. Рецензент: д.т.н., профессор Брянского государственного технического университета

Сокало В.И.

Сведения об авторах:

Дмитроченко Олег Николаевич, докторант Брянского государственного технического университета, тел.: 568637, е-шаИ: [email protected].

Dmitrochenko Oleg Nikolayevich, Doctoral student of Bryansk State Technical University, е-mail: [email protected].