О направленном возмущении дискретных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

44

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74)

УДК 517.984.4

О НАПРАВЛЕННОМ ВОЗМУЩЕНИИ ДИСКРЕТНЫХ

ОПЕРАТОРОВ

© 2009 Е.М. Малеко1

Под направленно возмущенным оператором будем понимать оператор, который построен путем возмущения дискретного оператора операторами сдвига, причем таким образом, что одной из собственных функций построенного оператора является любая наперед заданная ненулевая функция из области определения исходного оператора. При решении задач теоретической физики часто используют спектр исследуемого оператора, притом во многих случаях лишь дискретную его часть, а иногда совместно с собственными (и присоединенными) функциями. Наверное, для исследователя было бы немаловажным знать, что можно, возмущая исходный оператор, получать оператор с похожим на первоначальный спектром и наперед заданной функцией, являющейся какой угодно по номеру собственной функцией возмущенного оператора.

Ключевые слова: спектр, дискретный оператор, гильбертово пространство.

1. Постановка задачи

Термины, связанные с "направлениями" операторов (функций, функционалов и т.п.) достаточно распространены и существуют давно. К примеру, хорошо известен принадлежащий М.Г. Крейну (см. [1, 2]) термин направляющий функционал, построенный следующим образом: для функции / £ И'

ь

Ф3(/, Х) = ! /(х)у(х, Л)йх, 3 = 1,2,..., 2п, (1.1)

а

где И' - совокупность всех функций из Ь2(а,Ъ), равных нулю вне некоторого промежутка [а, в] С (а,Ь) (своего для каждой функции), Уз = Уз(х, Л), 3 = 1,..., 2п — фундаментальная система решений уравнения

1Малеко Евгений Михайлович ([email protected], [email protected]), кафедра математики Магнитогорского государственного технического университета, 455000, Россия, Магнитогорск, пр. Ленина, 38.

l(y) = Ay, yj 1](жо,Л) = Sjk, x0 £ (a,b), 5jk — символ Кронекера,

yjv], v = 1, 2,..., m, — v-я квазипроизводная функции yj (по первому аргументу).

Линейные функционалы Фj, определенные в h' по формуле (1.1), называются направляющими функционалами самосопряженного дифференциального выражения l(y).

Одно из основных свойств направляющих функционалов Фj (f, A) следующее: если f £ Dl П h', то при любом вещественном A

Ф,(Lf, A) = AФj(f, A), (1.2)

где L - самосопряженное расширение симметрического оператора, порожденного дифференциальным выражением l(y). Никакой роли функционалы Фj в данной работе не играют, однако в какой-то степени оправдывают, благодаря (1.2), правильность выбранного термина направленно возмущенный оператор.

Итак, изучая в некотором контакте с авторами статей [3-7] приложения теории регуляризованных следов, пришлось столкнуться с тем фактом, что поправки возмущений обнулялись тогда, когда в качестве оператора возмущения рассматривался оператор сдвига

Pmyj — yj+m,

где ys (s £ n) - собственные функции дискретного оператора A, образующие в СГП h ортонормированный базис (под СГП h будем понимать сепарабельное гильбертово пространство над полем комплексных чисел). Тогда (см. [12, с. 330-340]) справедливы системы равенств

m

- АП) = 0, n = Tpm, m £ n.

i=1

Здесь Ai - собственные числа оператора A, ^ - собственные числа возмущенного оператора T = A + Pm. Автору этот факт показался небезынтересным, всвязи с чем и возникли представленные ниже соображения (см. также [9, 10]).

Пусть A — действующий в СГП h дискретный оператор, собственные числа Ai, i £ n которого простые и занумерованы в порядке возрастания модулей, а соответствующие собственные функции рi образуют в h ортонормированный базис. Будем полагать, что оператор A удовлетворяет условию (1.3), то есть для любого натурального числа k найдется положительное число N(k) такое, что для всех i ^ N (k) выполняется неравенство

|Ai+k - Ai| < 1. (1.3)

|Ai|

Из изоморфизма между СГП h и пространством I2 (I2 - линейное пространство, элементами которого являются последовательности чисел {£n}

таких, что £ |£п|2 < го) следует, что если Н € н и Н = ^ Н^, где Нг =

п=1 г=1

= (Н, ((■, ■) - скалярное произведение в н), то оператор сдвига Рт с целым индексом т действует в ¿2 так:

{(0, 0,..., 0,Н1,Н2,...) при т > 0,

(и т и \ а

(Н1, Н2, Нз,...) при т = 0,

^Н + Ь^т^ ...) пРи т< 0

а соответствующий оператору Рт оператор сдвига рт в н действует, очевидно, таким образом:

Г 0 € н при т + г ^ 0,

рт^г = \ •

[ ^г+т при т + г > 0,

Н = / Ег°=1 Нг+|т|^г при т ^ 0,

тН =

I 2^г=1 Нг^г+т при т ^ 0.

ртН => п+|т

2. Направленное возмущение дискретного оператора

Рассмотрим уравнение

(а + ^ апр^ / = Л/, (2.1)

где / € £>(А), Л € с, а = (а^)?^ — набор чисел. Левую часть этого уравнения ввиду линейности операторов рт и А представим в виде

оо \ / те \

А + £ апРп) / = Е ~1 /г а + £ апрп ^ =

п=1 / V п=1 / (2 2)

те / те \ (2.2)

= Е /г Лг^г + Е ап^г+п) , /г = (/, ^г), г=1 V п=1 /

а правую в виде

те

Л/ = Л ^ /г^г. (2.3)

г=1

Из уравнения (2.1) следует, что правые части равенств (2.2) и (2.3) равны между собой, поэтому, приравнивая в них соответствующие коэффициенты при получим систему относительно неизвестных /^:

{ /1(Л1 - Л) = 0, а/ + /2(Л2 - Л) = 0, а2/1 + а1/2 + /з(Лз - Л) = 0,

аи/1 + ай-1/2 + ... + а/ + Д+1(Ли+1 - Л) = 0,

Эту систему представим в более компактном виде: к-1

^ак-3¡г+з + /к+1(Лк+1 - А)=0, к = 0,1,2,..., (2.4)

3=0

при к = 0, полагая ^к=0 ак-з¡1+з = 0.

Возьмем функцию Н еР(А), для которой (Н,рг) = 0. В формуле (2.4)

положим А = Аг. Тогда можно выбрать значение ¡1 равным числу (Н,<р{) и из (2.4) получить все ¡к, к > 1:

к-1

¡к = (Аг - Ак)-1 ^ ¡гак-г. (2.5)

г=1

По формуле (2.5) легко подбирается единственный набор чисел а = = (а1,а2,...) такой, что (Н,рг) = ¡г, г = 1,2,3,... Другими словами, ¡г -коэффициенты Фурье в разложении Н по базису {рг}. Единственность а очевидна, так как каждое аз рекуррентно выражается через аг с меньшими номерами (г < ]).

Возьмем функцию Н £ Т>(А), для которой (Н,р{) = (Н,^2) = ... = = (Н,рз-1) = 0 и (Н,(рз) = 0. В формуле (2.4) положим А = А3. Тогда можно выбрать значения ¡г равными числам (Н,^г), г = 1,], и из (2.4) получить все остальные ¡к, к > ]:

к-1

¡к = (А3 - Ак)-1 ^ ¡гак-г. (2.6)

г=з

По формуле (2.6) легко подбирается единственный набор чисел а = = (а1,а2,...) такой, что (Н,^г) = ¡г, г = 1,2,3,... Единственность а очевидна, так как каждое аз рекуррентно выражается через аг с меньшими номерами (г < ]).

Из приведенного построения коэффициентов разложения функции Н по базису {<рг} с помощью специального подбора чисел аз по формуле (2.4)

( ~ А

видим, что Н - собственная функция оператора I А + ^ апРп I. Отсюда и

V п=1 /

возникает термин "направленное возмущение" оператора А. Таким образом, доказана следующая лемма.

Лемма 2.1. Пусть А — дискретный оператор в СГП н с простым спектром {Аг}; {<Рг} — набор соответствующих собственных функций, образующих в н ортонормированный базис. Тогда для любой нетривиальной функции Н £ Т>(А) найдется единственный набор чисел а= (аг)£=1 такой, что справедливы равенства: 1)

+ ^апР^ Н = А1Н, к-1

Нк = (А1 - АкНгак-г, к> 1,

г=1

если Л-1 = (Л, ^>1) = 0, 2)

оо

, апР п \ п=1 /

Лй = (Лт - Л*;)-1^ Л^-г, к > т,

А + X] Л = ЛтЛ,

если (Л, ^1) = ... = (Л, <£т-1) =0 И Лт = (Л, ^т) = 0.

Из леммы 2.1 следует, что для Лт = 0 и Л = 0 при г < т числа а5 вычисляются по формулам

а1 = Лт+1(Лт — Лm+1)/hm, ( в-1 ^

аз — ( Лт+«(Лт Лт+«) ^^ агЛз-г+т 1 /hm, (2.7)

V г=1 /

8 = 2, 3, 4, ...

Поставим в соответствие каждому Л € н целое неотрицательное число р = р(Л, |^г|), равное количеству первых нулевых компонент в разложении Л по базису }, то есть для функции Л € н, у которой

Л-1 = Л-2 = ... = = 0, +1 =0, Лг = (Л, <£г),

имеем р = V. Понятно, что если Л = (Л, ^>1) = 0, то р = 0. Применим лемму 2.1 для доказательства следующей теоремы.

Теорема 2.1. Пусть А — действующий в СГП н дискретный оператор с простым спектром {Лг}; — набор соответствующих собственных функций, образующих в н ортонормированный базис. Тогда для любой нетривиальной функции Л € ^Р(А) и произвольно взятого номера к, к > р, набор чисел а = а(Л, к) := {а5}^=1:

а1 = Лр+2(Лй — Лй+1)/Лр+Ъ

а = ^Лр+1+«(Л& — Л&+«) — Е агЛ«-г+р+1^ /Лр+Ъ (2.8)

8 = 2, 3, 4,...,

обладает тем свойством, что построенный с его помощью оператор

В = В(а, к) := ^рр-й+1Арй-р-1 + ^ агрг ^

удовлетворяет уравнению ВЛ = Л&Л.

Доказательство. Представим равенство

оо

( рр-й+1Арй-р-1 + ^ агрЛ Л = ЛйЛ в виде

оо / оо \

^ Л,рр-й+1 А + ^ агрг - Лй / рЛ-р-1^,- = 0.

.7=1 V г=1 /

Выпишем условия на выбор чисел а8 и Н,, при которых для любого натурального т будут равны нулю скалярные произведения (6,<т), где

^ /те \

6 =^ Н, рр -к+1 Л + ^ агрг - \к Л рк

,=1 V г=1 '

1. Пусть 1 ^ т ^ р, тогда имеем (6,<т) = 0, так как Нт = 0.

2. Пусть т = р + 1, тогда (6,<рт) = (\к — Хк)Нр+1 =0, и потому число Нр+1 может быть отличным от нуля (а из выбора функции Н £ '(Л) как раз и следует, что Нр+1 = 0).

3. Пусть т = р + 2, тогда

(6, <<т) = (Хк+1 — Хк)Нр+2 + афр+1 = 0

и потому

а1 = (Хк — Хк+1)Нр+2/Нр+Ь

4. Пусть т = р + 1 + в, в ^ 2, тогда

(6, <т) = (Хк+в — Хк)Нр+1+в + ^ агНр+1+в-г = 0

г=1

и потому

а я =

( 8-1 \ I НР+1+в(Хк — Хк+в) — агНв+р+1-Л /Нр+1■

Теорема доказана.

Так как оператор Л удовлетворяет условию (1.3), то Рр-к+1ЛРк-р-1Н £ £ Н. Тогда (^¿=1 агРг) Н £ Н и, следовательно, оператор В построен корректно.

Какой спектр у оператора В? Если рассматривать сужение В7 оператора В на конечной размерности 7 собственного подпространства

С7 := Ь(<р1,<р2, ■■■,<1)

оператора Л, то для В7 ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1; Н £ '(А), Хк (к > > р) и а = а(Н, к) — фиксированные функция, собственное число оператора Л и набор чисел для построения оператора В (а, к). Пусть 7 >> к + р и

/ 1 \

В7(а, к) := р(7) ^рр-к+1 Лрк-р-1 + ^ агр^ р(7) является сужением оператора

В(а, к) := Рр-к+1ЛРк-р-1 + ^ агРг

аг г=1

на С7, тогда спектр оператора В7 составляют собственные числа Хг оператора Л с номерами г = к — — р + 7 — 1. Здесь через р(7) обозначен оператор параллельного проектирования н на С7.

Доказательство. Подействуем на функцию / е £7 оператором В7 и рассмотрим условия на коэффициенты /=(/, ^), при которых для всех т = 1,...,7 выполняются равенства:

A) (в, ) = 0, где

7 / 7—. \

в := ^ /рр—^ А + ^ агрг - Л/ ,

7=1 V г=1 /

Л = Л8, 8 = к — р,...,к — р + 7 — 1,

B) (в8= о, где

7 / 7—7 \

в5 := ^ /рр-л+Л А + ^ агрг — Лв/ р*—р—,

7=1 V г=1 /

8 = к — р,..., к — р + 7 — 1.

Случай А). Будем считать равными нулю все суммы ^^Т. а4(-) для д = = Рассматривая для каждого т = 1,...,7 равенства

т— 1

(в <£т) = (Лт+Л—р— 1 — Л)/т + ^ а/т—4 = 0,

4=1

замечаем, что они возможны лишь тогда, когда /1 = /2 = ... = /7 = 0. То есть для Л = Л8, в = к — р, ...,к — р + 7 — 1, оператор (В7 — Л/) обратим и потому Л — регулярное число этого оператора.

С другой стороны, матричное представление конечномерного оператора (В7 — Л/), Л е с\{Лг}, г = к — р,..., к — р + 7 — 1, в базисе — нижняя треугольная с ненулевыми элементами ((А — Л/)^,^), г = 1,...,7, на главной диагонали квадратная матрица. Поэтому (В7 — Л/)-1 существует и, следовательно, Л принадлежит резольвентному множеству оператора В7. Случай В). Легко видеть, что равенства

т— 1

(в., ^т) = (Лт+Л—р— 1 — Л.)/т + ^ а4/т—4 = 0

4=1

для каждого ] е {к — р, ...,к — р + 7 — 1} будут выполняться, если некоторые из чисел /т, 1 ^ т ^ 7, отличны от нуля. Для всех ] е {1,...,к — р — — 1} выражения (в., <^т) = 0, 1 ^ т ^ 7, справедливы только тогда, когда /1 = ... = /7 = 0. Поэтому собственные числа Л^ операторов А и В7 для номеров г е {к — р, ...,к — р + 7 — 1} совпадают, а числа Л^ с номерами г е {1,...,к — р — 1} принадлежат резольвентному множеству оператора В7.

Пусть -ш = 0 — некоторая функция из £7, которая будет собственной функцией оператора В7, соответствующей собственному значению Л., ] е е {к — р, ...,к — р + 7 — 1}, если компоненты -шт ее разложения по базису {^>т} удовлетворяют соотношениям:

т— 1

((В7 — Л./)-Ш, <£т) = (Лт+Й—р—1 — Л.)№т + ^ а1Ит—( = 0,

4=1

т = 1, ■■■, ^^

Отсюда

мт = 0 для т ^ ] — к + р, ■ш,-к+р+1 £ с и -ш,-к+р+! = 0,

мт = (Х, — Хт+к-р-1)-1 (Х^™/ а1Мт-1

для ] — к + р + 2 ^ т ^ 7 + к — р — 1 ■

Мт

(2.9)

Теорема доказана.

Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теорем 2.1 и 2.2; Н £ '(Л), Хк (к > р) и а — фиксированные функция, собственное число оператора Л и набор чисел для построения оператора В(а, к) . Тогда дискретную часть спектра оператора В(а, к) составляют собственные числа Хг оператора Л для г ^ к — р, причем для любого собственного числа Х,, ] ^ к — р, компоненты мт разложения соответствующей собственной функции и> по базису {<рт} находятся по формулам (2.9) при 7 ^ то.

Доказательство. В условии теоремы 2.2 7 — произвольное, какое угодно большое натуральное число, поэтому если функция и> = 0 является собственной функцией оператора В, соответствующей собственному значению Х,, ] ^ к—р, то компоненты мт разложения ее по базису {<т} должны удовлетворять рекуррентным соотношениям (2.9) при 7 ^ то. Обратно, если и> = 0 и и>т удовлетворяют соотношениям (2.9) при 7 ^ то, то включение и> £ н для случая ] = к следует из самого построения оператора В, а для случая ] ^ к — р (] = к) — из условия (1-3) и того, что последовательности чисел

стремятся к нулю с одинаковой скоростью при т ^ то. Следствие доказано.

3. Пример. Направленно возмущенный оператор энергии из уравнения Шредингера в случае линейного осциллятора

Для линейного осциллятора уравнение Шредингера относительно неизвестной функции Ф = Ф(Ь, х), определяющей состояние материальной точки (частицы), имеет следующий вид:

) = (Х, — Хт+к-р-1) 1 и ^т(к) = (Хк — Хт+к-р-1)

1

гЪ— = Н Ф, о1

(3.1)

где Ъ — постоянная Планка.

является оператором энергии, , — масса частицы, к — коэффициент "упругой" силы, пропорциональной отклонению частицы от фиксированной точки прямой и направленной в сторону, противоположной отклонению (см. [11, с. 306-311]). Предполагается, что Ф(£, х) = ф(Ь)ф(х), то есть к уравнению (3.1) применйм метод разделения переменных. Тогда

Нф=-1 §+2 ^ м

и соответствующее уравнение Шредингера (без времени) имеет вид:

Ь Л , 1,.„2.

2,4x2 +2 кх2ф = Еф (3'3)

Так как потенциальная энергия и(х) = (кх2)/2 ^ +то при х ^ ±то, а потому спектр оператора Н, действующего в Ь2(-то, +то), дискретен. Известно (см. [8, с. 193]), что функции

Фи(х) = (к,)-1/8 спе-^х2^НП Щ

будут собственными функциями оператора энергии Н, образующими в Ь2(-то, +то) ортонормированный базис, а соответствующими собственными числами или уровнями энергии будут числа

Еп = (п + 0 Ьу^, п = 0,1, 2,.... (3.4)

Можно представить функции фп(х) в более компактном виде:

фп(х) = 1 в-^*2/(2Ъ)Нп ^х^ЬТ) , п = 0,1, 2,..., (3.5)

где

/ г+те / /17ТТ\ \ 1/2

Сп = / е-^*2'

Пусть СГП н = (-то, то), и = в-^х2/ъ. Функции

'—те

■ & I

фп(х) = 1 Нп\ х 4 , п = 0, 1, 2,...,

Сп п I ~ V Ь2

образуют в н ортонормированный базис и являются собственными функциями оператора энергии Н, если он действует в н. Из равенств (см. [8, с. 193])

-щНп(0 = 2пНп—Ш Нп+1(С) = 2£Нп(£) - 2пНп—1(0 следуют равенства

Нп+1(0 = (-^ + Нп(0, Нп—1(0 = (0.

Отсюда

■0п+1(ж) = Я+гА™ (ж), гД„-1(ж) = /з^1- Я-(п)гА„(ж),

//п+1 Сто-1

где

Я = £1 := - — + + + ' у к^ ^ж V Ь2 ,

Я-(п) = Я1 (п) := — \4 Ь2

Поэтому

= ^п, ^п-- = Я- (п^п,

Сто+- Ста-8

где

:= Я+(Я+-1),

2-8 / Ь2 \ 8/4

(п):=^-г"?-г ( -г-, 1 < в < п,

п(п — 1)...(п — 8 + 1) «ж-

= Я- (п) = I — единичный оператор.

Покажем, что для любой наперед заданной ненулевой функции Н € ^(Н) и любого целого к, к ^ р (р — количество первых нулевых компонент в разложении Н по базису с помощью операторов сдвига и Я- (п) (первый относится к функциям г/ с номерами € n и {0}, а второй — к функциям / с номерами п ^ 8) можно так возмутить оператор Н, что Н окажется собственной функцией, соответствующей собственному числу Ед направленно возмущенного оператора В, то есть ВН = ЕдН. Другими словами, мы можем получить соответствующее уровню энергии Ед, к ^ р, какое угодно (в пределах вариации функции Н во множестве )) заранее заданное состояние

Ф*(■, *) = е-а(^»Н(-), а(*, (■)) = (2гЕд* + ^М-)2)/(2Ь),

где г = \/—1, рассматриваемой квантовомеханической системы, находящейся в некоторых заранее заданных физических условиях, если таковые реально можно задать, причем

гь д| = вФ,

от

Предложение 3.1. Для любых ненулевой функции Н € ^(Н) и целого к, к ^ р ^ 0 (Н0 = ... = Нр-1 =0, Нр = 0; р = 0, если Н0 = 0; Н = (Н, г/), (■, ■) — скалярное произведение в н), найдется единственный набор чисел ¿=^(Н)={^г}°=1 такой, что

¿1 = —Л-р+^Лр

¿- = — (^Ьу^Нр+- + Е ¿¿Н--г+^ /Нр, (3.6)

8 = 2, 3, 41,...,

Н — собственная функция оператора

В(1, к) := Рр—кНР— + £ ¿¿Р.

¿=1

а т. е

= ) —+ к - р)НВк~р + £ йзфз,

3=0 \ ¿=1 Сз+1 )

Ек = (к + 2) Ьу^ — соответствующее собственное число этого оператора,

В(1,к)Н = Ек Н

Здесь

р* =

Еп=о(',Фп)(Сп/Сп+з)^+фп, в ^ 0,

Ете=|*|(',фСп)(Сп/Сп-и)^—5|(п)фСп, в < 0.

Доказательство. Пусть

тогда

к = к - 1, к = р + 1,р + 2,..., = фз, \з+1 = Ез,

Н3+1 = (Н,^3+1) = (Н,фз) = Н3,

11 =

СН

'Р+2

СН

(кк - Хк+1) = «1

-р+1

=

НР+1

^Нр+«+1(кк - кк+*) - £11Нв—г+р+1^

= ая

и оператор

в = 2,3,4,..., В(1,к) = В(а,к)

= ^) Рр—к+1НРк—р—1 + £ ^. з=1 V ¿=1 )

Числа Ек расположены равномерно, поэтому набор чисел 1(Н) не зависит от номера к собственного числа Ек и, следовательно, 1(Н) = ск(Н). Оператор В(й, к) в новых обозначениях обретает вид оператора В(а, к) из формулировки теоремы 2.1, только со знаком тильда над некоторыми компонентами оператора и оператором Н вместо А, причем к > р, т. к. к ^ р. Другими словами, операторы В(1, к) и В(а, к) совпадают с точностью до обозначений. Поэтому дальнейшее доказательство сводится к доказательству теоремы 2.1. Предложение доказано.

Предложение 3.2. Пусть выполнены все условия предложения 3.1, Н £ Т>(Н), Ек (к ^ р) и 1 — фиксированные функция, собственное число оператора Н и набор чисел для построения оператора В(1, к) . Пусть 7 >> к + р и оператор

В7(1, к) := Р(7^Рр—кНРк—р + £ 1гР^ Р(7) =

1

= ¿0, Vj) (D_-p(j + k - p)HD+-p + g 1гjD+) J

j=o V i=i Cj+i /

представляет сужение оператора B(i, k) на L7 = L{Vo, Vi,..., Vy}• Здесь

p(Y) = E 7=о(-,"*

Тогда спектр оператора B7 состоит из одних собственных чисел Ej = = (i + 1/2) Ьд/k/^ оператора H для i G {k — p, ...,7 + k — p}.

Если w — собственная функция оператора B7, соответствующая собственному значению Ej, j G {k — p, ...,7 + k — p}, то компоненты wm разложения w по базису {v/m}:

wm = 0 для m ^ j — k + p — 1, Wj-k+p G c и Wj-fc+p = 0,

Wm=(Ej — Em+k-p)-1 (Em=1 itwm-t) для m = j — k + p + 1,7. В определении оператора B7 при j = 7 полагаем

E Д- D+ = o, i=i Cj+i

где o — аннулятор в h.

Доказательство. Используя обозначения, введенные в доказательстве предложения 3.1, можно увидеть, что операторы данного предложения и теоремы 2.2 совпадают с точностью до обозначений, поэтому дальнейшие рассуждения сводятся к рассуждениям из доказанной теоремы 2.2. Предложение доказано.

Таким образом, возмущая оператор энергии H операторами D+ и D_(n) в зависимости от функции h и номера k собственного числа Ek, получен новый оператор B(i,k) со следующими свойствами:

1) собственные числа оператора B(i,k) совпадают с уровнями энергии оператора H, но только оказываются сдвинутыми на k — p единиц вправо по номеру, то есть имеют значения Ej, i = k — p, k — p + 1,..., где p — количество первых нулевых компонент в разложении h по базису {" }?=о в h,

2) функция h G D(H) — собственная функция оператора B(i,k), соответствующая собственному числу Ek, k ^ p.

Свойство 1) следует из предложения 3.2 и следствия 2.1. Свойство 2) справедливо в силу построения самого оператора B(i,k).

Рассмотрим пример малых линейных колебаний протона от положения равновесия под действием силы f = —klX, где "X — вектор смещения протона от положения равновесия. Пусть 7 = 10, k = 3, k = 10-23 Н/м, ^ = 1, 6726485 ■ 10-27 кг — масса покоя протона, h = 6, 626176 ■ 10-34 Дж-с — постоянная Планка.

Будем проводить вычисления в математическом пакете Maple 8 с точностью до пятидесяти значащих цифр. Тогда

E3 = 0,1793199746436688961115318412064256439 ■ 10-30 (Дж)

представляет уровень энергии, соответствующий состоянию

Фз(М) = е-гЕз4/ь^Сз(х) =

= 1 е-гЕзг/Ъ-^х2/(2Ъ) щ ( 4 = е-гЕзг/Ъ-^х2/(2Ъ)х

Сз ь2 у

х(279544406910992,13809243831340515143757669358345474хз-

-2148338,3982453672997496412920912628378493608532783х)

протона, и справедливо равенство

дФз ¿Ь —3 = Н Фз. &Ь

Любой многочлен Р(х) = ^^ агхг, ^3=0 а2 =0, степени не выше 7 = 10 будет собственной функцией оператора

Бю(1, 3) := р(10) |рр-зНрз-р + £¿гр^ р(10) = 10 / ю-з

= £(•, VjИ D--p(j + 3 - p)HD+-p + £ ü jD+ грз,

j=0 V i=1 j+i /

соответствующей собственному числу E3, если при этом коэффициенты li выбирать по формуле (3.6) и оператор B10(1,3) действует в L10 С H. В определении оператора Bio(i, 3) полагаем:

1) Е™-j H(cj/Cj+i)D+ = O при j = 10,

2) p = Z, если a0 = ... = a^-1 = 0 и az = 0.

Таким образом, для действующего в L10 оператора энергии Вю(1,3) функция

Ф 3(x,t) = e-iEt/hP (x)

выражает состояние протона, соответствующее уровню энергии E3, причем справедливо равенство

-Ф 3

ih = В 10(1,3)Ф з. Возьмем, к примеру, многочлен

9

h(x) = P (x) = ^(-7 + k)xk, k=0

тогда p = 0 и наборы {ф}, {hi = (P,^i)}, {li} имеют вид: Ф0 = 0, 011263610507650163828740345067747990370717026916, Ф1 = 0, 015929150741206963750161393150133769162566634385, Ф2 = 0, 031858301482413927500322786300267538325133268770, Ф3 = 0, 078036582703667032776765022449435520894406081163, Ф4 = 0,22072078724155121503468256606895661461533973519, Ф5 = 0,69798041462873524976403510235880556683946263910,

се = 2 ,4178750816499214079046065673100364975219185431, ст = 9 ,0468601595520750930663497193874601260600134486, се = 36,187440638208300372265398877549840504240053794, сд = 153,53030801437640609504374600505620013048496056, сю = 686,60841065325280665117409175905513321001455454,

¡0 = —0, 7884527369782188679699777797481053103175 10- 1,

¡11 = —0, 3420536202304381416694688683268675254606 10- 5,

¡2 = —0, 2040296380964826235191540343331832519467 10- 9,

¡3 = —0, 1430899689761237716166524231657955225337 10- 13

¡4 = —0, 1086339980038775343910005438970902439901 10- 17

¡5 = —0, 8196431522430750450544424416215414321014 10- 22

¡6 = —0, 5080842443150618175748437518827552719642 10- 26

¡7 = 0,12549118444525056040689410564154404297817 ■ 10- 36

¡8 = 0,97400323893462766830490906549896222531574 ■ 10- 34,

¡9 = 0,29578555833456154427460599153050155164627 ■ 10- 37,

¡10 = —0,1198568638178271353682056176415351337 ■ 10 -49

¿1 = —0, 22226913052001913958649840604467460203 10- -35

¿2 = —0, 16873334175469950281261010962168868949 10- 39,

¿3 = —0, 14822448240723580626503345509304009486 10- 43,

14 = —0, 13405949245276307513924852216197028224 10- 47,

¿5 = —0, 10854344006239991291263039097091536770 10- 51,

16 = —0, 43059575837684485266648143319049859292 10- 56,

¿7 = 0, 123384506025597629948937112393554756089 10- 59,

18 = 0, 528398476308282086141559976179383433549 10- 63,

19 = 0, 148747105250762870493999980252355423178 10- 66,

110 = —0, 8828072701020726511992532268766922519 10- -71

Вычислим собственные функции ^обЕю^', 3) (7 = 10, к = 3) оператора Вю(1, 3), нормы ||£оЬЕю(_?', 3)||я и нормы функций невязки ||(Вю(1, 3) —

— Е,I)5оЬ^10(;, 3)||н для ; = 4,13:

£о6Ею(4, 3) =

= —0,0027234907369128904401440603708544064378790220394 + + 1754110, 9512837876632335025734479944212894165408798х + + 1063151, 7836876120811864168516301107250221851816148х2 + + 723383,16325067815163913833333010408823126199330344жэ + + 501174,55673826731912592278910733791805627180522964х4 + + 336198,11341685982127397155207146524000587759281303х5 + + 204603,65660136639146507056653946905038619056897841хе + + 94713,089793868524551585858639299181676896362096209х7 + + 0, 001928786847112942552243300004363698086449267751х8 —

— 83529,093030163101425935273220058305944041513751062х9 —

— 158485, 31091804663989133822374992401723976753060120х10, ||5оЬ^ю(4,3)||н =

= 1,0000000009410377769135819267987378176995094804886,

||(Вю(1,3) - Е41)БаЪЕ1о(4,3)||н =

= 0,10685325704922853927772738585108586856298495■ 10-вз, 5аЪ^ю(13,3) =

= -44,042571472768687137518343331924252552831636162552 + + 422462062947773488849009341018126506922757, 789796х10 -

- 48700212695811511125999096794829299,618524580308428х8 + + 1746584181150840446064934468,1888464923269739813253х6 -

- 22371245076928707908,124120005990156529439160540712х4 + + 85963094998,760539826692590678981440505809571482085х2, ||5аЪ^1о(13,3)||н = 1,

||(Бю(1,3) - Е1з/)5аЪ^ю(13,3)||н = 0.

Увеличивая число значащих цифр, можно добиться произвольной малости (в пределах вычислительной возможности данного математического пакета) норм функций невязки.

Осталось осмыслить полученные результаты. Из квантовой механики

те

хорошо известны: а) произвольное состояние системы Ф = ^ ЪпФп, Ъп =

п=1

= (Ф, Фп) и б) стационарные состояния системы Фп, п = 1, то. Собственные значения Еп оператора энергии Н являются уровнями энергии, соответствующими стационарным состояниям Фп. Об уровне энергии произвольного состояния Ф ничего неизвестно (по крайней мере автору), если такое понятие в современной квантовой механике вообще существует. Можно (в принципе) ввести такое понятие, однако оговорив при этом, что исходный оператор энергии должен быть каким-то образом возмущен, например, операторами сдвига. Последние практически не меняют дискретную часть спектра (уровни энергии) исходного оператора Н. При таком возмущении произвольно выбранное из Он состояние становится стационарным, соответствующим выбранному уровню энергии Ет оператора Н. Это и было продемонстрировано на примере для подпространства С7 = = Ь{-фо,"ф1,... } С Н, 7 = 10, и уровня энергии Ез.

То, что операторы сдвига (п), имеют энергетическую меру, очевидно, однако автору не совсем понятен их физический смысл.

Литература

[1] Крейн М.Г. Об одном общем методе разложения положительно определенных ядер на элементарные произведения // ДАН СССР. 1946. № 53. С. 3-6.

[2] Крейн М.Г. Про эрм1тов1 оператори з напрямними функщоналами // Зб1рник прац шституту математики АН УРСР. 1948. № 10. С. 83-105.

[3] Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической устойчивости течения Пуазей-

ля в круглой трубе / В.В. Дубровский [и др.] // ДАН, 2001. Т. 380. № 2. С. 160-163.

[4] Новый метод вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами / В. В. Дубровский [и др.] // ДАН. 2001. Т. 381. № 3. С. 320-324.

[5] Кадченко С.И., Кравченко В.Ф., Джиганчина Н.С. Устойчивость плоскопараллельного течения Кутта // Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. Т. 10. № 1-2. С. 10—21.

[6] Кадченко С.И., Кинзина И.И. Линейные уравнения для приближенного вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов // Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. Т. 10. № 6. С. 4-12.

[7] Кадченко С.И., Кинзина И.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов // Вычислительная математика и математическая физика. 2006. Т. 46. № 7. С. 1265-1272.

[8] Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции: функции Бесселя, функции пароболического цилиндра, ортогональные многочлены. Изд. 2-е, стер. М.: Наука, 1974. 296 с.

[9] Малеко Е.М. О восстановлении действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве операторов // Математика. Механика. Информатика: тез. докл. Всерос. науч. конф. Челябинск: ЧелГУ, 2006.

[10] Малеко Е.М. О представлении оператора с заранее заданной собственной функцией // Вестник МаГУ. Сер.: Математика. 2006. Вып. 9. 186 с.

[11] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Гостех-теоретиздат, 1954. 352 с.

[12] Садовничий В.А. Теория операторов. Изд. 2-е. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. 386 с.

Поступила в редакцию 20/VIII/2009;

в окончательном варианте — 20/ VIII/2009.

ABOUT THE DIRECTED DISTURBANCE OF DISCRETE

OPERATORS

© 2009 E.M. Maleko2

Under the directed perturbed operator we will understand such an operator, which is built from the disturbance of a discrete operator by the operators of shift, in such a way that one of the eigunefunctions of the built operator is any preassigned nonvanishing function from the domain of operator. By solving problems of theoretical function we often use the spectrum of researched operator, and in many cases only its discrete part, but sometimes together with eigen (and attached) functions. Probably for the researcher it is important to know that it is possible by means of disturbing the given operator to receive an operator with resembling on the primary by the spectrum, and preassigned function which is any by number to the eigenfunction of the disturbed operator

Key words: spectrum, the discrete operator, Hilbert space.

Paper received 20/ VIII/2009. Paper accepted 20/VIII/2009.

2Maleko Eugene Mikhailovich ([email protected], [email protected]), Dept. of Mathematics, Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, 455000, Russia.