Свойства резольвенты оператора Лапласа на двумерной сфере и формула следов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 22-40.

СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТЫ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА ДВУМЕРНОЙ СФЕРЕ И ФОРМУЛА СЛЕДОВ

А.И. АТНАГУЛОВ, В.А. САДОВНИЧИЙ, З.Ю. ФАЗУЛЛИН

Аннотация. В работе изучаются свойства резольвенты оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере S2. Получена формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами, возмущённого оператором умножения на функцию из класса W1(S 2).

Ключевые слова: резольвента, ядро, оператор Лапласа-Бельтрами, возмущенный оператор.

Mathematics Subject Classification: 47B10, 47B15, 47A55

1. Введение

Пусть

я0 = -Л 4 4) - 1 92

sin 0 д0 д0 sin2 0 д^2

- оператор Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере S2. Работа посвящена исследованию спектральных свойств возмущения этого оператора Ни = Н0и + Vu. А именно, доказательству формулы регуляризованного следа Гельфанда-Левитана для оператора Лапла-са-Бельтрами, возмущённого оператором V умножения на функцию v(ш), ш Е S2. Впервые формула следа для оператора Лапласа-Бельтрами, возмущённого нечётной функцией v(ш) Е C^(S2) была получена в 1993-1996 гг. в работах [1], [2](хотя задача была поставлена И.М. Гельфандом в 1962 г.). Отметим, что для метода, применяемого в этих работах, условия нечётности и принадлежности классу C^(S2) для функции v(w) являются существенными. Следующее продвижение в этой задаче было сделано в работах [3]-[5], основанных на одном способе суммирования второй поправки теории возмущений. В этих работах для любой функции (не обязательно нечётной) v(ш) конечной гладкости получена классическая формула следа Гельфанда-Левитана, причем в работе [5] требуется лишь и (и) Е C2(S2).

Для дальнейшего ослабления требований на возмущения v(ш), как оказалось, необходимо более подробное исследование свойств ядра R0(u,u0, А) резольвенты оператора Лапласа-Бельтрами (теорема 1), ядра R0n(u,uo,X) приведённой резольвенты (теорема 2). На основе этих исследований и методике работы [5] формула следа для оператора Лапласа-Бельтрами получена для возмущений v(ш) из класса W2,(S2).

Отметим, что параграфы 2 и 3 посвящены развёрнутому изложению результатов работы [6].

A.I. Atnagulov, V.A. Sadovnichy, Z.Yu. Fazullin, Properties of the resolvent of the Laplace operator on a two-dimensional sphere and a trace formula. © Атнлгулов А.И., Слдовничий В.А., ФАЗУЛЛИН З.Ю. 2016. Работа выполнена при поддержке гранта 01201456408 Минобрнауки РФ. Поступила 26 июня 2016 г.

2. Представление ядра R0(uj,uj0,X) резольвенты оператора

ЛАПЛАСА-БЕЛЪТРАМИ

Хорошо известно ([7]), что ядро Ro(u,u0, X) резольвенты Ro(X) = (Н0 — А)-1 оператора Н0 (Лапласа-Бельтрами) в L2(S2) равно

Во(<о,<*,Х) = ± £ (2п: а), (2.1)

4ж ' п(п +1) — А

п=0 4 '

где а - угол между векторами ш,ш0 G S2, Pn(cosa) — полином Лежандра, а

Рп(ш,шо) = 2п. + 1 Pn(cos а) 4п

- ядро ортогонального проектора Рп, проектирующего на собственное подпространство, соответствующее собственному числу Хп = п(п + 1) оператора Н0, причем кратность Хп равна (2п +1).

С другой стороны, известно (см., например, [8, §4.3, 4.5]), что последовательность

fn(a) = у/п + 1/2^sinot Pn(cosa),n = 0,1,..., (2.2)

образует ортнормированный базис из собственных функций задачи Дирихле обыкновенного дифференциального оператора

Mf (а) = — f"(a) — (4 sin2 a)-1 f (а)

в пространстве L2[0,n], причем

M fn(a) = (п + 1/2)2 fn(a), = (п + 1/2)2.

Так что, согласно (2.2), ядро G(a,a0, z) интегрального оператора

G(z) = (M — z)-1

представляется в виде:

^ fn(a) fn(ai0) ^ (п + 1 )л/Ш~аШ'а0Рп(сжа)Рп(сжа0)

G(a,aо, z)=> -= >--—-. (2.3)

n Vn — z ^ (п + 2 )2 — z

п=0 п=0 4 2'

Откуда, полагая,

Г(а,а0, z) = (sinasina0)-2G(a,a0, z), (2.4)

и учитывая, что Рп(1) = 1, получим

0 ) = ^ (п + 1/2)Pn(cosa) = 1 ^ (2п + 1)Pn(cosa) (25)

^ 0 Z) = (п + 1/2)2 z =2 ¿00n(n +1) — (z — 1/4). (2.5)

Сравнивая (2.1) и (2.5) между собой, приходим к следующему утверждению.

Лемма 1. Для всех ш,ш0 G S2 и X G [п(п + 1)}^=0 ядро R0(u,u0, X) представляется в виде:

R0(u,U0,X) = ^Г(а, 0,Х +1/4). (2.6)

2тг

Таким образом, из леммы 1 и равенств (2.3)-(2.6) видно, что ядро R0(u,u0, X) может быть представлено посредством решений обыкновенного дифференциального уравнения

и" + (4sin2a)-1u + zu = 0 (2.7)

на интервале (0,^).

Вначале заметим, что на промежутке (0,ж/2) справедливо равенство

(4 sin2 а)-1 = (4а2)-1 + q(a),

где д(а) Е С(2)[0, ж/2]. Следовательно, линейно независимые решения уравнения (2.7) можно построить с помощью решений уравнения

и" + (4 а2)-1 + г и = 0. (2.8)

В качестве линейно независимых решений «невозмущенного» уравнения (2.8) возьмем функции (см., например, [9, §1.8])

__Ж

м0(а, х) =-/а30(\/га), и0(а, х) = -/аУ0(\/га) —, (2.9)

где 30(\/га) и У0(у/ха) — функции Беселя первого и второго рода соответственно, а ветвь -/г выбираем из условия 0 ^ а^ -/г < ж.

Для удобства изучения данной работы приведем различные представления цилиндрических функций, которыми будем часто пользоваться в дальнейшем. Для функций 30(в) и 1о(з) воспользуемся разложениями ([8, §5.2]):

здесь

Jo(s)=£ У- ш , (2-10)

^ (-1)*Л = ( k!)2

11

2 s 2 ^ (-1)fc /s\2fc

2 Ч 2 Ж—^ ( — /

Yo(s) = ^ J0(s) In 2 - - £ (-2 (-) ^ + 1), (2.11)

fc=o v

ф(к + 1) = -7 + 1 + - + ... + p Ф(1) = -7

7 — постоянная Эйлера; а также асимптотическими представлениями ([8, §5.11]) при |s| >> 1, | arg s| ^ ж -5 (5 > 0 - сколь угодно малое число):

Jo(s) = \f2s {7i(s) cos(s - 4) + ъ(з) sin(s - 4)} (2.12)

Yo(8) = Jfs {71(S) sin(s - 4) - 72(e) cos(s - 4)} , (2.13)

где

(-1)fc(0, 2 к) ^ ^ (-1)fc(0, 2k + 1)

s ) = £ (2 sp , = £ (2s)2fc+i к—0 к—0

при этом (и, 0) = 1,

, ч (4 и - 12)(4 и2 - 32) ■ ... ■ (4 и - (2т - 1)2)

(у,т) = -----Н---—, т Е Н,

^ ' 22тт\

9 1 75

= 1 - 128? + 0(8"4)- = £ - 102453 + ОС-5).

Известно, (см. [9, §1.8]), что вронскиан

Ш(и?, и2) = и?(а, г)и°2'(а, г) - и°°'(а, г)и°2(а, г) = 1. (2.14)

Теперь линейно независимые решения уравнения (2.7) на промежутке (0, 2] построим как решения неоднородных вольтерровых уравнений

а

ик(а, г) = и°(а, г) + J д(а,Ь, z)q(t)иk(£, г)<И, (2.15)

о

где

д(а, Ь, г) = и0(а, г)и°(Ь, г) - и?(Ь, г)и°°(а, г). (2.16)

(2.17)

Построенные нами на отрезке [0,т/2] с помощью интегральных уравнений (2.15) решения ик(а, z) уравнения (2.7) допускают продолжения на промежуток (|,т], а именно имеет место

Лемма 2. Решения уравнений (2.7), построенные на отрезке [0, 2] как решения воль-терровых уравнений (2.15), продолжаются на промежуток (2,т] по формулам

ии(а, г) = ак1(г)щ(т -а, г) + ак2^)и2(т -а, г), к = 1, 2,

где

/ап(г) = щ(\, г)и'2(|, г) + и[(|, г)щ(\, г), а22(г) = -ап(г), а\2(г) = -2щ(2, г)и[(', г), а2\(г) = 2щ(\, г)и'2(|, г).

Доказательство. Легко заметить, что функции

т

ик (а, г) = ик (т -а, г), ае ( — ,т], к =1, 2,

являются линейно независимыми решениями уравнения (2.7) на этом промежутке. Тогда продолжения ик (а, г) выражаются как линейные комбинации ь>к (а, г) при а е (', т]:

ик (а, г) = ак1(г)щ(т - а, г) + ак2и2(т - а, г), (2.18)

где акг^) — постоянные, зависящие только от г. При а = т/2 должны выполняться соотношения:

(2.19)

ик(2, z) = ак1(г)щ(|, z) + ак2(г)щ(§, z) u'k(f, z) = —ak1(z)u'1(f, z) — ak2(z)u2(f, z).

Очевидно, из соотношений (2.12)-(2.14) непосредственно следует, что

W(щ,щ) = W(u01, u0) = 1. (2.20)

Решая системы (2.19) и учитывая (2.20), приходим к соотношениям (2.17). Лемма 2 доказана. □

Теперь мы готовы сформулировать основной результат данного параграфа. Имеет место следующая

Теорема 1. Для всех X G R \ [п(п + 1)}^=0 ядро R0(u,u0, X) представляется в виде

Rv(u,U0, X) =-=[т(а, X + 1/4) — А(Х + 1/4)щ(а, X + 1/4)], (2.21)

sin а

где

«»-л (u®+uü) • <2.22)

Доказательство. Пусть ядро D(a,t, z) равно:

п/ . N z)ui (t, Z), t^a ,

D(a,t, z) = \f .f. (2.23)

u2(t, z)u\(a, z), a ^t^n.

Непосредственно используя (2.7) и (2.20), находим, что функция

ж

и(а, z)= D(a,t, z)h(t)dt,

0

где h(t) G L2[Q,k], является решением дифференциального уравнения

— и" (a, z) — (4 sin2 а)-1 и (a, z) — z и (a, z) = h(a).

Тогда функция

ж

u(a, z) = jG(a,t, z)h(t)dt, (2.24)

о

где G(t,а, z) есть ядро оператора G(z) (см. (2.3)), представляется в виде

ж

u(a, z) = J D(a,t, z)h(t)dt + сл1(а, z), (2.25)

о

где учтено, что u(a, z) должно удовлетворять условию существования конечного предела

lim u(a, г)(ж -а)-1/2. (2.26)

При а < ж, а ~ ж, правую часть формулы (2.25) можно представить в виде

ж

u(a, z) = u2(a, z) J u1(t, z)h(t)dt + cu1(a, z) + W(а, z), (2.27)

о

где

ж ж

W(а, z) = u1(a, z) j u2(t, z)h(t)dt - u2(а, z) j u1(t, z)h(t)dt,

а а

причем легко показать, что W(а, z) удовлетворяет оценке

|W(а, z)| ^ а1(ж - а)(1 + | 1п(ж - а)|),

где а1 > 0 — постоянная.

Так что W(а, z) удовлетворяет условию lim =0. Отсюда следует, что сумма пер-

а^ж-0 Vя" а

вых двух слагаемых в правой части (2.27) должна удовлетворять условию (2.26). Согласно (2.18), эту сумму легко представить в виде

c[a11(z)u1 (ж - а, z) + a12(z)u2(^ - а, z)} +

ж

+ u1(t, z)h(t)dt [а^^щ^ -а, z) + а22 (z)u2(-K -а, z)} =

= [ca11(z) + a21(z) J u1(t, z)h(t)dt]u1(ж -а, z) + o

ж

+ [ca12(z) + a22(z) J щ(Ь, z)h(t)dt]u2(ж - а, z). o

Так как по определению u1(ж - а, z) удовлетворяет условию (2.26) и, из-за наличия логарифмической особенности,

щ(ж - а, z)

lim - — = то,

а^ж-0 у/ж - а

то коэффициент при u2(ж - а, z) должен обращаться в нуль:

ж

ca12(z) + a22(z) u1(t, z)h(t)dt = 0.

ж

Итак, из (2.23), (2.24), (2.25) следует, что

G(a,t, z) = D(a,t, z) — a22[Z\ui(a, z)u\(t, z),

au(z)

где, согласно (2.17),

Щ=1

( ) a12(z) 2

U( 2, z) + U2( 2 , z)

Щ(2, z) Ui(l,Z)\

Отсюда, используя (2.4), (2.5) и соотношения

.. иЛа, г) ,. и1(а, г) 11т -—— = 11ш -=— = 1,

а^+0 у/а а^+0 у/а

приходим к утверждению теоремы. □

3. Представление ядра Н0п(ш,ш0, X) приведенной резольвенты

Представление ядра К0(ш,ш0, X) в виде (2.21) позволяет вычислить ядро приведенной резольвенты оператора Н0

1 ^ (2т +1)Рт(соъа)

, ^0, Хп) =

т(т +1) — п(п + 1)

т=п

в терминах функций ик(а, г), а также их производных по переменной г

д д

<рк(а, г) =—ик(а, г), фк(а, г) = —<рк(а, г), к = 1, 2,

в точке а = |. Поскольку, согласно теореме 1, спектр оператора Н0 совпадает с полюсами функции А(Х + 1) (А(х) см. формулу (2.22)), то есть с нулями функций щ(|,Х + 4) и и[(2,Х + 1), причем нетрудно убедиться (см. [8, с.74-79]), что

щ[ —,Хп + 1 ) = 0, п = 2к + 1, к = 0,1,..., (3.1)

(2 -хп+4)

+4)

u'i[ + 1)=0, п = 2к, к = 0,1,... (3.2)

Пусть также

д д vi(az) = dhu°k(az) = ~dzv°k(aк = 1, >2,

тогда из (2.15), (2.16) непосредственно следует, что функции vi(a, z) и фk(a, z) на отрезке [0, 2] являются решениями вольтерровых уравнений, а именно справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Для всех к = 1, 2 и z = 0 в банаховом пространстве С[0, |] существуют производные

ui(a,z + h) — ui(a, z)

lim---= vi(a, z),

h^k h

Vi(a,z + h) — vi(a, z)

lim---= i-i(a, z),

h^k h

причем (a, z) есть решение вольтеррова уравнения

(X (X

Vi(a, z) = vi(a, z) + J gi(a,t, z)q(t)ui(t, z)dt + J g(a,t, z)q(t)tpi(t, z)dt, (3.3)

о 0

где

д?(а,1, г) = у?(а, г)и?(Ь, г) - у?(а, г)и°°(Ь, г) + и?(а, , г) - и%(а, , г) (3.4)

фк(а, г)=фк(а, х) + д2(а,Ь, г)д(£)щ(Ь, г)<М + 2 д?(а,Ь, г)д(Ь)урк^, г)сИ+

+ у д(а,г, г)д(Ь)ффк(Ь, г)&, (3.5) о

где

д

Я2(а,г, г) = д- д?(а,1, г) = ф? (а, г)и?>^, г) - ф? (а, г)и?(г, г) + и?(а, г)ф° ^, г)- и2(а, г)ф0(1, г) + 2 {$(а, г)^, г) - у2(а, г)<р?(1, г)) .

В дальнейшем для представления ядра приведенной резольвенты К0п(ш, ш0, Ап) понадобится следующая

Лемма 4. Пусть функции X) и д(X) дважды дифференцируемы в окрестности X = Хп, причем д(\п) = 0, д'(Хп) = 0, тогда

т =_

9(Х) д'(Хп)(х - Хп)

¡(Хп)

+

Г(Хп) ¡(Хп)д''(Хп)

д'( Хп) д'2( Хп)

+ о(1).

Доказательство. Согласно условию леммы справедлива формула Тейлора

д(Х) = д'(Хп)(X -Хп) +

д"(Хп)

(X -Хп)2 + о((Х -Хп)2).

Откуда имеем

1

1

д(Х) д'(Хп)( Х - Хп)

1 +

1

д''(хп)

2д'(Хп)

(X - Хп) + о((Х - Хп))

1

д'(Хп)(X - Хп)

1 - X -Xn) + o((X - Xп))

2.д'^п)

1

Поскольку из условия леммы следует, что

Л x) = f( \;) + г( кх X -\;) +

ЛМ 2

9''X)

д'(Xn)(X - Xп) 2д'2(\п)

(X -\п)2 +о((X - Xп)2),

+ о(1).

то, перемножая между собой две последние формулы, получим, как раз, формулу для дроби из утверждения леммы. Тем самым, лемма доказана. □

Поскольку, в силу теоремы 1, полюса ядра К0(ш,ш0, X) совпадают с нулями функций и?(2, х), и?(2, г), где г = X + 4, согласно соотношениям (3.1) и (3.2), рассмотрим отдельно случаи п = 2к и п = 2к + 1, к = 0,1,...

Итак, пусть п = 2к + 1, тогда, согласно (2.21), (2.22) обозначив

ж 1 1 ж 1

¡(а, X) = , X + 4)и?(а, X +4), д(X) = 4жи, X +4),

и

а

а

а

2

в силу леммы 4 имеем

¡(а, А) щ( I + 1 )иг(а,\п + 1)

д(А) 4тт?!(2,Ап + 4)(Л -Хп)

<Р2(Е, Ап + 4)щ(а, Ап + 4) + и2(Е,Ап + 4)<Р1 (а, Ап + 4)

+

4тг ^ (2, Ап + 1)

(Е, А_ + 1 )и (а + 1)

+ 0(1). (3.6)

фг(Е, Ап + 4)и2(Е, Ап + 4)щ(а, Ап + 1)

Е ,Ап + 1)

Отсюда, согласно соотношениям (2.1), (2.4), (2.5)

р, Ч 1 и2 2,Ап + 4) и (а,Ап + 1) 2п+1

4тт ^¡иа (2, Ап + 4) 47г

Так как

иг , 2 п +1 и1(а,Ап + 4)

Рп(Ш,Ш) =-:-, 11т -=-= 1,

4п у/а

то при п = 2к + 1

= 2п +1 (3-8)

?1( 2 ,Ап + 1)

Замечание 1. Аналогично исследуется случай п = 2к.

Таким образом, из теоремы 1 и соотношений (3.6)-(3.8), учитывая замечание 1 заключаем, что справедлива

Теорема 2. Пусть гп = Ап + 4. Ядра

п ( \ (2П + 1)Рп(соэа)

Рп(ш,Шо) = --- и Коп(и,Шо,Ап)

4и

представляются в виде

(2п + 1)иц(а, Хп)

Рп(ш,Шо) =

4-к\[\

эт а

Коп(ш, Шо, Ап)

2жх/Э1па где при п = 2к + 1

и2(а, Хп) - 2п2+ 1 ?1(а, гп) - апщ(а, Хп)

и2(2, *п) + (2п + 1)?2(Е, *п)) (2п + 1)2ф1 (Е, гп))

п 2и1(Е, Хп)) 2и2(Е, гп)) 4щ(2, гп))

а при п = 2к

щ(Е, гп) , (2п +1)?2(Е, ?п)) (2п +1)2ф[(Е, гп))

+

п 2щ(Е, гп)) 2и2(Е, гп)) 4и2(2, гп)) '

При вычислении формулы следов для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами по методике работы [5] ключевым моментом является асимптотика второй поправки теории возмущений

Е

ап = — д(а)(2п + 1)Рп(оо8а)Яоп(ш,шо, Ап) эта^а 4и ] о

(определение функции д(а) см. [5, с. 435-436]), причем

д'(0) = д'(тт) = 0. (3.9)

и

Следовательно, согласно представлению функций Рп(ш,шо) и ^п(ш,шо, \п) в теореме 2, возникает необходимость изучения асимптотического поведения функций uk(a, z), <Рк(a, z), гФк(a, z) и их производных по переменной а, а также чисел ап при п ^ то. С этой целью докажем ряд утверждений.

Лемма 5. Существуют постоянные со > 0 и с\ > 0, не зависящие от z и а, такие, что для всех а Е [0, |], z> 0, k = 1, 2

ик(a, z) = ик(a, z) + шк(a, z). (3.10)

Причем

\ик(a, z)\ ^c0z-1/4) (3.11)

\шк(a,z)\ ^ С!z-3/4a. (3.12)

Доказательство. Поскольку sup\VtY0(i)\ < то и sup\лДJo(i)\ < то (см.[9, с.172]), нера-

t>0 t>0

венства (3.11) являются следствием этих соотношений. Равенство (3.10) следует из (2.15), где

а

шк(a, z) = J g(a,t, г)д(1)ик(t, z)dt. (3.13)

0

Так как, согласно (3.11) и (2.16), при z > 0 будет

\g (a,t, z)\ < с20 z-1/2, (3.14)

то в уравнении (2.15) норма интегрального оператора оценивается сверху числом

f

2

2с20z-1/2 j q(t)dt. 0

Следовательно, из уравнения (2.15) вытекает оценка

f 2

\\ик(z)\\ = max \ик(a, z)\ ^ с2z-1/4 + 2^z-1/2 [ g^dt^(z)\\. (3.15)

f J

0

Откуда следует, что supz4\\ик(z)\\ < то. Теперь оценка (3.12) следует из (3.13)-(3.15). □

z>0

Далее начнем изучение функций

1/к{a, z), ф0k{a, г) = ^

и их производных по переменной а. При этом мы используем обычные обозначения для производных по переменной а:

Рк(a, z) = тгик(a, ф0o(a, z) = (a, k = 1,<2,

ик '(a, z) = ^—и°к (a, z), и'к(a, z) = —ик (a, z)

da кУ ' " кЧ ' ' da d d pi'(a,z) = daa(a,р'к(a,z) = (a,z).

Имеет место следующая

Лемма 6. Для всех a Е [0, 2], z > 0

a 1

pi (a, z) = -uI' (a, z) - —и' (a, z), k = 1, 2. (3.16)

Доказательство. Имеем

а3/2 с/3/2

<р°(а, z) = (7а), <р2(а, z) = ,^¥¿(7а).

27 uvv " ™ ' ' 27

Далее, для производных по а

откуда следует, что

и0'(а, z) и0'(а, z)

J0(7 а)

1

27 1

27а

i

J0(7 а) + у/га J'0(7 а),

Y0(y/z а) + y/zoiY0 (y/z а),

(3.17)

(3.18)

(3.19)

а

1

Щ"(а, z) —

1

Y0(y/zа) = _Щ'(а, z) —

а

2yfz а3/2 1

27 а3/2

и1(а, z),

Щ2(а, z).

Теперь из (3.17), (3.18) и (3.19) мы получим (3.16). Тем самым, лемма доказана. Лемма 7. Для всех вещественных z > 0

max 1^0к(а, z)l ^ C0lz/3/4, к = 1, 2,

§

где со > 0 — постоянная, не зависящая от г.

Доказательство. Согласно (3.11), второе слагаемое в (3.16) допускает оценку 0(1г1-ъ/4), равномерную относительно а Е [0, 2], а согласно (3.18), (3.19),

□

(3.20)

вида

а 0 1 0 а

—и1'(а, z) = —и1(а, z) +

2 1

—Щ/(а, z) = —Щ2(а, z) +

у3/4

а

\J 7 а J' (7 а) \J 7 аY^(7 а)

2Z ■ z3/4

Для производных функций J0 (s) и Y (s) из равенств (2.10)-(2.13) имеем:

J ( ) =

те

(—1)кк /s\2k—1

^ (к!)2 Ы

к=1

(3.21)

Y ( )

2 г, у 2 .. 2 ^ (—1)кк fs\2k-1

— Jo (s) + -J' (s) Ы- — y—)r - ^ -s - 2 - (к!)2 \2

fS\2k—1

(2) к + 1), (3.22)

а при >> 1

J ( )

--Jo(s) _ a/— sin is —

2 s 0K J V -s V 4)

(• — 4)

2 -cos s —-- 4

-

cos s —-4

-

X Sin I s — —

J2(—1)k(0, 2 к)(2S)—2k + 0(s—2n—2) к=0

4^2(—1)k(0, 2 к)к(2s)—2k—3 + 0(s—2n—3) k=0

J2(—1)k(0, 2 к + 1)(2s)—2k—1 + 0(s—2n—3) k=0

n

2 Y;(—1)k(0, 2 к + 1)(2к + 1)(2s)—2k—2 + 0(s—2n—4)

+ \l — x -

k=0

(3.23)

Y ( )

- ¿Y» м =

к=0

Л- iS - ~4){

4J2(-1)'(0, 2k)k(2s)-2к-i + 0(s-2п-3) \ + cos (s - 1) х £(-1)к(0, 2k)(2S)-2к + 0(8-2п-2) ^ cos (s - 1)

п

2 Y;(-1)k(0, 2 k + 1)(2k + 1)(2s)-2к-2 + 0(s-2п-4)

J2(-1)'(0, 2 k + 1)(2s)-2к-1 + 0(s-2п-3) к=0

} + \ff.1

к =0

к =0

(3.24)

Пусть N — достаточно большое фиксированное число. Тогда из (3.21), (3.22) находим, что при ^ N справедливы оценки

\J0( S )\ < Ci s, \Y0( S )\ < - + Сз s \ ln s\,

(3.25)

где Ск, к = 1, 2, 3 — некоторые положительные постянные.

Тогда равенства (3.16) и оценки (3.25) приводят нас к следующим неравенствам: при а^ ^ N.

, о ( м . а5/2 с^5/2

2ф,

>5/4

№(a, z)\ <

c2a3/2 с3 \ ln fza \ fzaa3/2

2^/z л/za

+

2ф

C2fa + C3(fz a)5/2\ ln fz a\ < C3C4 + c-^fa

2

2 z 5/4

2z5/4 2 z

где c4 = max tb/2 \ lnt I.

0<t<N

Если a^fz > N, то для оценки J0(\fza) и Y0(^fza) мы используем равенства (3.23) и (3.24), из которых непосредственно видно, что при a*Jz > N выполнено (3.20). Лемма 7 доказана. □

Лемма 8. При k = 1, 2 для всех a > 0 и z > 0

фк(a,

l/k (a Z)

1 a2

--Рк(a, - 1Тик(a,

4 z

(

1 a2 0 a 0

4^2 - 4~ZJ ик(a,z) - 4^2ик(a,z).

(3.26)

Доказательство. Согласно (3.17) имеем:

a

3/2

a

5/2

4 3/2

поскольку J0(s) удовлетворяет уравнению

ф\l(a, z) = -—^J'bW*a) + —¡—J0W*a)

4

J0 (s) + -J0 (s) + J0(s) = 0,

(3.27)

следовательно, используя (3.16), получим

1

а3/2 _ а5/2

4z3/2 кУУ ' 4z

(уДа) + (уДа)

а3/2 а5/2 1 а2

а)---—а) = - — р1(а, z) - —и\(а, z) =

2г3/2 ^ ' 4z ^ ' 4z ™ ' ' 4z

а 0 1 а 2 0

Аналогичные выкладки верны также для ф20(а, z). Таким образом, лемма 8 доказана. □ Лемма 9. При к = 1, 2 для всех а > 0 и z > 0

V.к'[а, ^ = -¡а^к[а, ^ = -4гги°к[а, ^ - (+ ик{а,

Доказательство. В (3.17) применим дифференцирование по переменной а. В результате, используя (3.16) и (3.27), получим:

д п 3а!/2 аз/2

-Q-zVl{а,^ = №а)

3а1/2 г ( г ) а3/2 Г

1 а) + а)

и\'(а, £) ( 1 а

(во; + а)"°2(а- ^

4z \8аz 2

Аналогичные соотношения верны также для а, z). Лемма 9 доказана. □

Совершенно аналогично, используя (3.26), покажем, что имеет место Лемма 10. При к = 1, 2 для всех а > 0 и z > 0

фкА = ^ ^ = (¿2 - ик^ ^ - (°-гик ^ ^

Теперь асимптотическое поведение функций ^к(а, z) и фк(а, z) и их производных легко изучить, используя эти леммы и уравнения (3.3), (3.5), соответственно.

4. Оценки, необходимые для вычисления Асимптотики приведенной

резольвенты

На основании формул (2.12), (2.13) и определений функций и°к(а, z), к = 1, 2 (см. (2.9) при а-V/Z > N >> 1 имеем

к, ч ¡2 _Л/Л ( , ^ 4 -

и°1(а, z) = 1/4 |71 а)cos[^zа - —) + 12(^2а)sin[^zа - 4)| (4.1)

/ТТ С

2z-1/4 ^ll[^/zа) - 4) - ^(лДа) cos[^/zа - -4)^ (4.2)

(и?)2 (а, z) = ^{Ы^а) + чК^а)] + 1 - а)-

- 2ll[^fZа)l2[VZа)cos2[^fZа)} (4.3)

{и02)2 (а, г) = а)+1,1(7а)] - Ы э1и2(7а)+

+ 2-^(7а) ъ(7 а)соэ2(7 а} (4.4)

и1(а, г) и (а, £) = -^¡^ {Ь2(7 а) - а)]оо&2(7 а) +

2

+ 2 ч1 (7 а)ъ(7 а)э1и2(7 а)} (4.5)

Здесь

12г +122 = 1 - ^ + 0(1-4), - ^ = 1 - — + 0(1-4), ъъ = - + 0(1-3).

Так как нам нужны значения функций ии(а, г) и их производных в точке а = Е, согласно формулам (2.15), (2.16), то нам потребуются оценки функций

а а

/\(а, г) = и°2(Ь, г)д(Ь)и1(1, г)(И, /2(а, г) = и\(1, г)д(Ь)и1(1, г)(И, (4.6)

2 1 2 1

о о

а а

О/. „\„лл„. и Г _ / „.О/

¡з(а, г) = J и2(Ь, х)д(1)и2(1, г)&, ¡.4(а, г) = J и2(Ь, г)д(Ь)и2(1, г)&. (4.7)

о о

Используя (4.6), (4.7) функции (а, г), согласно (3.10), представим в виде:

а

^(а, г)^и02(г, г)д(г)и01(г, г)(Ъ + ^(а, г), (4.8)

о

а

Г^а, г)^и02(г, г)д(г)т1(г, г)& (4.9)

о

а

/2(а, г) = J (и!)2 (I, г)д(1)(И + Р2(а, г), (4.10)

а

о

Р2(а, г)^ио(г, г)д(г)'Ы1(1, (4.11)

о

а

/3(а, г)^и2(Ь, г)д(Ь)и1(Ь, х)(И + Р3(а, г), (4.12)

о

а

Р3(а, г)^и2(г, г)д(г)1^2(г, (4.13)

о

а

и(а, г) = У (и°2)2 ^, г)д({)(И + Р4(а, г), (4.14)

о

а

Р4(а, г)^ио2(г, г)д(г)т2(г, х)(И. (4.15)

о

Лемма 11. Для всех а Е [0;п/2] иг > 0 справедлива оценка

№ (а, г)1 а2, с> 0, к = 1, 2, 3,4.

Доказательство. Действительно, из определения функций №к и оценок (3.11), (3.12) имеем

а

№(а, х)1 ^ 1сИ, о

откуда вытекает доказательство леммы. □

Лемма 12. Пусть п >> 1, тогда 2

J и0(t, гпЫ^щХп)( = 0(хп-^*), г = ], г^ = 1, <2, о

2

и^, гп)я(г)и1(г, Хп)а = 2 + 0\ — ),

о

К 2

ио(г, Хп)д(г)и2(г, Хп)^ + 0[ — ).

] 8д/Хп \%п /

о

Доказательство. Пусть N — достаточно большое фиксированное число, тогда при ^Тп ^ N, поскольку (5) ~ 1, 5 ^ 0, в силу разложений (2.10), (2.11) имеем, что

и\(г, Хп)1 ^ С1УТЬ, 14(1, Хп)1 ^ С2— , Хп)и°о(г, ,гп)| ^ С^^, (4.16)

п п

где 0 < сг, г=1, 2, 3 — постоянные, 8 — достаточно малое положительное число. Следовательно,

и2 2 ( , п) ( )

< 4 [ =, ° (N)2-2 = 0(-1 . (4.17)

(2 - 28)х& \7п) \Хп) у '

о

Аналогично убеждаемся в том, что

N N

л/^П ""

У (и?)2 (I, Хп)д(1)(И = 0 (^ , У и°(г, Хп)4(г, ХпШсИ = 0 (^ . (4.18)

0 п 0 п

Теперь при Ьу/хй > N >> 1 для анализа интегралов

2

/ и (г, Хп)и° (г, Хп)д(1)а

N ■п

воспользуемся асимптотическими формулами (4.1)-(4.5). Итак,

u0(t, zn)u°2(t, zn)q(t)dt = -

N

■/zñ

cos 2^fz~nt

1 + 0

N ■ñ

( Znt2)

q(t)dt

m.

4 z

sin A/z

1 + 0

{ Znt2)

+ 4^ I sin2^t0^q(t)dt+

N ■ñ

+ 0 (f) =0 (f) ■ (419)

\ ¿n / \ /

поскольку N можно подобрать таким образом, что sin 2N = 0 и

sin

Znt

dt =

sin 2

N ■ñ

N

- ограниченная величина. Аналогично используя асимптотические представления функций (и!)2 ^, zn) и (и^)2 ^, zn) из (4.1)-(4.5) получим, что:

(u?)2 (t, zn)q(t)dt

N ■ñ

Í q(t)dt +0(

n л/ J \¿n /

N ■ñ

(4.20)

Отметим, что

U)2 (t, Zn)q(t)dt

* 1 q(t)dt + 0Í —

Zn J \ Z:

N ■/zñ

N ■ñ

(0 *

(4.21)

q(t)dt = —■

(4.22)

Следовательно, доказательство леммы вытекает из представлений (4.6), (4.7), (4.8)-(4.15), леммы 11 и соотношений (4.17)-(4.22). □

2

2

2

2

3

2

2

2

2

5. АсимптотикА второй поправки теории возмущений и формула следа

Теперь на основании теоремы 2 и лемм 5-12 изучим асимптотику второй поправки теории возмущений ага, которая, как отмечалось выше, является ключевым моментом в вычислении формулы регуляризованного следа оператора Н. А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть д Е Ш2,[0;ж] и Zn >> 1. Тогда справедлива оценка

ап = 0 (V-= О (V§) , то есть последовательность ап абсолютно суммируема.

Доказательство. Согласно теореме 2 и (3.9) имеем

Е

ап = — (2п + 1)д(а)Рп(соз а)Коп(ш,шо, Ап) этасСа 4п I

Е

д(а)7пщ(а, гп)[щ(а, г,п) - (а, - а,пщ(а, г,п)}(а. (5.1)

16тг2 } о

Так как при а Е (2

ик(а, х) = ак1(г)щ(п - а, г) + ак2(х)и2(ж - а, х),к = 1, 2, (5.2)

то при а Е (2имеем

?1(а, г) = а11(г)?1(т1 - а, г) + а12(г)?2(п - а, г) + (а^^и^п - а, г) +

+ а'12(г)и2(п -а, г). (5.3)

Следовательно, для исследования асимптотического поведения ап при п >> 1, согласно (5.1) и (5.2), необходимо изучить асимптотику чисел акг(гп), а'11(гп), а'12(гп) и ап.

Пусть п = 2к + 1, то есть и1(Е, гп) = 0 (случай п = 2к, к = 1, 2,... исследуется аналогично). Поскольку Ш(и1,и2) = 1, заметим, что

п п

а11(х) = 2и1 (2, г)и2(2, ^ - 1. Поэтому из формул (2.17), (5.3) при п = 2к + 1 имеем

п п

ац(хп) = -1, 022(2п) = 1, аи(г) = -2щ(^, ^и'^, ) = 0. (5.4)

п п п п

а21^п) = 2и2^2, ~)и2(~2, 2п), а'и^п) = , ^и'Л^, гп), (5.5)

п п

а'п(*п) = , ^п)и2(~2, ^п), (5.6)

(а, г,п) = -?1(п - а, г,п) + а'п(гп)щ(п - а, г,п) + а'и(гп)щ(п - а, г,п). (5.7)

Теперь, пользуясь формулами (3.8), (4.1)-(4.5), и на основе лемм 6 и 8 для п >> 1, п = 2к + 1, получаем

(21(гп) = 0 ^-4^ , а'п(гп) = 0 ^, а'и(ъ) = -—= |1 + 0 ^> . (5.8)

ап

и2( Е , гп) , 2п?2( Е , 2п) £пф1( Е,г)

+

_и\(Е, ^п) и2(Е, *) и2(Е, *) _ = [0(г-1) - + 0(г-1) + 1

+ 0( г-1)]

{1 + 0 ( лШ)

(5.9)

Далее, разобьем интеграл в формуле (5.1) по промежуткам [0; Е] и [2;п]. В интеграле по второму промежутку, используя соотношения (5.2) и (5.3), произведя замену переменной п - а = ¿и учитывая равенства (5.4)-(5.9) для чисел ап при п >> 1, из (5.1) получим

следующее представление

{I

4 О

ап = I [д(1) - 9(к - ^у/^и^г, Zn)и2[t, zn)dt-

- у [дф + д(к - ^]znVl[t, zn)иl[t, zn)dt-о

2

+ ^ л/^)

- 1[д^) + д(к - г)]-/={1 + 0( /=) ^, zn)dt -

2

2

- J д(тт - г)/^и1(г, Zn)и2[t, zn)dt + О (z, 2

^4) }

Нп) + 12(п) + 1з(п) + 14(п) + О (Z- 4) . (5.10

Изучим асимптотическое поведение ^(п), ] = 1,2,3,4, при п ^ то. Для слагаемого I 1 (п), вначале проинтегрировав по частям, а затем используя оценки (3.11), (3.12) и (4.18) и асимптотическое представление (4.5), заключаем, что

2 « 11(п) = -7^2 I[д'^) + д'(-к - г)] I щ(т, zn)и2(т, zn)dтdt =

■/^п 4 л/г^ 2 2 t

2 2 2

л/ л/ гП л/^П

+ I 1 + 1 I }[д'(1)+д'(к - г)]щ(т, Zn)и2[т, zn)dтdt =

= О , (5.11)

где N — достаточно большое фиксированное число.

Для исследования 12(п), воспользовавшись представлениями (2.15), (3.3) и (3.16) и оценками (3.11), (3.12) и леммой 12, а также асимптотическими представлениями (4.1)-(4.5), устанавливаем, что

2

1

12(п) = - [9(1) + 9(4 - 1Щи21(1, ^^, ^^

2

2

+ бЫШ + ^ - 1)] (и2)2 &, z n)dt + О (4) = 121)(п) + 1{2\п) + О (4) . (5.12)

о

Интеграл Л^Ы) разобьем на два интеграла - по промежуткам [0; ] и [; %]. Затем,

2 V -у 2

воспользовавшись оценками (3.25), (4.16) получим, что

N

л/^п

1С f /

1 г)]-и0'и - 4

16-2 I [9^)+9(к - ¿Щи0! (г, zn)иl[t, zn)dt = О[ Z-2

2

Для второго промежутка, используя асимптотическое представление функции и1 (Ь, гп) из (4.1)-(4.5) и, один раз интегрируя по частям, в силу неравенства Коши-Буняковского при условии д Е Ш2,(0;п), заключаем, что

2

- уЪ / [д(1)+9(п - Ф'(*, *п)и^, 2п)(И = 64^9 !) . (5.13)

N ■п

Далее, заметим, что

1г (п) + 1(2\п) = 0(г-1). (5.14)

Наконец, изучим асимптотическое поведение слагаемого 14(п) в формуле (5.10). С этой целью, интегрируя по частям, имеем

_ 2

"К"

ь(п) = -(2) У щ^, Хп)и2(Ь, гп)(Ъ-

о

2 Ь

Хп г г

п 1 д'(п - £) щ(т, Zп)и2(т, Хп)с(тса + 0(г-1). (5.15)

оо

Далее, поскольку

ж ж

2 t 2 г

У (и0)2 (I, гп)! {4)2 (т, гп)я(т)(1т(И - I {и,)2 (I, / К)2 (г, Хп)д(т)(т(И = 0 {г-, 0 0 0 0 на основе лемм 5 и 12 получим, что

2 2

J щ(Ь, гп)щ(Ь, гп)(Ъ = J и1(Ь, г,п)и02(1, гп)(Ъ + 0 2) . (5.16)

о о

Теперь, воспользовавшись формулой ([10, с. 125]) и асимптотическими представлениями (4.1)-(4.5), а также для функций ^(з), ^(з) (см. [11, с. 223]), заключаем, что

2

и1(г, гп)и02(г, гп)(ъ = 21 и0 (фл, )у0 (тпг )а

о

п _п ,_п п3 ._п ._п 1 / _3 \

= ^ (7Тп^иКтп2) +16/1(1^^штп2) = 4^п + 0[^ *). (5.17)

Итак, согласно оценкам (5.11) и (5.16), из равенств (5.15) и (5.17) следует, что

Ш = -б—п9 (2) +0 4). (5.18)

Следовательно, утверждение теоремы 3 вытекает из формулы (5.10) на основе равенств (5.11), (5.12), (5.13), (5.14) и (5.18). □

Так как доказанная теорема 3 позволяет использовать методику работы [5] по вычислению формулы регуляризованного следа и поскольку из определения функции ( а) (см. [5, с.435-436]) вытекает, что гладкости функций д(а) и у(т) совпадают, мы приходим к основному результату работы.

2

Теорема 4. Пусть v(w) е W1(S2). Тогда

£ £ № - п(п + 1) - Со]

1 v(w)v(w0)

dn(w)dn{w0)

Ш3 JspJsp у/1 - (w,wo)

2

1

У v2(w)d/i(w),

где ^n ^ - собственные числа оператора Н,

s2

ряд в левой части формулы сходится абсолютно.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере // Докл. АН СССР. 1991. Т. 319. № 1. C. 61-62.

2. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с нечетным потенциалом на S2 // Матем. заметки. 1994. Т. 56. № 1. C. 71-77.

3. Фазуллин З.Ю. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами // Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам. Тезисы докладов Нижний Новгород. 1997. C. 80-81.

4. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Формула первого регуляризованного следа для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами. Дифференциальные уравнения 2001 T. 37, № 3. C. 402-409.

5. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S2. Матем. заметки 2005 T. 77, выпуск 3. C. 434-448.

6. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.И. Свойства резольвенты оператора Лапласа-Бельтрами на двумерной сфере и формула следов // Докл. АН. 2011. Т 441, №2. C. 174-176.

7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1981. 512 с.

8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: ГИФМЛ. 1963. 358 с.

9. Сёге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ. 1962. 500 с.

10. Ватсон Д.Н. Теория Бесселевых функций. М.: ИЛ. 1949.798 с.

11. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1964. 344 с.

Арсэн Ильгизович Атнагулов,

Башкирский государственный аграрный университет, ул. 50-летия Октября, 4, 450080, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Садовничий Виктор Антонович,

Московский государственный университет им. Ломоносова,

ул. 50-летия Октября, 4,

450080, г. Уфа, Россия

Зиганур Юсупович Фазуллин,

Башкирский государственный университет,

ул. Заки Валиди, 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: [email protected]