CC BY
18
РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЕ СЛЕДЫ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА БЕЛЬТРАМИ НА ЕДИНИЧНОЙ п-МЕРНОЙ СФЕРЕ
В.В. Дубровский
Магнитогорский государственный университет analysis@masu.ru
З.С. Чекашкина
Магнитогорский государственный технический университет
Приведены формулы регуляризованных следов возмущенного оператора Лапласа - Бельтрами на единичной п-мерной сфере.
Ключевые слова: регуляризованный след, возмущенный оператор, собственные значения.
Пусть Т = —А — оператор Лапласа - Бельтрами на единичной га-мерной сфере Sn С Kn+1, Т : Н —> Н, где Н = L2(Sn) — комплексное гильбертово пространство. Известно [1], что его спектр дискретен, собственными значениями являются, без учета кратности, числа = k(k + га — 1)
, где к = 0,1, 2,... Кратность vk собственного значения равна размерности пространства однородных гармонических полиномов степени к, т.е. Vk = Nk- Nk_2, где
_ (га + к)\ _ {к + п){к + га - 1 )...(&+ 1) к ~ кШ ~ п\ '
Из формулы видно, что Nk — многочлен степени га от к со старшим коэф-
1 кп
фициентом —, следовательно, Nk = —г + 0(кп~1) при к —> оо. Поэтому га! га!
(к — 2)п кп
Nk-2 = -------j----Ь 0{кп~1) = — + 0{кп~1), откуда vk = Nk - Nk_2 =
га! га!
= 0(кп~1), т.е. vk<Ckn~l (к = 0,1,2,...).
Далее, пусть * = 0,1,..., ь>к — 1 — собственные ортонормирован-ные векторы оператора Г, соответствующие Хк. Известно [2], что если Р — оператор умножения на ограниченную и измеримую по Лебегу на сфере Sn
комплекснозначную функцию р Є L2(Sn) и dn = inf |Am — An| —> 00, то мож-
тфп
но так занумеровать собственные числа цк^ оператора Т + -Р, взятые с учетом алгебраической кратности, что |цк^ — Xkti\ < const, і = 0,1, 2,..., vk — 1, к = 0,1, 2,... Оператор Р ограничен в Н.
Введем обозначения :
(-1)*
где
а%~1{Р) = |\{Е{\Т)Р)кЕ{\Т)с1\
1ц
Р$ГЧР) = I а(д(а,г)р)*д(а,г + р)<*а,
/дг = {А|А = Адг + ^ + гр, -ос < р < ос},
¥м{р) = ||Д(А,Т)||, где А = Адг + ^ + гр.
Справедлива следующая
ЛЕММА ([2]). Если К — некоторое вращение сферы Б'11 и Кр(х) = р(Кх) = tp(x), Щ = 1, то а^(Р) = а^(Р) = • • • = а^(Р) = О, где т = тт{5 6 N |^+1 ф 1}.
Рассмотрим оператор Ск = / (Д(А, Т)Р)к<1Х = 27гг ^ гездг{(_й(А, Т)Р)к}.
1М 1=1 В окрестности точки Аг- оператор-функция -Й(А, Т) имеет разложение в ряд Лорана
Т) = ^д _ д ^ _ ^г) + ''' 5
где Р_ 1 конечномерен.
Используя это разложение, получим
ге8АД(Д(А,Г)Р)*} = £
Н +*2Н--И'& — — 1? 2т> — 1
РчРР12Р---Р1кР.
Так как суммирование ведется по индексам im, где + - • - + й = —1, то
в каждом слагаемом встретится хотя бы один оператор Р_\ , т.е. каждое слагаемое является конечномерным оператором. Поскольку число слагаемых конечно и число точек спектра оператора Т конечно на /дг, то образ СкН оператора Ск — конечномерное пространство размерности Благодаря этому получим
/
Бр I (ЩХ1Т)РуЧХ
1м
(
Ь'к
£
i=1
<£
i=1
(ЩХ,Т)Р)ЧХсрг,срг
<
<
N
N
<
vk l\\(R(X,T)P)s\\ |dA| <vkJ
In
(к+Ы)1-*
dp
= Vk-
1 — s
0
Ckn~l
(k+\p\Y
~ ks~l
0
при s > n + 1, к —> oo, где ортонормированный базис в конечномерном
пространстве CSH может быть получен путем ортогонализации совокупности собственных векторов оператора Т, отвечающих собственным числам \k)i таким, что |fj,k<i — Xkti\ < const.
Таким образом, доказана следующая
ТЕОРЕМА. Если р £ L2(Sn) и К — вращение сферы такое, что
где |i|=i, то при
Кр(х) = р(Кх) = tp(x),
min{s GN|£s/l}>ra+l
для собственных чисел цк^ оператора Лапласа - Белътрами Т + Р верна формула:
со /ик -1 \
£ £ ^ ~ 1/к)Кк =
А;=0 \ г'=0 У
СЛЕДСТВИЕ. Имеет место асимптотическое равенство »к-1
^ — Ь'к^к “Ь ^(1)*
%=О
О
Список литературы
1. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория.
М.: Наука, 1978.
2. Дубровский В.В. О регуляризованных следах дифференциальных операторов в частных производных // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9.
С. 40 - 44.
3. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
SUMMARY
The regularized traces of Laplace-Beltrami operator on the standard n-dimensional sphere are defined. There are several formulas of the regularized traces of Laplace-Beltrami operator defined on the standard ra-dimensional sphere.
