О следе дифференциального оператора с потенциалом на проективной плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СЛЕДЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ПОТЕНЦИАЛОМ НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ

О.А. Торшина

В настоящей работе с помощью методов теории возмущений исследован регуляризованный след оператора Лапласа — Вельтрамп с потенциалом на проективной плоскости.

Ключевые слова: Дифференциальный оператор, оператор Лапласа -Бельтрами, проективная плоскость, регуляризованный след.

Введение

Теория регуляризованных следов обыкновенных дифференциальных операторов хорошо разработана. Фундаментальная роль в этом принадлежит работе В.Б. Лидского и В.А. Садовничего [5], где установлено, что получение формул следов для широкого класса краевых задач, порожденных обыкновенными дифференциальными выражениями на конечном отрезке со сложным вхождением спектрального параметра, сводится к изучению регуляризованных сумм корней целых функций с определенной асимптотической структурой, обусловленной конкретным видом фундаментальной системы решений дифферециального уравнения. Ситуация значительно осложняется при рассмотрении задач, порожденных дифференциальными операторами с частными производными. Это связано прежде всего со сложной структурой спектра. Ощутимым продвижением стала работа В.А. Садовничего и В.В. Дубровского [7], в которой был рассмотрен оператор Лапласа - Бельтрами, возмущенный гладким нечетным вещественным потенциалом на двумерной единичной сфере.

В работах последних лет получены: формулы первого регуляризован-ного следа для дискретных операторов [11], регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов [6], регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой [9], формулы следа Крейна на случай возмущения типа Гильберта - Шмидта [12; 13], регуляризованный след операторного уравнения Штурма - Лиувилля на конечном отрезке [1], формула следа для потенциала, содержащего 5-функции [3], формулы регуляризованных следов операторов с относительно компактным возмущением [10] и т. д.

В настоящей работе исследуется регуляризованный след оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости. Путь к решению поставленной задачи открывается при получении проективной плоскости через сферу посредством отождествления диаметрально противоположных точек и выкалывания полюсов.

1. Асимптотика кратных собственных чисел оператора Лапласа — Бельтрами

Пусть Т = — оператор Лапласа - Бельтрами с потенциалом

на проективной плоскости F, действующий в гильбертовом пространстве //. взятом с плотностью sin0d0d<p (в,<р — сферические координаты), Хп = п(п + 1) (п = 0, сю) — собственные числа оператора Т, vnj (і = 0, 2п) — соответствующие собственные ортонормированные функции оператора Т, In = {А|А = А„ + п + 1 + ip, —оо < р < оо}. Пусть также Р — оператор умножения на р Є C2(W), W = (0,7г) х (0, 2ж). Обозначим через цп,і собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности такие, что

І№п,і — п(п + 1)1 < const.

Рассмотрим сферическую функцию порядка п

где угол 7 — угол между радиус-векторами в сферических координатах

Теорема 1. Если р — нечетный, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т + Р верно равенство

( V

Рп(cos 7) = 2 г’ P„TO(cos в^РІ!1'(cos в) cos mUp' — (p)

in 4- ГГ7.иЛ„,

{в,ф) и

cos 7 = sin 0 sin 0'cos(cp — (pf) + cos в cos в1;

8m = 2 при m = О и 8m = 1 при m > 0;

pnix) =

полином Лежандра

2n

V Рп,і — n(n + l)(2n + 1) = О

Доказательство. Имеет место равенство [7]:

2п

2п

п(п + 1)(2п + 1) + Y^ Un,i{PvnhVnj) +

где ап(р) — вторая поправка теории возмущений (подробно рассматриваемая в третьем параграфе)

/Зп(р) — третья поправка теории возмущений. В силу нечетности функции р(д,(р)

Y^(Pvni, Vni) = 2mAt1 f f р(®'. v)sin 0d(pd6 = 0.

где

i=0

47Г

Pn{p) = ^~SP

[P(T - XE)-l]3dX =

і

6-7Г І

£

k,l=1 кфп,1фп

(2n + l)(2k + 1)(2/ + 1) (Лп - Л)(Лk - Л)(Л/ - A)

dXx

Г]

4-7Г /

p(e,(p)p(e',(p')p(e",(p")x p p p xPn(cos a)P„(cos f3)Pn(cosj) x x sin в sin в1 sin Q”dipdip'dip”dQdQ'dQ'\

cos a = cos 9 cos O' + sin(9sin(9'cos(9? — (p'), cos (3 = cos O' cos 9” + sin(9' sin в” cos (ip1 — ip”), cos 7 = cos в cos в" + sin 0 sin 0" cos(9? — (p11).

Так как р(в, ip) — нечетная функция, то шестикратный интеграл равен нулю и, следовательно, /3п(р) = 0. Тогда

2 Ti /1 \

- п(п + 1)(2п + 1) = О ( ■

г=0

□

2. Анализ второй поправки теории возмущений

Для исследования второй поправки теории возмущений необходима теорема сложения для четных сферических гармоник. Приведем ее формулировку.

Теорема 2. Введем, сферические гармоники

ъп,1{в,<р) = со§{1<р)Р^ (соя 0),

= С08(1<р')Р®(смв'), (I < .

Тогда для четных функций на сфере справедлива формула, ЦРп( С0Б7)= ^ ^п,1г°'п,ь * = 1,2,

1=0 (той 2)

где

д,

8111-

жр |

11 ио §1.......................21 р2 - **

п

Л2 _ 1,2 £1<р2 К

(І

М^)=£

СОБ

жр |

П

(І2 _ 7,2

—ї т »*■' а(р^

2 1 р2 — к2 р=0 к=0,кфр 1

Обозначим через ап(р) вторую поправку теории возмущений к сумме

2п

/%,г:

і=0

а'м =

' ??, ь?г

/«-і

Л[(Т — А#) Р ]

Л^; ЛП

к=1,кфп

По теореме сложения для четных сферических гармоник

2п 2 к

&к,п = ^ ^I %]) 1 ) =

і=0 ]=о (2к + 1)(2п + 1)

■р(в, ср)р(в\ (р')Рк(сов а)Рп(сов а) х

4-7Г2

хЬі вігі ОЬу бііі 9'йОйїрдО'дір

где полиномы Лежандра, нормированные условием Р%( 1) = Р„( 1) = 1. Зададим функцию

/(а) = / / p(0,(p)Lj тпвйвйір

р(в', <p')L'j sin в'ф(а, в, в')д,в'

Т(а)

где Т(а) — пересечение конуса, имеющего вершину в центре сферы, центральный угол 2а (0 < а < ж) и ось, заданную сферическими координатами в, (р, со сферой в сферических координатах в', <р']

ф(а, в, в') = (sin2 в sin2 в1 — cos2 а — cos2 в cos2 в1 + 2 cos a cos в cos в')^1^2;

о=1’2)-

Функция / — нечетная, почти всюду дважды дифференцируемая функция, /(о) = /(тг) =0 и /" Є Li[0,tt] [8].

Исходя из сказанного, вторая поправка теории возмущений имеет вид (є > 0 будет выбрана нами позже):

ап(р) =

£

к=1,

(2к + l)(2n + 1) 1

4-7Г2

l^fc кг,

/(a) sinaPfe(cos а)Рп(cos a)da =

£

(2к + l)(2n + 1)

к=1,

4-7Г2

,0 ж-є

/(a) sin аР^ (cos а)Р„(cos a)da+

/(a) sinaPfe(cos a)P„(cos a)da > .

Для полинома Лежандра известно [2] асимптотическое разложение Стильтьеса с равномерной оценкой остатка:

Рй (cos a) =

cos{(fc + l/2)a — 7Г / 4}

(sin a)1/2 sin{(fc + 3/2)a — 7Г/4} 0(1)

№)1/2 , Q(i) fcl/2 + fc3/2

0(1)

(sin a)3/2 fc3/2 (sin a)5/2fc5/2

Пользуясь этим асимптотическим разложением, преобразуем ап(р) следующим образом:

ап(р) = -

к=1, кфп

(2к + 1)(2п + 1)

4тт2\Хк - Л„|

,0 ж-є

х/(а) зтаРк(соз а)Рп(сов а)йа+

/(а) сое {(А: + 1/2)а — 7г / 4} ««{(п + 1/2)а — 7г/4}х

Г 2/-7Г , 0(1) , 0(1) , 0(1)

\ А;1/2п1/2 Т А;3/2п1/2 Т &1/2пЗ/2 Т *3/2пЗ/2 /(«

(іа+

8та

сое {(А: + 1/2)а — 7г/4}х

х 8іп{(п + 3/2)а - тг/4} | + &3^/2 } <іа+

4-^- сое {(А: + 1/2)а - тг/4}—(іа+ бііі а к111пь11

4^- 8Іп{(А; + 3/2)а — 7г/4} соз{(п + 1/2)а — 7г/4}Т^Д|777йа+

8та

£3/2п1/2

Є

IX— Є

*^2 ^ 8Ііі{ (А: + 3/2)а^7г/4} зіп{(п + 3/2)а — тг/4} ? ^ ,^с1а+

д.з/2пз/2

^ зііі{(А: + 3/2)а — тг/4} , \ ,пйа+

бш а

кУ2п5/2

Є

IX— Є

Є

7Х — Є

сояЦк + 1/2)а - 7г/4};1°9(1^Л«+ бш а к1/гпа/г

8Іп{(п + 3/2)а — 7г/4} ^ скН-8іп а ка/гпй/г

г=0

Оценим слагаемые ап(р).

°° £.1/2 1/2 \о°п(р)\ < 0(1) У ,, ,„п---------

1 пХУП - ^ \к^п\(к + п +1

к=1, кфп

.0 п-е,

ои £

к1/2п1/2

\к — п\(к + п + 1)

= 0(е2 1пп).

к=1, кфп

В этой оценке мы воспользовались неравенствами [2]:

_____ ! 2 ,_______________________ / 2

л/зтЫР^соэа)| < \ —г, у/з1па|Р„(со8а)| < д/ —

V 1К V 7ГП

и тем, что вблизи а = 0 и а = 7г имеет место оценка |/(а)| = 0(а). Далее

“1(р)=-4^ е / /(°)и°(№+д+1)а)+

&=1, кфп £

(Пса.

+ СОв((к - п)а)} ^/2 1/2 = Т1 + т2-С помощью интегрирования по частям получим:

/(а) 8т((& + п + 1)а)(1а = О

к + п

О

(к + п)"‘

/(а) соз((к — п)а)йа = О

к — п

О

(к — п)‘

В этом случае

П =

4-7Г3

(2к + 1)(2п + 1) , йа

\к-п\<к+п + 1) 1 /(«)"»(» + « +1)»)^^

Е

к=1,

оо

= 000 £

й=1, кфп

к1/2п1/2

| к — п\(к + п)5

= 01^1.

п

Обозначим I = к — п, тогда

1 (2& + 1)(2п + 1) [ <1а

Т2 = —-—5- > т--г—-/(«) совик — п)а),,

4^-3 \к — п\(к + п + I) ] к1/2п1/2

к=1, кфп є

1 (2п + 2|/| + 1)(2п + 1) /" { ^ пл ^

■т-? / ттт--------г;------;—тттг,-------------гтттттт /(«) собі\1\а)аа =

ж 1-і_«П + 2|/| + 1)п1/2(п + (II)1/2 і

і—і- ті ^ і -ф— и

__ 1 ^ 1 (2п)(2п) (1 + (2|г| + 1)(2гі)"“1)

4тг3 ; , И 2пп1І2п1І2 (1 + (|/| + 1)(2п)_1)

І — і- ТІ ^ 14—0

7Г-£

(і + ^п)-1) [ Лї| „

х(і + |і|(п)-і)і/2 І /(а)с08( 1г1«)^« =

£

7Г — £

.ч';» I 23 Тїї [ /(а)со8(|*|а)<іа+

71 [г=і-п, /^о І І {

| оо | 7

+ 2^; X] ]]Т /(а)сов(|/|а)<іа+

/=і-п, І І {

]

+ 2^ °[^?) /(а)соз(|І|а)(іа > = + Ф2 + Фз-

1=1-п,ІфО ' { )

Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности:

* = і £ °(£) = °(;

/=1 —П, 1ф О

* = -ет Е °(£) = °(£

/=1—п, /^0

* = Е ]ї|° (зО = О (ї£!)

/—і II V /

/=і-п,

Тогда

-=О+0Ш+0(

є1пп\ /£'

п2 / \П

В результате

і, . _ (еЫп\ „/є\ „/єіпп\

ап(р) = °\ ——1+0 (-1=0

+и Г =и\^ ■

\ п/ / \п/ \ п /

Рассмотрим

(2к + 1)(2та + 1)

4я"3 , ^ |&^п|(А: + п+ 1)

&=1, кфп 1 '

х / /(а)[вт((& + п + 1)а) + сов((& — п)а)1 . ёа =

к61гп11г

о(і) £

6=1,

1 П1/2

А:1/2 |&2 — п2|

/(а) 8Іп((А: + п + 1)а)(іа+

о(і) Е

/(а) соя((к — п)а)йа 1 п1/2

й=1, кфп

к1!2 | к2 — п21

оі^-М+о' Е

ои Е

6=1,

1

к + п ) ' ^\к — п\

п1/2

= О

к1!2\к — п|п3/2 к1!2(к — п)2(к + п)

( є1пп\

Далее рассмотрим

ОМ Е

к=1,

к1'2

к1'2

<0(е) Е

й=1,

п^Л-пр + п)2 п1!2(к — п)2(к + п)

1 1

<

п\к2 — п21 п(к — п)2

Получим оценку для а^(р):

<4(р) =

ОО

ом £

к=1, кфп

_к112п112\к2 — п2\(к + п) к112п112\к2 — п2\\к — п\_

ом Е

к=1, кфп

кп\к2 — п2\ кп(к — п)2

= О

є 1п п

Рассмотрим

ап(Р) = ~ Ё

к=1, кфп

(2к + 1)(2п + 1)

87Г21 А: — п\(к + п + 1 )&1/2п3/2

х / ^^-[8т((к — п — 1)а) — соз((к + п + 2)а)]-^^\^йа = ф\ + ф2,

8та

&=1,

7Г — Є

і &1/2пЗ/2

(2А: + 1)(2та + 1)

87Г21 А: — п\(к + п + 1 )&1/2п3/2

/(а) . .. . . 0(1)

х / —--------8іп((А; — та — 1)а)., г,,пйа =

эта

о(і) Е

/=і-п,

к1і2П3/2

(2та + 2|/| + 1)(2та + 1) |/|(2та + |/| + 1)(та + \1\)112пА12

эта

о(і) Е

/=1-П, 1ф О

1 (2п)(2п) (1 + (2|1| + 1)(2п)-1)(1 + (2п)-1)

|*| 2пп3/2п1/2 (1 + (\1\ + 1)(2п)-1)(1 + \1\(п)-1)1/2

х I ^8т((Ш-1)а)^а =

ша

оо

0(1) У [ ^8Іп((Ш-1)а)<іа =

' |г|та / япа

/=1-п, 1фО

оз /* ftpA

0(1) 23 т-т— —-[sin(|l|a) cos а + cos(|l|a) sinajda =

I 1 I Lf\ № ■' ^

1 = 1— n, 1ф 0

£

7Г— £

0(1) 23 ~Щ~ j f(o.)ctgas’m(\l\a)da + 0^-^j.

1=1—n, 1ф 0 £

Используя формулу [4]

E°° sin (la) 7г — (y,

i = -о- 0 < a < 7Г,

/=i

получаем

7Г— £

0(1) f ( 1

ф\ =-------- f(a)ctga(-n — a)da + О

n J \nz

£

_ _ ^ (2fc + l)(2n + 1)

2 “ 8-7r2|fc — n\(k + n + 1)к112пА12

k=1, 1 14 7

7Г— £

x f [(&)_ cos!!k + n + 2)a)da,

J sm a

£

В силу того, что

cos((k + п + 2)a)da = О ^

sin a \к + п + 2

£

имеем

(2к + l)(2n + 1)

Ф2 = ^ 23

к_1 к^п 8тт2\к — п\(к + п + 1 )fc1/2n3/2

7Г— £

х f f (a) cog//fc _|_ п _|_ 2)a)doc =

J sma

£

g (2к + l)(2n + 1)

х

k-i кфп \к ^ п\(к + п + 1 )fc1/2n3/2(fc + п + 2)

fcl/2

^ \ Т^, n^lfc^np + n)2 — fc=l, 1 14 /

1 „ /1пп

п\к2

к=1, кфп

В итоге

1Г — є

5 ! N 0(1) Г .. . , , . , /ІІ1П

а„(р) =--------------]"(а)сіда\ж — а)аа + и I —^

71 I \ Ті

£

„6/

Получим оценку для а„(р):

| / і \ »1(р) = 0(1) ^2 к1/2п1/2\к2 ^п2| = ° (^^3/2у ■

к=1,

Оценим а^(р):

к1!2 „ / Іпє

й=1,

Получим оценку для а^(р):

00 &-1/2 / 1п є \

4Ы = о(ш) £ п3/2|ь2_„2| = о

Ь — 1 и—Ст І I \ ‘ /

8, . ^ (2& + 1)(2п + 1)

“•» = - £ 4тт2 |Лд. — Л,,| Х

к=1,кфп 1 к

7Г — £

х С [і^)_г8іп//£ _ п _ 1)о;) _ соз((к + п + 2)а)1(іа = і 8іпа

£

у2' п1/2 /

й=М^в к1/2\к ^п\(к + П)2 “

1 / ІПП

— И1/2Д,1/2|Д,2 _ и2| 1 п3/2

й=1, 1 1

При доказательстве мы воспользовались равенством

соз((к + п + 2)а)с1а = О ^

эта V к + п + 2

£

Далее

,9( \_ 0( Іпє) _ /Оппіпє

«ВІРІ — „1/21,1/211,2 _ „21 _

ь_і п1/2^1/2!^2 — п2| V п3/2 )

К— 1, гС^-ТІ

к=1, кфп

Далее

Оценивая следующее слагаемое, получаем:

0( 1пе)

п3/2^1/2!^2 — п2| VеУ V

11(р)= ^ п1/20(1пе) _„(\ъе

й=]

Приведем еще одну оценку:

(У

^П

^ Е к3/2\к2 - п21 ° ^3/2У ’

&=1, кфп 1 1

1 {1

” ^ і п1/2к3/2\к2 — п21 \є/ \єпь!2

к=1, кфп 1 1ч/ ч

Итак, получили:

о,,(г,) = о (Е2 ь») + о + о (^) + о (і +о('^'і + о('^+оГ4ио/ЕІп"

п2 / \ п2 / \п2 / \ п2

IX— £

—^ [ /(а)с^а(-7г — а)(іа + О Г—^ п \ пг

+о\4^)+о(^)+о(^)+оПп£Ып

пЗ/2 / 1 ^ \ пЗ/2 / 1 ^ \ пЗ/2 / V пЗ/2

+о('^+о^+оГ^+о/ 1

п3є У ' \ п3/2 У V еп3/2 У ' І п3є3

Выбирая в качестве є = -^74, получим

п3/4'

7Г — £

«п(р) = —^ J Ґ(а)сіда(ж - «)^« + О (^§7^) ■

£

Учитывая, что

ж

/ (а)сіда(ж — а)с1а = 0,

о

получаем, что вторая поправка теории возмущений имеет вид:

Предложенный в настоящей работе путь нахождения регуляризован-ного следа оператора Лапласа - Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости может быть реализован при рассмотрении задач, порожденных другими дифференциальными операторами со сложным вхождением спектрального параметра.

Список литературы

1. Асланова И. М.Регуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиувилля на конечном отрезке // Тр. Ин-та математики и механики. АН Азербайджана. 1998. Д'"9. С. 23-26.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансциндентные функции. Т.2. М.: Наука, 1974.

3. Винокуров В. А., Садовничий В. к.Асимптотика собственных значений и собственных функций и формула следа для потенциала, содержащего 6 -функцию И Докл. РАН. 2001. Т. 376, №4. С. 445-448.

4. Владимиров В. С.Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1978.

5. Лидский В.Б., Садовничий В. к.Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функцион. анализ и его прил. 1967. Т. 1, №2. С. 52-59.

6. Садовничая И. В.Регуляризованные следы одного класса сингулярных операторов // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 6. С. 771-778.

7. Садовничий В. А., Дубровский В. В.Классическая формула регуляризованного следа для собственных чисел оператора Штурма Лиувилля с потенциалом на сфере И ДАН СССР. 1991. Т. 319, Ж. С. 61-62.

8. Садовничий В. А., Дубровский В. В.О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И. Г. Петровского. 1996. Вып. 19. С. 37-72.

9. Садовничий В. А., Дубровский В. В., Соченко Н. Ю. Регуляризованные следы несамосопряженных дискретных операторов с неядерной резольвентой // Докл. РАН. 2000. Т. 370, Ж. С.24-26.

10. Садовничий В. А., Подольский В. Е.Следы операторов с относительно компактным возмущением II Мат. сб. 2002. Т. 193, №2. С. 129-152.

11. Томин Н. Г .О первом регуляризованном следе дискретного оператора // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 2. С. 165-167.

12. Dostanic М .Trace formulas for nonnuclear perturbations of self adjoint operators 11 Publ. Inst. Math. (Beograd) (N. S.). 1993. Vol. 54. P. 71-79.

13. Neidhardt H. Spectral shift function and Gilbert-Schmidt perturbation: extensions of some work of L. S. Koplienko // Math. Nachr. 1988. Vol. 138. P. 7-25.

Магнитогорский государственный университет analysis@masu.ru