Формула регуляризованного следа дифференциального оператора со сложным вхождением спектрального параметра Текст научной статьи по специальности «Математика»

дифференциальных игр возможности, например, ограничение по своему усмотрению числа коррекций управлений игроков, что может в некоторых случаях упростить исследование. С другой стороны, многокритериальность большинства версий ЖИПТО значительно усложняет задачу полного исследования даже базовых версий и приводит к неисследованным классам математических моделей. Элементарная геометрия преследования. Элементарные геометрические разделы математики ЖИПТО в совокупности с элементарными задачами "геометрии простого преследования" [6] образуют основу интересного расширения элементарной школьной геометрии, которое можно называть "элементарной геометрией преследования". Математическая культура и математические способности. Приобщение к математике ЖИПТО позволяет приобщиться к методу математического моделирования, понять ее возможности и пределы, что важно и актуально в настоящее время, когда благодаря бурному развитию математики и информатики человечество вступило в "эпоху моделирования". В эту эпоху важно поднять математическую культуру членов общества, которую мы делим на следующие основные уровни:

Начальный уровень: приобщение к элементарным математическим объектам и понятиям. Средний уровень: Освоение одного из разделов математики, начиная от элементарной геометрии, кончая современными математическими теориями.

Высший уровень: Способность к созданию нового математического знания.

Такая классификация позволяет отнести к личностям с высокой математической культурой великих математиков древности. Почти все учителя математики и победители математических олимпиад относятся к лицам с математической культурой повышенного среднего уровня (мы делим средний уровень на несколько подуровней). Популяризация ЖИПТО и элементарной геометрии преследования в школах призвана способствовать поднятию математической культуры учителей и учащихся.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петросян Л.А., Томский Г.В. Элементарные задачи сближения и уклонения. Якутск: ЯГУ, 1989.

2. Петросян Л.А., Томский Г.В. Через игры к творчеству. Новосибирск: Наука, 1991.

3. Tomski G., Kouzmina Т. JIPTO: Jeux de reflexion pour tous. Paris: ACL Editions, 1996.

4. Tomski G. JIPTO. Paris: JIPTO international, 2000.

5. Tomski G. Mathematiques du JIPTO. Paris: JIPTO international, 2002.

6. Петросян Л.А., Томский Г.В. Геометрия простого преследования. Новосибирск: Наука, 1983.

ФОРМУЛА РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА СО СЛОЖНЫМ ВХОЖДЕНИЕМ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА

© О.А. Торшина (Магнитогорск)

Исследуем оператор Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости, что представляется возможным при получении проективной плоскости через сферу посредством отождествления диаметрально противоположных точек и выкалывания полюсов.

Пусть Т — —Д - оператор Лапласа-Бельтрами с потенциалом на проективной плоскости действующий в гильбертовом пространстве Н, взятом с плотностью зт 6(1в(1(р (в,1р - сферические координаты), Ап = п(п + 1) (п = 0, оо) - собственные числа оператора Т, г>П)» (г = 0,2п) - соответствующие собственные ортонормированные функции оператора Г, 1п = {А|А = Хп + п + 1 + ip,

—оо < р < оо}. Пусть также Р - оператор умножения нар Є C2(W), W = (0,7г) х (0,27г). Обозначим через цП'і собственные числа оператора Т + Р, взятые с учетом алгебраической кратности, такие, что |цП:і — п{п + 1)| const.

Теорема. Если р - нечетный, дважды непрерывно дифференцируемый потенциал, то для собственных чисел оператора Т + Р верно равенство

Но

,о + Е Мп,г - п(п + 1)(2п + 1) j = [f p2(9,ip) sin Odipde.

п=1 I г=0 J j?

Доказательство. Воспользуемся равенством

2 п 2 п

^>2vn,i = п(п + 1)(2п + 1) +'^2nn,i(Pvni,vni) +ап{р) + Рп(р) + о (-U ,

2=0

2=0

где ап(р) - вторая поправка теории возмущений, /Зп(р) - третья поправка теории возмущений. В силу нечетности функции р(в, (р)

2^ 2,771 ■)■ 1 Г С

5~2{Pvni, vni) = ^ / / р(в, ф) sin 6dipd6 = О,

2=0 г?

а„(р) =0(£%), Ш = &Sp f - J [Р(Т - АЕ)-1]Ч\ = 0.

1п ^ 71 — 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Садовничий В.А., Дубровский В.В. О классической формуле первого регуляризованного следа оператора Лапласа с нечетным потенциалом на сфере // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1996. Вып. 19. С. 37-72.

ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

© Г.А. Тырыгина (Тольятти)

"Содержание школьного курса математики группируется вокруг нескольких стержневых линий ... Этот состав отражает длительный опыт обучения математике и в настоящее время практически полностью соответствует мировой практике. Исключение составляет ... линия, связанная с теорией вероятностей и математической статистикой, и ставшая чрезвычайно актуальной в изменившихся и динамично меняющихся условиях современного общества. (Учебные стандарты школ России. Книга 2. Математика. Естественно-научные дисциплины. М.: Прометей, 1998, с. 27).

Построение целостной концепции обучения вероятности, начиная со школы, невозможно без понимания предмета теории вероятностей. Долгим и трудным был путь развития понятия вероятности, от нечетких и неясных до современных представлений, причем на протяжении столетий не использовалась математическая символика. Развитие представлений о предмете теории вероятностей, на наш взгляд, можно разделить на четыре периода.

Первый период развития связан с именами Г. Гюйгенса, Я. Бернулли, А. Муавра, П.С. Лапласа, А. Пуассона, В.Я. Буняковского. В переписке Ферма и Паскаля находим, что предметом нового раздела естествознания являются игральные кости и карточные игры. Такое понимание предмета теория вероятностей часто возникает и у современных людей при начальном знакомстве с ней.