Об обратной задаче спектрального анализа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984.54

ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

А.И. Седов

ABOUT THE INVERSE PROBLEM OF THE SPECTRAL ANALYSIS

A.I. Sedov

Приведены достаточные условия, налагаемые на последовательность комплексных чисел, для которой существует возмущенный оператор такой, что его спектр совпадает с данной последовательностью. Приводится алгоритм приближенного нахождения возмущающего оператора.

Ключевые слова: самосопряженный дискретный оператор, гильбертово пространство, оператор Лапласа, ядерны/й оператор, спектр, след, возмущение, собственные числа.

We give the sufficient conditions imposed on a sequence of complex numbers for which there exists such perturbation operator, that its spectrum is equal to the given sequence. The algorithm of the approximate finding of the perturbation operator is given.

Keywords: a self-adjoint discrete operator, Hilbert space, Laplace operator, an operator of trace class, spectrum, trace, perturbation, eigenvalues.

Введение

Пусть линейный, дискретный, самосопряженный, полуограниченный снизу оператор Т с ядерной резольвентой действует в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Предположим, что спектр оператора о(Т) простой, и занумеруем собственные числа оператора А„ в порядке возрастания п — 1, сю. Через vn обозначим соответствующие Хп ортонормирован-ные в II собственные функции. Пусть Р — ограниченный оператор умножения на функцию р € Н, действующий в Н.

Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа: пусть ряд ^2 |АП — £га|

П

сходится. Для последовательности {£п} требуется доказать существование и единственность такого оператора Т + Р, что его спектр а(Т + Р) — {цп} совпадает с данной последовательностью {£„}.

В представленной работе развивается метод, впервые предложенный в [1], где для заданной последовательности доказано существование возмущенной степени оператора Лапласа на прямоугольной области. Метод можно применять и для обыкновенных дифференциальных операторов, но, в основном, его развивали для операторов в частных производных. Дальнейшие исследования велись в направлении уменьшения степени оператора Лапласа. Наибольшего прогресса удалось достичь в работе [2], где впервые решена задача для возмущенного оператора Лапласа. Следует отметить, что, в основном, рассматривались такие прямоугольные области на которых оператор Лапласа имеет простой спектр. Случай прямоугольной области с кратным спектром оператора был рассмотрен в [3]. В работе [4] была рассмотрена не прямоугольная область, и хотя это значительно увеличило объем вычислений, но не привнесло никаких принципиальных сложностей. В работе [5] впервые была

решена обратная задача спектрального анализа для абстрактного дискретного оператора с ядерной резольвентой в гильбертовом пространстве. В работе [6] был представлен алгоритм вычисления приближенного решения для оператора Лапласа на прямоугольной области. Однако численная реализация представленного в ней алгоритма затруднена из-за большого объема вычислений.

В основе метода лежит теория возмущений. Одним из последних результатов [7] является формула регуляризованных следов для дискретного оператора Т с ядерной резольвентой и ограниченным оператором Р:

Обратные задачи, как правило, представляют большую сложность в исследовании, чем прямые задачи. В настоящей работе удалось приблизиться к ограничениям прямой задачи. Рассмотрен дискретный оператор, действующий в гильбертовом пространстве с ядерной резольвентой. Ослаблено условие малости, ранее налагаемое на возмущенный оператор. Кроме того, в настоящей работе приводится алгоритм, который был успешно реализован для возмущенной степени оператора Лапласа на прямоугольной области.

1. Оператор в гильбертовом пространстве

Введем следующие обозначения: ап = {А : Re А = -n+1 rn — ^ min{A„+i—А„; А„ —

Ar—і}, го = inf тл, = ■[А : |Хп А| = го }, Гп = {А : |А| = Хп -|- тп}•, £1п — {А . |\п —• А| ^ го},

п

оо

fi = р| || • 111) II ‘ 112 — ядерная норма и норма Гильберта-Шмидта, Ro(X) = (Т — А Е)~1,

Лемма 1. Если Р ограниченный оператор такой, что ||РІ?о(А)|| < 1 при А Є то Т + Р

— дискретный. Причем, если В-о(Х) Е &д, то і?(А) Є &д, 1 < д < оо.

Обозначим через цп собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей, с учетом алгебраической кратности.

Лемма 2. Если ||Р|| < го/2, то для любого п внутри контуров 7„ будет находиться одинаковое число Хп и цп.

Лемма 3. Если Р — ограниченный, то существует N Є N такое, что 1) для любых п < N все собственные числа Хп и цп будут находиться внутри контура

(1)

П

Д(А) = (Т + Р- ХЕ)~1.

1.1. Оператор с ядерной резольвентой

Пусть Р — ограниченный оператор, Т — оператор с ядерной резольвентой. Теорема 1. Имеют место спектральные тождества:

(2)

N

N

N

(3)

«п(р) = Е ®п\р)> где к—2

а[к\р)

(~1 )кЧ 2nik

L

A9-1 Sp (РЛо(А))*

d\, q < N,

“ff’w - шг LSp [(РД"(А))‘]

'7n

cZA, n> N.

Введем матрицу Вандермонда

W

v Af-1 A^-1

Xм-1 / an 1

и обозначим через и)~щ элементы обратной матрицы \¥~г.

оо

Разложим г>2 в ряд г>2 = Е спк<Рк по ортонормированному базису {<рп} подпространства

к=г

Н\ С Н. В частности, это может быть базис {ип}. Предположим, что матрица С обратима, и обозначим через с~к элементы обратной матрицы С~1.

Теорема 2. Пусть базис {<рп} равномерно ограничен. Если для последовательности {£„} найдется N Є N такое, что выполняются неравенства:

и

оо - N N

ІЯі Е 1!й»(л)Йгт77^ Е 1^1 Е KW+

Е

ТІ — 1

N

k=1

оо

k=N+l

Е^Е^Е«?-л;> + Е <£*«*-**>

fc=l g=1 У s=l b=jV+l

АЄ7 Jb 2

< r2(l -u/)2,

r/nt

<1,

(4)

ряды:

E

n=l

ЛГ

AePjv

N

maxp0(A)||i—-^-r- + I] ІІдо(А)|||—rfe

1 Г/Глг fc=i 9=i fc=iv+i Ae7fe

1 - r/rk

E

n=l

N

N

w

N

E <s*E-fEK-A!>+ E - a*)

fe=l 9=1 y s=l fe=iV+l

сходятся, то в шаре 17(0, г) € Н существует оператор Р такой, что спектр а(Т + Р) = {^п} совпадает с последовательностью {£п}.

1.2. Оператор с неядерной резольвентой

Пусть ||.Р|| < Т — оператор с резольвентой Гильберта-Шмидта.

Построим функции ft : С -> С такие, что /t(Ajt) = Stk- где &tk —- символ Кронекера и

пусть fit = sup (|А|2-|Л(Л)|) < сю. Примером таких функций являются функции ft '■ С —> С, Re А>0

которые в левой полуплоскости не имеют особых точек и ограничены по модулю, а в правой полуплоскости имеют вид:

Л(А) = Аг

к—Х,кфі

А А; — А А* + А ) ’

где нормирующие множители выбраны из условия /г(Аг) = 1, Ь Е N. Очевидно, что

/«(А*) = Поскольку /,.(Аг) = 1, то $ > А?. Введем функции дг{А) = / Ь(г)<1г.

Jo

Из последовательности {а^}^ выберем подпоследовательность так, чтобы \/£ Е

N выполнялось неравенство С{ > А^.

Теорема 3. Пусть базис {<рп} равномерно ограничен. Если для комплексной последовательности {£„} существует подпоследовательность {сп} С {ап} такая, что выполняются следующие неравенства:

СОО V4

Ьі

оо а

_ 1 2\ 2

<1,

ряды:

Е

71=1

Е

і 71 = 1

ХХ*~^ХНЛ°(Л) ІІ2

^2спк 2 (9к(£з)~9к(А,-))

&=1 ^і<Ск

2\ I

*=1

' ск ЛЄГ*

£

71=1

£ Ы&) -0к(Аі))

А = 1 А^<Сі;

сходятся, то существует потенциал р, такой, что для любого і Е N

£ ^(/ъ) = £ &&')■

Xj <сі Xj *Сс£

Теорема 4. Пусть базис {ц>п} равномерно ограничен константой К. Если для комплексной последовательности {£„} существует подпоследовательность {сп} С {ап} такая, что выполняются следующие неравенства:

П) К _ Рь и т> /л \ н 2 ^ і

щ^ЕЕм^кііадіь < і.

КЕ

71= 1

£ спк £ (9кЮ - 9к(Ь]))

к—1 \}<сь

то существует потенциал р, такой, что для любого і Е N

1.3. Алгоритм 1

Алгоритм напишем для случая, когда Т имеет ядерную резольвенту, а Р ограниченный.

Приближенное решение будем находить методом последовательных приближений. Задаем точность д.

1. Выбираем т Є N.

2. Положим ро = 0.

3. рі = а0- а(ро) = «о-

5. По формулам (2)-(3), где ап вычисляются по формулам (7)—(9), вычисляем /%, п > N

6. Сравниваем числа /іп, полученные в п.5 с числами п > N и Е Мп с ^2 £п, q < N

п—1 П=1

соответственно, по какому-либо критерию, например, наименьших квадратов.

7. Если значение критерия уменьшилось по сравнению с предыдущим, то переходим к следующей итерации, т.е. к п.4. Если значение увеличилось, и необходимая точность была достигнута на предыдущей итерации, то приближенное решение р = p3+i найдено. Если значение увеличилось, но необходимая точность не была достигнута на предыдущей итерации, то переходим к п.1, увеличивая т.

Теорема 5. рт -» р при т—ї оо.

2. Оператор Лапласа

2.1. Кратный спектр

Пусть Ііп = {х = (жі,ж2, • • • ,хп) : 0 < Xj < a,j,j — 1,... ,n}, a,j > 0. В пространстве І2(П.„) рассмотрим оператор Лапласа То, порожденный краевой задачей Дирихле:

“° = Е Е<йЕ^Е«-ч> + Е л.

Г)—1 I 1 1 * 0 — 1 и— ATI 1

т N N п,— N т

(5)

п=1 к=1 g=l * s=l k=N+1

4. Вычисляем Pj+i = ао — j = 1, 2,....

-Г. —1 Ь_1 v>—1 Ч I----ЛГ_1_1

m

(б)

n= 1 Л:=1 g=l fc=jV+l

га

(7)

(8)

n > N.

(9)

JV

ra=1

ДГ

iV

ТЬ

Введем оператор Т = /0°° X^dE(X), где Е(Х) — спектральное разложение единицы, /3 > —,

&

п /2т2\Р

> 0 при Л > 0. Собственным числам Хт = > I —тЛ- 1 оператора Т соответствуют

U\ >

■ ■ ■ / • \

ортонормированные В 1*2 (П„) собственные функции Vrn(x) = \ — ТТ sin ( ---------) , где 771

V V j=1 \ аз /

п

— мультииндекс m = (mi,... ,mn), rrij Є N. V = a ?. Иногда, для удобства будем нуме-

j=i

ровать упорядоченные по возрастанию собственные числа Ато = A(mi>m2г...,тп) оператора Т и связанные с ними спектральные объекты одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет обозначать кратность щ собственного числа At, т.е. Xt = Х$ = Х{, к = hv].

ОО

Обозначим г2 max || До (А) ІІ2

З п 1

Теорема 6. Пусть /3 > —, г < min{ro,-------------7=}> ш = V2^s2r. Если для комплексной

2 S2 V 2П

последовательности выполняется неравенство:

(ОО Vt \ 2

ЕЕі^-Л*і2)

то существует потенциал р Є L2(Tln), такой, что для любого t Е N

= (10)

fc=1

где cr(T + -P) = {/ij}, причем

р(аг -xi,x2,...,xn)=p{xi,a2 - x2,..., xn) =... =p{xu x2,.■., an -xn)= = p(xu x2,..., xn) для почти всех (x\,x2,... ,xn) E П„;

П

(P, <Pm) = 0, при П тз =°> mj = 0,1, • • •, \\pU2 < r •

j=1

Замечание 1. В рассмотренных раннее операторах с простым спектром, кратный спектр учитывается аналогичным способом. Тождества совпадения спектров записываются аналогично полученному здесь равенству (10).

Теорема 7. Если спектр оператора Т простой, то оператор Р, найденный в теоремах 2 и 6 единственный.

2.2. Алгоритм 2

Алгоритм запишем для случая, когда для всех п существуют непересекающиеся окружности 7п содержащие внутри себя только А„ и Задаем точность 8.

1. Выбираем т. Число выбираем произвольно, чем оно больше, тем точнее будет найдено приближенное решение. Если количество £п конечно, то т определяется естественным образом.

2. Положим ро = 0.

3. р! = «о - а(Ро) = а0,

т

п=1

4. Вычисляем р^\ = ао — &(р^, 3 — 1,2,... по формулам:

т

п=1

а(р) = Е (°£(р) + «п(р) +

1фп

а1(р) = - Е Т“Цг> где = (•Ри«’и*)’

Лп

ап

3 Сп'1 = УтУцУ&_______V-' У^Упп

'Р) (\, _ \\(\л _

чфп^ Ап^А^ Лп^ iфn^Xi Л^l^,

4/ V-' УтУг]У]кУкп . V-' УппУп^цУ]п .

пР . “1 (Аг — АП)(А^- — Хп)(Хк — Хп) (Хг — Хп)(Хз — Хп)2

г,3,кфп ■> г,зфп -1

V V Л/--У- <___- У2 У? ,__. у"2 у2

\^ г пгг т X *> у ппу п1

V-"4 ^гт ^ш кг? ^тг * пг* уп

г^фп ^ ~ ~ Л») " А«)2(Л^ ~ А") {фп ~ Хп)3

5. Вычисляем цп, п = 1,т:

Цп = Л„ + Кп + Оп(р) + «п(р) + «п(Р)-

6. Сравниваем числа полученные, в п.5, с числами £п по какому-либо критерию, например, наименьших квадратов:

ммк = ]Г |£п - М„|2 < 52.

п—1

7. Если значение критерия уменьшилось по сравнению с предыдущим, то переходим к следующей итерации, т.е. к п.4. Если значение увеличилось, и необходимая точность была достигнута на предыдущей итерации, то приближенное решение р = р3+\ найдено. Если значение увеличилось, но необходимая точность не была достигнута на предыдущей итерации, то переходим к п.1, увеличивая т.

Замечание 2. Обоснование возможности приближенного вычисления собственных чисел по формуле п.5 дано в работе [8].

2.3. Пример

а2

Пусть П — прямоугольник со сторонами а и Ь, — иррациональное. Рассмотрим само-

сг

сопряженный неотрицательный оператор То, порожденный краевой задачей Дирихле:

—Ау = Ху, у\дХ1 = 0,

где А — оператор Лапласа.

гоо

Введем оператор Т — где Е(А) — спектральное разложение единицы

Jo

оператора То, /3 > 3/2, А^ > 0 при А > 0. Известно, что собственным числам Аы = ж2к2 п212\Р

—-г—|—-г- ) оператора Т соответствуют ортонормированные в (П) собственные функ-

а“

, \ 2 . /якх\ . (п1у\

ции Укі(х, у) = -д= вт !■— І вт I — I; к, І Є N.

Поскольку а2/Ь2 иррациональное число, то спектр а(Т) оператора Т однократный. Для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа и связанные с ними спектральные объекты одним натуральным индексом.

Обозначим П4 = {(ж, у)| 0 < ж < |, 0 < у < — вспомогательный прямоуголь-

ник и введем полную ортонормированную В І2(Щ) систему функций {ірп}^=і, (Рп(х,у) =

. . 4 2ігкх 2ігІу (тт2к2 ж 212\^

<РкІ(Х,У) = —^СОЗ—^—СОЯ-у-, где Лп = + ~~^2~) > 1 Є

Приведем пример реализации алгоритма для случая: стороны прямоугольника а — \/2 и Ь = 1; степень /3 = 2. Положим тп = 9. Тогда будем иметь

{Ах,...,Ад,...} =

= {28,76, 144,66, 218,68, 460,19, 535,21, 929,99, 1060,11, 1380,87, 2329,73,...}.

Здесь и далее вычисления производись с помощью математического пакета Маріє 6 с точностью до 30 значащих цифр, но для экономии места приведены только две. В качестве возмущенной последовательности возьмем

{Єї...еэ} = {-14,70, 118,56, 189,90, 449,10, 511,75, 903,62, 1051,98, 1372,41, 2324,44}.

Последовательное вычисление функций и вычисленные по ним значения критерия равны МЫКг = 1,473321, МИК2 = 0,007982, МИК3 = 0,000075. Таким образом, полученная после третьей итерации функция

Рз(я,у) =

—177,59 ««(5,28ж) сов(6,28у) —105,16сов(10, 56ж) сов(6,28у) —116,70 соб(5, 28ж) сов(12,57у) — 44,36 соз(10,57х) со8(12,57у) — 91,65 соз(15,85ж) ««(6,28у) — 105,39 сов(5, 28ж) «№(18,85у) — 30, 93 «№(15,85ж) «№(12,57у) — 33,09 «№(10,57х) «№(18,85у) — 19,70 «№(15,85ж) «№(18,85у) дает множество {ц\,..., /ід} которое мало отличается от множества {£ъ ■ ■ •, £д}-

Литература

1. Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, А.В. Нагорный // Дифференц. уравн. - 1990. - Т. 26, № 9. -С. 1563 - 1567.

2. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой / А.И. Седов, В.В. Дубровский (мл.) // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - Т. 10, № 1-2.

- С. 1 - 8. - ІвБК 1560-4128.

3. Седов, А.И. О существовании и единственности решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на параллелепипеде / А.И. Седов, Г. А. Закирова // Вестн. МаГУ. Математика. - 2006. - вып. 9. - С. 145 - 149. - ІБВК 5-86781-315-0.

4. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / А.И. Седов, Г.А. Закирова // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. - 2008. - № 2. - С. 34 - 42. - КБК 1810-5378.

5. Седов, А.И. О существовании решения одной задачи теории управления / А.И. Седов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. - Т. 16, вып. 6. - С. 1120.

- КБК 0869-8325.

6. Седов, А.И. О приближенном решении обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа / А.И. Седов // Вестн. ЮУрГУ, сер. «Мат. моделирование и программирование». - 2010. - № 16(192), вып. 5. - С. 73 - 78. — КБК 2071-0216.

7. Садовничий, В.А. Регуляризованный след ограниченного возмущения оператора с ядер-ной резольвентой / В.А. Садовничий, В.Е. Подольский // Дифференц. уравн. - 1999. -Т. 35, № 4. - С. 556 - 564.

8. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора / В.А. Садовничий,

В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т.З, № 2. - С. 6 - 8.

Седов Андрей Иванович, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Математические методы в экономике», Магнитогорский государственный университет, [email protected].

Поступила в редакцию 27 ноября 2010 г.