О приближенном решении обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984.54

О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ СТЕПЕНИ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

А.И. Седов

ABOUT THE APPROXIMATE SOLUTION OF THE INVERSE PROBLEM OF THE SPECTRAL ANALYSIS FOR LAPLACE OPERATOR

A.I. Sedov

Приведены достаточные условия, налагаемые на последовательность комплексных чисел, для которой существует возмущенный оператор Лапласа такой, что его спектр совпадает с данной последовательностью. Приводится алгоритм приближенного нахождения возмущающего оператора.

Ключевые слова: оператор Лапласа, ядерный оператор, спектр, след, возмущение, собственные числа

We give the sufficient conditions imposed on a sequence of complex numbers for which there exists such pertubatied Laplace operator, that its spectrum is equal to the given sequence. The algorithm for the approximate finding of the pertubation operator is given.

Keywords: Laplace operator, operator of trace class, spectrum, trace, perturbation, eigenvalue

Введение

Известно много различных результатов, относящихся к обратной задаче спектрального анализа (см. например [1]) для обыкновенных дифференциальных операторов. Для операторов с частными производными результатов значительно меньше. В основном рассматривается степень оператора Лапласа, поскольку резольвента оператора Лапласа не ядерная. Так, в работах [2 - 7] решена обратная задача для степени оператора Лапласа больше 2 на прямоугольнике. В работах [8, 9] поставленная задача решена для степени больше 3/2. В работе [10] - для степени равной 1. В [11] рассмотрена не прямоугольная область. Во всех перечисленных работах [2-11] на возмущающий оператор накладывались условия малости. В представленной работе этот существенный недостаток устранен. Кроме того, впервые предлагается алгоритм приближенного нахождения решения обратной задачи.

1. Постановка задачи

т-г т-т 7 а2 _

Пусть П — прямоугольник со сторонами а и о, - - иррациональное. Рассмотрим само-

Ъ1

сопряженный неотрицательный оператор То, порожденный краевой задачей Дирихле:

-Av = Xv, v\dIi = О,

где Д — оператор Лапласа.

roo

Введем оператор Т= А^сШ(А), где Е(А) — спектральное разложение единицы

Jo

оператора Т0, /3 > 3/2, > 0 при А > 0. Известно, что собственным числам A= ж2к2

—-—|——- ) оператора Т соответствуют ортонормированные в .¿^(П) собственные функ-¿ 52 у

Gr

/ ч 2 . (7ткх\ . /7riy\ 7 ■ ции vki{x,y) = —sm I ■— I sm I ■— 1; GM.

Пусть P — оператор умножения на функцию р Е ¿2 (П) = Н, вещественность р не предполагается. Эту функцию часто называют потенциалом, domP = {р : р € L2, (T+F)y Е £2, где у £ £2}- Обозначим через собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через Uki — соответствующие ортонормированные в Н = ^(П) собственные функции.

Поскольку а2/Ь2 иррациональное число, то спектр о{Т) оператора Т однократный. Для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа и связанные с ними спектральные объекты одним натуральным индексом.

Обозначим П4 = {(ж,у)\ 0 < х < а • 2-1, 0 < у < Ь • 2-1} — вспомогательный прямоугольник и введем полную ортонормированную в ^(Щ) систему функций {<рп}™=1,

, ч , х 4 2тгкх 2тг 1у л /тг2&2 тг2!2^ , , <Рп{х,У) = ЩАХ,у) = -J= cos —cos -у, где An = I ■+ J , к, 1 = 1,оо.

Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа: пусть ряд |АП —

п

£п| сходится. Для последовательности требуется доказать существование такого оператора Т+Р, что его спектр а(Т+Р) = {/¿п} совпадает с данной последовательностью {in}.

2. Основные утверждения

Введем следующие обозначения: тп = \ min{An+i — An; Хп — An_i}, 7n = {А : |An — А| =

00

rn}, Гп - {А : |A| = An}, On = {A : |An - A| > rn}, ilN = f] Qn, R0(X) = (T — AE)"1, Д(А) =

ri=N

(T + P — AI?)-1; II • ||i, II • II2 ядерная норма и норма Гильберта-Шмидта соответственно. Лемма 1. [11] При п 1, ß > 3/2, имеет место оценка:

Следствие 1. [11] При ß > 3/2 ряд / г2 ( шах ||До(А)||2 ) сходится.

\AG7n )

Лемма 2. [11] Существует N Е N такое, что

1) для любых п < N все собственные числа Хп и ¡лп будут находится внутри контура

2) для любых п > N внутри контуров 7П будут находится ровно по одному Хп и цп.

Рассмотрим операторное тождество

R(А) = До(Л) - R0(X)PR0(X) + Д(А)(РД0(А))2, X е SlN. Умножим его на проинтегрируем по контуру jn и найдем след. В итоге получим:

ßn = An + (P^n, vn) + an(p), n> N,

где

аг

(р) = -¿т [ л Эр [Р(А)(РР0(А))2] йХ.

** 1п

Аналогично, умножая на ^ и интегрируя по Где, получим

N

N

N

£ /4 = Е Хп + Е Я^гГЧРъгы Уп) + а9(р), д < N.

(1)

П=1

71—1 П—1

где

а,

(р) = - ¿т 1г А* Эр [Д(Л)(РД0(Л))2] ¿А.

Можно показать, что оператор Д(А) ядерный, и для него справедливо разложение в сходящийся по норме ряд

л(Л) = £(-1)*До(А)(РДО(А))*, Л е

(2)

к=О

Подставим ряд (2) в ап. Получим ап(р) = где

А;=2

(-1)

[ ХяБр \110(Х)(Р11о(Х))к]с1Х, д < ЛГ, » Угл 1 -1

[ ЛБр

До(А)(РДо(А))'

¿А, п> N.

Интегрируя по частям, легко получить следующую формулу:

Эр/ 5(А)До(А)(РДо(А))^А = ^Бр [ д'(Х)(Р110(Х))кс1Х.

Отсюда получаем

<#>(р) =

(-1)*

2-кък

[ Бр [(РР0(А))'г

¿Л, Я < N. с?А, п> N.

Запишем (1) в матричном виде. И^У = М, где

ж

( 1 1 ... 1 \

А1 А2 ... Аде

лАГ-1 хЛГ-1 лДГ-1

\ Д1 2 ДЛГ /

( (Ру 1,171) ^

\ (Р^де^де) )

М =

( ТП1 \ ГП<2

\ тм )

ГПп

= ~ А«) ~~ а%{р) • Определитель Вандермонда ф 0, поэтому матрица Ж

71—1

обратима, и У = И^ М. Обозначим через элементы обратной матрицы Ж

-1

Таким образом, получаем (Руп,уп) = ^ п < N.

д=1

Лемма 3. Если функция р удовлетворяет условиям:

(г) р(х, Ь — у) ~ р(х, у) — р(а — х, у), для почти всех (ж, у) Е П, (И) (р,<Рок)ь2{п) = (р^ко)ь2(п) = 0, к = 0,оо, то

(р^п^п)ь2(и) = -т=(р,<рп)ь2( п4)* уао

Пусть г = ттЩРхЦ, ||Р2||}. Оценим разности \ап(р\) — ап(р2)\ при п > N.

1 '7п

<

\а^(Р1) ^ а(пкЦР2)\ =

2тг к

шах

Аетп

(Р1Л0(А))*-(Р2До(А))А!

^(Р2Ло(А))5(Р1 ~Р2)РО(А)(Р1ЛО(А))

б?А

<

— тах

к Ле7п

1

Ас—1

\fc-S-l

Гп к хеуп

\к-2

Тп\\Р1 - Р2\\гк-1 тах (||До(А)Щ ||До(А)||*"2) .

Далее оценим модуль разности:

КЫ ~ ап(р2)| < г„г||Р1 - Р21| тах р0(А)|Ц У]гАтах ||До(А)||* <

п к^о Хе1п

т-Р.ЦтахША)^^

Аналогично, при д < N получаем

Ырг) ~ ад(р2)| < ||Рг - Р21| тах ЦДо(Л)Ц| 1 ^^ ■

3. Существование

Теорема 1. Если для последовательности {£п} найдется N Е N такое, что выполняется неравенство

N

Е

71=1

N - N Щ

Е ^ £(« -

д=1 * д=1

где т Е (0,1); шо существует оператор Р такой, что спектр а(Т + Р) совпадает с последовательностью {£п}.

Доказательство. В пространстве Н\ = Ь2{П4) рассмотрим уравнение относительно р:

р = а0-а(р),

где

N N - И иI

а0

п=1д=1 в=1

п=N+1

N N

а(р) = ^2^2 —ач(р)фп + ^2 ап(р)рп. п-1 д=1 У п=Ы+1

Введем оператор А : Н\ Н\\

Найдем

Ар = а0- а(р).

\а

2 гг% 12

ж ж

Ы - "ЫЦ^ < 2 [Е - РЛ тах ||Ло(А)||^ _ , ]

п=1 д=1 '

+

£ [||Р1-Р2||тах||Д0(А)||1г^

Г/Гъ

N N

| — | Я \тпд\гМ

п=1 д=1

+

где

оо 2

_дг , 1 1 ! / 1 ПЛ >

П=М+1

а;

2 = 4Г2Г аЬ I

Выберем г таким, чтобы выполнялось неравенство ш < 1. Тогда а — оператор сжатия.

Положим Л = тт{г, г^у/аЬ(1—ю)}. Так как оператор о?о является вполне непрерывным, то по комбинированному принципу уравнение в шаре С/Я) С Н\ будет иметь решение. Отметим, что комбинированный принцип не гарантирует единственности решения.

Пусть р — решение уравнения, Р — оператор умножения на функцию р., а(Т + Р) = {/¿п} спектр найденного оператора. Из построения уравнения очевидно, что последовательности {¡¿и} и {£п} совпадают. □

4. Приближенное решение

Приближенное решение будем находить методом последовательных приближений. Выберем М первых собственных чисел из последовательности {Хп}^=1. Число выбираем произвольно, чем оно больше, тем точнее будет найдено приближенное решение. Далее, вместо рядов с*о и а(р), а также всех других рядов, встречающихся при вычислениях, будем писать суммы до М.

1. Положим ро = 0.

2. рг=а0- а(ро) = с*о-

3. р^+х = а0 - а(рД з = 1,2,....

4. Найдем каким-либо способом, например, описанным в [12], спектр а(Т + Р^) = {¡Ль}-Получим множество {а(Т + 15 где К большое число. При увеличении К будет

нарастать вычислительная погрешность.

Вычислительный процесс остановим, когда £п| будет наименьшая. Найденное

рз будем считать приближенным решением обратной задачи.

Литература

1. Юрко, В.А. Обратные спектральные задачи и их приложения / В.А. Юрко. - Саратов: Изд-во СГПИ, 2001.

2. Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 9.

- С. 1563 - 1567.

3. Дубровский, В.В. Устойчивость решения обратных задач спектрального анализа /

B.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, К2 5. -

C. 839 - 843.

4. Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. -С. 1552 - 1561.

5. Дубровский, В.В. Теорема существования в обратной задаче спектрального анализа /

B.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. - 1997. - Т. 33, № 12. - С. 1702 - 1703.

6. Дубровский, В.В. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа / В.В. Дубровский, A.C., Великих // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т. 3, № 5. - С. 6 - 9.

7. Дубровский, В.В. Обратная задача спектрального анализа и интерполяция по Л. Кар-лесону / В.В. Дубровский // Математические заметки. - 2001. - Т. 70, вып. 3. -

C. 468 - 471.

8. Садовничий, В.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // ДАН.

- 1999. - Т. 367, № 3. - С. 307 - 309.

9. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, № 12. - С. 1695 - 1698.

10. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой / А.И. Седов, В.В. Дубровский (мл.) // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - Т. 10, № 1-2. - С. 1 - 8.

11. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / А.И. Седов, Г.А. Закирова // Вестн. СамГУ. Естественно-науч. сер. - 2008. - № 2. - С. 34 - 42.

12. Вычисление первых собственных чисел дискретного оператора / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т.З, № 2. - С. 6 - 8.

Кафедра математических методов в экономике, Магнитогорский государственный университет [email protected]

Поступила в редакцию 13 марта 2010 г.