Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

Дифференциальные уравнения

УДК 517.958:52+517.95

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

Г. А. Закирова

Магнитогорский государственный университет,

455038, г. Магнитогорск, пр-т Ленина, 114.

E-mail: zakirova81Smail.ru

Получено приближённое решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа с кратным спектром.

Ключевые слова: обратная спектральная задача, приближённое решение, оператор Лапласа, кратный спектр.

Введение. В настоящей работе получено приближённое решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа. Рассмотрен случай, когда спектр оператора неоднократный.

Основной результат. Пусть

П= {(x,y) : О ^ x ^ а, О ^ y ^ b}. (1)

В пространстве Т2(П) рассмотрим оператор Лапласа To, определённый краевой

задачей Дирихле:

—Дv = Av, v|dn = О, (2)

где Д — оператор Лапласа, дП — граница П.

Известно [1, с. 910], что оператор Лапласа, определённый данной краевой задачей, является дискретным самосопряжённым оператором.

Рассмотрим также оператор T = AedE(A), являющийся степенью оператора

Jo

To, где E(A) —спектральное разложение единицы оператора To, в > І, Ae > О при A > О.

Очевидно, спектр a(T) оператора T неоднократный. Иногда для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа Amn оператора T и связанные с ними спектральные объекты одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет отвечать за кратность vt собственного числа At, т. е. At = A^ = Aj, k = 1,Vj. Известна [2, стр. 206] асимптотика собственных чисел оператора T: At ~ Cite, Сі = const > О, поэтому при

в > 1 ряд у;t -£-сходится, поэтому для любого A Є p(T) резольвента Ro(A) = (T —

— AE)-1 Є ©і. ‘

Пусть P — оператор умножения на вещественную функцию p Є ^2(П), называемую потенциалом, с нормой ||РУ = —=.

Закирова Галия Амрулловна — старший преподаватель кафедры математического анализа Магнитогорского государственного университета.

Обозначим через собственные числа оператора T + P, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через ut —соответствующие им ортонормированные в ^2(П) собственные функции. Введём обозначения: rt = 2 min{At+i — At; At — At-i}, ro = inf rt;

f 00 2' 1/2 -s = (tCr2 (™х llRQ(A)y2)

Yt = {A : |A- — A| = ro}, Г- = {A Є C : ReA Є a-};

CO

= {A : |At — A| ^ ro}; ^ = П ^t.

t=l

Справедливы следующие утверждения [3].

Лемма. Пусть ||P|| < ro/2, тогда оператор T + P — дискретен и его собственные числа ^t имеют такую же кратность, что и At, причём

(i) если До (A) — оператор Гильберта-Шмидта, то и R(A) — оператор Гильберта—Шмидта,

(ii) если At Є C \ Qt, то Є C \ Qt, s = 1, vt.

Теорема. Пусть в > 3, r Є (О, min{ro, 2s}). Если для комплексной последова-

тельности {£tk} выполняется неравенство

(ТО Vt \ 2

EEiek — AtM <2(1—.),

t=1 k=1 2

где ш = 2sr < 1, то существует потенциал p Є ^2(П) такой, что для любого t Є N

Е ek = Е Mtk, (3)

k=1 k=1

где a(T + P) = {^}.

Поставим задачу найти приближённое решение, существование которого показано в данной теореме.

Введём в рассмотрение следующую систему функций:

4 2nmx 2nny

^mn(x) = cos------cos —-—.

ab a b

При m, n > 0 эту систему будем нумеровать нижним и верхним индексами в соответствии с нумерацией собственных чисел A^.

Уравнение p = ao — a(p), где

о Vt TO Vt / ч

a0 = v/a^E E(ek — Ak )^k ’ a(p) = ^ ’

t=1 k=1 t=1 k=1 V

1 c 1 c O

at(p) = 2— ASp[R(A)(PRo(A))2]dA =2—/ ASp^ Rq(A)(PRq(A))k]dA,

Yt Yt k=2

имеет единственное решение p.

Найти его можно методом последовательных приближений.

Пусть po = 0, тогда pt+l = ao — a(pt), lim^o pt = p.

Найдем приближённое решение p: p = ao — a(ao), где

O Vt

<»(p) = ££ — ^ • <r>(p) = Е <>!4 (p).

Vt

t=1 k=1 1 k=2

Здесь а(к) — к-тая поправка теории возмущений:

ЛЯр [До(Л)(РДо(Л))*] йЛ =

(-1)

к+1

'7*

2пік

8р[РДо(Л)]к йЛ.

'7*

Оценим разности к-тых поправок, к ^ 2:

|агк) (р) - аГ; (рі )| =

(*),

2пк

Яр [(РДо(Л))к - (РіДо(Л))к] йЛ

'7*

<

, Гг

^ — тах

к ЛЄ7*

^ тах ||(РДо(Л))к - (Рійо(Л))к||1 < к ЛЄ7*

*-1

]Г(РіДо(Л)Г(Р - Рі)До(Л)(Рйо(Л))

к —в — 1

Гг

— тах

к ЛЄ7*

в=о

А-1

____ / г \ к — 1

ЕНР - Р1^ (2) идо(Л)у2 пади

к-2

чз—о

к-1

= ггЦР - Р1Н (2) тах (НДо(Л)Н2 НДо(Л)Н

к-2\

Здесь Р1 —оператор умножения на р1, т.е. на ао. Далее оценим модуль разности:

Г / г \ к

КЫ - аг(Р1)| < Гг||Р - Р1Н2 тах ІіадіІ2£ (2) тах НДо(Л)Нк <

2 Лєт* .—. \2/ Лєт*

к=о

< ггг||Р - Р1Н тах ||До(Л)Н2 < ГГг(НРН + ІІР1ІІ)тах НДо(Л)Н2 <

ЛЄ7* ЛЄ7*

< т ах Ндо(Л)Н2.

уао ЛЄ7*

Итак,

|аг(р) - аг(ао)| <

2г2гг

%/аб ЛЄ7*

тах НДо(Л)Н2,

аТ4(ао) = -^ / ЛЯр[До(Л)(Р1До(Л))2]йЛ 2пі Л*

(ао^к^) • (аоук^) = ^ (ао^к, У*)2

2-^2-^ л* _ л* = ^ 2-~/ (л* — л*) .

к— 1 V г ^ /

з—г й—1

л* - Лк

^'—г й—1

В итоге

Р = ао

-^аь£(ЕЕ(ао^г)

г ^—г к—1

лк - лк

(4)

Выражение (4) задаёт приближённое решение поставленной обратной задачи. Для численной реализации представленного алгоритма в среде Мар1е 6 создан программный продукт.

Положим для примера а =1, Ь = ^3, в = 5/2, £т„ = Лтп + 0.0001. Тогда приближённое решение, найденное программой по первым трём членам последова-

а

1

1

тельности {Cmn}, имеет вид:

р = 0.0004006101099+

+ 0.0004000001236 cos(18.84955592x) + 0.0003996020352 cos(4.774188417y)+

+ 0.0003999764584 cos(9.548376831y) + 0.0003999948648 cos(12.56637062x)+

+ 0.0003999963294 cos(14.32256525y) + 0.0003998709158 cos(6.283185308x)+

+ 0.0003999661512 cos(6.283185308x) cos(4.774188417y)+

+ 0.0003999943750 cos(6.283185308x) cos(9.548376831y)+

+ 0.0003999987614 cos(6.283185308x) cos(14.32256525y)+

+ 0.0003999956908 cos(12.56637062x) cos(4.774188417y)+

+ 0.0003999972752 cos(12.56637062x) cos(9.548376831y)+

+ 0.0003999988398 cos(12.56637062x) cos(14.32256525y)+

+ 0.0003999988488 cos(18.84955592x) cos(4.774188417y)+

+ 0.0003999994667cos(18.84955592x) cos(9.548376831y)+

+ 0.0003999997508 cos(18.84955592x) cos(14.32256525y).

Заключение. В настоящей работе предложен алгоритм приближённого решения обратной спектральной задачи для оператора Лапласа с кратным спектром. Представлены результаты численного эксперимента.

Выражаю глубокую признательность своему научному руководителю Седову Андрею Ивановичу.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория [Текст] / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц. —М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — 1064 с.

2. Титчмарш, Э. Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка [Текст] / Э. Ч. Титчмарш. — М.: Изд-во иностр. лит., 1961. — 555 с.

3. Седов, А. И. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике [Текст] / А. И. Седов, Г. А. Закирова // Вестн. Сам. гос. ун-та. Естественнонаучн. сер. — 2008. — С. 34-42.

Поступила в редакцию 05/IX/2008; в окончательном варианте — 26/IX/2008.

MSC: 35Pxx, 35R30

APPROXIMATED SOLUTION OF THE INVERSE SPECTRAL PROBLEM FOR THE LAPLACE OPERATOR

G. A. Zakirova

Magnitogorsk state university,

455038, Magnitogorsk, Lenina prosp., 114

E-mail: zakirova8iamail.ru

The article is devoted, to finding an approximated solution of the inverse spectral problem, for the Laplace operator with, multiple spectrum.

Key words: an inverse problem, an approximate solution, Laplace operator, a multiple spectrum.

Original article submitted 05/IX/2008; revision submitted 26/IX/2008.

Zakirova Galiya Amrullovna, Senior Lecturer, Dept. of Mathematical Analysis of Magnitogorsk State University.