Обратная спектральная задача для оператора Лапласа и ее приближенное решение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:52, 517.95

ОБРАТНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА И ЕЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ

Г.А. Закирова, А. И. Седов

AN INVERSE SPECTRAL PROBLEM FOR LAPLACE OPERATOR AND IT’S APPROXIMATE SOLUTION

G.A. Zakirova, A.I. Sedov

Исследуются обратные спектральные задачи для математических моделей с оператором Лапласа. Построен алгоритм численного нахождения приближенного решения.

Ключевые слова: оператор Лапласа, обратная спектральная задача, приближенное решение

The authors consider inverse spectral problems for mathematical models with Laplace operator. They obtain a numerical algorithm for the approximate solution founding.

Keywords: Laplace operator, inverse spectral problem, approximate solution

Введение

Пусть

П = {x = (xi,x2,... ,ijy) : 0 < Xj < aj, j = 1,... ,N}, a} > 0.

В пространстве 1/2 (П) рассмотрим дискретный самосопряженный оператор То, определенный краевой задачей Дирихле

-Av = \v, v|an = 0, (1)

где Д — оператор Лапласа, еШ — граница П.

В настоящей работе исследуется обратная задача для степени оператора То, порожденного краевой задачей (1). Основным методом исследования является так называемый резольвентный метод, теоретически обоснованный в работах [1, 2]. Применяя идеи этого метода, мы доказываем теоремы существования решения поставленной обратной задачи. Впервые рассматривается случай, когда оператор Лапласа имеет непростой спектр. В работе также описывается процедура численного нахождения приближенного решения.

Отметим, что обратные спектральные задачи в различных постановках играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании. Большинство работ в этом направлении связаны с обыкновенными дифференциальными операторами. Что касается операторов в частных производных, то здесь, в основном, рассматривается степень оператора Лапласа с простым спектром. Так, в работах [1 - 6] решена обратная задача для степени оператора Лапласа больше 2 на прямоугольнике. В работах [7 - 8] поставленная задача решена для степени больше 3/2, в работах [9 - 10] - для степени больше единицы. Обратная задача для оператора Лапласа с кратным спектром раннее не исследовалась.

1. Постановка обратной задачи

роо

Рассмотрим оператор Т = I X^dE(X), являющийся степенью оператора То, где Е{А)

Jo

— спектральное разложение единицы оператора То, /3 > 1, > 0 при Л > 0.

Очевидно, спектр сг(Т) оператора Т неоднократный. Иногда, для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию собственные числа Хт = А(ТОьТО2)...,тдг) оператора Т и связанные с ними спектральные объекты одним нижним натуральным индексом и одним верхним, при этом верхний индекс будет отвечать за кратность щ собственного числа At, т.е. At = А^ = А|, к = 1, v3.

Пусть Р — оператор умножения на вещественную функцию р Є І^(П), называемую потенциалом.

Обозначим через fit собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через щ — соответствующие ИМ ортонормированные В 1(2 (П) собственные функции.

Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа.

Пусть дана последовательностью комплексных чисел {CiltSi? близкая к спектру оператора Т. При различных степенях ¡3 > 1 требуется доказать существование оператора Р, такого что спектр а(Т + Р) совпадает с последовательностью {6}^г-

2. Основные спектральные тождества

Сформулируем вспомогательные утверждения, на которых базируется доказательства основных результатов данной статьи. Доказательства самих вспомогательных утверждений приведены в работе [11].

Обозначим:

До(А) = (Т-А.Е7)-1, Д(А) = (Т + Р- АЯ)“1;

<Н = {А : Ііе А = Л*+12+ Л*}, Г* = {А Є С : ИеА Є а*}, 7< = {А Є С : |А* - А| = г0},

П = ^ тт{Ат - АХг - Аг_і}, г0 = іпїп]

°° -Д-

П* = {А : |А* — А| > г-о}, Ї2 = П У = ТТ %

,=1

Лемма 1.

Если ||Р|| < г/2, где 0 < г < го, то оператор Т + Р — дискретен, причем (і) если Яо{Х) Є &д, то Я(Х) Є &д, 1 < д < оо,

(И) если А( Є С \ то ці Є С \ О*, в = 1,щ, щ—кратность собственного числа Аі-

Теорема 1. Если /3 > N/2, ||Р|| < г/2, где 0 < г < го, то для любого і Є N имеет место спектральное тождество:

= vtXt - Y^{Pv\s\v\s)) + оц(р),

(2)

где at(p) = ^f7rt ASp |я(А)(рЯ0(А))2] dX.

3. Степень оператора Лапласа с потенциалом на ^мерном параллелепипеде

В данном разделе доказывается теорема существования решения обратной спектральной задачи для оператора Лапласа на многомерном параллелепипеде. Приводятся условия, налагаемые на произвольную последовательность, при соблюдении которых спектр возмущенного оператора будет совпадать с данной последовательностью.

Лемма 2.

Если ß > то ряд V г\ шах ||іїо(А)|І2 сходится.

Д ‘ ^ \Сл/і

3N 00

т,

Если ß > N, то ряд rt max ||Яо(А)||| сходится.

1Ґ1 Ле^

Обозначим сумму первого ряда через s2, а второго через s<x>-

Основные результаты данного раздела выражают следующие утверждения.

3 N 1

Теорема 2. Пусть ß > -j-, г Є (0, min{ro, Если для комплексной

последовательности {£* } выполняется неравенство:

(00 щ

t=і k=і

где ш = V2Nsr < 1, то существует потенциал р Є ¿г(П) такой, что для любого t Є N

Ei* = i><. (з)

fc=i fe=i

гдеа(Т + Р) = {^}.

Теорема 3. Пусть (3 > І\Г, г < тіп{го, —7Г/\Г }і ш = 2м з ^г. Если для комплексной

&ОО■"

последовательности {£*} выполняется неравенство:

оо щ і=1 А:=1

то существует потенциал р Є ^оо(П), такой, что для любого і Є N выполняется

Е?? = І>?. т

к=1 А;=1

гЛ<7(Г + Р) = {/і?}.

Введем в рассмотрение следующую систему функций:

/2Л'+'' |\ {2nmjXj\

«.w-V—П«»(—J

где т = (ті,... ,т^), Є {0} иМ, д - число ненулевых индексов в мультииндексе т. При Є N эту систему будем нумеровать нижним и верхним индексами тале же, как и систему {г;т}, т.е. в соответствии с нумерацией собственных чисел А*.

Лемма 3. Множества М вещественных функций р G ¿2(П), обладающих следующими свойствами:

p(ai -Х1,Х2,..-,хн)=р(х1,а2 — Х2,. ■ . ,х^) = • • • =p(®i, Х2, ■ ■ ■, ajv — ®jv) =

= р(х 1,Ж2, • • • ,ждг) для почти всех (xi,x2, ■ ■ ■ , жлг) € П, (5)

N

(Р, V’m) = 0, при Д т3 = 0, mj = 0,1,..., (6)

з=1

Ml, < (7)

замкнуто в ^(П).

Лемма 4. Если ||Pj|| < г/2, 0 < г < го, j = 1,2, шо

K(pi) - а*(рг)| < rrt||Pi - Р2|| max ||До(Л)|||.

A£7t

Перейдем к доказательству теоремы 2.

Доказательство. В пространстве ¿2(П) рассмотрим уравнение относительно р:

р = а0- а(р), (8)

где

________ ОО Щ

а0 = - XtWl (9)

t=l fc=l ________ OO Vt / ч

a(p) = (-1)^^]Г£^**. (10)

¿=i fc=i *

Из вида уравнения следует, что решение удовлетворяет свойствам (5) и (6).

Введем оператор А : £г(П) —> ¿г(П), определяемый равенством: Ар = ао — а(р).

Так как ||т1р||^2 < ||ао|| + ||а(р)|| < |(1 — ш) + = |, то оператор А отображает

замкнутый шар С/(0, §) в себя. Можно показать, что пересечение данного шара с множеством функций, удовлетворяющих свойствам (5) и (6), замкнутое множество. Используя лемму (4) покажем, что оператор А сжимающий в этом подпространстве.

\1АР1 - АМь = Ир.) - «ЫН = ^ ('ЕЕ|с“--)-~а-‘->|2)1/2 <

\t=l k=1 Vt J

V^r||pi -p2lUae = wl|Pl ~Pi\\l2-

По принципу С.Банаха уравнение (8) имеет единственное решение р.

Определим оператор Р, действующий в ¿г(П), следующим образом: Pv(x) = p(x)v(x), где р — решение уравнения (8). Оператор Т + Р дискретный, и его собственные числа также можно занумеровать одним нижним и одним верхним индексами. Покажем, что решение р и есть искомый потенциал.

Умножим скалярно уравнение (8) на функции (р% и просуммируем по k = 1, щ. Получим

f>P?) = (-l)N'/Wvjr$ -utXt - (-1 fV^Vatip). (11)

к=1 к=1

Используя свойства (5)-(6), преобразуем

,ЛГ - N

{Pvm,vm) = ^rr f p(xi,...,xN)f]sm2(7^^)dxi...dxN =

V J п ДЛ V >

(-1)^ f (2t\■mjXj\ (~1)N, ^

у J^P{x i,...,xN) Цсов^—^-^-Jdxi.-.dxN = ^—={p,(pm).

Отсюда, учитывая кратность

£(PvM) = t^±(rM)- (12)

k = 1 V/ V k=l

Подставляя (11) в (12) и сравнивая с (2), получаем (3). □

Замечание 1. Оператор Т + Р, обладающий свойством (3), неединственен.

Действительно, достаточно поменять местами два члена последовательности

щ

попадающих в одну сумму — Л*|2, и мы получим другую последовательность }^i-

fc=i

Объединим в один класс Р все операторы, спектр которых обладает свойством (3). Если мы не будем различать представителей этого класса, то можем говорить о единственности решения обратной задачи.

4. Возмущенный оператор Лапласа с неядерной резольвентой на iV-мерном параллелепипеде

Как уже говорилось во введении, чаще всего в обратных задачах рассматривается

степень оператора Лапласа, так как в данном случае мы будем иметь ядерную резольвенту.

Но в приложениях более важную роль играет сам оператор Лапласа, а не его степени. С

помощью специально подобранных аналитических функций в работе[12] удалось получить

результат для оператора Лапласа с простым спектром, но формулировался он не для самих

собственных чисел, а для значений введенных функций, зависящих от собственных чисел.

В данной работе полученный результат обобщен на случай кратного спектра.

Пусть функции ft : С —> С таковы, что ft(А„) = Stn, где Stn — символ Кронекера и пусть

/■а

Pt = sup (|А|2 • |/t(A)|) < оо. Введем функции gt(А) = / ft(z)dz.

Re А>0 JO

Можно показать, что функции

где нормирующие множители выбраны из условия /¿(А4) = 1, Ь € N удовлетворяют указанным выше условиям.

Теорема 4. Если для комплексной последовательности существует

подпоследовательность {с«} С {а*} такая, что выполняются следующие неравенства:

оо а

(1) ш = 2м~1г0 тах ||Д0(А)||1 ^ ~

е с1

(Ü) 2" £

t=i

Y, {9t(tjk)) - St(Aj))

Ai ^Ct fe—1

то существует потенциал p, такой, что для любого í Є N

ЕЕ*Ю-£Е*<).

Aj fe—1 Aj fe—1

Доказательство этой теоремы основывается на тех же идеях, что и теорема(2)

5. Степень оператора Лапласа с потенциалом

на равнобедренном прямоугольном треугольнике

В данном разделе впервые рассматривается непрямоугольная область.

Пусть К = {(ж, у) : 0 < х < у < 7г}. В пространстве рассмотрим дискретный

самосопряженный полуограниченный снизу оператор То, порожденный краевой задачей Дирихле (1).

Введем оператор Т = /0°° X^dE(X), где Е(А) — спектральное разложение единицы, /3 > 1, А^ > 0 при А > 0.

Нетрудно показать, что собственным числам Хтп = (т2 + п2)^ оператора Т

соответствуют собственные функции vmn = (sin тх sin пу — sin пж sin my), m > n > 0, образующие ортонормированный базис в L2(if).

Положим:

1)SA ^2т>п>0 Х^А;=0 (22kr2k(rn+n),2k(m—n) . шах ||І?о(А)|І2 +

^2^ (m+n),2^ (т—п)

25ИТг2*+1т,2*+1п , тах ||ЛЬ(А)|||);

^Ък+1т,2к+1п '

2)0<rs<min{i-i-;r„};

3) фтп = I (cos тх cos пу + cos пх cos ту), т,п = 0,1,_

Теорема 5. Пусть /3 > 2, г Є (0, min{ro,—7=—}). і?с/ш для комплексной

Зл/2вд

последовательности {£тп} выполняется неравенство:

4 і 00 1

^ ■- I ^ у 22*(Í2fc(m+n),2fc(m-n) А2*(т+п),2*(т—п))

т>п>0 fc=0

1 Г

22fc+l (^2fc+1m,2*:+1n А2*+іт,2*;+1п) ^

где ш = 3\/2sür < 1, то существует функция p Є L^K) такая, что для любого t Є N

^ ^ (t^mn 2^т+п,т-п) = ^ , (£тп ~ ^£т+п,т—п)> (4.1)

m2+n2=At m2+n2—Xt

где <г(Т + Р) = {/w}.

6. Численные расчеты

В этом разделе описывается процедура получения приближенного решения обратной спектральной задачи. Для этого используется основное уравнение, приведенное в процессе

доказательства теоремы (2) существования решения обратной задачи. Для простоты ограничимся изложением двумерного случая.

Поставим задачу найти приближенное решение, существование которого показано в теореме (2).

Введем в рассмотрение следующую систему функций:

. . 4 2тгтх 2ппу

Vmnix) = -j=f COS-------COS —г—.

s/ab о, b

При m,n > 0 эту систему будем нумеровать нижним и верхним индексами в соответствии с нумерацией собственных чисел А*.

Уравнение р = ао — а(р), где

ОО Щ 00 Vt / \

t=1 fc=l t=l k=1 f

*t(p) = ASp[P(A)(PP0(A))2]dA = ^ jT XSp[f^Ito(X)(PRo(X))k]dX,

имеет единственное решение p.

Найти его можно методом последовательных приближений.

Пусть Ро = О, тогда pt+i = а0 - a(pt), Ит^оо Pt = Р-Найдем приближенное решение р. р = а0 - а(а0), где

ОО Щ ~ ( \ 00

ад = ЕЕ^?' *w = E“i‘)W’

здесь

Vt

t= 1 к=1 1 к=2

(fc) ,

— к-тая поправка теории возмущении:

)(Р)=(^1 Авр [і?0(А)(Ріг0(А))А:] ЛХ = ^^-I 8р[РДо(А)]*<*А. Оценим разности к-х поправок, к >2.

|аР(р) - 4к)(Р1)\ = ± 11 йр [(РЛо(А))* - (АЛо(А))*'

^пмж||(РЛо(А))* - (РхДоСА))*^ <

к-1

5](Р1Ро(А))в(Р - Рі)іг0(А)(РР0(А))А:-5-в=0

£ тах ^ ||Р - А|| (0"_1 ||До(А)||| ||^о(А)=

п\\Р-Рг\\ (^)*_1пи«(||Ло(А)||1||До(А)||*-2).

Здесь Р\— оператор умножения на рі, т.е. на «о- Далее оценим модуль разности:

ОО ^

Iа*(р) - <*і(рі)| < п\\Р - Рі||^ тах ||До(А)||| ]Г (П тах ||До(А)||* <

2 ЛЄ74 ^ \2/ ЛЄ7І

к=0

п

— max

К ЛЄ7І

гг4||Р-Рі||пих||Ло(Л)||| <гг4(||Р|| + ||Рі||)тях||Ло(Л)||| < -=тах||До(А)|||.

AG7i АЄ74 VOO

Итак,

\at(p) - 5t{ot0)\ < —/=- max ||До(А)|||.

Vab АЄ71

at(o°) = ASp[i?o(A)(Piiio(A))2]dA =

_ A («Oy«>vj) • (aoyj,y*) А yf)2 л"-л" (A"-A"} '

Таким образом, p = a0- Vab£t(£J?4t EfcLi

На основе полученного результата в среде Maple б впервые создан программный продукт, позволяющий численно находить приближенное решение поставленной обратной задачи.

Положим для примера а = 1, b = v^3, ß = 5/2, £mn = Amn + 0.0001. Тогда

Приближенное решение, ВЫЧИСЛеННОе ПО ПерВЫМ Четырем Членам Последовательности {£rrm} имеет вид:

р = 0.3999996438cos(25.13274123a;)cos(9.548376831y) + 0.4006108966+

+0.3996028571cos(4.774188417y) + 0.3999774004cos(9.548376831y)+ +0.3999955835cos(14.32256525y) + 0.3998713899со«(6.283185308ж)+ +0.3999953594cos(19.09675367y) + 0.3999939656cos(6.283185308a;)cos(9.548376831y)+ +0.3999665522cos(6.283185308z)cos(4.774188417y)+ +0.3999990308cos(6.283185308a;)cos(19.09675367y)+ +0.3999987184eos(6.283185308a;)eos(14.32256525y) + 0.3999958620соз(12.56637062ж)+ +0.4000013739cos(12.56637062x)cos(14.32256525y)+ +0.3999970936cos(12.56637062s)cos(9.548376831y)+ +0.3999958348cos(12.56637062z)cos(4.774188417y)+ +0.4000019328cos(18.84955592a;) + 0.3999996560cos(12.56637062a;)cos(19.09675367y)+ +0.3999997128cos(18.84955592z)cos(14.32256525y)+ +0.3999993495cos(18.84955592a;)cos(9.548376831y)+ +0.3999984754cos(18.84955592a;)cos(4.774188417y)+ +0.3999999510cos(18.84955592z)cos(19.09675367y)+ +0.3999999768cos(25.13274123a:) + 0.3999999242сов(25.13274123ж)соз(19.09675367у)+ +0.3999998700cos(25.13274123a;)cos(14.32256525y)+ +0.3999995842cos(25.13274123z)cos(4.774188417y).

Литература

1. Дубровский, В.В. К обратной задаче для степени оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1990. -Т. 26, № 9. - С. 1563 - 1567.

2. Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из ¿2 / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. -С. 1552 - 1561.

3. Дубровский, В.В. Устойчивость решения обратных задач спектрального анализа /

B.В. Дубровский, A.B. Нагорный A.B. // Дифференц. уравн. - 1992. - Т. 28, № 5. -

C. 839 - 843.

4. Дубровский, В.В. Теорема существования в обратной задаче спектрального анализа /

B.В. Дубровский // Дифференц. уравн. - 1997. - Т. 33, № 12. - С. 1702 - 1703.

5. Дубровский, В.В. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа / В.В. Дубровский, A.C. Великих // Электромагнитные волны к, электронные системы. - 1998. - Т. 3, №5.-С.6-9.

6. Дубровский, В.В. Обратная задача спектрального анализа и интерполяция по Л. Карлесону / В.В. Дубровский // Математические заметки. - 2001. - Т. 70, вып. 3. -

C. 468 - 471.

7. Садовничий, В.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А, Пузанкова // Докл. Акад. наук. - 1999. - Т. 367, № 3. - С. 307 - 309.

8. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Е.А. Пузанкова // Дифференц. уравн. - 2000. - Т. 36, № 12. - С. 1695 - 1698.

9. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.) // Докл. Акад. наук. - 2001. - Т. 377, № 3. - С. 310 - 312.

10. О восстановлении потенциала в обратной задаче спектрального анализа / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, В.В. Дубровский (мл.), Е.А. Пузанкова // Докл. Акад. наук. - 2001. - Т. 380, № 4. - С. 462 - 464.

11. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / А.И. Седов, Г.А. Закирова // Вестн. СамГУ, Естественнонаучная серия. - 2008. - № 2(61). - С. 34 - 42.

12. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой / А.И. Седов. В.В. Дубровский //Электромагнитные волны & электронные системы. - 2005 - Т. 10, № 1 - 2. - С. 1 - 8.

Кафедра математического анализа,

Магнитогорский государственный университет zakirova81@mail.ru

Поступила в редакцию 22 сентября 2008 г.