CC BY
22
УДК 517.984.54
О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ САМОСОПРЯЖЕННОГО ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА
А.И. Седов
EXISTENCE AND UNIQUENESS OF THE SOLUTION OF THE INVERSE SPECTRAL ANALYSIS PROBLEM FOR A SELF-ADJOINT DISCRETE OPERATOR A.I. Sedov
Приведены достаточные условия налагаемые на последовательность комплексных чисел, для которой существует возмущенный дискретный оператор такой, что его спектр совпадает с данной последовательностью.
Ключевые слова: обратная спектральная задача, собственные числа, ядерный оператор, возмущение
The author introduces sufficient conditions prescribed for the consecutive order of the complex numbers, for which such a discrete operator exists which spectrum coincides with the given consecutive order.
Keywords: inverse spectral problem, eigenvalue, kernel operator, perturbation
Пусть дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор Т с ядерной резольвентой действует в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Предположим, что спектр оператора а(Т), простой и занумеруем собственные числа оператора Хп в порядке возрастания п = 0, оо. Через vn обозначим соответствующие Ап ортонормированные в Н собственные функции.
Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа: для данной
последовательности {£n}S£Lo мало отличающейся, в некотором смысле, от последовательности {Ап} доказать существование и единственность такого оператора, что его спектр совпадает с данной последовательностью {£„}.
Будем искать этот оператор в виде суммы Т + Р, где Р — оператор умножения на функцию р Є Н действующий в Н. Обозначим: rn = k min{Ara+i — An; An — An_i}, го = inf rn,
П
ОО
1п ~ : |^п = М, ^п = • |^п ^1 — rn}i ^ = П
71=1
Лемма 1. Пусть ||Р|| < г/2, где 0 < г < го, тогда оператор Т + Р — дискретен и его собственные числа цп имеют такую же кратность, что и Ап, причем (г) если і?о(А) Є <Sq, то R(А) Є <5g, 1 < q < oo,
(%i) если An Є С \ Clr, mo /j„gC \ Or, где Ro и R резольвенты операторов T uT + P соответственно.
Доказательство. Рассмотрим очевидное операторное тождество, справедливое при всех А Є
Т + Р - ХЕ = (Е + PR0(X))(T - XЕ).
1 Г 1 1
Так как ||До(А)|| = -ттт—77—7-, то ||Рі?о(А)|| < - • — < Значит существует линейный и[\)(7\Т ^ 2 тп 2
ограниченный в Н оператор (Е + РДо(А))-1 = 1)/с(Рііо(А))/г, причем ряд сходится
по норме равномерно по А Є О и ||(.Е + РЛо(А))_1|| < 2.
Тогда всюду на !Г2 существует линейный ограниченный оператор
Д(А) = (Г + Р - АЕ)-1 = Я0{Х){Е + РЯо(А))-1. (1)
Отсюда следует, что оператор Д(А) Є ©9, и для него справедливо разложение в
сходящийся по норме ряд
ОО
Я(Л) = £(-1)*Ло(А)(РДо(А))*, А є а (2)
к=О
Так как і?(А) — компактный оператор в Н, то оператор Т + Р дискретен.
Норма разности проекторов Рисса, при любом п Є N
_1_
2тгі
J (R( А) - R0(X))dX < і- jf ||Д(А)|| • ||РДо(А)|||<*А| < < - < 1,
2 тп г 2 гп гп
1п
(3)
поэтому все корневые подпространства оператора Т + Р имеют такую же размерность, как и у оператора Т.
Кроме того, если Ап Є С \ Пп, то fj,n Є С \ Пп. □
Рассмотрим операторное тождество
Д(А) = Ло(А) - Ro(X)PRo(X) + R(X)(PRq(X))2, X Є П.
Умножим его на проинтегрируем по контуру 7п и найдем след. В итоге получим
следующее утверждение.
Теорема 1. ||Р|| < mo имеет, место спектральное тождество
I* п = Хп + (Pvn, vn) + ап(р), (4)
где ап(р) = -^j/7n ASp [P(A)(Pi?o(A))2] dX.
Лемма 2. Если ||Р/|| < г/2, 0 < г < го, j = 1,2, то
\<*п(рі) ~ ап{р2)\ < rrn\\Pi - Р2|| max ||Л0(А)|||,
АЄ7п
где || • ||2 — норма Гильберта-Шмидта.
Доказательство. Введем обозначение Rj(А) = (Т + Pj — XЕ)~г, j = 1,2.
Умножая ряд (2) на (PjPo(A))2, получим
ОО
Р(А)(Р,Р0(А))2 = J^i-l^RoWiPjR0(A))fc, ХєП. k=2
Обозначив через k-ю поправку:
ап}(р) = ^г^ ASP [Ro^PRo(<x^k]dX = ^rl Sp[PRoW)kdx,
Серия «Математическое моделирование и программирование», вып. 2 101
О существовании и единственности решения..
из (4) получим ап(р) = ^а^Цр).
к=2
Оценим разности к-х поправок, к >2.
>(*}Ы - с4*>(Р2)| = | ^ Эр [(Р^А))* - (Р2Д„(А))*
(^Ло(А))*-(^Ло(А))*|| <
КС
<1\
<
Гп
— тах
к Лет™
гп
— тах
к А£7„
А:—1
Гп
к
]Г(Р2Я0(Л)т - Р2)До(А)(Р1Д0(А))/г-8-1 «=о
(Е «р1 - «и (0‘-1 И«><А>11а ИЛЬИН*-2
. к—1
Г»ИЛ - й|| (0 “ тах (||Ло(Л)Й ||Л„(Л)||‘-2) .
Далее оценим модуль разности:
00 к
\o-nipi) -ап(Р2)| < г„||Р1 -Р2||^тах||Р0(А)||2У] тах||До(А)||* <
I Лб7п Г—' Ле7п
к=О
ггп||Р1 - Р2|| тах ||Р0(А)||2. □
Л€7п
оо
Разложим г»2 по ортонормированному базису {<£п}^10. Тогда и2 = X) °пкЩ- Отсюда
к=о
получаем (Руп,уп) — спкРк) где Рк ~ коэффициенты Фурье функции р в базисе
{¥)п}^о- Перепишем (4): цп- А„ - ап(р) = (Руп,уп) и обозначим: ап = цп- А„ - ап(р),
А =
( а0\
а\ Р1
, р =
Рп
К ) V :)
, С' = (%)^=0.
Тогда основное спектральное тождество (4) запишется в матричной форме А = СР. Обозначим элементы обратной матрицы С-1 через с^-.
Следующая теорема является обобщением результатов работ [1-2].
Теорема 2. Если матрица С обратима и для нее выполняется неравенство:
ш < 1,
ОО / ОО
1
2\ 2
то для любой комплексной последовательности {£п} удовлетворяющей неравенству:
^ ОО / ОО \ 2\ 2
к п=О \А:=0 / /
существует функция р £ Н, такая, что а(Т + Р) = {{„}.
Доказательство. В пространстве Н рассмотрим уравнение относительно р:
р = а0- а{р),
(5)
где
00 00
«О —
(6)
п=0 А:=0
00 оо
пкак{р)ч>п-
(7)
7г=0 к=О
Введем оператор А : Н —> Н, определяемый равенством: Ар = ао — а(р). Так как ІІДріія < ||ао|]я + ||а(р)||я < §(1 — ш) + то оператор А отображает замкнутый шар
II(0, |) в себя. Покажем, что оператор А сжимающий в этом подпространстве.
По принципу С. Банаха уравнение (5) имеет единственное решение р.
Определим оператор Р, действующий в Н, следующим образом: Рь{х) = р(х)у(х), где р
...решение уравнения (5). Оператор Р удовлетворяет условиям леммы 1, поэтому оператор
Т + Р имеет дискретный спектр ст(Т + Р) = {/М-о. Кроме того, для этого оператора выполняется основное спектральное тождество (4).
Литература
1. Седов, А.И. Обратная задача спектрального анализа для одного дифференциального оператора в частных производных с неядерной резольвентой / А.И. Седов, В.В. Дубровский // Электромагнитные волны & электронные системы. - 2005. - Т. 10, № 1 - 2. - С. 1 - 8.
2. Седов, А.И. О существовании и единственности решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа на параллелепипеде / А.И. Седов, Г.А. Закирова // Вестник МаГУ. Математика. - 2006. - № 9. - С. 145 - 149.
Кафедра математических методов в экономике,
Магнитогорский государственный университет, [email protected]
ІІДрі - 4Р2ІІЯ = ||а(Рі) - а(Р2)||я = спк{ак{рх) - ак(р2))
2\ 2
< Сь>||рі Р211Я •
Поступила в редакцию 10 сентября 2008 г.
Серия «Математическое моделирование и программирование:^, вып. 2
103
