Нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентьева — Бицадзе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА — Ы/1ЦАДЗЕ

П. Е, Захаров

Введение. Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в 30-х гг. прошлого столетия. Интерес к уравнениям такого вида возник в связи с тем, что ряд важных проблем газовой динамики, гидродинамики можно свести к краевым задачам для уравнений смешанного типа.

Первые фундаментальные результаты были получены Ф. Трико-ми. Он формулирует краевую задачу для уравнений с двумя независимыми переменными, тип которых в одной части плоскости эллиптический, в другой — гиперболический. Дальнейшее развитие результатов Трикоми было получено в работах С. Геллерстедта, где он рассматривает более общее уравнение смешанного типа.

Уравнениями смешанного типа занимались также М. А. Лаврентьев, Ф. И. Франкль, К. И. Бабенко, С. А. Чаплыгин. Академик М. А. Лаврентьев впервые обратил внимание на то, что самым простым и типичным представлением линейных уравнений второго порядка смешанного (эллиптико-гиперболического) типа является уравнение

ди д"и

_ + 8ёпу—= 0.

Ф. И. Франкль обратил внимание на важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач к газовой динамике, а именно на теорию установившихся смешанных до- и сверхзвуковых течений.

© 2008 Захаров П. Е.

Прикладная важность уравнений смешанного типа заключается также в приложениях теории этих уравнений в гидромеханике сжимаемой жидкости и в вопросах безмоментной теории оболочек.

В этой работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа второго порядка. Подобные уравнения рассматривали П. В. Кислов [1], С. Г. Пятков [2], К. С. Фаязов [3], И. Е. Егоров [4] и др.

Корректность нелокальных краевых задач для некоторых общих дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений изучается в различных аспектах в работах А. А. Дезина, В. К. Романко, Ю. И. Юрчука (см. [5]), М. М. Лаврентьева [6] и др. В большинстве из этих работ выделяются случаи корректно поставленных задач.

1. Постановка задачи. В данной работе в области = (0 < Ь < Т) х( —1 < х < 1) исследуется на корректность и условную корректность задача

и(г, —о) = «(¿,+0), их(г, —о) = их(г,+о), ь < Т (з)

1\{и) = аци(0, х) + а^иДО, х) + Ьци(Т, х) + Ъ\2«г{Т, х) = /(х),

(4)

Ь{и) = а21«(0, х) + а22«((0, х) + Ъ21«(Т, х) + Ь22щ(Т, х) = /2(х), где ац,Ъц = 1,2) — действительные числа, формы 1\{и) и ^(и) линейно независимы.

Рассматриваемая нами задача (1)-(4) нелокальна в том смысле, что условия (4) связывают значения « и при Ь = 0 и Ь = Т.

1.1. Спектральная задача. В дальнейшем мы будем пользоваться свойствами собственных значений и собственных функций спектральной задачи

и^ ^ б^п х«хх = 0; «(¿, —1) = «(¿, 1)=0, Ь < Т;

(1) (2)

sgnxvхх( х) = А-у(х), — 1) = 1) = 0,

ь(г, —о) = ьх(г, —о) = +о).

(5)

Пусть — собственные функции задачи (5), от-

вечающие соответственно положительным А^, отрицательным А- собственным значениям, причем А^, -А- образуют неубывающие последовательности. Обозначим скалярное произведение в Ь? ( —1,1):

1

(и, у) = J иу йх. -1

Из задачи (5) получаем, что собственные функции обладают свойством , = , , <£>-) = 0 ^1,3.

Пусть Р± — спектральные проекторы, определяемые равенствами

Р±т = ХХ88пхт' .

г=1

Тогда согласно [2] имеем

(Р+ — Рт = т, (sgn х(Р+ — Рад, т) = ||т||д, ^пхР+т, ф) = ^пхт, Р±ф), т, ф € Н0 = ¿2( —1, 1),

|т11п = ^ хт, \ + ^пхю, у>г) .

г=1

(6)

Согласно результатам работы [2] собственные функции задачи (5) образуют базис Рисса в Н0 и норма в пространстве ( —1, 1), опреде-

А

Надо рассмотреть три случая отдельно: 1) А < 0, 2) А = 0, 3) А > 0.

случай 1. А < 0. Слева от оси х = 0 уравнение примет вид у'' = Ау. С учетом граничного условия у( — 1) = 0 это уравнение имеет решение

= Дет V—А(1 + х).

Справа уравнение примет вид у'' = — Ау, его решение с учетом граничу

= В вЬ %/—А(1 — х).

х

к системе

ВвЬ %/—А = Авт V—А; —ВсЬ V—А = Асов %/—А.

Разделив первое уравнение на второе, получим условие, которому должны удовлетворять собственные числа задачи (5):

th а/—А = ^ А/—А.

Случай 2. А = 0. Получим аналогичное соотношение, которому должны удовлетворять собственные числа задачи (5):

^ л/А. (5.1)

При этом решение уравнения имеет вид

Г СвЬл/А(1 + х), х < 0;

тт Уа(1 — х, х>0.

Случай 3. А > 0. При А = 0 существует единственное нулевое решение. Решая трансцендентное уравнение (5.1), получим, что собственных чисел бесконечное число, все они действительны и имеют следующую асимптотику на бесконечности:

уДП = п(п — 1/4) + 0(1/п). (5.2)

Имеет место равенство А_„ = — Ап для любого п, т. е. спектр делится на отрицательную и положительную части, соответствующие отрицательным и положительным собственным числам.

1.2. Общее решение. Выпишем матрицу коэффициентов краевого условия (4):

( ап а!2 ЪЦ Ъ12 1 ааЪЪ

и предположим, что ранг матрицы равен 2. Минор этой матрицы, составленный из г-го и ^'-го столбцов (г < .?'), обозначим через ¿ц.

Пусть ¿12 Ф 0. Под обобщенным решением краевой задачи (1)-(4) понимаем функцию и(Ь, х) такую, что

т 1

и(Ь, х) € С((0,Т),Ь2( —1 Д))^ У J и(Ь, х)^пхуи + йхйЬ

-

1 1

[ ^иЬ — «21 Л , . [ /п — «22 Л ,

= sgnxv(0, х)---ах + / sgnxví(0, х)-1-«х

•У «12 У «12

-

Ш

для любой функции у(Ь, х) € ^2Д(0,Т), ( —1, 1)), удовлетворяющей условиям у(Ь, —1) = у(Ь, 1) = 0, 0 ^ Ь ^ Т, и такой, что

/? (у) = у(Т, х) + х) + ^ (0, х) = 0,

а12 "12

/^ у) = —у«( т, х) + х) + ^-у^о, х) = 0.

аа

В случае, когда любой другой минор матрицы отличен от нуля, понятие обобщенного решения вводится соответствующим образом.

Пусть у(Ь,х) = причем /£(м»(Ь)) = 0, /2(м»(Ь)) = 0, м»(Ь) €

^|(0,Т). Тогда т 1

J ! sgnxu(t, х)у±(х) (мГ(Ь) — А±м®(Ь)) "хйЬ

-

1

= м«(0) / вgnx^±(х)Яп/2 а21Ь йх

а

-

1

+ м'М I вgn ху>±±(х) "х

-

или

т

| и±(Ь)(мГ'(Ь) — А±м(Ь)) " о

= — м^). (7)

«12 «12

Здесь

— -1 Пусть ¿) е , Т). Тогда из (7) следует равенство т т

У ^ = А± | и^М^) (8)

о о

Используя определения обобщенной производной, тот факт, что «±(¿), ¿) е Ь2(0,Т), и равенство (8), получим, что существует обобщенная производная («±) , принадлежащая Ь2(0,Т). Тогда «± е ^2(0, Т), а так как — произвольная функция из , Т), то (и±(г))(( =

А± «±( г).

Интегрируя (7) по частям, получим е (0, Т), мД^)) = 0,

/|( = 0) т

I[(«±(г))и — А±«±(г)] ¿г о

= — ^М [42«±(0) — 4з«±( Т) + 44«±( Т) — а/ + а21/± ] "12

+ ^ [42«±(0) — Т) — ¿24«±(Т) + а/ — а22/±].

"12

Окончательно имеем

(«±(¿))« = А±«±(г), аци±(0) + а12«±(0) + Ъии±(Т) + Ъ12«±(Т) = /±, (9)

^1«±(0) + ^2«« (0) + Т) + ^2««(Т) = /21.

Из (9) получаем

«-® = ТтАт008^-10+ (А-10^

¿а(Л ) ^1<Л)

здесь

ВД) =

^^р((а+)0-5ь)) (а+)0-5ь))

/2(ехР((А+)а5Ь)) /2(ехР(— (а+)0-5ь))

= 2{А+ «248Ь((А+)и' *Т) — Ь(( А+)и' V) — (А+)и + )

+ (А+ )° '5 №з — 44)с Ь((А+)°5 Т)};

АЦА+ ) = /+ ^ (ехр(—(А+)°5 Ь)) — /+ /а(еф(—(А+)0-6)));

А2(А+ ) = & ^(ехр((А+ ^'5Ь)) — Ы/а(®Ф((\+ ГЬ));

Д(Ат) = А-^т(|Аг|0'5Т) + (|Аг|0'5)(«12 +

+ — «23)(|А-|0'б)со8(|ат|°5Т) + а138ш(|Аг|°5Т);

А1(АТ) = /-/2 (шп(|аг|° '5ь)) — /- /^(^г ь));

А2(Аг) = /2-/1 М|А-Т^Ь)) — /-/2(со8(|Аг|0'5Ь)).

2. Корректность задачи для одного случая. Пусть = &12 = а22 = Ъ22 = 0, но ¿13 0. Тогда

/1 (и) = апи(о, х) + Ъци(Т,х) = Л, /2(и) = а21и(о,х) + ъ21-и(Т, х) = /2,

и(о,х) = — /2Ъц)/а13, и(Т,х) = (/2ац —

Задача (9) переходит в следующую:

(и^Ь) )Й = А± и±(Ь), и±(0) = ^Г ^ , и±( Т) = ^ ^Г ^ ^ ,

11 «13 «13

и ее решение таково:

и+ И = {/ ^ — /Г Ъц )зЬ((А+ )0 5 (Т — Ь)) ).

^/г аН —

|.

+ 8Ь( (А+)и' °Ь)(/+ ап — /+ 8Ь( (А+) Т)«13};

и-Ь) = {(»I - /2-:Ъ(1)8ш(|Аг|05(Т— {))

+ 8т(|А- |0 '5 ь)/ ап — /и (|А1|° '5 Т)^}.

Тогда решение задачи (1)-(4), если оно существует, имеет вид

X = X) К (X + м^Ш X}, (11)

i=l

где (£), и—€) определяются формулами из (10).

В данном случае Д(Л-) = ¿13 вт (|Л-1 ' Т) и эта функция имеет бесконечную цепочку нулей: |Л-| = п2п2Т-2. Поэтому задача (1)-(4) в общем случае, вообще говоря, некорректна. Как ив [6], можно показать, что в задаче (1)-(4) отсутствует непрерывная зависимость решения от исходных данных.

Однако при некоторых дополнительных предположениях задача (1)-(4) становится корректной.

Теорема 1. Для единственности решения задачи (1)-(4) в классе С((0, Т), ( —1, 1)) необходимо и достаточно, чтобы уравнение

|Лг|0'5Т - пп = 0 (12)

не имело решений в целых положительных п, г.

Доказательство. Необходимость. Если для некоторых п, г имеет место (12), то Д(Л—) = 0. Тогда существует нетривиальное решение уравнения (1), удовлетворяющее однородным условиям (1)—(4) (т. е. /1 =0, /2 =0). Таким решением, например, является функция и(£, ж) = вт^Л- |0'5(ж). Тогда решение неоднородной задачи (1)—(4), если оно существует, не будет единственным.

Достаточность. Пусть существуют два решения ж), и2(£, ж) задачи (1)-(4) из пространства С((0, Т), ( —1, 1))- Тогда функция и = и — ^2 является решением однородной задачи (1)-(4), где / = 0, / = 0. Отсюда получаем, что и^(¿) =0, и—¿) = 0. Тогда и(£, ж) = 0, что и требовалось доказать.

Функции /•(X и = 1, 2) представляются в виде ряда

/лж = ЕШ^(ж + мж)} и = 1,2),

¿=1

где

/S-h <*">< xdx.

-

Теорема 2. Пусть /i G W21+e( — , 1), — 1) = /i(l) = О {i = 1, 2) н выполнены условия теоремы 1. Тогда при T ф (i, k — натуральные числа) существует единственное решение задачи (1)-(4), которое принадлежит пространству C((0, T),L2( —1, 1)) и непрерывно зависит

/i i , œ

IWt,x)Но = Е{К(t)l2 + k(t)|2} < C(у/^ /,

i

C

Доказательство. Вопрос о существовании решения задачи (1)-(4) при выполнении условия теоремы 1 связан с проблемой малых знаменателей, так как выражение sin(lA— ^ 5T), входящее в знаменатели в формуле (10), будучи отличным от нуля, может стать каким угодно малым для бесконечного множества i G N.

Как ив [5], заметим, что

|sin(|Ar l°'5T) l = |sin(|Ar |0'5T — nin) l = |sin(|Ar |0'5T/n — n.¿)n| > 2|(|A— l°'5T)/n — ni| = 2i|(|Ar|0'5T)/(ni) — ni/i| = 2i|$(i) — ni/i|,

ni

|i$(i) — ni| ^ 0.5, причем при выводе верхнего неравенства мы учитываем, что sin(x) > (2x/n) для x G (0, п/2).

Рассмотрим поведение выражения sin(|A— | ' T), если i ^ то. Зная асимптотику числа A— го (5.2), получаем sin(n(i — |)T) ф 0, отсюда T ф ji^j-, т. е. это условие дает нам, что неравенство

|(|Ar|0'5T)/(ni) — ni/i| < (l/i2+е), 0 < e < 1,

при T ф ji^j- имеет не более конечного числа решений в целых числах i > 0 и ni > 0. Тогда в силу эквивалентности &2 и Ak на бесконечности,

где к — натуральное число, имеем

ж

1КМ) = {\и+ (г) |2+ |ц-( г) |2}

ж

= Е

¿=1

зЬ((А+)^ Т)

зЬ((А+)о.5 Т)

8ш(\Аг\°(Т - г)) шп(|Аг^г) и- (°)-■ „л-т^ч- + иЛТН

<

Е

г=1

оо

шп(|Аг \о -5 Т) \и^ + и+ (Т)\

8Ш(|АТ \0 * Т) и,г(0) +иг(Т) ^

шп(\Аг \о -5 Т)

< Е [ К (0) + и+ (Т) \' + к2+е \и- (0) + и- (Т) \- ]

i=l

ж

ч2 / .

< (и^)2К" (Т))2]}

г=1

ж

{\А"Г е[(иЛо ))* + (и+ (Т) )2]}

< с(и

(в последнем неравенстве использована эквивалентность норм пространств из [2]).

В этой оценке используется то, что функция вЬ(ж) монотонно возрастает, а значения синуса не больше единицы, и применяется неравенство вт(\АГ \0'5Т) > ^гг.

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кислов Н. В. Корректные краевые задачи для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Неклассические задачи уравнений математической физики / АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск: Ин-т математики, 1982.

2. Пятков С. В. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб. научн. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Новосибирск: Ин-т математики, 1986. С. 65^84.

3. Фая зов К. С. Некорректная задача Кошн для дифференциального уравнения первого и второго порядков с операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, N 3. С. 702-706.

4. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

5. Пташник В. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук, думка, 1984.

6. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1973.

г. Якутск

22 июня 2005 г.