О краевой задаче с периодическими условиями по времени для уравнения смешанного типа второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ УСЛОВИЯМИ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Т. А. Сафонова

Интерес к уравнениям смешанного типа возник в связи с тем, что ряд важных проблем газовой динамики и гидродинамики можно свести к краевым задачам для уравнений смешанного типа. Первые фундаментальные результаты были получены Ф. Трикоми.

Уравнениями смешанного типа занимались также М. А. Лаврентьев, Ф. И. Франкль, К. И. Бабенко, С. А. Чаплыгин. Ф. И. Франкль обратил внимание на важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач к газовой динамике, а именно к теории установившихся смешанных до- и сверхзвуковых течений.

В работах В. Н. Врагова, О. А. Олейник, С. А. Терсенова, И. М. Пет-рушко, С. Г. Пяткова и других поставлены и исследованы новые задачи для уравнений смешанного типа. В этой работе рассматривается краевая задача с периодическими условиями по времени для уравнения смешанного типа. При этом используется метод Фурье, причем разложение неизвестной функции проводится по собственным функциям одной неклассической спектральной задачи. Спектральные задачи такого типа рассматривались в работах [1-3].

1. Постановка задачи

Пусть дано уравнение смешанного типа

Ьи = sgn хии — ихх = /(х, £), —1 < х < 1, 0 < £ < 1. (1) © 2006 Сафонова Т. А.

Краевая задача. Найти решение уравнения (1) такое, что

u( — ,t) = u(l,t) = О, 0<t<l, (2)

u(0+, t) = u(0t), u'J0+, t) = u'J0t), — 1 < x < 1, (3)

u(x, 0) = u(x, 1), — < x < 1, (4)

ut(x, 0) = ut(x, 1), —1 < x < 1, (5)

где /(x, t) G C([0,l],tfo), H0 — пространство со скалярным произведением

i

(u, = ^ sgnxuvdx. -i

Пусть уравнение (1) имеет решение вида u(x, t) = X(x)T(t). Подставим и в уравнение (1) и поделим обе части на u = XT. Получим обыкновенные дифференциальные уравнения

X''(x) + AsgnxX(x) = 0, — < x < 1, (6)

T''(t) + AT(t) = 0, 0<t<l, (7)

A

2. Решение одной спектральной задачи

Рассматривается спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

X''(x) + Asgn xX(x) = 0, — < x < 1, (8)

X — X , — < x < ,

X(0+) = X(0—) = 0, X'(0+) = X'(0—, — 1 < x < 1, (10)

где (10) — условия склеивания. Решив спектральную задачу, получим собственные функции. Собственные функции, соответствующие A > 0, будут иметь вид

sill -x)

cos Jxf '

x > 0,

(x) = { Л =1,2,...

ysh x, x<0,

собственные числа удовлетворяют уравнению — tg л/Л = Л аД. Собственные функции, соответствующие Л < 0, таковы:

<?А х)

х > о,

х < о,

к — 1,2,... ,

собственные числа удовлетворяют уравнению — ^ %/—Л = Л %/—Л.

Собственные функции образуют ортогональную систему в пространстве Н0. Спектральные задачи такого рода встречаются в работах [1,2,3]. Полнота функций ^, ^ в пространстве Но доказана в работе [2].

3. Метод Фурье решения краевой задачи

Общее решение задачи (1)-(5) будем искать в виде

Далее, считаем, что / где Н0 — подпространство, образованное функциями ^^ ^и к = 1,2,3.... Подставим (11) в уравнение (1) и после некоторых преобразований получим два дифференциальных уравнения:

Учитывая условия (4), (5), для положительных собственных значений

(П)

тТ(*) + л+т+ (*) = /+ (*), тп*) + о.

имеем

(12) (13)

Т+ (¿) = ай соз + шп —= I /+ (т) зш уЛ+(* — т

уЛк о

Из условий (13) найдем коэффициенты a bПри этом общее решение будет иметь вид

, , ч sin f

n(t) =-А- ,—

(l - eos y/Xt)y/Xt i

t

/k-o^Akí112! 2rur

i

J /+(r)sin ^A+(t - r)dr.

Afc о

Для отрицательных собственных значений:

1Г(*) + А-Т-(*) = 0, (14)

TT(0) = T-(l), ТП0) = T^(l), (15)

задача (14), (15) будет иметь нулевое решение T— (t) = 0.

Исследуем сходимость ряда (11) по норме пространства Hs:

ikm) us = Е № Is + Е IttW I2I-a- Is.

Имеем

Ikm) ^eIt^W I2

fc=i

fc=i

к=1

= Е

к=1

sin

(l -cos Ja+)Ja+

+ 2тМт

| /+(r)sin ^A+(t - r)dr

1

1 + 2t - 2r

dr

J /+(r)sin - r) dr

оо (г \ °° / с

<2¿0]Т П |/+ (т)Ит I + I / |/+ (т)|йт

к=1 \ г, ! к=1 \ г,

о 1 г 2 о г г

<2 <50]Т / м^т /к (т^т

к=1 л 0 к л 0

< II/115 ¿т,

о

к= 1,2,...,

при выполнении условии

1 — сое уА+ > ^ > О

для любого натурального к.

При выполнении условий (16) также верно следующее:

(16)

о

им) ц? = ]Г|т+ (*) Р|Ак I

о

= Е

к=1 вт

к=1

(1 — сое,/А+

I /+(^ ^А+( *—т)лт

о к

2г- /к (т)«»у/Ак — Ак

1 + - 2т

¿т

к

о к

| /+(^ ^А+( *—т)лт

г

I /к (^¿т

1 г 2 о

/к м^т + 2<*ЗЕ

0 к=1

< ^ II/Уо

о

¿т.

Аналогично ряд, полученный однократным дифференцированием по £

ряда (11), также сходится:

о

щ{ м) = ]Ттк+ (%+ (*).

Действительно,

к

КОМ) Но = Е

к

, 2 г- / /к+ (^УАк

— Ак

1 + - 2т

¿т

I /к (т)соз^А+( £ — т)йт

< 2

Е

к

Е

к г

вш ■

— Ак | /+ (т)соз^А+(£ — т)Лт

/к (т)зтл/А+('1 + ^ I ¿т

< С2

||£ ¿т, к=1,2,....

Ряд, полученный двукратным дифференцированием по £ ряда (11), сходится аналогично:

мггОМ) = ЕТк'+ (х).

к

В самом деле, ||мгг( М) У-1

= Е

к

- Ак

- Ак

— \/Ак / /к (т)зш ,/А+ — т)йт

|Ак |

к

вш ■

- Ак

1

/ /к

1 + - 2т

¿т

+2ё /-т)з-т <н/но^=1,2,.... Й=1 0 0

Здесь со, С1, С2, сз — постоянные. Результатом работы является следующая

Теорема. Пусть выполнены условия (16) н/ е С([0,1],#о). Тогда и(х, ¿), определенная рядом (11), удовлетворяет условиям

и(х,г) е с([о, 1], Н), щ(х,*) е с([о, 1], я0), ии(х,*) е с([о,1],я_1)

и является обобщенным решением задачи (1)^(5).

ЛИТЕРАТУРА

1. Вускарова О. Ф. О методе Фурье для решения параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Науч. конф. студентов и молодых ученых Республики Саха (Якутии): тез. докл. Якутск: НИИ ПМиИ ЯГУ, 1997.

2. Егоров И. Е., Попов С. В., Пятков С. Г: Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

3. Федоров Ф. М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, вып. 2. С. 52-60.

г. Якутск

15 июня 2006 г.