Разрешимость одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ

С, В, Потапова

В статье исследуется разрешимость краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени:

uxx = sgnxuí, |х| <1, 0<£<Т, (1)

и(х,Т) = ит(х), —1 ^ х ^ О, (2)

и(х,0) = ио(х), 0 ^ х ^ 1, (3)

и(—1 ,г) = и(1,г) = о, (4)

и(+о,г) = и(—о (5)

их{+о,г) = их(—о ,*). (6)

Краевые задачи для параболических уравнений с меняющимся направлением времени типа (1) давно стали предметом изучения в теории уравнений в частных производных в связи с некоторыми задачами механики и физики. Впервые граничные условия вида (2), (3) появились в работе французского ученого Жевре (1913 г.) [1]. Отметим, что эти граничные условия, заданные на части верхней и части нижней границ, представляют собой, по сути, одно граничное условие. Подобные задачи выходят за рамки работы [2]. В работах [3,4] исследуются обобщенные решения задачи Жевре для уравнений второго порядка. В работе [5] излагается схема применения граничного метода для решения

© 2006 Потапова С. В.

параболического уравнения с переменным направлением времени (1) с ненулевыми граничными условиями. В работе [6] также рассмотрена краевая задача (1)-(6), но с другими дополнительными условиями склейки. В настоящей статье методом разделения переменных и сведением исходной задачи к исследованию бесконечных систем линейных уравнений с бесконечным множеством неизвестных доказана теорема существования и единственности классического решения задачи (1)-(6).

Теорема. Пусть щ G C(0; 1), uT G C( —1;0). Тогда существует единственное решение u(x,t) G C2[( —1;0) U (0; 1) х (0; T)] задачи (1)-(6).

Доказательство. Решение задачи (1)—(6) ищем с помощью метода разделения переменных u(x, t) = $(x)T(t). При этом получаем следующую спектральную задачу, соответствующую исходной краевой задаче:

sgnx$'' + АФ = 0, x G( —1;1), (7)

ф( —1) = ф(1) =0, (8)

ф(—0) = Ф(+0), Ф'(—0) = Ф'(+0). (9)

Рассмотрим три случая отдельно: 1) А < 0, 2) А > 0, 3) А = 0.

Случай 1. А < 0. При x < 0 уравнение (7) примет вид Ф" = АФ.

—

Фл = A sin V^A(1 + х).

При x > 0 уравнение (7) примет вид Ф" = — АФ. Его решение с учетом граничного условия Ф(1) = 0 таково:

ФЛ = Bsh -х).

x

лучим систему

В sh А = A sin А; —В ch л/—А = A cos л/—Л.

Разделим первое уравнение на второе, получим условие, которому должны удовлетворять собственные числа задачи (7)-(9):

Л л/^А = - tg л/^Л. (10)

СЛУЧАЙ 2. А > 0. Получим аналогичное соотношение, которому должны удовлетворять собственные числа задачи (7)-(9):

th АД = - tg ^А.

(П)

Общее решение задачи (7)-(9) для этого случая имеет вид СвЬлДД + ж), ж < 0; Б вш а/А(1 — ж), х > 0.

Фа =

АА

решение.

Заметим, что трансцендентное уравнение (11) в каждом промежутке + 7г(п — 1); ^ + 7гп) для п = 1,2,... имеет один корень, следовательно, собственных чисел бесконечно много, все они действительны, и, учитывая, что гиперболический тангенс на бесконечности стремится к единице, получим асимптотику для собственных чисел:

л/К^-^+тгп. (12)

Для отрицательных собственных чисел также выполняется (12), имеет место равенство Ап = — А—, где значком «—» мы обозначили отрицательное собственное число. Значит, спектр делится на отрицательную и положительную части и дискретен.

Для каждого собственного числа собственные функции имеют вид

х е (—1,0),

Ф+ =

ф- =

сЬУЛ^ '

эт 1—ж)

сое \/Хп" '

вт л/ — (ж+1) сое л/ —Л^ эИ \/-А—(1 — х)

сИ 1

-а-

х е (ОД); х е (—I,0), х е (од).

(13)

(14)

Непосредственно проверяется, что функции (13), (14) образуют ор-

тонормированный базис гильбертова пространства со скалярным про-

1

изведением (м,ь = — / вgnxмvdx.

-1

Выпишем теперь, пользуясь набором собственных функций (13), (14), общее решение задачи (1)-(6):

= е(фп тп + ф-тп-

П=1

=

^ ( — а„е

П=1

сьул^

ОО / --

^ V " С08 Ул^

Г) —1 4

Рп сЬ у^Г

X > 0.

(15)

(16)

Чтобы решить задачу, необходимо найти коэффициенты ап, вп-Подставим граничные условия (2), (3) в равенства (15), (16), получим

_ХпТ8Ъ^/К(х+ 1) втл/А^(ж+1)\ ит = 52(-апе С08^ )> Х <

щ

п=1 ж

= Е

П=1

сЪл/Х^ вт — х

сое

\ГКг

— впе

_А твЬ - х)

сЬл/Л^"

, X > 0.

Затем выпишем выражения для следов решения на интервалах {X е (о; 1), * = Т} и {х е (—1; о), г = Т}■.

ж

«о = ( —а.

П=1

ОО

= Е

«т = > I а«.е

П=1

эЬ 1) + с_Лг1Тзш 1)

сЬл/А^" сое л/Лп

сое

\ГКг

— вп

сЬл/Л^"

, х < 0, , х > 0.

Здесь

«о(х) = м(х,0) при х е ( —1 , 0); (х)=м(х,Т) при х е( 1,0)

— искомые следы решения.

Задачу отыскания решения можно свести к задаче отыскания следов.

Действительно, если бы была известна, например, функция «о, то мы имели бы дело с обычной классической задачей для уравнения параболического типа, решение которой известно. Поэтому займемся отысканием функций щ и «т- Сделав замены х = у — 1 при х < 0 и х = 1 — у пр и х > 0, сведем предыдущие равенства на отрезок [0,1] и получим

/х , „ втл/А^Л

ит{У) = > \-а„е " + /Зп-=■ , (17)

^ V сЬ V Ли сое V Л„ у

Щ{У) = V «п-7= /Зи,е " , (18)

с об \Лп сЬл/Л„ /

^л/ зЬл/Л^у _л т8пиД^/Х

^оЫ = V -а» . +/3„е " -— , (19)

^ V сЬ V Л„ сое л/Л„ у

М!/)=> «»е " -— - /Зп——= (20)

^ V сое л/Л„ сп л/Л„ у

где щ(у) и ит(у) соответственно «перевернутая» и «сдвинутая» функции из начальных условий (3), а именно

ио(у) = и0(1 — х); ит (у) = ит(1 + х).

Почленно складывая и вычитая выражения для щ, Vт, Щ и ит, получаем

, я -л„тх/зшд/^У зЬл/ХуХ

+ = > («п + /3пе " И-=■----, (21)

^ 7 V сое у/Ли сЬ у/Ли У

-а„Т , дхАшги/Ху зЬл/ХуХ

Мт + г,т = \ а„е " + /?„)-=■----, (22)

^ 7 V сое у/Ли сЬ у/Ли У

я -л„тх/зшд/^У . зЬл/ХуХ «о -«о = > \ап ~ Рпе " И-= + ——=■ , (23)

и Ли Ли

sr-í -А„т , n sfsmVKy вЬлД~у\

ит -vT = > {-ane + /?„)-= + ——= . (24)

^ V eos V Л„ ch V Л„ )

Непосредственно проверяем, что системы функций

+ _ sinVXy shVXy)

« ~~ гг^" н i /т— Г' \

eos л/Л„ ch л/Л„ J

sin ^/\íy sh 1

У» =-" U Г

COS л/Л„ СП л/Л„ J

взаимно ортонормировании в пространстве ^(0; 1), т. е. в смысле i

/| | n — Tm

У+ Y- dy = ' ' (27)

[U, n m.

о

Применим это свойство к системе (21)—(24), умножив обе части равенств на соответствующую функцию из (25), (26) скалярно, получим

i

, О -апт [, , ,/sinV^ shVXyX

an + f3ne n = (u0 + v0) -+ ——dy, (28)

J \ eos а/Л„ ch а/Л„ J

o

- ^ = í(uT + vr) (+ dy, (29)

J V eos VЛ„ ch а/Л„ /

o

i

о -хпт ¡( x (sin shVXyX

an ~ Pne n = (uq- vq) -=■---—=- dy, (30)

J \ eos у/Ли ch а/Л„ J

o

^ -pn = - ¡(uT ~ vr) (- ÍL^PO dy, (31) J V eos л/Л„ ch а/Л„ J

o

1 1 an + впе-ЛпТ = J n0Y+ dy + J dy, (32)

0 o

1 1

вп = J UTYn+ dy + J VTYn+ dy, (33)

ane

Лпт

ne "Г вп

ane ' n

o

-ХпТ

(34)

(35)

1 1

-ХпТ = ! щУп- йу - J щУп- йу, о о

1 1

- вп = - ! итУ- йу + J УТУ- йу. о о

Несмотря на то, что в системе уравнений (32)-(35) четыре уравнения и шесть неизвестных, она содержит достаточно информации для решения.

1 1

Дело в том, что неизвестные коэффициенты / уоУП~ йу, / щУ— йу,

о о

1 1

а также / утУ+ йу, / УТУ- йу связаны между собой, поскольку предо о

ставляют собой коэффициенты разложения одних и тех же функций по различным системам (25), (26). Эти системы являются полными в пространстве £2(0,1), следовательно, всякую функцию / € Ьг(0; 1) можно разложить в ряд по этой системе функций. В частности, для функции «о имеем

~ 1

«о

= У0+пУп+, УоП = У ^Уп+ ^

так же эту функцию можно разложить по отрицательному базису (26):

то „

Щ = У-пУп> У-п = / йу.

п=1 {

Пусть («о!, «02,..., ...) = — это вектор-строка коэффициентов разложения функции «о по полной системе (25); соответственно (У-1 >«02 ,...,«оп>.. 0 = уо° п0 системе (25). Обозначим столбец функций из (25), (26):

( \

У ±

п

\ )

= У ±.

Найдем матрицу перехода из У в Уобозначим ее через Т:

У+ = ТУ(36)

У — ¿11У1 + ^2У2 + ••• + ¿1 пУп + ...

уп = ¿иУ- + Ь2У- + • • • + Ь пУ- + .... Применим свойство (27), умножив скалярно обе части первого ра-

У

епта ¿п = , У+)- Чтобы найти элемент ¿12, первое равенство этой

У

Аналогично поступим для остальных строк. Таким образом получим матрицу перехода

((У+,У1+) ... (У+,Уп+) ... \

Т

V

(37)

У , У . . . У , У . . .

... ...

Т

Т

Т

¿пп — (Уп 1 ) —

1

■

¿п * = (Уп+,У^) = 4

_ К К

лГКг

(v/A^tg л/К ~ v/Afctg л/К),

(38)

(39)

«о = У+У+ = У+ТУ-, = у-у-.

Следовательно,

Перепишем (32)-(35):

У- У Т.

(40)

ап + впе

—\пт

Оп т 0п>

(41)

е «п + вп = «Т^ «+п, (42)

х0п — «о п,

ап — впе ЛпТ = м-п — «Оп> (43)

е ЛпТап — вп = —итп + (44)

где п^, пТп, п-п, п-п — коэффициенты разложения функций по, пТ по системам (25), (26) соответственно. Из равенства (36) получим

ж ж

«Тп = «Ой^' «Тп = УЗ «Тй Тогда (41)-(44) перепишем следующим образом:

ап + впе-ЛпТ = п+п + (45)

е-ЛпТап + вп = «Тп + «Тп, (46)

ж

ап — впе-ЛпТ = п-п — Е «о^пй, (47)

й=1

е-ЛпТ ап

— вп = —'м-п + Е ¿пй. (48)

Из первых двух равенств выпишем неизвестные «Тп относительно

ап вп

«оп = а^ + е-ЛпТ вп — п+, (49)

4п = е-ЛпТ+ вп — «Тп- (5°)

Подставим получившиеся значения в равенства (47) и (48):

ж

ап — впе-ЛпТ = м-п — Е (а^ + вй е-ЛкТ — п+й) ¿пй, (51)

ж

е-ЛпТап — вп = —'м-п + Е(е-ЛкТай + вй — п^)¿пй • (52)

В результате сложения и вычитания равенств (51) и (52) получим соответственно

ж

(1 — е-ЛпТ)(ап + вп) = 2(м-п + п-п) — + е-^)К + вй)¿пй, (53)

й=1

(1

„-АПТ

Ж - @п) = 2(и- - - ¿(1 - е-АкТ)(ак - ¡Зк) 1пк. (54)

к=1

Сделаем следующую замену:

хп - ап ""Ь Рп ? Уп - ап Рп •

(55)

Относительно новых неизвестных хп, уп выпишем бесконечные системы линейных уравнений с бесконечным множеством неизвестных [7]:

о-АкТ

Уп

Е

к

Е

к

1

1 -е

Т

¿пкхк —

2(г

Уп

Тп/

1 -

1 + е-^т

'¿пкУк —

1 - е-х^Т 2(и0п - и-п)

1

-апТ

(56)

(57)

Покажем, что бесконечные системы (56), (57) не являются регулярными.

Бесконечная система называется регулярной, если сумма модулей коэффициентов в каждой строке меньше единицы, т. е. в нашем случае для всех Т>0ип=1,2,... должно быть выполнено неравенство

Е

к

1

-АкТ

е

-Ап Т

и.

< 1.

(58)

Пусть Т = ОД и п = 1. Для ряда (58) найдем численное значение первого члена. Для этого из (12) находим А1 « 5,552, а из явного представления коэффициентов ¿кп (38), (39) — ¿ц ~ 0,576. Тогда е-0 ДА1

1

1 _ е-оДА1

¿11

,А

сш —-—¿ц

,,

откуда видно, что сумма ряда (58) будет больше чем единица. Значит, система (56) нерегулярная. Для системы (57) также можно показать ее нерегулярность.

Поэтому теория для регулярных систем в данном случае неприменима. В [7] указан метод бесконечных определителей. Метод заключа-

п

элементов матрицы бесконечной системы, который называется бесконечным определителем матрицы системы, то для таких систем справедлива теория решения, аналогичная конечным системам. Следуя этому методу, покажем, во-первых, что конечный предел существует, а во-вторых, что он отличен от нуля.

Принимая во внимание характер поведения на бесконечности коэффициентов ¿пп (38), сделаем следующее преобразование: из ряда, содержащегося в уравнении (56) и (57), вынесем коэффициент при к = п, получим

хп 1 + ей ■

ЛпТ.

"¿г)

уп \ 1 + Л

Е-гг

1 + е-Лк

ЛкТ

й=1

ж

Е

й=1

е

-Л„ Т

< * _

1 - е-ЛкТ

е

-ЛпТ

< * _

2 (м0п + мТп) 1 - е-л»т

2(м0п - цута)

1 + е-ЛпТ

(59)

(60)

гДе Сп = 0 и = ¿пй ^и к ^ п.

Уравнения (59) и (60) перепишем в виде

е

-ЛкТ

пк

-Л„Т

-хй =

2(г

'Ота т "Тта/

й=1

Уп + Е

1 - е-Лк

ЛкТ

1 + е-ЛпТ ! + л Ь^1ппУк (1 + е-л„т)(1 + Л

«-п — «Т-п

й=1

ИЛИ

хп рпйхй — Ьп,

ж

Уп + Е Уй = ^п, й=1

где

рпй —

—

О,

= 1+е_Аг1Т

к ф п,

к = п; к ф п,

к = п:

(61) (62)

(63)

(64)

п

_2(м0п т »Тп)_

(1 _е-А„Т)(1 + сЛл^ппу

Ьп = т;-Г"0"/ ТГлг. х; (65)

(1 -___ (66)

Коэффициенты (63), (64) выписаны с учетом равенств (11), (38) и (39). Далее, для бесконечных систем линейных уравнений вида (61) и (62) справедливо утверждение о том, что из условия сходимости рядов

оо

^21р*пп1 (р*пк)2, е ьП (67)

п=1 к,п=1 к,п=1

для системы (61),

оо

((&к? (68)

п к,п к,п

для системы (62) следует, что бесконечный определитель системы (61), (62) существует.

Покажем выполнимость условий (67). Так как р*пп = 0 (63), первое из условий (67) выполнено.

то

Заметим, что двойной ряд ^ {Р*пк)2 положителен, следователь-

к,п

но, он одновременно сходится или расходится с повторными рядами

то то то то

ЕЕ^)2, ЕЕМк)3. (69)

к п п к

Проверим необходимый признак сходимости для двойного ряда:

,рпк к,п

Ит (Р*п

1 + е-ХкТ 4л/А„Ак аД^ЛА/А^- А/А^ЛЛ/А^

V 1 - е~ХпТ АI - XI 1 + сЛ ^ (th2 ^ - Л

= (к + п)2(к2 +П2)2 = 0'

т. е. необходимый признак выполняется и из последнего подпредельно-го выражения видно, что при любом п = 1, 2,... справедливо (р*пк)2 = 0*( 1/к4), также при любом к = 1, 2,... справедливо (р*пк)2 = 0*( 1/п4).

Значит, повторные ряды (69) сходятся по мажорантному признаку, следовательно, сходится двойной ряд из условия (67). Третье из условий (67) есть условие на начальные данные краевой задачи (1)-(6).

Аналогично проверяем справедливость условий (68) для бесконечной системы (62). Следовательно, бесконечный определитель матрицы системы (61), (62) существует, что дает существование решений данных систем и тем самым существование решения краевой задачи (1)-(6).

Теперь покажем, что этот бесконечный определитель отличен от нуля. Для этого рассмотрим матрицу системы уравнений (56), которая имеет вид (Е + (Е + В)Т(Е — В)_1), где Е — единичная матрица, Т — матрица перехода (37), а через Е обозначили диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны е-ЛкТ, и докажем, что она обратима. Действительно, предположим от противного, что существует Ж = } е /2 такой, что ЩЕ + (Е + Е)Т(Е — В-1) = 0, т. е. ЩЕ + ВТ = — ЩЕ — В), где ЩЕ + В) е /2. Рассмотрим функцию ш = адк(1 + е-ЛкТ)Ук+. Тогда из определения матрицы Т (36) следует,

к

что

w = 5>fc(l + e-AkT) У+

k

= W(E + В)У+ = W(E + B)TY- = -W(E - BY

Значит.

+ Y+, w = - T)Y-.

k k

Вычитая эти равенства, получим

О = 5>k[(l + У+ + (1 - У-

k

Из линейной независимости функций

"втл/Л^у -XkTsb У^кУ -1= "г е -/=■

cos V Ak ch v Ak

следует, что все wk = 0. Отсюда имеем, что определитель бесконечной матрицы |E + (E — D)T{E + D)— | не равен нулю. Аналогично можно показать, что бесконечный определитель матрицы системы (62) также отличен от нуля. Таким образом, теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Pures Appl. 1914. V. 10. N 6. P. 105-137.

2. Дезин A. A. Общие вопросы теории граничных задач. M.: Наука, 1980.

3. Кислов Н. В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1427-1436.

4. Кислов Н. В. Неоднородная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1985. Т. 280, № 5. С. 1055-1058^

5. Федоров Ф. М. Граничный метод в задачах с переменным направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 1995. Т. 2, вып. 2. С. 52-60.

6. Кислов Н. В., Пулькин И. С. Краевая задача с обобщенными условиями склейки для уравнения параболического типа // Вести. МЭИ. 2000. № 6. С. 51-59.

7. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962.

г. Якутск

18 января 2006 г.