Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА*)

Н, Р, Пинигина

Простейшей моделью линейного уравнения второго порядка смешанного (эллиптико-гиперболического) типа является уравнение вида

иуу + вgnx ■ ихх= О,

Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в 30-е гг. прошлого столетия. Интерес к уравнениям такого вида возник в связи с тем, что ряд важных проблем газовой динамики и гидродинамики можно свести к краевым задачам для уравнений смешанного типа.

Первые фундаментальные результаты были получены Ф. Трико-ми, сформулировавшим краевую задачу для уравнений с двумя независимыми переменными, тип которых в одной части плоскости эллиптический, в другой — гиперболический. Дальнейшее развитие результатов Трикоми получено в работах С. Геллерстеда, где исследовались более общие уравнения смешанного типа.

В данной работе рассматривается уравнение смешанного типа, для которого вместо части краевых условий, соответствующей временной переменной, задается связь между значениями решения и его первой производной по времени в начальный и конечный моменты времени.

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009^ 2010 гг.)», мероприятие 2, и грантом Министерства образования и науки РФ № 02.740.11.0609.

© 2010 Пинигина Н. Р.

Такие условия относятся к условиям, получившим название нелокальных. При этом нелокальные краевые задачи исследуются для уравнений, тип которых различен в различных частях области определения решения.

Корректность нелокальных краевых задач для некоторых общих дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений изучалась в разных случаях в работах А. А. Дезина, В. К. Романко, Ю. И. Юрчука, М. Л. Наймарка, Н. В. Кислова, С. Г. Пяткова, И. Е. Егорова, Н. Л. Абашеевой и др. (см. [1-4]). В этих работах в основном рассматриваются корректно поставленные задачи.

В области ^ = ( — 1 < ж < 1) х (0 < г < Т) исследуется па корректность и условную корректность краевая задача для уравнения типа Чаплыгина — Франкля, Лаврентьева — Бицадзе:

uíí + sgnж • ихх = 0, (1)

п{—1 ,г) = и(м) = о, о< г < т, п{—о,г) = и(+о,г), их(—о,г) = иж(+о,г), (и) = ацЦж, 0) + а\ъщ(ж, 0) + ЪцЦж, Т) + Ъ^иДж, Т) = Д (ж),

(3)

#2 (и) = ^\и{ж,0) + а22щ(ж, 0) + Ъ2\и{ж, Т) + Ъ22щ(ж, Т) = /2 (ж), где аЪ^ (г,] = 1, 2) — действительные числа, векторы (ад, ад, Ъц, Ъ^г) (г = 1,2) линейно независимы.

Рассматриваемая нами задача (1)-(3) нелокальна в том смысле, что условия (3) одновременно относятся к двум значениям переменного: г = 0 и г = Т.

В работах [5,6] в случае ^ = Ъ±2 = = Ъ2 = 0 и Д13 = ацЪ21 —

Ъа

ной задачи (1)-(3) при выполнении следующего условия: Т ф -д==,

где п, т — натуральные числа, Хт — решения уравнения

- tg аД = th АД, (4)

д „ — определитель матрицы

ааЪЪ ааЪЪ

составленный из г-го и ]-го столбцов (г < ]').

В настоящей работе при Д24 ф 0 доказываются теоремы корректности поставленной нелокальной смешанной задачи (1)—(3).

Таким образом, вместо нелокальных условий (3) рассматриваются условия

При доказательстве теорем воспользуемся свойствами собственных чисел и собственных функций спектральной задачи —ихх = Аsgnxu, и(1,г) = и( — 1 ,г) = 0,

(5)

и(—о, г) = и(+о, г), иж( —о, г) = их(+о, г).

Пусть {<р+}~=1, {^т1т=1 — собственные функции задачи (5), отвечающие соответственно положительным А+ и отрицательным А+ собственным значениям, причем А+, — А+ образуют неубывающие после-

довательности. Обозначим через (и, V) = / и« ¿х скалярное произве-

дение в ¿2( —1, !)• Из задачи (5) получаем, что собственные функции обладают свойством

С помощью метода разделения переменных можно определить, что собственные числа задачи (5) должны удовлетворять условию (4), а собственные функции имеют вид (см. [7])

и4(х, 0) = аи(х, 0) + а2и(х, Т) + (х), щ(х, Т) = Ди(х, 0) + @2и(х, Т) + д2(х),

1

1

, ^.)=о Уг,] е N.

При этом имеет место равенство А+ = — Хт, причем л/Хт = я (то — 1/4) + 0(1/т) при т ^ ж.

Пусть Р± — спектральные проекторы, определяемые равенствами

т= 1

Согласно [2,8] имеем, что собственные функции задачи (5) образуют базис Рисса в ( —1,1) и любая функция ш £ Ь2 ( —1,1) представима в виде

ш = (Р+ — Рш, ^пж(Р+ — Р-ш, ш) = \\ш\\1, (sgnжР±ш,ф) = (щпжш,Р±ф), ш,ф £ Н0 = Ь2( —1, 1),

\м\о = X Г + ^пжш,^гг) Г] ■

i=l

Под слабым обобщенным решением краевой задачи (1)-(3) понимаем функцию и такую, что и £ С((0, Т);Ь2( —1, 1)) и

т

J (и, sgnжvíí + Ухх) ¿г о

(а22к — а12$2 / грЛ . (Ъ22к — Ъ12к , „Л

= i -—-, sgn ху(х,1) i + i -—-, sgnжг;(ж,0) \

для любой функции ю(ж,г) £ (ф), удовлетворяющей условиям

—1 ,г) = у(1,г) = о, о< г < Т,

и

дЦу) = -уг(х,Т) - -Иу(х,Т) + 0) = 0,

¿124 "24

д*(у) = - + ^(х,0) = 0.

¿Д24 "24

Существование слабого обобщенного решения локальных краевых задач показано, например, в работах [8,9].

Пусть пробная функция «(х, г) равна <£>+(х)тт(г), где д{(тт(г)) = 0, д2(тт( т+( г) е ^(0,Т). Тогда

т

J (и^пх^+(х) • (т+ (г) — А+ тт(г)) ¿г

№Ч I <222/1 — <212/2 ± , ^ = тт(Т)(-—-, sgnж</£>=(ж,

/ПЧ I &22/1 — ^2/2 ± , ^ Тт (0) ( -—-, sgnж</£>=(ж,

или

т

и+(г) • (т+ (г) — А+т+( г)) ¿г

о

^ 1ГГХа22^т - «12/¿п. I , ~ ^12/ап

= тт{1)-т--Ьтт(0)---, (7)

¿124 "24

где и+ = (и(х,г)^пх^+(х)), /±+ = (Л(х)^пху>+(х)), & = 1,2. Если тт(г) е С|(0,Т), то из (7) следует, что т т

I и+{г)т'+{г) ¿г = А+! и+(г)тт(г)^. (8)

о о

Из определения обобщенной производной т т

)«

о о

а также из равенства (8) с учетом произвольности функции тт(г) получим (и+(г))« = А+ и+(г).

Интегрируя по частям равенство (7), приходим к равенству т

и+ (г)т+ (г) ¿г = (и+ (г))„ т+ ( г) ¿г,

т+( г) • (и+(г)'' (г) — А+ и+(г)) ¿г

о

[Д23г,± (Т) + Д12^(0) + А24^(Т) + 0,22/^ - ам/£т]

Д.

24

^^ [-Д34«± (Т) - Д14^4(0) - Д24«4(0) + 622/1™ - ь12/2т\ ■ ¿А24

Окончательно имеем краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

(«mw) tt = xtíutí(t),

wtM + avut,t{Q) + ЬпиЦ T) + Ъ12и^{ Т) = f±m, (9)

<^21^(0) + ^2^(0) + T) + Ъ22^( T)= ftm-

Решение задачи (9) имеет вид

= Си exp(v/Atit) + Ci2 exp(v/—Amt), um(t) = C21 COs(v/A+ C*22 sin(v/-Amt), где Cjj определяются из нелокальных краевых условий (9). Поскольку ^24 Ф 0, граничные условия (9) регулярны (см. [3]). Отметим, что регулярными также являются следующие граничные условия:

1) Д24 = 0, |ai2 | + |^21 > 0, Ъ\2а2\ + аг2Ъ21 ф 0;

2) ai2 = Ъ±2 = а22 = Ъ22 = 0, Д13 ф 0.

В простейшем случае, когда ац = Ъц = a2i = b2i = 0, а Д24 Ф 0, вместо (9) имеем

(ut(t)) tt = ^т^),

ai2 и^М + h2utd T) = ftm, (10)

a22utt(°) + Ъ22«тДT) = f2m>

краевые условия можно переписать так:

+ (п\ _ flmb22 - /¿^12 + (Т\ - /¿La12 ~ flma22

"milu/ — д ; umt К1) ~ д

¿124 ¿124

Тогда решение задачи (10) имеет вид

_ (f2mb12 - ftmb22) sh( л/Xt (T - t)) + (/¿^«12 ~ /it» «22) ch(y/A^"t)

V/A+sh(v/A+ Т)Д

24

um( t)

_ (flmb22-f2mb12) COs(y/~Am (T - t)) + (fima22-f2ma12) COs(\/ —Ащ t)

sin (\J- Xm T)A24

(И)

Решение исходной задачи (1)-(3), если оно существует, имеет вид

и(х,г)= ^(и+(^)р+(х)+ит(^)рт(х)), (12)

т= 1

где и+(£),и+(¿) определяются формулами из (11).

Итак, в записи решения и(х, ¿) в слагаемых и+(¿) в знаменателе находятся функции 8ш(у—ЛтГ) с бесконечным количеством нулей при \]—Хт Т = 7гп, где п — произвольное целое положительное число. Имеем \/—Хщ = = = к(т — 1 /4) + 0(1/то) при то —> оо, откуда

тр = то — 1/4 при ш —> оо.

Теорема 1. Для единственности решения краевой задачи (1)-(3) в пространстве С((0, Т); Ь2( —1,1)) необходимо выполнение условий Т ф при натуральных п,тп п достаточно, чтобы

(13)

для натуральных п, ш.

Доказательство. Необходимость. Если для некоторых натуральных п, то имеет место равенство (13), то вш(\]—Хщ Т) = 0, откуда \/—Хт Т = 7гп, что невозможно ввиду асимптотики

у/—Хт = \/Xт = тг(т — 1/4) + 0(1/то) при то —> оо.

Достаточность доказывается стандартно. Пусть существуют два решения и\{х,Ь), и2(х,£) задачи (1)-(3) из С((0,Т);Ь2 ( —1, 1)). Рассмотрим функцию и = и — и2, которая является решением однородной задачи (1)-(3) при Д = Д = 0. Отсюда получим и+(£) = 0, что и требовалось.

о

Теорема 2. Пусть Д € ^| (0 < е < 1), выполнены условия (13) и, следовательно, Т ф • Тогда существует единственное

слабое обобщенное решение краевой задачи (1)-(3) из пространства С((0, Т); Ь( —1, 1)) и имеет место оценка

ИМ) ц* < С (д + ил ц^).

Доказательство. Вопрос о существовании решения задачи (1)-(3) связан с проблемой малых знаменателей, так как входящее в знаменатель выражение вш(\/—ХщТ) в формуле (11) отлично от нуля, но может быть сколь угодно малым для бесконечного множества натуральных ш.

Заметим, что

вш

^А~\Т

У\А™ \ Т

>2 У п = 2ш

п

^А~\Т

пш ш

где п — целое неотрицательное число, удовлетворяющее неравенству

1

^А~\Т

<

при этом учитывается, что втх >2х/п для х Е (0,п/2). Отсюда получим, что неравенство [5]

^А~\Т

пш ш

<

,2+е

(0 < £ < 1)

при Т ф 4т-1 имеет не более чем конечное число решений при всех пш

Тогда

Ни0М)Но = X (Ь^Ю\2 + |2) = £

зЬ(у/А+Т)

зЬ(у/А+Т)

(А^)

м

- г)) _ «»(^/¡Л^)

8Ш

(Т)

шп(^Л^Т)

\Ат 1

пп

п

и

< С]Т (\и+(0 )\2 + \и1( Т) \2)(А+)"

т=1 оо

С2 ^ (+ \иггЛт)\2 \ |Л-1-1

< с]т (К(° )\2 + \ит т) |2 )(А+ )

1

..ту

т==1

оо

+ С3 ]Т ™2+2Е(К(0+ К(Т)Г)\Ат\

т=1

< С(НЛ+ ЛН^). (14)

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кислов П. В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т. 125, вып. 1. С. 19-37.

2. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

3. Паймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.

4. Абашеева П. Л. Неклассические операторно-дифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи: Автореф. ... канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 2000.

5. Фая зов К. С. Граничные задачи для дифференциального уравнения второго порядка с самосопряженными операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 6. С. 1397-1406.

6. Захаров П. Е. Нелокальная краевая задача для уравнения Лаврентьева — Би-цадзе // Мат. заметки ЯГУ. 2005. Т. 12, вып. 2. С. 17-27.

7. Потапова С. В. Разрешимость одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2006. Т. 13, вып. 1. С. 121-134.

8. Пятков С. Г: О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск, 1984. С. 115-130.

9. Кислов П. В. Краевые задачи для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19, № 8. С. 1427-1436.

г. Якутск

15 апреля 2010 г.