Нелокальные краевые задачи типа Бицадзе - Самарского для уравнения смешанного типа четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА БИЦАДЗЕ - САМАРСКОГО ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

© 2007 г. Л.Р. Рустамова

This work considers the two un local region tasks of Bisadze-Samarsky type for the equation of mixed type of the fourth order. The unity and existence of solution (decision) of these tasks are proved by the method of equations.

Рассматривается уравнение

"^y (xx - uy +hu), У >(

(1)

-(uxx - uyy ) У <

в области О, ограниченной отрезками прямых х = 0, у = у0, х = / и двумя отрезками характеристических прямых х + у = 0, х - у = / волнового уравнения ихх - иуу = 0, пересекающихся в точке С(/ /2,-/ /2);

О. - параболическая, О2 - гиперболическая части области О.

Задача 1. Найти регулярное решение уравнения (1) в области О при у ф 0, непрерывное в замкнутой области О с непрерывной производной при переходе через отрезок АВ , удовлетворяющее граничным условиям

и\х=0 = йМ и|х=/ = Р2(У), их|х=0 = Рз(У),

1 (У К (Х У) + ßi (У )D0xu (Х У )|

1x=x

[а2 (У )ux (Х У)+ ß2 (У )D0xu(a=У )]

du

/ \ ии

■Wi(y), —

--W2 (У )=

(2)

(3)

x+ y=0

д 2u 3n2

:Щ(у\ - l/2 < У < 0.

x+ y=0

Здесь п - внутренняя нормаль области О 2; х0 -произвольная фиксированная точка интервала ]0, /[; - оператор дробного интегрирования порядка - а,

а< 0, <Р2(у), йз(у)е С[0,У0], ц(4)(у), Ц](у), у2(у)еС[-//2,0], а (у), в (у), г = 1,2, б(у)е С[0, у0], Р1 (у )е С [0, у0 ]п С 2 ] 0, у0 [, причем а2 (у)ф 0, р(0)=^(0).

Задача 2 отличается от задачи 1 тем, что условия (2), (3) заменяются условиями

lx=0

xlx=0

= 92 (У), ux|x=l = 9з {у\

и (х0, у ) = а(у М1, у )+в(у ).

Заданные функции р (у), цг (у), г = 1,3 , аг (у), в (у), г = 1,2, б(у) обладают такими же свойствами, как и в задаче 1. Общее решение уравнения (1) при у < 0 имеет вид [1]

и (х, у) = ¥(х + у) + ф(х - у)+®1 (у) + х®2 (у), (4) где ®1(у), а2 (у) - дважды непрерывно дифференцируемые функции, а ¥ + Ф - функция, имеющая непрерывные производные четвертого порядка и являющаяся общим решением уравнения ихх - иуу = 0 .

Действительно, интегрируя уравнение (1) при у < 0 дважды, получим

ихх - иуу =р(у)+ хР2 (у), (5)

где р1 (у), р2 (у) - произвольные непрерывные функции. Переходя в равенстве (5) к характеристическим координатам £ = х + у, п = х - у, получим

иП=Р\—р2 ) . (6)

Интегрируя равенство (6) от 0 до п и делая несложные преобразования, будем иметь

М+^у^ , (7)

где обозначено

- (¥Ир ^ К

Интегрируя равенство (7) от 0 до £, получим

u(j,n) = F (<Г)+Ф(п)+®1

2 -

где

обозначено F1 (j) = J f jj )d j^

^UJ^ -1 j d,iU

№2

2 ; 0 ч 2

Таким образом, возвращаясь к переменным х, у, представляем общее решение уравнения (1) при у<0 в виде (4).

Учитывая (3), (4), переходим к системе

®1 (у)- У®2 (у)+ Ф (- 2у) = ц. (у)- ¥(0), ®.'(у )-)+®2 (у )= (у )-2 ¥ '(0 ), (8) <(у )-у®2(у )+ 2®2(у )= 2Цз (у )-4 ¥ "(0 )

Дифференцируя второе уравнение системы (8), получим

0

2

2

u

2

2

2

®Т(у )- у®2(У) = л/М(У ). (9)

Учитывая это равенство в третьем уравнении сис-

42

темы (8), находим а'2 (у) = уз (у )—— у'2 (у )-2F "(о).

Откуда, после интегрирования от 0 до у, будем иметь

y 42 ®2 (У )= J Уз (t)dt--— (у) +

0 2

+^ ^ (0)- 2F "(0)y + ®2 (0).

(10)

Подставляя выражение «2 (у) в равенство (9) и интегрируя его дважды от 0 до у, получаем у у /о

« (у) =1(2/ - у Уз (г )Ж/ + 2л/2 ((-у у (у) -

з42

(0)y + ©1 (0)y + ©1 (0).

(11)

Подставляя найденные по формулам (10), (11) значения а2 (у), ®1(у) в первое уравнение системы (8),

найдем

ные условия (2), получим нелокальную задачу для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного порядка в краевом условии

г"(х)-т' (х)+Л1т(х) = ©1(0)+ х©2(о)-п(х) = ~(х), (16)

г(0)=^(0), т(1 ) = ?2 (0), т' (0)=^з (0),

[«! (0)т ' (х)+^1(0)Д0"т(х)] х = (17)

=x0

= а (0)Т (x)+ß (0)D0axr(x )] = +¿(0).

Частное решение неоднородного уравнения (16) можно найти с помощью метода вариации постоянных. Будем искать решение в виде

т(х) = е1(х)ек1х + е2 (х)вк2х, (18)

где ех(х), е2(х)- неизвестные функции; къ к2- корни характеристического уравнения, соответствующего однородному (~(х)= 0) (16). В результате будем

иметь

c1 (x) = ©0 J~ (()e kltdt + y

1 у-Х ( /^ ф(х-У)=-- 0 (х + Ууз-

-л/Ч у2((у-х)у2(0)-

-2 ^'уху - х)2 + -2^2(0)(у - хЫ(0)(у - х)-®,(0)-Т1(у) .

Из равенства (4) при у ^ 0 получаем т' (х)-^(х) = п(х), (12)

где положено, что

и(х,+0) = и(х,-0) = т(х), иу (х,+0) = иу (у,-0)= ^(х),

п(х)= 2Ф' (х) + «2 (0)-ха'2 (0)-®;(0). (13)

Из третьего уравнения системы (8) имеем, что

«2 (0) = уз Ф)-^ У2 (0)-2Ф(0).

Подставляя функцию Ф(х) и со'2 (0) в равенство (1з), окончательно получим

И(х)=-| УзI Цж + у'(-х]-

е2 (х) = М0 1 ~ (/^ к2'ж + ^ М0 = 1 /(к2 - к1 ) .

0

Подставляя найденные значения е^ (х), I = 1,2 и выражение ~(х) в формуле (18), получим общее решение уравнения (16) в виде

т(х)=Пек1х +у2вк2 х +©! (о) (х)+ + ®2(0)Л(х) + /з (х), (19)

где Л(х) = ^0 х(е(х))1 + е(х*2 )ж, 0

/2(х) = ^0Ь(е(х-^ + е(х>2 ) Ж, 0

/з(х)=„0 х(е(хЬ + е(х)к2 )яу)Ж/ . 0

Имеет место следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются неравенства

А! = (к2 - к,)/(/ )-(к2ек21 - к/1' /(0)* 0 ,

А 2 =©4 ((2 - К)

((2 -ki)/i()-—M(l -k/1')

k2 - k1

2

-W^i-X]-2VV2(0)+^w'2(0)x-Щ(0)x. > [(k2 - К)/2(Z)-2/;(0)(k2ek21 - k^1')]* 0

- [(k2 - k1 )©з - 2(©2 -©1 )/2(l)]>

(20)

2

Формула (12) дает основное функциональное соотношение между т(х) и у(х), принесенное из гиперболической части О2 области О. Для получения второго функционального соотношения между т(х) и ^(х), принесенное из параболической части О1 области О , проинтегрируем уравнение (1) при у>0 дважды по переменной х. Получим

и« - иу +Л1и =©1(у)+ х©2 (у), (14)

где ©1(у), © 2 (У)- произвольные функции. Устремляя в равенстве (14) у к нулю, получим

т"(х) -у(х)+А1т(х) = ©1 (0) ■+ х©2 (0). (15)

Исключая из (12) и (15) у(х) и учитывая гранич-

где

©1 =a1(0)k1ek1x0 + /^0)^4

=x0

-«2 (0fa-ß {0)Da0xek1x\

\x=l

©2 =«1(0)k2ek2 x0 +ß1(0)D0"xek2 x|

Ix=x2

-a2(0)k2ek21 -ß2(0)D0axek2x| ',

lx=l

©3 =/x0) + ßß (0)D"x/1 (x) x -«2 (0)/(l )-ß2 (0)D0ax/1(x) ©4 =«1(0)/2'(x0 )+ß1(0)Do"x/2 (x) x

Ix=x0

lx=x0

2

0

-а (о)/2'(/)—в2 (0)^0/2 (х)^,

©5 = ^(о) — а (о)/з (хо)— в!(о)^0а/э (х) +

\х=хо

+ «2(о)/з(/)+А(о)п/х\ , ,

1х=/

тогда задача (17) для уравнения (16) разрешима и притом единственным образом.

Доказательство. Действительно, удовлетворяя (19) условиям (17), получим систему 4 уравнений с 4 неизвестными относительно %, / = 1,4

Гг +72 = 4(о)

^ Ьп + Ьу2 + //(К = 4 (о)—/'(о),

' ^П + к2вк2'Г2 + Ь + /2 (К = 4з (о) — 43 (о),

©1^1 + ©2^2 + ©зГз + ©4 Г4 = ®5 =

где обозначено уз = ©1 (о), у4 = ©2 (о).

Решая систему (21) и учитывая условия (2о), однозначно находим

Y4 = ГГ r г3 U - t t \ HP / f ri ---HiP )ft4 / Ai

Y3 = iL _ Н0 Hiri Г r - iL t 4 ■ - Hini Y4 ) _ / Ai,

Yi = Н0(ri-PiY3 -nY), Yi = Р()-Yi,

где Hi = kiekl1 - k^, Hi = ©i -©i, Pi = /i'(ö), Pi = /i ((), Рз = ©3, 1 = cpi (0)- kp (0)- /3' (0), ri = рз(0)-Vki/ - /3(1), гз = ©5 -©ipi(0), ni = /2(0),

ni = Л((), Пз =© 4В случае задачи i относительно т(х) получаем не-

локальную задачу для уравнения (16) т(о) = 4 (о),

г'(о)=42 (о), т'(/ )=4з (о), т(хо ) = а (о)т(/)+в(о)

Справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются неравенства

А3 = шоекшо/ — + е Ф о,

А 4 =«1 (о>1 (х)+в (х) -

1х= хо

— «2 (о)^2 (/) —в2 (о)л ( / Ф о,

1х=/

где ^(х) = ) +Хзек2 х + Хъ /2 (х))/ ^2 (х)= (^е^ +Х2е'2 х + Х/1(х)+ /з (х))/

Хо =41 (о)(к2 /1 (/)— /1(о)ек2/)+

+ /1(о)(42 (о)— /з (/))— /'(()(з (о)— /з'(о) X = /2 (о)/ (/)— / '1 (о)/2 ((),

X =—^4 (о)/1 (/ )—

— /1'(о)(42 (о) — /з (/)) + /1 (/ )(з (о) — /3' (о)),

Хз =—к1 (о)/2 (/),

X =Фг(0)(kгek2l — к2ек1)+ (42 (о)— /3 (/ ))(( — к) +

+ (4з (о) — /з' (о))(ек1/ — ек2/),

X =— /2 (/ )(к2 — к + ек1/ — ек2) тогда задача (17) для уравнения (16) разрешима и притом единственным образом.

Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1.

Литература

1. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент, 1979.

Ингушский государственный университет_6 октября 2006 г

i6