CC BY
37
MS С 35М10
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НЕЛОКАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА
Ю.К. Сабитова
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета, Институт прикладных исследований Республики Башкортостан, ул. Одесская, 68, Стерлитамак, 453103, Россия, e-mail: [email protected]
Аннотация. Для нагруженнемч) уравнения емешанншх) аллинтико-гиперболичеексн'о тина изучена нелокальная задача в прямоух'ольной области. Методом епектральжих) анализа установлен критерий единственности решения поставленной задачи и доказана теорема существования. Решение построено в виде суммы биортох'ональнохх) ряда.
Ключевые слова: нахруженное уравнение смешаннохх) тина, нелокальная задача, полнота, существование и единственность решения.
1. Введение. Теория краевых задач для уравнений смешанного тина, в силу теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся раз-данов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными и привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и ее приложениями. В частности, многие математические модели тепло- и массообмена в средах, окруженных пористой средой, сводятся к краевым задачам дня уравнений смешанного тина. Одним из важнейших классов уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного тина. Исследование локальных и нелокальных краевых задач дня нагруженных уравнений с частными производными изложено в монографии A.M. Нахушева |1|.
Рассмотрим нагруженное уравнение смешанного эллингико-гинерболического тина
Г uxx + Uyy - b2u(x, y) + Ci (y)u(x, 0) = 0, y > 0 , Lu = < (1)
I Uxx - Uyy - b2u(x, y) + C2(y)u(x, 0) = 0, y < 0 ,
в прямоугольной области D = {(x,y)| 0 < x < 1, —a < y < в}, оде C1(y), C2(y) -заданные непрерывные функции, a > 0, в > 0, b > 0 — заданные действительные числа.
Нелокальная задача. Найти в области D функцию u(x,y), удовлетворяющую условиям:
и(х, у) в C2(D+ U DJ) П С1 (D); (2)
Lu(x,y) = 0 , (x,y) G D+ U D- ; (3)
u(0,y) = u(l,y) , ux(0,y) = ° , -a < y < e ; (4)
и(х,в) = <^(x), u(x, —a) = ^(x), 0 < x < 1, (5)
где <^(x) и ^(x) — заданные достаточно гладкие функции, D- = D П {y < 0}, D+ = D П {y > 0}.
Отметим работу К.Б. Сабитова и Е.П. Мелишевой |2|, где решена задача Дирихле
D.
В данной работе, следуя [2], при всех b > 0 на основании свойства полноты системы корневых функций одномерной нелокальной спектральной задачи установлен критерий единственности решения задачи. При определенных условиях на функции <^(x), ^(x) и число a решение u(x, y) построено в виде суммы биортогонального ряда.
2. Теорема единственности. Пусть u (x, y) - решение задачи (2) - (5). Из работы Е.П. Моисеева |3|, известно, что системы функций
{cos(2nfcx)}^=1, 1, {xsin(2nfcx)}^=1; (6)
{4(1 — x)cos(2nfcx)}^=1, 2(1 — x), {4sin(2nfcx)}^=1 (7)
являются биортонормированными, полны и образуют базис Рисса в пространстве L2(0,1). Рассмотрим функции
1
uk (y)=4/ u(x,y)(1 — ^csM-rfx, (8)
0
1
U0 (y) = 2/u(x,y)(1 - x)<far, (9)
0
1
vk (y) = 4J u(x, y) sin 2nkxdx , k G N. (10)
0
На основании (10) введем функцию
1-е
vk,e (y) = 4 J u (x, y) sin 2nkxdx , (11)
e
где e - достаточно малое число. Дифференцируя равенство (11) по y два раза при y G (—a, 0) U (0, в) и учитывая уравнение (1), получим
1-е
v+e (y) = 4 uyy (x, y) sin 2nkxdx =
1-е
= [—uxx(x,y) + b2u(x,y) — C1 (y) u (x, 0)] sin2nfcxdx =
е
1-е 1-е
= —^J uxx(x, y) sin 2nkxdx + 4b2 J u(x, y) sin 2nkxdx—
ее 1-е
— 4C1 (y) y u (x, 0) sin 2nkxdx , y > 0 ; (12)
е
1-е
v- (y) = 4 / u.. <x,yW =
е
1-е
= ^J [uxx(x,y) — 4b2u(x, y) + 4C2 (y) u (x, 0)] sin2nkxdx =
е
1-е 1-е
= ^J uxx(x,y) sin2nkxdx — 4b2 J u(x,y) sin2nkxdx +
ее
1-е
+ 4C2 (y) J u (x, 0) sin 2nkxdx , y < 0 . (13)
е
В первых интегралах из правой части равенств (12) и (13) интегрируя по частям два раза и переходя к пределу при е ^ 0 с учетом условия (4), получим
vk' (y) — АК (y) = —C (y) vfc (0) , y > 0 , (14)
(y) + AkVk (y) = C2 (y) Vk (0) , y < 0 , (15)
где A| = b2 + (2nk)2. Дифференциальные уравнения (14) и (15) имеют общие решения
y
"/,<Л " + k < л " - í Ci (t) sh [Afc (í - y)]dí , у > 0,
Ak .У о
о
Cfc cos Afc у + 4 sin Afc y + C-2 (t) sin [Afc (y - , у < 0,
Ak J
vk (y) = <
(16)
где ak, bk, ck, dk - произвольные постоянные.
Дня функций (16) в силу (2) и (10) выполнены условия сопряжения
Vk (+0) = Vk (—0) , vk (+0) = vk (—0) . (17)
Условия (17) имеют место только в том случае, если
Ck = ak + bk, dk = ak — bk. Подставляя (18) в (16), получим
(18)
vk (y) =
где
"/,<Л " + b,, л " + ^ Clk (y), // 0.
b
ak(eos Лky + sin Лку) + bk(cos Afcy - sin Aky) + —- C2fc (y) , y < 0 ,
Лк
(19)
y 0
Clk (y) = j Ci (t) sh [Ak (t — y)]dt, C2k (y) = j C2 (t) sin [Ak (y — t)]dt.
0y ak bk
формулой (10):
i i
vk (в) = 4 J u (x, в) sin 2nkxdx = 4 J y (x) sin 2nkxdx = yk , (20)
00
vk (—a) = 4 u (x, —a) sin 2nkxdx = 4 ф (x) sin 2nkxdx = фк
0 0
Удовлетворяя функции (19) к граничным условиям (20) и (21), найдем
ak
Рк
2A«e (к)
<Рк
2А„/3 (к)
cos Хка + sin Хка + C2fc(-a;)
Лк
Фк
2Аав (к)
э-Ьк в
1 Лк
С2к (в)
в
1 Лк
Сгк (в)
Фк
при условии, что при всех k G N
2Аав (к)
1
1
COS AfcQ' — sin AfcQ' + — С-2к{ — CI') Лк
(21)
(22) (23)
А«/з (к) = sin Хка ch Afc/5 + sh Ак/3 cos \ка + — [С1к (/3) sin Хка + С2к (-a) sh Ак/3] ф 0 . (24)
Лк
Подставляя (22) и (23) в (19) найдем окончательный вид функций
1
^ (У) =
Vk(v) — д ^^ [К 4,кАу1з(к) + LpkAay (к)] , У> 0,
vk(y) = Л 1/,.л [4>кА-у1з(к) + A¿. 1 г:/,//,,„•/,'• , у < 0,
Аав (к)
где
1
(к) = sin Хка ch Аку + sh Аку cos Хка + — [С1к (у) sin Хка + С2к (-a) sh Аку]
Лк
i
b
Аув (k) = Cik (y) sh Afcв - Cifc (в) sh Aky + Afc sh [Afc (в - y)],
Д_у/8 (к) = sin Afc y ch Afc/3 + sh Afc/3 eos A ky - [Си. (/3) sin Afcy + C2fc (y) sh A k¡3],
Ak
Bya (k) = C2k (y) sin Aka + C2k (-a) sin Aky + Ak sin Ak (a + y).
Аналогично vk(y) получим, что функция uo(y) удовлетворяет условиям:
<(y) - b2uo(y) = -Ci(y)uo(0), y> 0, (26)
< (y) + b2uo (y) = C2 (y) uo (0), y< 0, (27)
uo(+0) = Uo(-0), uo(+0) = uo(-0), (28)
i i
uo (в) = 4 J p (x) (1 - x)dx = pio, uo (-a) = 4 J ф (x) (1 - x)dx = ^io. (29) oo
Единственное решение задачи (26)-(29) определяется формулой
1 -w
А«в (0)
[b-i^oAye(0) + poA«y(0)] , y > 0 ,
uo(y) = < 1 (30)
Л«в (0)
[^oA-ye (0) + b-Vo£«y(0)] , y < 0 ,
где
(0) = sin ba ch by + sh by cos ba + - [Сю (y) sin ba + C-¿o (—o;) sh by] Aye(0) = Cio(y) sh Ьв - Cio (в) sh by + b sh [b (в - y)],
Cio (в) sin by + C2o(y) sh Ьв Bya (0) = C2o (y) sin ba + C2o (-a) sin by + b sin b (a + y),
A_y/3 (0) = sin by ch b/3 + sh b/3 cos by — -
y 0
C10 (y) = У Ci (t) sh [b (t - y)]dt, C20 (y) = J C2 (t) sin [b (y - t)]dt.
0y
Повторяя те же действия над функцией uk(y), что и для vk(y), получаем неоднородные дифференциальные уравнения
< (y) - Akufc (y) = -4nkv+(y) - Ci (y) uk (0) , y > 0 , (31)
< (y) + A2Uk (y) = 4nkv- (y) + C2 (y) Uk (0) , y < 0 , (32)
с соответствующими граничными условиями
1
uk (в) = 4 J у (x) (1 — x) cos 2nkxdx = y1k , (33)
0
i
uk (—a) = 4 J ф (x) (1 — x) cos 2nkxdx = -01k . (34)
0
и условиями сопряжения
uk (+0) = uk (—0), 4(0 + 0) = u'k (—0). (35)
На основании метода вариации произвольных постоянных найдём решение задачи (31)-(35), которое определяется по формуле
'V •:.'/:• + тгЛтт [KlAyl3(k)Vk7(-a) - Aay(k)Vkm > У > 0 > uk(y) = < Aa1(k) (36)
'V •:.'/:• + д^щ [A.yl3(k)vkr(-a) - Хк'в^кЩ+Щ , у < о,
0 в Vk-(—a) = J v-(s) sin[Ak(a + s)]ds, У+(в) = J v+(s) sh[Ak(s — £)]ds . (37)
-a 0
При условии (24) из форму.:: (25), (30), (36) следует единственность решения задачи (2)-(5), так как если y(x) = 0, -0(x) = 0 на [0,1], то uk(y) = 0,u0(y) = 0,vk(y) = 0 для k = 0,1, 2, ...на [—a, в]. Тогда из (8)-(10) имеем:
i i 4 / u(x. y)(l — X) cos 2nkxdx = 0 . 2 J (1 — ^(х, y)dx = 0 .
00 1
4 J u(x, y) sin 2nkxdx = 0 , k =1, 2, .... 0
Отсюда в силу полноты системы корневых функций (7) в пространстве L2[0,1] следует, что функция u(x, y) = 0 почти всюду на [0,1] при люб ом y G [—a, в]. В силу (2) функция и(х, у) непрерывна па I). поэтому и(х, у) = 0 па D.
Пусть при некоторых a, в C (y), C2 (y) и k = p G N нарушено условие (24), т.е.
Aae (p) = sin Apa ch АРв + sh АРв cos Apa +
+ [Cip (/3) sin Apa- + Cap (-Q') sh Ap/5] = 0 . (38)
Ap
Для нахождения нулей выражения Аа1з (р) относительно а представим его в следующем виде:
вЬ Арв ■ Ср (-а)
(p) = Кр(в) sin (Ара + 7Р) +
Ар
(39)
где
Kp (в) =
с±М Ар
+ ch Арв
+ sh2 Арв , YP = arcsin
sh Арв
КР (/3)
Из соотношения (39) имеем
Отсюда при условии
sin (Ара + Yp) = -
sh Арв • C12p (-а)
АрКр (в)
sh Ар/3 • С2р (-а) \КР (/3)
Ар
(40)
уравнение (40) равносильно следующему уравнению:
(-1)n+1 . sh Арв • С2р (-а) nn Yp
а
Ар
arcsm ■
АрКр (в)
Ар Ар
f (а) , n G N.
(41)
Если С2р (—а) = 0, то из выражения (41) следует, что
пп Ъ г лт
а = ---y" , п е N .
Ар Ар
Если C2(y) = C2 = const = 0, то C2p(-а) = C2(cos Ара — 1)/Ар и из формулы (38) получим, что (p) = 0 только тогда, когда |C2| < Ар и
а
(-1)n . C2 sh Арв nn
Ар
arcsin
АрТр (в) Ар Ар
n G N.
Здесь
. (С2 + A2) sh Ар/3 9Р = arcsm---, Тр (/3)
АрТр (в)
Сц> (/3) Ар
ch Арв
С2 sh Ар/3 '
-—--Ь sh Ар/3
Ар
Дня разрешимости нелинейного уравнения (41) достаточно потребовать, чтобы производная |/'(а)| < й < 1. Последнее выполнено, когда а < 1|С2|| = шах |С2(у)|.
—а<у<0
Тогда однородная задача (2)-(5) (где ^ (ж) = 0 Ф (ж) = 0) имеет нетривиальное решение
ир (ж, у) = ир (у) сов Арж , (42)
2
здесь функция up (y) определяется по формуле
_2 ЬрАау{р)
sin ЛРа — c
up (У) =
sin Лра — cos Лра — Л-1С2р(—а) 26рД_ув (p)
+ Л_-1С1р(в)
y> 0, y < 0
(43)
где bp = 0 - произвольная постоянная.
Таким образом, нами установлен следующий критерий единственности.
Теорема 1. Если существует решение задачи, то для его единственности необходимо u достаточно, чтобы при всех k £ N выполнялись условия (24).
3. Теорема существования. Решение задачи (2)-(5) при условии (24) будем искать в виде суммы ряда
те те
u(x,y) = u0(y) + ^^ uk(y) cos(2nkx) + ^^ (y)x sin(2nkx), (44)
k=i k=i
где функции u0 (y), uk (y) и (y) определяются соответственно по формулам (30), (36), (25).
Поскольку а, в - любые числа из промежутков задания, то при достаточно больших k выражен не Дав (k), которое входит в знаменатели коэффициентов ряда (44) может стать достаточно малым, т.е. возникает проблема «малых знаменателей» |4|, |5|, Для обоснования существования решения (44) данной задачи необходимо показать существование чисел а, в и функций C¿ (y), i =1, 2 таких, что выражение Дар (k) отделено от пуня.
Лемма 1. Если выполнено одно из следующих условий: 1) а = p — натуральное Р
число: 2) a = - (jL N, где р, q £ N, (р, q) = 1, (q, 4) = 1, то существуют положительные q
постоянные k0 £ N п C0 такие, что при любом фиксированном в > 0 и всех k > k0 справедлива оценка
|Дав(k)|> Coe2nke > 0; (45)
3) если а является любым иррациональным алгебраическим числом степени 2, C1(y) > 0 монотонно возрастает на [0, в], C2(y) > 0 монотонно убывает на [—а, 0], то существуют положительные постоянные k0, b0 и C0, вообще говоря, зависящие от а, в и b, такие, что при всех b < b0, k > k0 справедлива оценка
¡Aa/3(k)\>e2^3f . (46)
□ Представим Дав (k) в следующем виде:
eAfc в
А«/3 (А:) = eAfe/3Afc (/3) sin (Afea + <рк) + -—u;fc (а, /3), (47)
Лк
где ipk = arcsin (sh Aк/3/ 2Хк/3) —> 7г/4 при к +оо,
Ak(в)=
1 + e-4Afc в
, sin Ака' с» (-а) (1 -
Шк (Q'' = oAfc/3 Clk V3) + -
2
Отметим, что при любом фиксированном в > 0 и к € N выражение (48) ограничено:
(48)
(49)
1
-д<Ак(Р)< 1,
(50)
Для оценки (а, в) воспользуемся формулой (49). Если С1(у) > 0 монотонно возрастает на [0, в], С2(у) > 0 монотонно убывает на [-а, 0], то воспользовавшись формулами Бонне или второй теоремой о среднем значении, получим
Uk (а,в )| <
|Ci(e )| + |С2(-а)| Mi
2Ak
k '
(51)
где Мг - здесь и д^тее положительные постоянные, вообще говоря, зависящие от а или в
Из представления (47) в силу оценок (51) достаточно оцепить выражение
¿«в (k) = sin (Akа + ^k).
При k > k1 > b/2n > 0 имеет место следующее равенство:
(52)
Afc = \J (2ттк)'2 + Ь2 = 2тгА:
1 +
b
2nk
1/2
2nk
1 +
и b \2 и b
2 8 \2nfc
при этом дня остатка ряда справедлива оценка
Ь2 Л Ь2
< вк <
+ ...
2nk + 9k
4nk 2nk
Тогда из (52) и (53), обозначая 0k = 9kа, получим
(k)| = sin ^2nka + 6k + ^k
(53)
(54)
(55)
При а = р € N существует номер к2, такой, что при всех к > к2 имеем следующую оценку:
sin ( 2nkp + 0k +
sin 6>k + ^k
1 n
> - sm —
2 4
= M2 > 0
(56)
Пусть а = р/д, оде р и д - взаимно-простые числа. Разделим 2кр на д с остатком: 2кр = вд + г, оде в, г Е N и {0} 0 < г < д. Тогда выражение (55) примет вид
|6«в (к)|
. 2кР Л
вт 7Г--Ь вк + <*Рк
д
пг я
вт |--Ь 0к + <~Рк
д
(57)
Если г = 0, то данный случай сводится к уже рассмотренному выше а = р Е N. Пусть г > 0, Тогда ясно, что 1 < г < д — 1, д > 2, и из (57) получим
6ав (к) | =
пг л п
вт |--Ь вк + 7 - £к
д 4
, £к > 0 и £к ^ 0 .
Тогда существует натуральное число к3, такое, что из последнего соотношения при всех к > к3 следует неравенство
(к) | > ^
пг п
вт--Ь -
д4
> Мз > 0.
а
пне (55) можно представить в виде
$а/з (к) | = вт (2пка — пп + вк +
, п Е N.
(58)
Для всякого к Е N можно подобрать п Е N [4], такое, что имеет место неравенство
а
п 2к
<
4к
(59)
Из теории чисел известно (см. теорему Лиувилля ( |6|, с.60|), что дня любого иррационального алгебраического числа а степени 2 существует положительное число 6 такое,
п, к (к > 0)
а
п 2к
>
Ж2
Из (59) и (60) получим
Из (54) найдем
п6 2к
<
п
2пк[а--
<
п
Ь2
а
8пк
<вк <
Ь2
а
4пк
(60)
(61)
(62)
п
Потребуем, чтобы вк < —, которое имеет место при всех к > > 2Ь2а/л2. Следова-
8
3п
телыю, вк + <рк < —• Тогда дня аргумента выражения (58) имеем оценку:
~ 7п
0 < |27гА:а' — тгп + вк + <~Рк\ < —~
2
Рассмотрим два случая. Если
п i л i 7п
- < \2жка - 7гп + вк + <Рк\ < — 2 о
ТО
^в (k) |
sin ( 2nka — пп + 0k +
7п
> sin —— .
(63)
Если 0 < |2nka — пп + 9k + | < п/2, тогда с учетом неравенства sin x > (2/п)х, 0 < x < п/2, и оценок (61) и (62) будем иметь
S«e (k) I = sin ( 2п&а — пп + +
2
>
2
п
4n — 1
2тгА: [ а--) + 0fc - ek
> - ( 2nA: п
2пka — пп + вк + 4n — 1
a —
8k
— |Лк I — Ы
Применяя формулу разности арксинусов
оценим
arcsin х — arcsin у = arcsin \/l — у2 — y\J 1 — , xy > 0 ,
п 1 sh Ak в
£k = — — <Pk = arcsin —= — arcsm . , = 4 ^ v^ Vch2Afe/3
. 1 /oh Ak в — sh Акв
arcsm —= -,—
v^ V Vch 2тгкр
1
arosin
Отсюда, с учетом неравенства | arosinx| < (п/2)| x|, 0 < |x| < 1, получим
1
arcsm ■
<
п
пп
< .. . <
е2Лfc/3v/1 e-4Afc/3 2e2Afc/Vl + e~4Afc/3 2e2Afc/3 2e4?rfc/3 Поскольку e4nke > (4пkв)2 при всex k G N, то из (64) следует неравенство
1
кк I <
32п(kв)2
С vчетом (60), (62) и (65) при всех b < тт\ —— = Ь0 и к > к5 > ——
V 2a 2м4(пв)2
2b2a
(64)
(65)
где
M4 = S —
выполнено
п2
2 /п£ b2a
I > - Ul "
1
>
S
8k 4пk 32п(kв)V 16k '
Из выражения (47) в силу оценок (50), (51), (63) и (66)
=Afc в
I Л«в (k)|
eXkl3Ak(P) sm(Xka + <рк) + —шк(а, ¡3)
Ak
>
рХкв рхкв Г д ММ 1 С
>e^|Afc(^)||sm(Afca + ^)|-—Ма,^)^— ~ JT > ^ ^
i i lili 16v^Mi
при всех к > к0 = max b < о0 и к& > --- . ■
1 <г< 6 д
Замечание. Доказательство леммы 1 отлично от доказательства, приведенного в работе [2]. Примечательно оно тем, что снято условие малости норм ||С^| и ||С2||.
Лемма 2. Пусть выполнена оценка (45) при к > к0. Тогда для таких к и при любом y £ [—a, в] справедливы оценки:
Ы (y) | < Ai (|рк| + |фк|) , (67)
|vk (У) | < А2к (|рк| + |фк|), К (y) | < Азк2 (|рк| + |фк|) , (68)
|ик (y) |< A4 (|рк| + |фк|), |uk (y) |< А5к (|рк| + |фк|) , (69)
К (y) | < Абк2 (|рк| + |фк|) , (70)
где Ai — здесь и далее положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от a, в, l|Ci|| и ||С2||.
□ Справедливость оценки из (67) непосредственно следует из формулы (25) и оценки (45). Исходя из (25) вычислим производные v'k (y) и v'' (y):
тгЛп + ркл'ау(к)] , у > о,
vk (y) = < , (71)
д-^щ [фк+ AkWkKy(k)} , у < 0 , А'ув (к) = С1 k (y) sh Лкв — AkCi к (в) ch Л ky — Л2 ch[A к (в — y)],
д/ /П л • л i л , , Л 1 Л Л , С1к (у) sin AfcQ' + акС2к (-a) ch Аку
= Afc sm Хка sh Аку + +Хк ch Аку cos Хка Н----
A
А в (к) = Ak cos Aky ch Akв — Ak sh Akв sin Aky —
к
Ak С1к (в) cos Ak y + С2к (y) sh Ak в
ув 1Л7 "" /Xk шо /\ky /\kJJ — /-\k Dll /\kJJ Dili /\ку---
A
к
B'ay (к) = С2к (y) sin Ak a + A^2k (—a) cos Ak y + +Ak cos[Ak (a + y)], y
С1к (y) = Ak j С1 (t)ch[Ak (y — t)]dt, 0
0
С2к (y) = Ak j С2 (t)cos [Ak (y — t)]dt.
y
Дня вычисления второй производной функции воспользуемся формулами (14) и (15), получим
( Akvk (y) — ^(y)vk(0), y> 0 , vk (y) = < 0 (72)
l — A2kvk(y) + С2(y)vk(0), y < 0 ,
Тогда из равенств (71) и (72) па основании (45) и оценки из (67), убеждаемся в справедливости оценки (68). Аналогичным образом доказываются оценки (69), (70) дня функции (у). I
Лемма 3. Пусть выполнена оценка (46) при всех к > ко. Тогда при любом у € [—а, в] и для таких к справедливы оценки:
к (у) |< А7к (.| + , (73)
К (у) | < А8к2 (|. | + к |) , (у) | < Ад к3 (|. | + к |) , (74)
К (у) |< Аюк (|.*| + |) , (75)
К (у) | < Ацк2 (.| + |), К (у) | < А12к3 (.| + к|) . (76)
□ Справедливость оценки (73) непосредственно следует из формулы (25) и оценки (45). Из равенств (71) и (72) на основании (46) и (73), убеждаемся в справедливости оценок (74). Аналогично получаем оценки (75) и (76). I
Лемма 4. Пусть .(ж),^(ж) € С3[0,1], .(0) = .(1), ^(0) = ^(1), .'(0) = 0, ^'(0) = 0, .''(0) = .''(1), ^''(0) = ^''(1), то справедливы оценки:
Ы < ^ , Ш < , (77)
\Ы < ¿и , \4\k\ < Л6 , (78)
1 1 * = 4 / ./'М со^.Ь)^, г. = 4 / /М Й^Ь)^,
оо 1
у1 к = 4 J .'''(х)(1 — ж) вт(2пкж)^ж ,
0
1 1
Г* = 4 / ^'''(ж) сов(2пкж)^ж, г* = ^''(ж) вт(2пкж)^ж,
оо 1
=4/ ^'"<ж)<1—^^^
о
.=1 к=1 к=1 к=1 к=1 к=1
(79)
□
условий леммы, получим представления (77) и (78). Обоснование сходимости рядов (79) проводится аналогично [7]. I
Поскольку системы функций (6) и (7) образуют базис Рисса, то если <^(ж), ф(ж) € Ь2[0,1], тогда функцию и(ж,у) можно представить в виде биортогонального ряда (44), который сходится в Ь2[0,1] при люб ом у € [-а, в ]■ В силу лемм 2 и 4 ряд (44) при любом (х, у) из И мажорируется сходящимся рядом
1
Ап ^з ++ 1г/;-1 +++'
поэтому ряд (44) и ряды производных и в силу признака Вейерштрасса сходятся абсолютно и равномерно на замкнутой области Д Следовательно, сумма и(ж, у) ряда (44) принадлежит классу С1 (О). Ряды из производных второго порядка на -0+ и !)_ мажорируются также сходящимся числовым рядом
1
^18 ^ (Ы + \g\k\ + Ы + \дк\ + \гк\ + \g\k\) •
Поэтому сумма и(х,у) ряда (44) принадлежит пространству С2(£>+ и£>_) и удовлетворяет уравнению (1) на множестве и
Лемма 5. Если ф(ж) € С4[0,1], р(0) = ^(1), ф(0) = ф(1), ^(0) = 0, ф'(0) = 0, </(0) = </(1), ф ''(0) = ф''(1), ^ '''(0) = 0, ф '''(0) = 0, го
к4 ' — к^ г 1к | ^У I к4 20 1 к4
1 1
* = 4 / Р<4>(х) вт(2пкх)&, Л. = 4 / ^''(х) „»^«Ь,
0 0 1
= 4/ ^>(х)(1 -
0
1 1
* = 4/ ф<4>(х)81п(2пкх)^х, Лк = / ф'''(*)со8(2пкх)&,
00 1
= 4/ ф4>(х)(1 - х^Ь^х, 0
У^ < ^ л. < ^ < ^ ц < ^ л. < ^ иЦк < к=1 к=1 к=1 к=1 к=1 к=1
□ Проводится аналогично лемме 4. ■
Пусть выполнены условия пункта 3 леммы 1, тогда ряд (44) в силу леммы 3 и 5 мажорируется числовым рядом
A2i + \zlk\ + \hk\ + |3д.| + \hk\ + .
k=k0+1
Далее аналогично приведенному выше доказательству убеждаемся, что функция u (x, y), определенная рядом (44), удовлетворяет условиям (2) и (3).
Таким образом, нами доказаны следущие утверждения.
Теорема 1. Пусть функции ^ (x) и ф (x) удовлетворяют условиям леммы 4, C1 (y) G С [0,/5], С2 (у) G С [—а-, 0] и выполнена оценка (45) при всех к > к0. Тоща если А-а/з (к) ф 0 при всех к = 1,ко, то задача (2) - (5) имеет единственное решение, которое определяется рядом (44).
Теорема 2. Пусть функции ^ (x) и ф (x) удовлетворяют условиям леммы 5, C (y) G C [0, в] , C2 (y) G C [—a, 0] , C1(y) > 0 монотонно возрастает на [0, в], C2(y) > 0 монотонно убывает на [—a, 0], и выполнена оценка (46). Тогда задача (2)-(5) имеет единственное решение, которое определяется рядом (44).
Отметим, что если для чисел a, указанных в лемме 1, при некоторых k = k1 < k2 < ... < km < ko, m G N, выраженне Дар(k) = 0, то в этом случае задача (2)-(5) условно разрешима, т.е. имеет решение при выполнении условий ортогональности = фк = 0,
k = kl, k2, km.
Литература
1. Нахушсв A.M. Нагруженные уравнения и их применение / М.: Наука, 2012. 232 е.
2. Сабитов К.В., Мелишева Е.П. Задача Дирихле для нагруженного уравнения смешанного типа в прямоугольной области /7 Изв.вузов.Матем. 2013. №7. С.62-76.
3. Моисеев Е.И. О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи /7 Дифференциальные уравнения. 1999. 35, №8. С.1094-1100.
4. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа в прямоугольной области /7 Докл. РАН. 2007. 413, №1. С.23-26.
5. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механики /7 УМН. 1963. Т.XVIII, вып.6(114). С.91-192.
6. Хин чин А.Я. Цепные дроби / М.: Наука, 1978. 112 с.
7. Ионкин И.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием /7 Дифференц. уравнения. 1977. 13, №2. С.294-304.
BOUNDARY-VALUE PROBLEM WITH NONLOCAL CONDITION FOR A MIXED TYPE EQUATION IN RECTANGULAR AREA
Y.K. Sabitova Sterlitamak department of Bashkir State Uriivercity Institute of researches, Odesskya St., 68, Sterlitamak, 453103, Russia, e-mail: [email protected]
Abstract. Boundary-value nonlocal problem for an equation of mixed elliptic-hyperbolic type is studied. Criterion of solution uniqueness is found by spectral analysis. The solution is built as the sum of biortogonal series.
