Краевые задачи для абстрактных дифференциальныхуравненийдробного порядка с ограниченным оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 47G99

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДРОБНОГО ПОРЯДКА С ОГРАНИЧЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ

И.М. Примак

Белгородский государственный университет, ул. Студенческая, 14, Белгород, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Найдены условия однозначной разрешимости краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений с ограниченным оператором.

Ключевые слова: краевая задача, дробная производная, однозначная разрешимость.

В первой части работы в банаховом пространстве Е рассматривается решение краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка а £ (1, 2), содержащих дробную производную Герасимова-Капуто, во второй — дробную производную Римана-Лиувилля. Дробная производная Герасимова-Капуто определяется следующим образом:

даи(Ь) = Ба(п(1) — и( 0) — £и'(0)),

где 2

— дробная производная Римана-Лиувилля [1, с. 44],

12~аи{г) = —-—г [ Ат

Г(2 — а) Уо (^-т)»-1

— дробный интеграл Римана-Лиувилля, Г(г) — гамма-функция Эйлера.

Абстрактные краевые задачи для уравнений дробного порядка рассматриваются впервые. Ранее в [2] авторами была исследована краевая задача для уравнения порядка а £ (0,1). Примеры конкретных краевых задач для уравнений, младшие члены которых содержат дробные производные можно найти в [3, 4].

1. Рассмотрим краевую задачу

д“и(£) = Аи(£), 0 < £ < Т, (1)

с краевыми условиями общего вида

ацп(0) + а 12дв и( 0) + Ьци(Т) + Ь12 д1 и(Т) = П1, (2)

Работа выполнена в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (госконтракт № 14.A18.21.0357).

в банаховом пространстве Е.

Определение 1. Функция п(і) Є С ([0; Т ],Е) такая, что I2-аи(і) Є С2((0,Т ],Е), называется решением задачи (1) - (3), если она удовлетворяет уравнению (1) на интервале (0,Т) и краевым условиям (2), (3).

Будем использовать следующие обозначения. Пусть I — единичный оператор,

ГО к ^ к

= ^ Г(/ік + 1) (А< > 0)’ = ^ Г № + и) ^ > 0)

— функции Миттаг-Леффлера. Тогда

Теорема 1. Пусть А — ограниченный оператор в банаховом пространстве Е и Ф(А) = 0 для любого А принадлежащего спектру а (А) оператора А. Тогда для любых п1,п2 Є Е решение краевой задачи (1)-(3) существует, единственно и имеет вид

«21«(0) + а22$в п(0) + Ъ2\п(Т) + Ъ22д1 и(Т) = «2,

(3)

где 0 < в < а и 0 <7<а.В уравнении (1) будем считать А ограниченным оператором

(4)

(5)

В12 = ЪпТЕа,2(ТаА) + Ъ12Т“+1-^Еа>2-1+а(ТаА). В21 = «21І + Ъ21Еа(ТаА) + Ъ22Та-^АЕаЛ-1+а(ТаА).

(6)

(7)

(8)

(9)

Ф(А) = (ацЪ21 — а21Ъ11 )ТЕа,2 ( АТ а) + (а11Ъ22 — а21Ъ12)Т 1 7 Еа, 2-7 (АТ“) + +(ЪПЪ22 - Ъ12Ъ21)Т1-^Е«,2-7(АТа)Еа(АТа).

(10)

Если 0 < в < 1 и 1 < 7 < а или 1 < в < а и 1 <7< а, то

Ф(А) = (ацЪ21 - а21Ъ11 )ТЕа,2 ( АТа) + (а11Ъ22 — а21Ъ12)Т°+1 7АЕа,2-^+а(АТ<а) + + (Ъ11Ъ22 — Ъ12Ъ21)Т^ 7АЕа,1-^+а(АТа)Еа(АТ<а) ■

(11)

п(і) = (В11В22 — В12В21) 1 ((Еа(і<а А)В22 — іЕа,2 (і° А)В21 )п1

— (Еа^аА)В12 — ЬЕа,2(Ьа Л)В11)и2) • (12)

□ Пусть и(Ь) - решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(0) = ь0, и;(0) = ь1. Тогда [5, с. 13]

и(Ь) = Еа(ЬаЛ)уо + ЬЕа,2(ЬаА)у1, Ь £ [0,Т]. (13)

Вычислим нужные нам дробные производные. Если 0 < в < 1, то

дви(Ь) = Вв (и(Ь) — и(0)) = Вв(Еа(1аЛ)уо + 1Еа>2(1аЛ)у1 — ьо) =

Ь — в

= I 13 £,0д_/з(^“ А)г'о + I1 13 Еа-2-1з{^а А)п1 — —— — г'о =

I(1 — р)

(1 (ьа Л)к 1 \

Щ—3) + Ё Г(а(к - 1) + 1 - в + а) “ ) 1’° + =

(+аЛ)к

= «~^ЕГ(а* + 1 Л + а)?'° + =

= Ьа вЛЕа,1-в+а (Ь°Л)ь0 + ^ вЕа,2-в (Ь“Л)ь1 •

Аналогично, для 0 < ^ < 1 получим

д1 и(Ь) = га-1 ЛЕаЛ-1+а(га Л)ьо + Ь1-1 Еа,2-7 (ГЛ)ь. •

Если 1 < в < а, то

дв и(Ь) = (и(Ь) — и(0) — Ьи(0)) = (Еа(Ьа Л)ь0 + ЬЕа,2(ЬаЛ)ь1 — ь0 — Ьь1) =

+-в г(2)

= £ 13Еал-13^аА)и0 + I1 13Еа:2-13^аА)у1 - ’ ^ у0 - ? _ Ь1 /31’1 =

Г~13А V____________(^4)^________ г+1-13А у- (ГА)А‘

* л 2^ Т7п^ + 1 _ + пЛ10 +1 ^

Г(ак + 1 — в + а) Г(ак + 2 — в + а)

к—0 к—0

= Ьа-вЛЕа,1-в+а(ГЛ)ьо + Ьа+1-вЛЕа,2-в+а(ЬаЛ)ы •

Аналогично, для 1 < 7 < а

д1 и(Ь) = га-1 ЛЕаЛ-1+01(ГЛ)ьо + га+1-1 ЛЕа>2-1+а(Ьа Л)ь •

Рассмотрим для определенности случай, когда 0 < в < 1 и 0 < ^ < 1. Учитывая граничные условия (2) и (3), составим систему

а11ь0 + Ь11Еа (Т °Л)ь0 + Ь11ТЕа,2(Т “Л)ь1 + Ь12Т ° 7 ЛЕа,1-7+а(Т “Л)ь0 +

+Ь12Т1-7 Еа,2-7 (ТаЛ)ь1 = щ,

а21ь0 + Ь21Еа (Т °Л)ь0 + Ь21ТЕа,2(Т “Л)ь1 + Ь22Т ° 7 ЛЕа,1-7+а(Т “Л)ь0 +

+Ь22Т1 7Еа,2-7(Т°Л)ь1 = и2 •

или

(а11І + Ъ11Еа (Т а А) + Ъ12 Т“ 7 АЕа,1-7+а(Т“А))^0 + (Ъ11ТЕа,2(Т“А) +

+Ъ12Т1-7 Е«;2-7 (Т “А))г»1 = «1,

(а21І + Ъ21Еа (Т а А) + Ъ22 Т“ 7 АЕа,1-7+а(Т“А))^0 + (Ъ21ТЕа,2 (Т“А) +

+Ъ22Т1-7Е«;2-7(Т“А))г»1 = П2 ■ С помощью операторов (4)-(9) запишем систему (14) в виде

ВцЗД + В12^1 = П1 ,

В21^0 + В22^1 = П2 ■

(14)

(15)

Будем считать, что в краевых условиях (2) и (3) коэффициенты таковы, что существует (В11В22 — В12В21)-1. Решая систему (15) методом исключения, получим

ВцВ22^о + В12В22^1 = В22и1,

откуда

Аналогично.

откуда

— В12В21^0 — В12В22^1 = — В12 «2,

(В11В22 — В12В21)^0 = В22п1 — В12п2)

ЗД = (В11В22 — В12В21) 1 (В22п1 — В12п2).

— В11В21^0 — В12В21^1 = —В21 п1> В21В11^0 + В22В11^1 = В11п2)

(В11В22 — В12В21)^1 = В11п2 — В21п1)

^1 = (В11В22 — В12В21) 1 (В11п2 — В21п1) ■

(16)

(17)

Подставляя (16), (17) в решение (13), имеем

п(і) = Еа(і°А) (В11В22 — В12В21) 1 (В22п1 — В12п2) +

+іЕа,2(і“А)(В11В22 — В12В21) 1(В11п2 — В21п1) =

= (В11В22 — В12В21) 1((Е«(і°А)В22 — іЕа,2(іаА)В21)п1 —

— (Еа(£аА)В12 — іЕа,2(і°А)В11)п2) )

что и приводит к равенству (12).

Отметим теперь, что из условия Ф(А) = 0 для любого А Є а(А) вытекает существование оператора (В11В22 — В12В21)-1, который с помощью контурного интеграла можно представить в виде (см. [6, с. 20])

(В11В22 — В12В21) 1 = ((а11Ъ21 — а21Ъ11)ТЕ«,2(Т“А) + (а11Ъ22 — а21Ъ12)Т 1 7 Еа,2-7 (Т°А) +

+(611622 - 612621)(Т^~^Еа 2—^(Та Еа(Та А^)—1 = I ^Д(Л, А)^Л,

до

где Ф(А) выражается формулой (10).

Аналогично рассматриваются и следующие случаи:

1 <в<а и 0 <7 < 1,

0 <в < 1 и 1 <7<а.

1 <в<а и 1 <7<а.

Таким образом, если решение краевой задачи существует, то оно единственно и имеет вид (12). С другой стороны, задаваемая равенством (12) функция и(Ь) определена при любых и1,и2 £ Е и, как нетрудно проверить, является решением рассматриваемой краевой задачи (1)-(3).

В заключение отметим, что условие разрешимости задачи (1) - (3) не зависит от в, поскольку, как легко видеть из (10), (11), функция Ф(А) зависит только от а и 7, т.е.. Ф(А) = Фа>7(А) ■

Пример 1. В частном случае, если а12 = а22 = Ь12 = Ь22 = 0, получим задачу

даи(Ь) = Ли(Ь), 0 < Ь < Т, (18)

а11и(0) + Ь11и(Т )= и1, (19)

а21и(0) + Ь21 и(Т) = и2 • (20)

Подставим а12 = а22 = Ь12 = Ь22 = 0 в (10). Тогда

Ф(А) = (аиЬ21 — а21Ьп)ТЕа,2(АТа) •

Если для любого А £ а(Л) функция Ф-1(А) = 0, т.е., если а11Ь21 — а21Ь11 = 0 и для любого А £ а(Л) функция Еа,2(АТа) = 0, то при любых и1, и2 £ Е решение краевой задачи (18)-(20) существует, единственно и имеет вид

'-1"Е„Г

и(Ь) = ((а11Ь21 — а21Ь11 )ТЕа,2 (Т °Л) ) ((Еа(ЬаЛ)Ь21ТЕа,2(ТаЛ) —

— ЬЕа,2(ЬаЛ)(а211 + Ь21Еа(ТаЛ))и1 —

— (Еа(ЬаЛ)Ь11ТЕа,2(ТаЛ) — ЬЕа,2 (Ь°Л) (а111 + Ь11 Еа(Т“Л)))и2) •

Пример 2. Рассмотрим ещё один частный случай граничной задачи (1)-(3)

даи(Ь) = Ли(Ь), 0 < Ь < п, (21)

и(0) = и1, (22)

и(п) = и2, (23)

Подставим а12 = а21 = а22 = Ь11 = Ь12 = Ь22 = 0 в (10). Тогда Ф(А) = пЕа,2(Апа), и, ес-

ли Еа,2(Апа) = 0 для любого А £ а(Л), то решение краевой задачи (21)-(23) существует, единственно и имеет вид

и(Ь) = Е«(ГЛ)щ + ЬЕа, 2(£“Л)(пЕа, 2(паЛ)) 1(и2 — Еа(п“Л)и1) =

и (г) = (пЕ2;2(п2А)) 1((Е2(^2А)пЕ2;2(п2А) - Е2 (п2 А)^^ (^ А))и + ІЕ2;2(І2А)И2),

и происходит «стыковка» решений для уравнений дробного и целого порядков.

2. Рассмотрим краевую задачу с дробными производными Римана-Лиувилля

где 0 < ^<7<а. В уравнении (25), по-прежнему, будем считать Л ограниченным оператором в банаховом пространстве .

Определение 2. Функция V (Ь) £ С ((0,Т ],Е) такая, что Да-2^ (Ь) £

С([0,Т],Е)Р| С2((0,Т],Е), Да-^(Ь) £ С([0,Т],Е), называется решением задачи (25)-(27), если она удовлетворяет уравнению (25) на интервале (0,Т) и краевым условиям (26), (27).

Введем следующие обозначения:

Теорема 2. Пусть А — ограниченный оператор в банаховом пространстве Е и Ф(А) = 0 для любого А принадлежащего спектру а(А) оператора А . Тогда для любых VI,^2 Є Е решение краевой задачи (25)-(27) существует, единственно и имеет вид

(г) = А^(г), о < г < т,

и краевыми условиями общего вида

(25)

а„/2-“//(0) + аі2В“-1^(0) + Ь„В V (Т) + V (Т) = //ь

о-2і1 2-“і/(0) + а22С“-1^(0) + ЬаВ V (Т) + 622-07 V (Т) = [ъ,

(26)

(27)

і,(і) = (В11В22 — В12В21) 1((г° 2Еа,а—1(га'А)В22 — ^ ІЕа,а(га А)В21)ї,1 +

+ (г“ ^ Еа,а (г° А)В11 — ^ ^Еа,а— і (г° А)В12)^2) •

□ Пусть г'(Ь) — решение уравнения (25), удовлетворяющее условиям Ва 2г>(0) = и>о, Ва-1,у(0) = ^1 . Тогда (см. [1, с. 601], [5, с. 13])

^) = Ьа-2Е«;«-1(ЬаЛ)^о + Ьа-1Е«;«(ЬаЛ)^1,Ь £ [0,Т] • (34)

Вычислим нужные нам дробные производные. Имеем

/2-“^(Ь) = 12-“(Ь“-2Еа;а-1(Ь“Л)^о + Ь“-1Еа;а(Ь“Л)^1) = Еа(^Л)^о + ЬЕ^^Л)^, В“-1^) = Да-1(Ьа-2Еа;«-1(ЬаЛ)^о + Г-Х^ЛЮ (Г*АУ

к-

= В (^2Еа;«-1(ГЛ)^о + ^1Е«)«(ГЛ)^1 = Г-2- Еа;«-г-1(ЬаЛ)^о + Г-1- Е^- (*“Л)™Ь

г2—а^(г) = 12—а(га—2Е«;«—і(гаА)^0 + га—1Е«,«(гаА)^і) = Е«(гаАН + іе*. (+а

= па—1(га—2Еа,а—і(гаА)^0 + *“—

і 1 ^ у Г (а А’) Еа{і:а А)ю\ = іа 1 АЕа^а(1а А)и>о + Еа(іа А)и>\,

^•(г) = В(га—2 Еа,а_^“А^ + *“—Х.аГ

В7 г>(г) = Г 2 7Еа>а-7-1(ЬаЛ)^о + 1 7Еа>а-7(ЬМ)^ •

Учитывая граничные условия (26) и (27), составим систему

ацтоо + а^1 + Ьп(Та-2-й Еа,а-<5-1 (ТаЛ)^о + Та-1-<5 Еа,а-<5 (ТаЛ)^1) + +Ь12(Та-2-7 Еа>а-7-1 (Т аЛ)^о + Та-1-7 Еа>а-7 (Т аЛ)^1) = ^1,

а21^о + а22^1 + Ь21 (Т^ 2 ^Еа,а-&-1 (Т“Л)^о + Т° 1 ^Еа,а-& (Т“Л)^1) +

+Ь22(Т“-2-7 Еа>а-7-1(ТаЛ)^о + Та-1-7 Еа>а-7 (Т “Л)^) = ^2

или

(ац/ + ЬііТ" 2 йЕа,а—й—1(Т“А) + Ь12Т“ 2 7Еа,а—7—і (Т“А))^0 +

+ (аі2І + ЬііТа 1 й Еа,а—й (ТаА) + Ьі2Та 1 7 Еа,а—7 (ТаА))^і = VI,

(Й2і/ + Ь21 Т“ 2 Й Еа,а—й—1(Т°А)+ Ь22 Т“ 2 7 Еа,а—7— 1(Т“А))^0 +

, + (а22^ + Ь11Т° 1 Й Еа,а—й (Т°А) + Ь22Т“ 1 7 Еа,а— 7 (Т°А))^1 = ^2-

Запишем систему (35) с помощью операторов (28) - (31) в виде

£іі^0 + Ві2^і = VI,

В21^0 + Е22^і = •2-

(35)

(36)

Будем считать, что в краевых условиях (26) и (27) коэффициенты таковы, что существует (В11В22 — В12В21)-1. Решая систему (36) методом исключения, получим

и>о = (В11В22 — В12В21) 1(В22^1 — В12^2)^ (37)

и>1 = (В11В22 — В12В21) 1(В11^2 — В21 ^1) • (38)

Подставляя (37), (38) в решение (34), имеем

^(Ь) = 2Еа;а - 1(Ь°Л)(В11В22 — В12В21) 1(В22^1 — В12^2) +

что и приводит к равенству (33). I

Отметим теперь, что из условия Ф(А) = 0 для любого А Є а(А) вытекает существование оператора (В11В22 — В12В21)—1, который с помощью контурного интеграла можно представить в виде (см. [6, с. 20])

(В11В22 — В12В21) 1 = ((а11а22 — а12а21)1 + (а11Ь21 — а21Ь11)Т° 1 Й Еа,а— й (АТ°0 +

где Ф(А) выражается формулой (32).

Таким образом, если решение краевой задачи существует, то оно единственно и имеет вид (33). С другой стороны, задаваемая равенством (33) функция 'у(Ь) определена при любых ^1,^2 £ Е и, как нетрудно проверить, является решением рассматриваемой краевой задачи (25)-(27).

Заметим, что в отличие от задачи (1)-(3) условие разрешимости задачи (25)-(27) зависит и от 8 и от 7, поскольку, как легко видеть из (32), Ф(А) = ФаД7(А).

Пример 3. В частном случае, если а12 = а22 = Ь12 = Ь22 = 0, получим задачу

любого А £ а(Л) функция Еа а-^(АТа) = 0, то для любых и1, и2 £ Е решение краевой задачи (39) - (41) существует, единственно и имеет вид

+ (г" ІЕа,а(г“А)В21)(В11В22 — В12В21) 1(В11^2 — В21^1)^1 =

(В11В22 — В12В21) 1((і° 2Еа,а—і (і° А)В22 — ^ ІЕа,а (і° А)В21)^1 +

+ (г“ ІЕа,а (і° А)В11 — 2Еа,а—і (г° А)В12)^2) ,

даи(г) = Аи(г), о < г < т, ап/2—“и(0) + 6пЯйи(Т) = VI, Й2і/2—“•(О) + 62!Е<ЧТ) =

(39)

(40)

(41)

Подставим а12 = а22 = Ь12 = Ь22 = 0 в (33). Тогда

Ф(А) = (аіібзі — а2і6п)Та—1—йЕа,а—й(АТа).

Если для любого А Є а(А) функция Ф 1(А) = 0, т.е., если а11Ь21 — а21Ь11 = 0 и для

+ Г-1£«;«(ГА)(аи/ + bnT“-2-5-

- ^а-2Е«;«-1(^аЛ)Ь11Та-1-гЕа,а-г(ГЛ)Ь) . (42)

В заключение отметим, что при а = 2, в = 7 = 1, 8 = 0 равенства (12) и (33) совпадают, и происходит «стыковка» решений для уравнений дробного и целого порядков. В частности, если а11 = Ь11 = а21 = Ь22 = 1, а12 = Ь12 = а22 = Ь21 = 0, то

Ц*) = ^) = (Е2(Т2Л) + Е22(Т2Л) - ТЕ2;2(Г2Л) - Т2ЛЕ222(Т2Л)-1((Е2(^2Л)Е2(Г2Л) -

- ^Е2,2(^2Л)(/ + ТЛЕ2,2(Т2Л))«1 + (^Е2,2(^2Л)(/ + Е2(Т2Л)) - ТЕ2(^2Л)Е2,2(Т2Л))«2) •

Литература

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987.

2. Глушак А.В., Примак И.М. Краевые задачи для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными / Научные ведомости БелГУ. Сер. Математика. Физика. - 2011. - №17(112). - Вып.24. - С.125-140.

3. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение / М.: Физматлит, 2003.

4. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка / М.: Наука, 2005.

5. Bajlekova E. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces / Ph. D. Thesis. Eindhoven University of Technology, 2001.

6. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М.: Наука, 1970.

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR ABSTRACT FRACTIONAL ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH A BOUNDED OPERATOR

I.M. Primak

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. Conditions of unique solvability of boundary value problems are found for abstract differential equations of fractional order with a bounded operator.

Key words: boundary value problem, fractional derivative, unique solvability.