CC BY
3ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (78) / 2022.
УДК 539.3
ёок10.24412/0136-4545-2022-1-25-31 ЕБШМЕМСМ
©2022. Е.С. Глушанков
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ ОПЕРТОЙ ПО КРАЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛИТЫ
Предложен приближенный метод решения задачи об изгибе свободно опертой по краю тонкой эллиптической ортотропной плиты, загруженной равномерно распределенным давлением по верхнему основанию. Было получено приближенное решение задачи в полиномиальном виде. С использованием полученного решения проведены численные исследования влияния свойств материала плиты на ее напряженное состояние.
Ключевые слова: теория изгиба тонких плит, ортотропный материал, эллиптическая плита, свободно опертый край, полиномиальные решения, функция прогиба, изгибающие и крутящие моменты.
Введение. В инженерной практике в качестве элементов конструкций широко применяются тонкие плиты. В процессе эксплуатации эти плиты подвергаются механическим воздействиям, которые могут приводить к их изгибу, что следует учитывать при проектировании и эксплуатации конструкций. Для решения задач теории изгиба тонких плит при небольших значениях прогиба была разработана прикладная теория изгиба, в основе которой лежат гипотезы Кирхгофа-Лява [1, 2]. К настоящему времени разработаны различные методы и решены многие задачи теории изгиба плит из изотропных и анизотропных материалов [3-8] .
В работе [9] был предложен способ решения задачи об изгибе свободно опертой тонкой эллиптической плиты. При построении решения удовлетворялось только одно граничное условие (накладываемое на значения прогиба плиты). Решение строилось с использованием вариационного метода Лагранжа-Ритца.
В данной работе предложено еще одно решение задачи об изгибе свободно опертой тонкой эллиптической плиты. При этом одно граничное условие удовлетворяется точно, а второе - приближенно. Проведены численные исследования, с помощью которых показана достаточная степень удовлетворения граничным условиям. Установлены закономерности влияния свойств материала плиты на значения моментов и прогиба в свободно опертой плите.
1. Постановка задачи теории изгиба тонких ортотропных плит. Рассмотрим отнесенную к декартовой системе координат Охуг тонкую плиту толщины 2Н (рис. 1), изготовленную из ортотропного материала. Срединная плоскость плиты лежит в плоскости Оху и занимает двумерную область 5. Пусть для каждой точки плиты имеется плоскость упругой симметрии, параллельная срединной плоскости. По верхнему основанию распределены нормальные усилия д(х,у). Край плиты свободно оперт.
Определение напряженно-деформированного состояния плиты сводится к интегрированию дифференциального уравнения [3] относительно неизвестной функции прогиба плиты w(x,y):
S11
d4w
Ъх1
+ 2 Si2 + 2S66
д w дх2ду2
~ d4w + ^22^4 =q{x,y),
(1)
где
Sij —
2tf 3
S
Sii Si2 S12 S22
aii ai2 a12 a22
ij
i
S66 — a66 '
(Цз — коэффициенты деформации материала плиты.
Уравнение (1) следует интегрировать при соответствующих граничных условиях. После этого прогиб плиты становится известным и по нему в любой точке плиты можно находить значения изгибающих моментов Мх, Му, крутящего момента Нху, выражения для которых с учетом ор-тотропности материала принимают следующий вид [3]:
2h
Рис. 1
дх2
ду2
ду2
дхду
Тогда становится возможным определение моментов и перерезывающих сил на произвольной площадке с нормалью n и касательной s [3]:
Mn = Mx cos2(nx) + My cos2(ny) — 2Hxy cos(nx) cos(ny),
Ms = Mx cos2(ny) + My cos2(nx) + 2Hxy cos(nx) cos(ny), Hns = (My — Mx) cos(nx) cos(ny) + Hxy (cos2(nx) — cos2(ny)) .
Граничные условия задачи имеют вид [2, 3]
w = 0, Mn = 0.
2. Постановка и решение задачи об изгибе эллиптической плиты. Рассмотрим тонкую эллиптическую ортотропную плиту c полуосями a и b (рис. 2). По верхнему основанию равномерно распределены нормальные усилия q = const. Край плиты свободно оперт.
В работе [9] было предложено искать решение задачи в виде
/ о
У
Рис. 2
W(x, У) = (^ + fî - l) (Ах2 + By2 + С)
(3)
(4)
(5)
x
z
где А, В, С - неизвестные постоянные. При этом функция прогиба и> тождественно удовлетворяет первому граничному условию (4), а постоянные А, В, С определяются из удовлетворения второму граничному условию (4).
Для моментов Мх, Му, Нху из (2) получаются следующие выражения:
2Л512а2 + 12АБцЪ2 + 2В812Ъ2 а2Ь2
Мх =----!--!-——х —
+
2А8па2 + 12В812а2 + 2В8ПЬ2 2
-Ш-У +
(2А8ц + 2В812)а2Ь2 - 2С812а2 - 2С811Ь2
а2Ь2 „
2Ав22а2 + 12^1262 + 2Б82252 2_ у ~ а2Ь2 Х
+
2АЗиа2 + 12 ВБ22а2 + 2Б^1262 (2АБх2 + 2ВБ22)а2Ь2 - 2С822а2 - 2СБ^Ь2
У2+
Нху — ху-
а2Ь2
8866 (Аа2 + ВЪ2) а2Ь2
Для ео8(пх), еов(пу) в случае эллиптического контура имеем
2
а2У
Ь2х ^
сое (пх) = , , сое (пу) =
л/Ъ4х2 + а4у2' л/Ъ4х2 + а4у2'
Подставим эти выражения сперва в (3), затем во второе граничное условие (4). Тогда после элементарных преобразований получим:
-2Л912а252 - 12Л9п54 - 2Б^1264 4 (-2АБпа21? ~ 12В812а2Ъ2 - 2Б8ц54 ^ Ж + ^ ^ +
, -2А822а4 - 12А812а252 - 2вЪ22а2Ъ2 ~ 2 2Л 2 2 Н--р--886б(^а + ВЪ ) I ж у +
-2А812а4 - 12В822а4 - 2ВБ12а2Ь2 4 +-р-У +
(2А8И + 2В812)а2Ь4 - 2СБ12а2Ь2 - 2С8ПЬ4 2
Н--5-Ж +
а2
(2А812 +2В822)а4Ь2 - 2С822а4 - 2С812а2Ь2 2 п +-р-У = (6)
Данное уравнение справедливо при значениях х и У, удовлетворяющих уравнению контура плиты
4 + С " 1 = 0. (7)
а2 Ь2
Тогда левая часть уравнения (6) (полином со слагаемыми порядков х4, х2у2, у4, х2 и у2) должна делиться нацело на левую часть уравнения контура (7) (полином со слагаемыми порядков х2, у2 и х0, у0). Следовательно, частное от деления вышеуказанных полиномов может иметь только слагаемые порядков х2 и у2. Тогда справедливым должно быть следующее соотношение:
-2А312а2Ь2 - 12АЗпЬ4 - 2Б§1254 4 ( -2АБцаЧ2 - иВБуаЧ2 - 2Б§ц54 ^ ж + ^ ~2 +
-2А§иа4 - 12В522(4 - 2ВвиаЧ2 4 +-Р-У +
(2А§11 + 2В§12)а2Ь4 - 2С§12а2Ь2 - 2С§11Ь4 2
Н--5-X +
а2
(2 А § 12 + 2В 6*22) а4 Ь2 - 2С 522а4 - 2С 512а2 Ь2 2
+-гт-у =
= {Ях2 + Ку2) (^ + ^-1) =0,
(8
где Л - неизвестные постоянные. Однако в общем случае соотношение (8) не выполняется точно. При этом, оно может выполняться с достаточно высокой точностью, поэтому можно находить приближенное решение задачи в виде (5).
Тогда из подстановки функции (5) в систему дифференциальных уравнений (1) и из представления (8) получим систему 6 линейных алгебраических уравнений относительно 5 неизвестных А, В, С, Q, К:
8 (3§ПЬ2 + ( §12 + 2§бб) а2) • А + 8 ( ( §12 + 2§бб) Ь2 + 3^а2) • В = д, 2 (б§ПЬ2 + §12а^ • А + 2§12Ь2 • В + а2 • Q = 0,
2§12а2 • А + 2 (2§12Ь2 + б§22а2^ • В + Ь2 • К = 0, 2 ( §иа2Ь4 + (б§12 + 8§бб) а4Ь2 + §22а^ • А+
+ 2 ( §цЬ6 + (б§12 + 8§бб) а2Ь4 + §22а4Ь2) • В+ + a4Ь2Q + а2Ь4К = 0, 2§ца2Ь2 • А + 2§12а2Ь2 • В - 2 (§ИЬ2 + §12а2) • С + а4 • Q = 0, 2§12а2Ь2 • А + 2§22а2Ь2 • В - 2 (§12Ь2 + §22а2) • С + Ь4 • К = 0. (9)
Полученная система является переопределенной, поэтому ее следует решать в постановке задачи наименьших квадратов. Для этого используем метод сингулярных разложений матрицы [10]. В результате станут известными постоянные
А, В, С, а следовательно, и функция w. После этого станет возможным определение значений моментов в любой точке плиты по формулам (2).
3. Численные исследования. Были проведены численные исследования для эллиптической пластинки из материалов: 1) стеклотекстолит КАСТ—В изотропный [11] (материал М1); 2) стеклопластик косоугольной намотки с наполнителем из алюмоборосиликатного стекла и связующим агентом из малеиновой эпоксидной смолы [12] (материал М2). Физико-механические постоянные этих материалов приведены в таблице 1.
Таблица 1. Постоянные материалов
Материал an, Ю-4 МП а а-22, Ю-4 МПа 112, Ю-4 МПа О'бб, Ю-4 МПа
М1 72,100 72,100 -8, 600 161,500
М2 10,000 2,800 -0, 770 27, 000
В таблице 2 для опертой круговой плиты (b = a) приведены расчетные значения моментов Mn, Ms, Hns в некоторых точках контура плиты с центральным углом в, отсчитываемым от положительного направления оси Ox.
Таблица 2. Значения моментов в точках контура круговой плиты
0, рад. Материал М1 Материал М2
м„, ю-2 Ма, Ю-2 Hns, Ю-2 м„, ю-2 Ms, Ю-2 Hns, Ю-2
0 0,000 11,009 0,000 -0,619 13,403 0,000
тг/12 0,000 11,009 0,000 0,094 12,093 2,409
тг/6 0,000 11,009 0,000 1,542 9,014 3,306
тг/4 0,000 11,009 0,000 2,337 5,992 2,451
7г/3 0,000 11,009 0,000 1,766 4,336 0,940
5тг/12 0,000 11,009 0,000 0,482 3,989 0,043
тг/2 0,000 11,009 0,000 -0,171 4,045 0,000
В таблице 3 приведены значения Мп-102 в некоторых точках круговой плиты, получаемые при использовании подхода, предложенного в работе [9], и подхода, предложенного в данной работе.
Из данных таблицы 2 видно, что для изотропного материала М1 данный подход позволяет достичь точного удовлетворения граничным условиям. Для ортотропного материала М2 полученные расчетные значения момента Мп оказываются достаточно малыми по сравнению с расчетными значениями момента М3, но не пренебрежимо малыми.
В то же время, из данных таблицы 3 следует, что предложенный в данной работе подход позволяет получить несравнимо лучшие результаты по сравнению с подходом, предложенным в работе [9].
Из представленных в работе результатов и других полученных данных следует, что на значения изгибающих моментов существенно влияет анизотропия
Таблица 3. Значения моментов в точках контура круговой плиты
б, рад. Материал Ml Материал М2
Статья [9] Данная статья Статья [9] Данная статья
0 -3626, 346 0,000 -74259,120 -0,619
тг/12 -1238,044 0,000 -12109,503 0,094
7г/6 5286,919 0,000 227576,621 1,542
тг/4 14200,183 0,000 720355, 974 2,337
7г/3 23113,448 0,000 1404078, 939 1,766
5тг/12 29638,411 0,000 2025652, 288 0,482
тг/2 32026,713 0,000 2278745,518 -0,171
упругих свойств материала плиты. Так, значения изгибающих моментов по направлениям с меньшими значениями коэффициентов деформации (с большей жесткостью) превосходят значения изгибающих моментов по направлениям с большими значениями коэффициентов деформации (с меньшей жесткостью).
Выводы. В работе представлено приближенное решение задачи об изгибе свободно опертой эллиптической плиты. Был проведен сравнительный анализ предложенного метода с одним известным из литературы подходом; в результате анализа была установлена высокая эффективность предложенного в данной работе метода. Представлены некоторых результаты численные исследований влияния свойств материала плиты на значения изгибающих моментов в плите.
1. Love A.E.H. On the small free vibrations and deformations of elastic shells / A.E.H. Love // Philosophical trans. of the Royal Society. - 1888. - Vol. serie A, No. 17. - P. 491-549.
2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехницкий. - М.: Гостехиздат, 1957. -463 с.
3. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. - М.: Наука, 1966. - 636 с.
4. Mansfield E.H. The bending and stretching of plates / E.H. Mansfield. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989. - 228 p.
5. Космодамианский А.С. Напряженное состояние анизотропных сред с отверстиями или полостями / А.С. Космодамианский. - Киев-Донецк: Вища шк., 1976. - 200 с.
6. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных анизотропных плит / С.А. Калоеров // Теорет. и прикладная механика. - 2012. - Вып. 4 (50). - С. 113-132.
7. Калоеров С.А. Комплексные потенциалы теории изгиба многосвязных изотропных плит / С.А. Калоеров // Теорет. и прикладная механика. - 2013. - Вып. 7 (53). - С. 83-100.
8. Калоеров С.А. Решения задач изгиба тонких плит для канонических областей / С.А. Калоеров, А.И. Занько, А.А. Кошкин // Теорет. и прикладная механика. - 2014. - Вып. 9 (55).
- С. 99-138.
9. S'idorin Ya.S. Bending of simply supported orthotropic elliptical plates. 1. Bending in accordance with the «straight normals» hypothesis / Ya.S. Sidorin // Polymer Mechanics. - 1977.
- No. 13. - P. 875-877.
10. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Малькольм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 280 с.
11. Космодамианский А.С. Температурные напряжения в многосвязных пластинках / А.С. Космодамианский, С.А. Калоеров. - Киев-Донецк: Вища шк., 1983. - 160 с.
12. Хорошун Л.П. Термоупругие постоянные стеклопластика косоугольной намотки / Л.П. Хо-рошун, А.Х. Меликбекян, П.Г. Шишкин // Прикладная механика. - 1979. - Т. 15, вып. 1. - С. 13-18.
E.S. Glushankov
The approximate solution of the bending problem of simply supported elliptic ortho-tropic plate.
An approximate method is proposed for solving the bending problem of simply supported elliptic thin orthotropic plate loaded with uniformly distributed pressure along the upper base. The approximate solution is obtained in polynomials. The numerical studies of the influence of plate's material properties on the plate's stress state are carried out with using of this solution. Keywords: bending theory of thin plates, orthotropic material, elliptic plate, simply supported bound, polynomial solutions, deflection function, bending and twisting moments.
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк Получено 22.11.21
Donetsk National University, Donetsk
evgenij.glushankov@gmail.com
