Приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рз, 1 уч-к По, ° ° ° Ii, ° Д^1, рад Д^2 = Д^з, рад Д^4, рад

+pmax 66 210 64, 8 215 3, 229326 1, 352621 2, 820122

pmax 66 210 64, 8 215 2, 223588 1, 358245 2, 938439

+pmax 70 240 64, 8 215 0,491153 2, 999735 4, 455259

3. Рассмотрим частный случай четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты КА при условии равенства двух внутренних участков активного движения КА и двух крайних участков:

= = у.

Из второго уравнения системы (3) в этом случае получим

X + у = Ш*[ arctan(-Al3)/A2,3)) + nk - /2] = Ck, k е Z. (4)

Из остальных уравнений системы (3) с учетом (4) следует уравнение

Q С\

A cos x + B cos x + C cos x + D = 0,

где A,B,C,D - известные величины.

Таким образом, в рассматриваемом частном случае решение задачи свелось к решению алгебраического уравнения третьего порядка относительно cos x.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. И.А. Панкратов, Ю.Н. Челноков. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 210-213.

УДК 533.6.011

Я.Г. Сапунков

ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ

В статье в автомодельных переменных в элементарных функциях получено приближенное решение задачи для цилиндрической и сферической сходящейся ударной волны в области между ударной волной и предельной характеристикой, ограничивающей область влияния возмущенного движения газа на ударную волну. Для определения показателя степени в автомодельной переменной получено нелинейное уравнение, численное решение которого отличается от показателя в полной автомодельной задаче в четвертом знаке после запятой.

1. Движение идеального совершенного газа с отношением теплоемкостей Y в задаче о сходящейся ударной волне цилиндрической (v =1) или сфери-

ческой (v ми [1, 2]

= 2) формы в переменных Л, V, R, Z описывается уравнения-

dV = Ai (V, Z) d ln R = Д2 (V, Z)

До (V, Z)

d ln Л

dZ

d ln Л

До (V, Z) A3 (V, Z)

" До (V, Z)

d ln Л

До = (V - а)2 - Z.

(1)

Автомодельные переменные Л, V, Я, Z связаны с размерными независимыми переменными г — расстоянием от оси или центра симметрии, £ — временем и искомыми V — скоростью, р — плотностью, р — давлением соотношениями

,2

Л=

r

r,

A (-t)

v = - V, t

D P0 Г ~ D

p = p0R, p = — -г ZR .

Y t2

Закон движения сходящейся ударной волны до момента ее фокусировки (£=0) имеет вид г = г5 (£) = А (—£)а , £ < 0 .

Граничные условия на поверхности ударной волны при Л = 1 имеют вид

v (1) = v, = yri- r (1) = r. = y—

z (d = z, = •

(2)

Условия вдали от ударной волны при Л ^ то: V = 0, Z = 0 . Показатель степени а определяется из условия, что интегральная кривая дифференциального уравнения

dz = Дз (V, Z)

dV Д1 (V,Z) (3)

должна проходить на плоскости OVZ через точку S с координатами Vs, Z, и особую точку с координатами Vb , Zb уравнения (3), в которой Д1(Ув, Zb ) = = 0, Дз (Vb , Zb) = 0, До (Vb , Zb) = 0.

Особая точка соответствует на плоскости Ort предельной характеристике, которая ограничивает область влияния течения за ударной волной на ударную волну.

2. Функции Д^ (i = 1, 2,3) можно выразить через До и Д4

Д4 (V) = vV2 - (v +1) а + 2 (1 - а) - 1 V + 2^ (1 - а) Д4 (Vb) = 0.

С учетом (4) система уравнений (1) принимает вид

(4)

dV

d ln Л d ln R

d ln Л

dZ

d ln Л

2

(v +1) V - -(1 - а)

Y

2(1 - а) Д4

+ (V - а)Д ,

До

Y (V - а) До

= -Av^- V -

V — а

1 + а (y - 1)

Y

+ (Y - 1) t

Для упрощения системы (5) в области между ударной волной и предельной характеристикой отношение Д4 / До положим постоянным и равным его значению в точке S, соответствующей на плоскости ОУИ ударной волне:

Д

До

2

а (7 - 1)

Л , \ 7 - 1

2--(1 — а) — V«-

ч ^ 7 +1

= К

(6)

Решение упрощенных уравнений (5) с учетом (6), удовлетворяющее граничному условию (2), имеет вид

V Я

А + (У - А) Л+1-к),

«1 / ТЛ Л«!

А _ 2(1-а) -а7К А _ 7 (V +1-Я-)

_ Яс

а-У

У-А Уя- А

2 _

-уа)

У-А Уя- А

в2

в 1 в 2

1 — а

1 - а [(V +1) 2 +1]

в 2 _

Ь1 _ -в

1+ 7К - V - а [2 + 7К + (у +1) (7 - 1) (1 + 2К)]

К) {1 - а [(V + 1) 2+1]} '

(V +1) [1 - а (1 + 2 К)]

{1 - а [(V +1) 2 +1]} (2 +1 - К)

V +1

Ь 2

3. Для определение показателя степени в законе движения ударной волны вычислим координаты особой точки :

Ув _ ¿1 (V + 1 - 2 )а + 2 - 1±

7,

=Ь

V + 1- 2 а + 2-1

1 1

- 8vа (1 - а)

_ (а - Ув)2.

V

Тогда для определения а получим уравнение

_ (а - Ув )д -2 ( Ув - А V32 1 0 23 (а - Уз )А ^ 1_0 ■

(7)

Численное решение уравнения (7) дает значения для показателя автомо-дельности, близкие к значениям, которые получаются из решения полной автомодельной задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М: Наука, 1971. 856 с.

2. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М: Наука, 1966. 688 с.

2