CC BY
28
Рз, 1 уч-к По, ° ° ° Ii, ° Д^1, рад Д^2 = Д^з, рад Д^4, рад
+pmax 66 210 64, 8 215 3, 229326 1, 352621 2, 820122
pmax 66 210 64, 8 215 2, 223588 1, 358245 2, 938439
+pmax 70 240 64, 8 215 0,491153 2, 999735 4, 455259
3. Рассмотрим частный случай четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты КА при условии равенства двух внутренних участков активного движения КА и двух крайних участков:
= = у.
Из второго уравнения системы (3) в этом случае получим
X + у = Ш*[ arctan(-Al3)/A2,3)) + nk - /2] = Ck, k е Z. (4)
Из остальных уравнений системы (3) с учетом (4) следует уравнение
Q С\
A cos x + B cos x + C cos x + D = 0,
где A,B,C,D - известные величины.
Таким образом, в рассматриваемом частном случае решение задачи свелось к решению алгебраического уравнения третьего порядка относительно cos x.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. И.А. Панкратов, Ю.Н. Челноков. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 210-213.
УДК 533.6.011
Я.Г. Сапунков
ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В статье в автомодельных переменных в элементарных функциях получено приближенное решение задачи для цилиндрической и сферической сходящейся ударной волны в области между ударной волной и предельной характеристикой, ограничивающей область влияния возмущенного движения газа на ударную волну. Для определения показателя степени в автомодельной переменной получено нелинейное уравнение, численное решение которого отличается от показателя в полной автомодельной задаче в четвертом знаке после запятой.
1. Движение идеального совершенного газа с отношением теплоемкостей Y в задаче о сходящейся ударной волне цилиндрической (v =1) или сфери-
ческой (v ми [1, 2]
= 2) формы в переменных Л, V, R, Z описывается уравнения-
dV = Ai (V, Z) d ln R = Д2 (V, Z)
До (V, Z)
d ln Л
dZ
d ln Л
До (V, Z) A3 (V, Z)
" До (V, Z)
d ln Л
До = (V - а)2 - Z.
(1)
Автомодельные переменные Л, V, Я, Z связаны с размерными независимыми переменными г — расстоянием от оси или центра симметрии, £ — временем и искомыми V — скоростью, р — плотностью, р — давлением соотношениями
,2
Л=
r
r,
A (-t)
v = - V, t
D P0 Г ~ D
p = p0R, p = — -г ZR .
Y t2
Закон движения сходящейся ударной волны до момента ее фокусировки (£=0) имеет вид г = г5 (£) = А (—£)а , £ < 0 .
Граничные условия на поверхности ударной волны при Л = 1 имеют вид
v (1) = v, = yri- r (1) = r. = y—
z (d = z, = •
(2)
Условия вдали от ударной волны при Л ^ то: V = 0, Z = 0 . Показатель степени а определяется из условия, что интегральная кривая дифференциального уравнения
dz = Дз (V, Z)
dV Д1 (V,Z) (3)
должна проходить на плоскости OVZ через точку S с координатами Vs, Z, и особую точку с координатами Vb , Zb уравнения (3), в которой Д1(Ув, Zb ) = = 0, Дз (Vb , Zb) = 0, До (Vb , Zb) = 0.
Особая точка соответствует на плоскости Ort предельной характеристике, которая ограничивает область влияния течения за ударной волной на ударную волну.
2. Функции Д^ (i = 1, 2,3) можно выразить через До и Д4
Д4 (V) = vV2 - (v +1) а + 2 (1 - а) - 1 V + 2^ (1 - а) Д4 (Vb) = 0.
С учетом (4) система уравнений (1) принимает вид
(4)
dV
d ln Л d ln R
d ln Л
dZ
d ln Л
2
(v +1) V - -(1 - а)
Y
2(1 - а) Д4
+ (V - а)Д ,
До
Y (V - а) До
= -Av^- V -
V — а
1 + а (y - 1)
Y
+ (Y - 1) t
Для упрощения системы (5) в области между ударной волной и предельной характеристикой отношение Д4 / До положим постоянным и равным его значению в точке S, соответствующей на плоскости ОУИ ударной волне:
Д
До
2
а (7 - 1)
Л , \ 7 - 1
2--(1 — а) — V«-
ч ^ 7 +1
= К
(6)
Решение упрощенных уравнений (5) с учетом (6), удовлетворяющее граничному условию (2), имеет вид
V Я
А + (У - А) Л+1-к),
«1 / ТЛ Л«!
А _ 2(1-а) -а7К А _ 7 (V +1-Я-)
_ Яс
а-У
У-А Уя- А
2 _
-уа)
У-А Уя- А
в2
в 1 в 2
1 — а
1 - а [(V +1) 2 +1]
в 2 _
Ь1 _ -в
1+ 7К - V - а [2 + 7К + (у +1) (7 - 1) (1 + 2К)]
К) {1 - а [(V + 1) 2+1]} '
(V +1) [1 - а (1 + 2 К)]
{1 - а [(V +1) 2 +1]} (2 +1 - К)
V +1
Ь 2
3. Для определение показателя степени в законе движения ударной волны вычислим координаты особой точки :
Ув _ ¿1 (V + 1 - 2 )а + 2 - 1±
7,
=Ь
V + 1- 2 а + 2-1
1 1
- 8vа (1 - а)
_ (а - Ув)2.
V
Тогда для определения а получим уравнение
_ (а - Ув )д -2 ( Ув - А V32 1 0 23 (а - Уз )А ^ 1_0 ■
(7)
Численное решение уравнения (7) дает значения для показателя автомо-дельности, близкие к значениям, которые получаются из решения полной автомодельной задачи.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М: Наука, 1971. 856 с.
2. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных явлений. М: Наука, 1966. 688 с.
2
