Второе приближение решения задачи о сходящейся ударной волне Текст научной статьи по специальности «Математика»

Заключение. В работе продолжены исследования, начатые в [1], предложен алгоритм нахождения начальных условий интегрирования сопряжённых дифференциальных уравнений краевой задачи переориентации круговой орбиты КА. Выявлены основные трудности численного решения задачи: периодичность по "времени"^!, неоднозначность нахождения начальных условий. Эти проблемы требуют дальнейшего изучения.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Мд08-01-00 310).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 231-234.

Я.Г. Сапунков

УДК 533.6.011

ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ

В статье получено аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне во втором приближении в области между поверхностью ударной волны и предельной характеристикой. Приводятся значения показателей авто-модельности в зависимости от отношения теплоемкостей, полученных на основе полных уравнений и первых двух приближенных решений.

1. В работе [1] показано, что уравнения движения идеального совершенного газа в задаче о сходящейся ударной волне в безразмерных автомодельных переменных могут быть приведены к виду

(V (1п Л

2

(V + 1) V — (1 - а)

1

2(1 - а)

+ ^ - а)Д, Д0

( 1п Л

= - Z•

(1п Я ( 1п Л 2

V — а

V -

7 (V - а) 1 + а (7 - 1)

7

Д4 До:

(1)

+ С - ^

где Д4 (V) = vV2- (V + 1) а + 2 (1 - а) - 1 V+2а (1 - а) До = (V - а)2-^^ ^есь 7 — отношение теплоемкостей, а — показатель автомодельности в законе движения ударной волны, V =1 соответствует цилиндрической симметрии, V = 2 — сферической симметрии. Размерные переменные связаны с автомодельными переменными соотношениями

г г ро г

Л = а (-¿)а, У = Р = РоЯ Р =

Закон движения сходящейся ударной волны r = r, (t) = A (-t)a , t < 0. Начальная плотность газа p0 = const. Граничные условия для автомодельных переменных на поверхности ударной волны

V (1) = К, = ^ R (1) = R, = Y+1, Z (1) = Z, = ^ (Y~^. (2)

Y + 1

Y - 1

(Y + 1)2

2. Для упрощения системы (1) отношение Д4/Д0 в первом приближении в [1] полагалось постоянной величиной, во втором приближении положим линейной функцией V в окрестности точки S, соответствующей на плоскости О\ г/ ударной волне, т. е.:

Д 2

-Д = K + a(V - V,), K =--(--

До a (Y - 1)

2 - - ) (1 - a) - vaY—1

ч YJK J Y+1

1

a =

Д

2vV —

0s

2

(v + 1) a + -(1 - a)

Y

K

2 (V - a) - Дз

Решение упрощенных уравнений, с учетом условий (2) имеет вид

V - С1

V = c1 + c2tg arctg-

С2

+ c2a ln Л ,

R = R,

1

(V - ci)2 + c2 (V, - ci)2 + c2

0.5Mi

V-a

No

\V, - a

C2 (V - V,)

ехЫ — (Мо + M^O arctg, , \C2 c2 + (V - ci)(Vs - ci) J

Z = Z,

(V - ci)2 + c2 (V, - ci)2 + c2

0.5D

1 'V-a\Eo

V, - a

f1(D + D ) * c2 (V - V,) ^

ехЫ — (D0 + DicJ arctg ^ -—-г ,

\c2 c2 + (V - ci) (V, - ci)7

ci =

+ 1 + a (V, + a) - K],c2 = W 1 2a a

2

-(1 - a) - a (K - aV,)

N0 =

2(1 - a)

aY

(a - ci)2 + c2 K

., Mi = -1 - N0,

M0 = aMi + 2N0ci--+ (V, + a), E0 = -N0,

a

c

Di = y + 1 - E0, D0 = aDi + 2E0ci - ~[2 + (7 - 1) (K - a(V, + a))].

a

,

3. Координаты особой точки В, соответствующей предельной характеристике, в которой До = О, Д4 = 0, имеют вид

2\ 2

V + 1--а +---1±

1) 7

±

22

V + 1--а +---1

1 7

а

- (1 - а) |, (И)

7

= (Ув - а)2 .

Для определения а вместе с соотношениями (3) служит уравнение

(3)

^в =

(Ув - С1)2 + с2

22

(V - С1 )2 + с

/ Ув - а\ Ео

К- а

х

(1<п^п ^ * С2 (Ув - Уд) ^

х ехЫ — (^о + Ас^ аг^ ^ -—-Г .

\С2 С2 + (Ув - С1) (У - С1))

(4)

Уравнение (4) решается численно методом Ньютона. Начальное приближение значения показателя автомодельности а0 определялось из условия, что корни уравнения Д4 (У) = 0 являются кратными. Расчеты для цилиндрической симметрии показывают, что для 7 = 1.4 значение показателя автомодельности, полученного на основе полных уравнений, а = 0.835306, на основе аналитического решения в первом приближении а = 0.835440, во втором приближении а = 0.835321. Для случая сферической симметрии расчеты показывают, что для 7 = 1.4 значение показателя автомодельности, полученного па основе полных уравнений, а = 0.717146, на основе аналитического решения в первом приближении а = 0.717423, во втором приближении а = 0.717179. Проводились расчеты для различных значений отношения теплоемкостей от 7 = 1.1 до 7 = 1.8. Расчеты показали, что приближенные значения показателей автомодельности обладают достаточной точностью. При этом с увеличением значения отношения теплоемкостей и в первом и во втором приближении точность определения показателя автомодельности возрастает. Начальное приближение для а в случае цилиндрической симмет-

рии

ао =

2 - 7 + 7 ^27 + 72 2(1 + 72)

в случае сферической симметрии

= 4 + 47 ^ + 37 2 ао = 4 + 47 + 972 '

2

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Сапунков Я. Г. Приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9. С. 145-147.

УДК 629.78

Я.Г. Сапунков, A.B. Молоденков, А.Н. Державина

ОПТИМАЛЬНЫЙ ВЫВОД ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ

НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ НА ПРОГРАММНОЕ ДВИЖЕНИЕ С УЧЕТОМ СОПРОТИВЛЕНИЯ СРЕДЫ

Решение задачи оптимального управления о выводе твердого тела с одной неподвижной точкой на программное движение с учетом момента сопротивления принципом максимума Понтрягина сводится к решению краевой задачи, которая решается методом Ньютона. Приводятся результаты численного решения задачи с учетом и без учета сопротивления среды.

1. Вращательное движение твердого тела с одной неподвижной точкой под действием управляющего момента М и момента сил сопротивления — (в + М) U (А = const > 0, i = 1, 2) описывается системой уравнений [1]:

^ = 1l (Л) и , dr = RoM — Ri Ми (1)

где t — врем я; Л = (Л0, Л1, Л2, Л3) — кватернион положени я тела; и = (и1, и2, и3) — вектор угловой скорости и его проекции па оси подвижной системы координат, оси которой совпадают с главными осями инерции для неподвижной точки тела; A,B,C — главные моменты инерции, L (Л) , R0 , R1 (и) — матрицы, определенные в [1]. На управляющий момент наложено ограничение

|M| < M*. (2)

Вращательное программное движение тела описывается кватернионным соотношением Л = Лрг^), 0 < t < то. Вектор угловой скорости программного движения upr(t) связан с Лрг^) уравнением

df = 2L (ЛРГ) Upr (t) .

t

Л = An , и = uN. (3)

Условие вывода управляемого тела на программное движение при t = tT=?

vect ^A (tT) о ÄprJ = 0, и = upr . (4)