CC BY
20
па = C3(g2 + cl9s),i = 1, 2,3 (9)
Здесь y = Jx + K = (p0)1/2 Joz + K, и ПРИ K = const система (9) становится автономной [2-4].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Ольшанский В.Ю. Квадратичные интегралы и приводимость уравнений движения сложной механической системы в центральном поле / / Прикладная математика и механика, Т.65, вып. 1, 2001, С, 36-50,
2, F.de Brun. Rotation kring en fix punkt, Ofversigt of Kongl Svenska Vetenskaps — Akademiens Vorhandlingar. Stookholm, 1893,
3, Koob G. Sur le problème de la rotation d un corps autour d un point fixe. Bulletin de la Société Mathématique, 1895, V, 23,
4, Харламова Е.И. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в центральном ньютоновском поле сил. Изв. Сибир, отд. АН СССР, 1959, .Y"6.
УДК 629
И.А. Панкратов, Ю. Н. Челноков
К ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОЙ В СМЫСЛЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
В [1] было показано, что в случае переориентации круговой орбиты космического аппарата (КА) исходная дифференциальная краевая задача оптимального управления, имеющая размерность, равную 10, может быть сведена ( в случае быстродействия ) к краевой задаче размерности 3, описываемой дифференциальными уравнениями линии переключения
= ^2, — = -VI + — = —КУ2, (1)
2
где к = u, r = Рог = const.
В уравнениях (1) r — модуль радиуса-вектора r центра масс КА, c — постоянная площадей, р — истинная аномалия, рог — параметр орбиты, управление u — алгебраическая величина реактивного ускорения, перпендикулярного плоскости орбиты КА (-umax < u < umax); Vj — переменные, связанные с фазовой кватернионнной переменной Л и сопряжённой кватер-нионной переменной до соотношением v = vect(Л о до).
Так как переменные Vk ,k = 1, 2,3 есть функции сопряжённых переменных, то их начальные значения Vk0 неизвестны. Для их нахождения было проанализировано аналитическое решение системы (1) на различных участках управляемого движения. Был найден период T функции переключения управления:
T = 2[п ± 2 arcsin(-D/a)]/k,
где a = [(vio - D)2 + (v2o/k)2]1, D = к/(1 + к2)(^зо + Kvio), v%q = Vi(to), k = (1 + к2) 2.
Верхний знак берётся, если на первом активном участке движения КА управление u = -umax, нижний — в противном случае. Можно убедить-
D,
получается одно и то же значение периода T.
Следуя [1], была построена система трёх нелинейных алгебраических уравнений для нахождения значений переменных v1, v2 в начальный момент времени и " длительности "управляемого движения В безразмерных переменных эта система имеет вид:
A(<£i)z7io + B(<£i)z?20 + Cii sin + Ci2 cos <£i = 1,
az/fo + e^io ^20 + Y ^io + Ö ^20 + б
+ C2i sin2 ^i + C22 sin(2^i) = Z, (2)
D3i ^i2o + D32 ^io^2o + D33 ^io + D34 ^2o + D35 +
+ C3i sin2 ^i + C32 sin(2^i) = R.
Здесь a, в, y, Ö, б, Cij, Dkm, Z, R — величины, выражаемые через известные параметры задачи, vi;2 = 2c/(±umaxr)^i;2, A(^i), B) — линейные комбинации тригонометрических функций от
В системе (2) можно перейти к новым независимым переменным Ni, N2, N3, связанным с неизвестными vi, v2, v3 соотношениями
vi = Ni cos + N2 sin , v2 = —Ni sin + N2 cos , v3 = N3.
Это приводит к некоторому упрощению коэффициентов при неизвестных. Вид системы остаётся прежним.
Система (2) решалась с использованием программы, разработанной на языке С++ для операционной системы Linux. Использовался метод градиентного спуска решения системы нелинейных уравнений. Рассматривались два варианта: с малым и большим отклонениями между начальной и конечной ориентациями орбит. Лучшая сходимость метода была отмечена для малых отклонений. При большом отклонении вначале минимизировался функ-3
ционал Li = ^ /2. Здесь /¿, i = 1, 2,3 — левые части уравнений системы
i=i
(2), записанных в виде fi = 0. Затем найденные значения z/io, z/2o, исполь-
3
зовались в качестве начальных при минимизации функционала L2 = ^ | /i |.
i=i
При малом отклонении сразу минимизировался функционал L2. Примеры результатов численного решения приведены в таблицах. (В них Io —
долгота восходящего узла и наклонение орбиты КА для начального момента времени; 1х — для конечного.) Основными трудностями являются неединственность решения системы (2), периодичность по "времени"
Характерные величины: ртах = 0.101907 м/с2, г = 26000000 м, = = 87°, 1о = 80°.
Малое отклонение орбит: = 85°, 1х = 79°.
V10 V30 рад ¿1 ¿2
1.0060 3.4664 -19.488 3.7377 6 ■ 10-8 3 ■ 10-4
0.3866 -1.4883 28.392 3.1623 10-9 3 ■ 10-5
-0.6671 -1.6384 44.512 3.0834 10-9 2 ■ 10-6
-0.7127 -1.6445 45.215 3.0820 10-9 1 ■ 10-6
Большое отклонение орбит: = 94°, 1х = 65°.
^0 V30 <Ръ рад ¿1 ¿2
-0.2882 1.1601 -0.2499 3.0880 10-9 3■10-5
0.5492 0.8975 -0.2410 3.8456 10-9 2■10-5
0.1172 1.1234 -0.2840 3.4032 10-9 2■10-5
-0.2712 3.0525 -1.1231 4.4617 10-9 6■10-6
На рисунке приведены законы изменения сопряжённых переменных V для их начальных значений, приведённых в четвёртой строке второй таблицы. (Кривая vх = VI— линия переключения управления.)
Рис. 1. Законы изменения сопряжённых переменных
Заключение. В работе продолжены исследования, начатые в [1], предложен алгоритм нахождения начальных условий интегрирования сопряжённых дифференциальных уравнений краевой задачи переориентации круговой орбиты КА. Выявлены основные трудности численного решения задачи: периодичность по "времени"^!, неоднозначность нахождения начальных условий. Эти проблемы требуют дальнейшего изучения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Мд08-01-00 310).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Челноков Ю. Н. Оптимальная переориентация орбиты космического аппарата посредством реактивной тяги, ортогональной плоскости орбиты // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 231-234.
Я.Г. Сапунков
УДК 533.6.011
ВТОРОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В статье получено аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне во втором приближении в области между поверхностью ударной волны и предельной характеристикой. Приводятся значения показателей авто-модельности в зависимости от отношения теплоемкостей, полученных на основе полных уравнений и первых двух приближенных решений.
1. В работе [1] показано, что уравнения движения идеального совершенного газа в задаче о сходящейся ударной волне в безразмерных автомодельных переменных могут быть приведены к виду
¿V й 1п Л
2
(V + 1) V — (1 - а)
7
2(1 - а)
+ ^ - а)Д, Д0
й 1п Л
= - Z•
й 1п Я й 1п Л 2
V — а
V-
7 (V - а) 1 + а (7 - 1)
7
Д4 До:
(1)
+ С - ^
где Д4 (V) = vV2- (V + 1) а + 2 (1 - а) - 1 V+2а (1 - а) До = (V - а)2-^^ ^есь 7 — отношение теплоемкостей, а — показатель автомодельности в законе движения ударной волны, V =1 соответствует цилиндрической симметрии, V = 2 — сферической симметрии. Размерные переменные связаны с автомодельными переменными соотношениями
г г ро г
Л = а (-¿)а, У = Р = РоЯ Р =
