Четырехимпульсная переориентация круговой орбиты космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629

И.А. Панкратов, Ю.Н. Челноков

ЧЕТЫРЕХИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

В статье рассмотрена задача четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты космического аппарата (КА). Построено численное решение полученной системы уравнений при условии равенства длин двух внутренних участков активного движения КА. В частном случае, когда равны к тому же длины первого и четвёртого участков активного движения КА, найдено аналитическое решение задачи.

1. Рассмотрим перевод круговой орбиты КА из начального состояния, задаваемого кватернионом ориентации Л(£0) = Л0, в конечное состояние, задаваемое кватернионом ориентации Л(£*) = Л*, с помощью управления р3 = ±ртах при наличии трёх точек переключения управления в моменты времени ¿1,^2,^3 (четырех участков активного движения).

В рассматриваемом случае кватернионы Л0 и Л* связаны соотношением

Здесь г - радиус орбиты, с - постоянная площадей; Д^к = ^к — ^к—1 - приращение на к-м участке траектории истинной аномалии характеризующей положение КА на орбите; 12,13 - векторные мнимые единицы Гамильтона.

2. Поставим задачу четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты КА при условии равенства двух внутренних участков активного движения КА: зная Л0 и Л*, найти длительности (в радианной мере) четырех участков активного движения Д^1, Д^2, Д^3, Д^4 при условии, что

[1]:

О ДЛ1(Д^1) о ДЛ2(Д^2) О ДЛ3(Д^3) О ДЛ4(Д^4), (1)

ДЛк(Д^к) = 0О8(ы*Д^к/2) + МЕ/ы*)8т(ы*Д^к/2), к = 1, 2,3,4;

для четного к Ш*к = Т (г3/с2)Ртах^1 + 13, для нечетного к Шк = ± (г3/с2)Ртах^1 + 13.

и*Д^2 = и *Д^3 = х.

(2)

Отметим, что поставленная задача вытекает из решения задачи оптимального (в смысле быстродействия) разворота орбиты КА с помощью принципа максимума. Это решение сводится к нахождению времени оптимального движения количества активных участков движения КА и их длительностей (величин Д^, г = 1, 2,...,п). Условие (2) следует из результатов численного решения вышеуказанной задачи оптимальной переориентации орбиты КА. В [1] было найдено аналитическое решение данной задачи при х = п.

После ряда преобразований уравнения (1) приходим к системе четырёх нелинейных трансцендентных уравнений относительно трёх переменных Дь Д4,х :

(сов2(х/2) + ац вт2(х/2)) соб^^ сов(Д4) — а12 б1п(х) Бт(Д1 + Д4) +

+а13 б1п(Д1) вт(Д4) сов2(х/2) + а14 б1п(Д1) вт(Д4) вт2(х/2) = = Л03) со8(^*) — Л33) й1п(^*), ±а21 б1п(Д1 — Д4) сов2(х/2) ± а22 Бт(Д1 — Д4) вт2(х/2) =

= Л13) сов(^*) + Л23) й1п(^*), (3)

Та31 б1п(Д1) вт(Д4) сов2(х/2) ± а32(2 соб(Д1) сов(Д4) + а33 б1п(Д1) вт(Д4)) ^

Та34 Б1П(Д1 + Д4) = Л23) сов(^*) — Л13) ), а41 соб(Д1 + Д4) Бт(х) + а42 Бт(Д1 + Д4) сов2(х/2) + +а4з вт(Д1 + Д4) = Л33) сов^*) + Л03) вт(<£*). Здесь а^ - известные величины, = ^0/2 + (Д1 + х + Д4)/ы*; Д1 = = (1/2)ы*Д^1; Д4 = (1/2)ы*Д^4; и = (гз/с2)ртах; Л^3) - величины, выражаемые через известные параметры задачи; верхний знак берется, если на первом активном участке движения КА рз = +ртах, нижний - в противном случае.

Четыре уравнения (3) связаны условием нормировки: суммы квадратов левых и правых частей равны единице. Поэтому можно решать любые три из них, исключённое же уравнение используется для контроля.

Полученная система уравнений решалась с использованием метода Ньютона. Параллельно для контроля производились расчёты с использованием пакета MathCad 2003. В качестве конечной ориентации брались долгота восходящего узла и наклонение 11 спутниковой орбитальной системы ГЛО-НАСС. Примеры результатов приведены в таблице.

Характерные величины: ртах = 0,101907 м/с2, г = 26000000 м.

Отметим, что хорошая сходимость вычислительного процесса наблюдалась в случаях, когда разница между и не превышала 5°, а разница между 10 и 11 - 35°.

Рз, 1 уч-к По, ° ° ° Ii, ° Д^1, рад Д^2 = Д^з, рад Д^4, рад

+pmax 66 210 64, 8 215 3, 229326 1, 352621 2, 820122

pmax 66 210 64, 8 215 2, 223588 1, 358245 2, 938439

+pmax 70 240 64, 8 215 0,491153 2, 999735 4, 455259

3. Рассмотрим частный случай четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты КА при условии равенства двух внутренних участков активного движения КА и двух крайних участков:

= = у.

Из второго уравнения системы (3) в этом случае получим

X + у = Ш*[ arctan(-Al3)/A2,3)) + nk - /2] = Ck, k е Z. (4)

Из остальных уравнений системы (3) с учетом (4) следует уравнение

Q С\

A cos x + B cos x + C cos x + D = 0,

где A,B,C,D - известные величины.

Таким образом, в рассматриваемом частном случае решение задачи свелось к решению алгебраического уравнения третьего порядка относительно cos x.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. И.А. Панкратов, Ю.Н. Челноков. Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления// Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 8. С. 210-213.

УДК 533.6.011

Я.Г. Сапунков

ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ

В статье в автомодельных переменных в элементарных функциях получено приближенное решение задачи для цилиндрической и сферической сходящейся ударной волны в области между ударной волной и предельной характеристикой, ограничивающей область влияния возмущенного движения газа на ударную волну. Для определения показателя степени в автомодельной переменной получено нелинейное уравнение, численное решение которого отличается от показателя в полной автомодельной задаче в четвертом знаке после запятой.

1. Движение идеального совершенного газа с отношением теплоемкостей Y в задаче о сходящейся ударной волне цилиндрической (v =1) или сфери-