Переориентация круговой орбиты космического аппарата с тремя точками переключения управления Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629

И. А. Панкратов, Ю. Н. Челноков

ПЕРЕОРИЕНТАЦИЯ КРУГОВОЙ ОРБИТЫ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ТРЕМЯ ТОЧКАМИ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ УПРАВЛЕНИЯ

1. Уравнения движения центра масс космического аппарата в ньютоновском гравитационном поле. Космический аппарат (КА) рассматриваем как материальную точку В переменной массы т = т(?). Движение КА рассматриваем в системе координат ОХ,Х2Х2(Х), имеющей начало в центре притяжения О и координатные оси, параллельные осям инерциальной системы координат (рис. 1).

Кватернионное дифференциальное уравнение ориентации круговой орбиты КА имеет вид

-dX г — — г- с — с d(p 2— = А,ош со =РЪ-1Х+~1Ъ, — = -—, (1)

at err at

где г - \r\ = const - модуль радиуса-вектора центра масс КА, проводимого из центра притяжения, ръ - составляющая вектора реактивного ускорения КА (управление), ортогональная плоскости орбиты, л = ?.0 + X| /( + X2ii + A.3i, - нормированный кватернион, задающий угловое положение системы координат t| в системе координат X (ось т|, направлена вдоль радиуса-вектора г, ось г|3 ортогональна плоскости орбиты, /,, ¡2, »з - векторные мнимые единицы Гамильтона), ф - истинная аномалия, с = const - постоянная площадей, соп - вектор абсолютной угловой скорости системы координат г|.

Решение уравнения (1) имеет вид

210

Кватернион X связан с кватернионом Л ориентации орбиты, характеризующим ориентацию системы координат Ъ,, связанной с перицентром, соотношением

Х = \о [соз(ф/2)+ Б1п(ф/2)/3 2. Постановка задачи и её решение. Рассмотрим перевод орбиты КА из заданного начального состояния Л(г0)=Л(ф0) в заданное конечное

состояние л(г*)= д(ф") с помощью управления /?з=±ртах при наличии трёх тпцек: переключения управления в моменты времени

Кватернион ориентации А,(ср ) системы координат г| в конечный момент времени Г в соответствии с (2), рис. 2 и формулой сложения конечных поворотов примет вид

4*)=л*

= Цф0)о ДX, (Дф,)о ДХ2(Дф2)о АХ3(Дфз)о ДЛ.4(Дф4).

/=1

(3)

Здесь АХк (Д<рА) - кватернион конечного поворота орбиты КА на к-м активном участке движения (А: = 1,4).

Л- + V -г шах

Ду?, Д <р2 А<р3

<Рй <р\ (р2 <Рз <рА = <р' <Р 1

Р шах 1

Рис. 2

Поставим следующую задачу: зная ф0, Д(ф0) (или А.(ф0)), Л найти Дф,, Аф4 и ф* при условии, что

со*Дф2 = и Дфз = я, со* =(г2/с)со. (4)

Отметим, что поставленная задача вытекает из решения задачи оптимального (в смысле быстродействия) разворота орбиты КА с помощью принципа максимума. Это решение сводится к нахождению времени оптимального движения /*(ф*), количества активных участков движения КА и их длительностей (величин Дф,, /' = 1,2,...,и). Условие (4) следует из ре-

211

зультатов численного решения вышеуказанной задачи оптимальной переориентации орбиты КА.

После ряда преобразований уравнения (3) приходим к системе четырёх трансцендентных уравнений относительно переменных А,, Д4, ф : Х(з)соз£_A§)s!n¿ = ^з)С05Д| cosд4 + sjn^sin^р _ ф^з) _

2 (®т

Х(3) cos ¿ + }р2) sin ¿ = M^lzAll [± ^(23) _ Х(|3)] А.(|) cos _ х(з) sin Ф! = Х(23) cos д f cos д 4

§> eos ¿ + sin ÜL = £ш(А',+ Л^ [± + Jl?> ],

(5)

(m j

связанных условием нормирования: суммы квадратов левых и правых частей уравнений (5) равны единице.

Здесь А, =(1/2)со Дер,; Д4 = (1/2)со Дср4; со* =

1 + {p3r3/c2J

и = ~Т Ртах ' РЛ(о23)Д(223) -

величины, выражаемые через известные па-

раметры задачи; верхний знак берётся, если на первом активном участке движения КА р3 = + ртах, нижний - в противном случае.

Из этой системы вытекают два уравнения относительно неизвестных

Д|,Д4:

tg(A, +Д4)=+а(ф*), где а(ф*), р(ф*)

(6)

1ё(Д,-Д4) = +(з(ф*),

есть сложные выражения, содержащие тригонометрические функции относительно ф* . Разрешая (6), имеем

Дф, = (l/со' )(arctg(aí^*))+ arctg(р(ф*)))+ л(к + п), k,neZ, (7) Дф4 = (l/co* )(arctg(ct^*))- arctg(p(cp*)))+ п(к - п), к,п е Z. (8)

Из (5) получаем тригонометрическое уравнение для нахождения ф*:

* * * i

/ \ 2 ф / -v Ф - Ф I \ ■ 2 Ф a(u) cos — + 2b{u jcos—sin — c[u jsin" —

(»'Г

(9)

где а(и), Ь(и), с(и) - полиномы относительно известных параметров задачи.

Решая уравнение (9), находим

2/(со*~(а(ц)+ф))

ф = у + arccos

V V

¡(a{u)+~c(u))2 +ЛЬ2(и)

212

+ 2 лк, к е Z,

(10)

а(и)-с(и) . 2 b(u)

cos у —........- - sin у —--—---

7Ш+ c(u)f + 4b2(u) ' ylia(u)+c(u)f + 4b2 (и) '

Заключение. В статье рассмотрена задача четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты космического аппарата. Полученные формулы (7), (8), (10) дают аналитическое решение поставленной задачи.

УДК 301.15.15.0702

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВСТРЕЧЕЙ ДВУХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ВТОРОГО ЦЕНТРА ПРИТЯЖЕНИЯ*

С помощью принципа максимума Понтрягина решена задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых управляемый, а второй неуправляемый, с учетом возмущения от второго центра притяжения. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой свертку с весовыми множителями двух критериев, определяющих время и энергию, затраченные в процессе управления. Задача решена с использованием кватернионных элементов орбиты [1].

1. Движение управляемого КА в поле гравитации центрального тела с массой М с учетом возмущения от второго центра с массой М-0 в декартовой системе координат Ох 1X2X3, начало которой совпадает с центральным телом, в безразмерных кватернионных элементах орбиты А=(А0, А\, А2, А3), В=(5о, В|, В2, В3) описывается системой уравнений: (¿А . с/В „„ с?/ 2/--^

, L = -e(F, + 8F2)ßsinq>, ^ = e(F,+5F2)0cos9, ,,2(2ß)/2 í/ф í/ф a( p

F(u,w,p)= u:P(u)p + w(w,/>(u)p), F| = F(u,w,p), F2 = F(u,w,f),

1 Gi^r -r

2 * . rb

2 2

u = Acos(p+ Bsinip, w = -Asincp + Bcostp, Q-А 4- В ,

со

/>(u) =

! "о -и3 и2

! щ "2 "3

""2 "l "0

-"з -"о Щ

r = /,7(u)u, V =--PT{u)w

r{2Q)/2

(2)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00347).