Оптимальное управление встречей двух космических аппаратов с учетом возмущения от второго центра притяжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

а(и)-с(и) . 2 b(u)

cos у —........- - sin у —--—---

j(a(u)+c(u)Y + 4b2(u)' ylia(u)+c(u)f + 4b2 (и)'

Заключение. В статье рассмотрена задача четырёхимпульсной переориентации круговой орбиты космического аппарата. Полученные формулы (7), (8), (10) дают аналитическое решение поставленной задачи.

УДК 301.15.15.0702

Я. Г. Сапунков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВСТРЕЧЕЙ ДВУХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ С УЧЕТОМ ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ВТОРОГО ЦЕНТРА ПРИТЯЖЕНИЯ*

С помощью принципа максимума Понтрягина решена задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых управляемый, а второй неуправляемый, с учетом возмущения от второго центра притяжения. Функционал, определяющий качество процесса управления, представляет собой свертку с весовыми множителями двух критериев, определяющих время и энергию, затраченные в процессе управления. Задача решена с использованием кватернионных элементов орбиты [1].

1. Движение управляемого КА в поле гравитации центрального тела с массой М с учетом возмущения от второго центра с массой М-0 в декартовой системе координат Ох 1X2X3, начало которой совпадает с центральным телом, в безразмерных кватернионных элементах орбиты А=(А0, А\, А2, А3), В=(5о, В|, В2, В3) описывается системой уравнений: (¿А . с/В „„ 2/--^

, L = -e(F, + 8F2)ßsinq>, ^ = e(F, +5F2)0coscp, ,,2(2ß)/2 Дф í/ф a(p

F(u,w,p)= u:P(u)p + w(w,/>(u)p), F| = F(u,w,p), F2 = F(u,w,f),

1 Gi^r -r

2 * r . rb

2 2

u = Acos(p+ Bsinip, w = -Asincp + Bcostp, Q-А 4- В ,

(i)

/>(u) =

! "о -"з и2

! щ "2 "3

""2 "l "0

-"з -"о Щ

r = /,7(u)u, V =--PT{u)w

r{2Q)/2

(2)

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00347).

|р|<1. (3)

Здесь р - безразмерный управляющий параметр, на который налагается ограничение (3), f -безразмерная возмущающая сила от второго центра притяжения, г и V - безразмерные радиус вектор и вектор скорости центра масс КА, гь - безразмерный радиус вектор второго центра относительно центрального тела, ср - независимая переменная, I - безразмерное время.

При переходе к безразмерным переменным масштабом длины выбран радиус Ки некоторой характерной круговой орбиты КА вокруг центрального тела, если центральным телом является Земля, то масштабом длины может являться экваториальный радиус Земли Лэ, масштабом времени (/?о(уМ) '/ , У - гравитационная постоянная. Для величин

у

А, В, и, \у масштабным множителем является 2, радиус вектор гь отнесен к аь - большой полуоси орбиты возмущающего тела, для величины р масштабным множителем является максимальная величина тяги р щах, отнесенная к единице массы КА. Малые параметры определяются соотношениями

ах*о2(уМ У1, 8= е, е| г"1, е^МьМ~1, е2 = (4)

Параметр е характеризует отношение максимальной тяги к силе притяжения к центральному телу на расстоянии К,, .

Уравнения движения неуправляемого КА

~ = -е. £2 ?1а<2а «¡Пф в , ~ = Е, Е^ ¥2а0а СОЗф И 2 (20о )>2 ,

Яф а "Фа «Фа

гь\гь У

= АасозФа + Ва8Шф0, = -А0зтфв +Ввсо5фв,б0 + В\. (5)

Начальное состояние управляемого КА задано соотношениями:

при ? = 0 ф= О, А = А0, В = В0, (6)

а неуправляемого КА - соотношениями:

при С = О Ф 0= О, А0 = Аа0 , Ва = Ва0. (7)

Связь между переменными ф а и ф определяется уравнением

<*р <. _ и2 е-1/2 ,8.

~-¡7 ^

и начальными условиями (4) и (5).

Условие мягкой встречи аппаратов определяется соотношениями:

Рг(и(ф,))и(ф4)= РГК(фа(ф*)))иа(фа(ф*)), (9)

-рТ К* * )Мф *) = -пг-^-РТ К, (ф а(ф 4 ))Ь' а (ф в(ф * )), (10)

£/2(ф*) е/2(фа(ф.))

а условие жесткой встречи — лишь соотношением (9).

Для оптимального процесса управления функционал качества

/= |(а, +а25 2/з2)с?/= |(сс,+а2б2р2)и2(20//2а[ф (11)

о о

принимает минимальное значение. С помощью изменения весовых множителей и можно усиливать влияние одного из критериев, входящих в функционал.

2. Для решения поставленной задачи с помощью принципа максимума Понтрягина составляется функция Гамильтона - Понтрягина, составлялась система, уравнений для сопряженных переменных. Оптимальное управление определялось через фазовые и сопряженные переменные из условия максимума.

В поставленной задаче оптимального управления правый конец траектории находится на подвижном многообразии, которое определяется условиями (9) и (10) или (9) в зависимости от варианта встречи. По этой причине на правом конце траектории должны выполняться соответствующие условия трансверсальности.

В результате решение задачи оптимального управления о встрече двух КА, поставленной в п. 1, сведено к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений по определению фазовых и сопряженных переменных с соответствующими с граничными условиями.

3. На рис. 1 представлена в центральном поле Земли с учетом влияния Луны траектория оптимального движения управляемого КА, которая начинается в точке В, и траектория движения неуправляемого КА, начинающаяся в точке А. На рис. 2 представлена зависимость оптимального управления от времени.

Ниже приводятся результаты расчетов в безразмерных переменных для а! = 0.2, а2 = 40, е = 0.1, 5 = 0.000125, что соответствует влиянию Луны на движение КА вокруг Земли с радиусом орбиты Я0= 38647.4 км. В таблице представлены координаты радиуса вектора положения и вектора скорости управляемого КА в начальный момент времени (первая строка), неуправляемого КА в начальный момент времени (вторая строка), те же величины в момент мягкой встречи без учета влияния Луны (третья строка) и с учетом влияния Луны (четвертая строка).

/ 1 ; Х2 К, уз

0.0 1.2100 0.0 0.0 0.0 0.9091 0.0

0.0 2.3100 0.7500 0.1750 -0.1006 0.6037 0.1409

19.8683 1.9433 -0.8998 -0.2100 0.3934 0.5743 0.1340

19.8683 1.9462 -0.8964 -0.2094 0.3922 0.5745 0.1340

Для перехода к размерным переменным необходимо использовать масштабы длины Я0= 38647.4 км, времени Т= 12034 с= 3.3428 ч, скорости V = 3.2115 км/с.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я. Г. Оптимальные траектории и управления в задаче о встрече космических аппаратов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. унта, 2003. Вып. 5. С. 171-174.

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков, А. В. Молоденков, К. А. Глазков

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ

ТВЕРДОГО ТЕЛА С УЧЕТОМ СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ*

В статье с помощью принципа максимума Понтрягина решается задача об оптимальном управлении угловым движением твердого тела с одной неподвижной точкой с учетом момента сопротивления. Приводятся результаты численного решения с учетом и без учета сопротивления краевой задачи, к которой принцип максимума сводит задачу оптимального управления.

1. Вращательное движение твердого тела с одной неподвижной точкой под действием управляющего момента М и момента сил сопротивления -(Р| + Р2 |<й|)ш, (р, =сопз1>0, / = 1,2) описывается системой уравнений:

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00347).