CC BY
23
УДК 301.15.15.07.02
Я. Г. Сапунков
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В НЕЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ГРАВИТАЦИИ ЗЕМЛИ"
В статье с помощью принципа максимума Понтрягина решена задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых управляемый, а второй - неуправляемый и движется под действием силы притяжения к Земле. Задача решена с использованием кватернионных элементов орбиты при условии, что поле гравитации Земли не является центральным. Функционал качества процесса управления представляет свертку с весовыми множителями двух критериев, определяющих время и энергию, затраченные в процессе управления.
1. Движение управляемого КА в нецентральном поле фавитации Земли в декартовой системе координат Ох¡х2х3, начало которой находится в центре Земли, а плоскость Ох¡х2 совпадает с экваториальной плоскостью, в безразмерных кватернионных элементах орбиты А = (А0,А1,Л2,А3), В = (В0, б,, В2, Я*) описывается системой уравнений:
dA г г- sir ( •
= (-еГ[ +5F2(u ) )Q si
dcp
Jsmq>.
dip
= (sF,
5F2(u2)"5)0cos(p, (1)
— = u2(2Q)%, u = Acoscp+ Bsincp, w = -Asincp + Bcos<p, Q= A2 + B2, d<p
F(u,w,p)= u2/>(u)p + w(w,P(u) p), F, =F(u,w,p), F2 = F(u,w,q(u)), q(u) = 5(u, P( u)j3 f (u2 УV (u) u + 2(u, />(u)j3 )j3.
Ди) =
"о -"3 и2
щ "2 м3
- и2 "0
-"з -UQ щ
, г=Рг(и)и, v =
— — P'(u)w, P <1. (2)
r(2Q)/2
Здесь р - безразмерный управляющий параметр, jз - единичный орт оси Охз, г и у - безразмерные радиус вектор и вектор скорости центра масс КА, ф - независимая переменная, / - безразмерное время.
При переходе к безразмерным переменным масштабом длины выбран экваториальный радиус Земли Я„ масштабом времени 1 2, где М3 - масса Земли, у - гравитационная постоянная. Для величин
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-
А, В, и, масштабным множителем является Щ'2, для величины р -максимальная величина тяги р*тах, отнесенная к единице массы КА. Малые параметры е=^йэ2(уМ3) \ 5=1.5- )(л/3Лэ2) ', где /Х]Х), 1Х}х3 ~ осевые моменты инерции Земли. Параметр е характеризует отношение максимальной тяги к силе тяжести на экваторе Земли. Параметр 5 = 0.001647 характеризует отклонение гравитационного поля Земли от центрального поля.
Движение неупраатяемого КА в безразмерных переменных описывается системой уравнений с независимой переменной фа:
= 50а5Шфа, —<а- = -Ь¥2а(р2а) 50асоБфа,
Фа ¿Фа
— =ч2а(20а)У2,иа = Авсо8фв + В05Шфв^в =-Авзшфя + Васозфц, й?фа
еа=л2 + йа2- (з)
Начальное состояние управляемого КА задано соотношениями:
при Г = 0 ф= 0, А = А0, В = В0, (4)
а неуправляемого КА - соотношениями:
при ? = 0 фа= 0, Ая = Аа0, Ва = Ва0. (5)
Связь между переменными ф а и ф определяется уравнением
¿Ф в и2 £>'2
<*Р „2
(6)
и О
а
■'2
и начальными условиями (4) и (5).
Условие мягкой встречи аппаратов определяется соотношениями:
Рг(и(<р ,)) и(ф А)= РТ{иа(ф а(ф *))) иа(Ф а(ч>к)), (?)
РТ (и(ф * )) *(ф * ) = —\/ ---РТ (и а (Ф в(ф * ))) * а (ф «(ф * )). (8)
я\к) йГ2(фаЫ)
а условие жесткой встречи - лишь соотношением (7).
Для оптимального процесса управления функционал качества
'*/ \ °к1 \ 1/ /= Да, +а2еУ)с^= Да, + а2еУ )и2(20)/2<Лр (9)
о о
принимает минимальное значение. С помощью изменения весовых множителей а, и а г можно усиливать влияние одного из критериев, входящих в функционал.
2. Для решения поставленной задачи с помощью принципа максимума Понтрягина составляется функция Гамильтона - Понтрягина:
2 У
Н = -е(а, +ос2еУ + £>1^, + ,
^ ' и 2е'2
П = -\|/д 5Шф + V)//, СОБф. (10)
Уравнения для сопряженных переменных у^у^еЭ имеют вид
с1уа __дн е¿э _ ад ]^
а/ф <?А £&р сВ <^ф Эф а
Оптимальное управление р11р1, удовлетворяющее ограничению (2),
согласно условию максимума для функции Гамильтона - Понтрягина можно представить в виде
Р = - Ц-у^Р7» (и2 П + 2а2£ и
Ро„, = { р, если |р]<1, иначет~ }. (12)
1Р1
В поставленной задаче оптимапьного управления правый конец траектории находится на подвижном многообразии, которое определяется условиями (7) и (8) или (7) в зависимости от варианта встречи. Следовательно, на правом конце траектории должны выполняться соответствующие условия трансверсальности, которые в случае »мягкой встречи имеют вид
/(ч»я,А) + /(уа,В) = 0, /(П,и)= 0, Я+(ув,В)-(у4,А) = 0,
88 + (¥о,В)-(Ч/А,А)-8а(и2Г(/>(ия)^Г(«)П,К2а)=0, (13) а в случае жесткой встречи:
/(ч»в,А) + /(ч16,В) = 0, П = 0, Еи2а+(рг(и)Ф,/'г(иы)и'о)=0, # + (рг(ц)Ф,Р7(и)«')=0, где Ф = \\1 асоъ(? к+уьъ'аир к. (14)
Таким образом, решение задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы уравнений (1), (3), (6), (11), (12) с граничными условиями (4), (5) при ф=0 и условиями (7), (8), (13) для мягкой встречи или (7), (14) для жесткой встречи в конце движения.
3. На рис. 1 представлена в нецентральном поле Земли траектория оптимального движения управляемого КА, которая начинается в точке В, и траектория движения неуправляемого КА, начинающаяся в точке А. На рис. 2 изображена зависимость оптимального управления от времени.
Ниже приводятся результаты расчетов в безразмерных переменных для а, = 0.2, а2 = 40, е = 0.175.
В таблице представлены координаты радиуса вектора положения и вектора скорости управляемого КА в начальный момент времени (первая строка), неуправляемого КА в начальный момент времени (вторая строка), те же величины в момент мягкой встречи в центральном поле Земли [1] (третья строка) и в нецентральном поле (четвертая строка).
-□ .75-
Рис. 1. Траектории полета КА Рис. 2. Управления рь р2, рз
Г XI *2 1 VI V.,
0.0 1,1025 0.0 0.0 0.0 0.9524 0.0
0.0 2.3100" 0.7500 0.1750 -0.1006 0.6037 0.1409
20.6105 2.1811 -0.4534 -0.1058 0.2472 0.6226 0.1453
20.6237 2.1865 -0.4378 -0.1012 0.2424 0.6238 0.1457
Для перехода к размерным переменным необходимо использовать масштабы длины /?э= 6378.245 км, времени Т= 806.83 с = 0.2241 ч, скорости У= 7.9053 км/с.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сапунков Я Г. Оптимальные траектории и управления в задаче о встрече космических аппаратов // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2003. Вып. 5. С. 171-174.
УДК 531
Г. Д. Севос гьянов
О ЛИНЕЙНОСТИ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДАРБУ ДЛЯ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
Задача Дарбу (О. ОагЬоих) [1,2]- аналитически определить движение тела с неподвижной точкой по заданной его мгновенной угловой скорости со(?). Для этого необходимо аналитически проинтегрировать нели-
195
