CC BY
24
раскладывается по направлениям основы и утка ткани и возбуждает в ней волновой процесс Ориентация выделенных на рис. 3 градиентов усилий и скоростей связана с направлениями анизотропии Наиболее четко определяются сдвиговые волны: возмущения, распространяющиеся вдоль основы и утка, порождают фронты ОН, [)!■ и ВА, ВС, а вдоль боковых кромок -дифрагированные волны АЫ и ЕС Усилия Та и Ту достигают максимальных значений (~0.1) в окрестностях точек В и О.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Ридель В В., Гулин БИ Динамика мягких оболочек М : Наука, 1990.
2 Кольский Г. Волны напряжения в твёрдых телах М Изд-во иносгр лит,
1955
3 Ильгамив МА , Иванов В.А., Гулин ЬВ Расчет оболочек с упругим заполнителем. М.: Наука, 1997
УДК 301.15.15.07.02
Я. Г. Сапунков
КВАТЕРНИОННЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВСТРЕЧИ ДВУХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ'
С помощью принципа максимума Понтрягина решена с использованием векторных или кватернионных элементов орбиты пространственная задача оптимального управления о встрече двух космических аппаратов (КА), один из которых движется по эллиптической орбите только иод действием силы притяжения к центру. Уравнения движения КА в этих переменных являются регулярными и обладают структурой удобной для численного решения задач оптимального управления с применением ЭВМ
1. В безразмерных кватернионных элементах орбиты движение КА описывается уравнениями [1]
^ = -60^4), ^ебЕ.сохф, = 0=А2+В\
дар дар дар
Я Р(ы)р , Е| -и:я+(\у,я)>у, и : Асоэф + Вэшф , ^-Абшф < Всохф , (1) где Р(и) -матрица, с помощью которой вектора г и V, определяющие положение и скорость КА в пространстве, выражаются через и и «[2]
' Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, код проекта 02-01-00988
а*)-
"о -Из "2
иг «3
-и2 "1 "о
-"о "1
, Г=РГ(и)и,У:
г{10)Уг
Рт( «К (2)
на безразмерный управляющий параметр р тяги наложено ограничение
(3)
е - отношение максимальной тяги к характерному значению силы притяжения аппарата к центру, ф - независимая переменная, I - время, (и^) обозначает скалярное произведение двух четырехмерных векторов, Рт(и) -транспонированная матрица. Кватернионные элементы орбиты космических аппаратов удовлетворяют условию
/(А,В)=АоВ1-А1ВО+А2ВЗ-А3В2=0. Для перехода к размерным переменным, которые определяют положение и скорость КА, время и вектор тяги, необходимо безразмерные величины умножить на масштабные множители К, (уМ/ЯУп, Кш1(уМ)т, р'тм соответственно. Здесь Я - масштаб длины (например, большая полуось орбиты), у - гравитационная постоянная, А/ - масса центра притяжения, р'тю1 - максимальная тяга двигателя КА
В начальный момент состояние КА определяется соотношениями
1=0, ср=0, А=А„, В=В„. (4)
Движение неуправляемого аппарата в безразмерных кватернионных переменных описывается соотношениями
иа=Аасо5фа+Ва51Пфа, \уа=-Аа5тф„+Васо5фа, £?а=Аа2+Ва2, Л.-хогШ, Ва=со1Ш,
А- = иг(2<2а)Уг, при фа=0 г=0. (5)
¿<9 а
Величина фа является независимой переменной для описания движения неуправляемого аппарата и связана с ф соотношением
б/ф
0_ Я.
, при ф=0 фа=0.
(6)
Мягкая встреча управляемого и неуправляемого аппаратов определяется условиями
Рг(и(фк))и(фк)=/'7(иа(фа(фк)))иа(фа(ф11)), (7)
Жёсткая встреча определяется только условием (7). Значение ф, заранее не задается. Качество процесса управления определяется функционалом
/= }(а, +а2еУ)<Л = <|(сх1 + а2£:У )н2(20)>2</ф, (9)
о о
представляющим собой свертку с весовыми множителями а,>0 (¡=1, 2) двух критериев, определяющих длительность процесса и затраченную энергию
Требуется найти допустимое управление, удовлетворяющее ограничению (3), которое переводит управляемую систему (1), (6) из начального состояния (4) на перемещающееся многообразие (7), (8) или (7) в зависимости от варианта встречи (мягкая или жёсткая встреча) и сообщает минимальное значение функционалу (9).
2. Функция Гамильтона-Понтрягина Н имеет вид
Я--е(а,+а2бУ)и2£;1Л+е£Р\П)+е9 —
Qa
, n^v/bCOS(p-iyasin(p , (10)
"a
где ц/„,ч/ь - сопряжённые четырёхмерные переменные, и скалярная переменная 0 удовлетворяют сопряженной системе уравнений, которая имеет вид
—-=e(F2cos<p+F3sm(f>+AF4), ^¿-=e(F2sin<p-F.iCos(p+BF4), в=С,и,2&1Г2, dtp dip
F2=261/2[a,+a2c2p2-e,/2(q,n)-CiJu-(2/3(u2n+w(w,n))p, Fj=0l(w,q)II+(w,n)q, F4=U2e""2(a.+a2£2p2-C1)-2(F1,n), C^const. (11) Из условия максимума следует, что вектор оптимального управления р(ф|(ф) определяется из соотношений
2а 2е2к2
Рор1=Ро/)Г'еСЛИ
. . Р opt
< 1, или . если
P0J>1 (12)
opt
Правый конец траектории находится на перемещающемся многообразии в фазовом пространстве и на нем должны выполняться условия трансверсальности, которые в случае мягкой встречи имеют вид
/(фа.А)+/(фЬ,В)=0, /(П,и)=0, £в+(у.,ВИч»ь,А)=0, Я-е8=0. (13) В случае жёсткой встречи условия трансверсальности запишутся в
виде
/(уа,А)+/(уь,В)=0, П=0, е и2ЩРт(u.)w„ Рг(и,Ф))=0,
u2H+(PT(u)w, Рг(и,Ф))=0, где Ф=уасо8ф+уь8икр. (14)
Решение поставленной задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (1), (11) с учётом (12) с начальными условиями (4) и граничными условиями (7), (8), (13) или (7), (14) в зависимости от варианта встречи на правом конце траектории.
3. Для решения краевой задачи разработан метод, сочетающий модифицированный метод Ньютона и метод градиентного спуска. Метод реализован в программе на языке PASCAL. Ниже приведены результаты расчёта для случая, когда ai=0.2, аг=40, е=0.2. В начальный момент времени управляемый КА движется по круговой орбите Земли и начинает движение для мягкой встречи с КА, который движется по эллиптической орбите в плоскости несовпадающей с плоскостью орбиты Земли В таблице в безразмерных переменных приведены координаты положения и вектора скорости космических аппаратов
Таблица фазовых состояний КА (в безразмерных переменных)
*3 vi V2 V3
1.0 0.0 0.0 0.0 1.0 0.0
2.3100 0.7500 0.1750 -0 1006 06037 0 1409
2.3320 0 1830 0.0427 00557 0 6348 0.1481
В первой строке таблицы указано начальное состояние управляемого аппарата, во второй - неуправляемого, а в третьей - их состояние в момент мягкой встречи В безразмерных переменных длительность перелёта равна 21 6153 или 3.4402 земных года.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Челноков Ю Н. Применение кватернионов в теории орбитального движения искусственного спутника И//Космич исслед. 1993 Т. 31, вып 3 С. 3 - 15
2. Сапунков ЯГ Применение КЭ-переменных к задаче оптимального управления космическим аппаратом // Космич исслед 1996 Т 34, вып 4. С 428 - 433
УДК 533.6011
Я. Г. Сапунков, Г. П. Шиндяпнн, В. А. Норшнев, В. Н. Федорец
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ НО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ В КАМЕРЕ ДЕТОНАНИОННОГО ДВИГАТЕЛЯ'
В статье метод расчёта движения продуктов детонации в цилиндрической детонационной камере длиной 1\ (1 ] обобщается на случай, когда к камере присоединен диффузор длиной /о с углом полураствора а, заполненный нейтральным газом (воздухом).
' Работа выполнена при поддержке Министерства образования РФ, научно-технической программы, проект № 01 01 030
