Решение задачи оптимального управления движением КА с комбинированной тягой с использованием кватернионных элементов орбиты Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 629.78

Я. Г. Сапунков

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ДВИЖЕНИЕМ КА С КОМБИНИРОВАННОЙ ТЯГОЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАТЕРНИОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ

В статье для космического аппарата (КА), снабженного солнечным парусом и двигателем малой тяги, с использованием кватернионных элементов орбиты с помощью принципа максимума Понтрягина решена пространственная задача об оптимальном выводе аппарата на заданную круговую орбиту. Даны результаты численного решения.

1. В безразмерных кватернионных элементах орбиты

А = (Ао,А1,А2,АЗ), В = (ВО,Б1,В2,Б3)

движение КА с комбинированной тягой (двигатель малой тяги и солнечный парус) описывается системой уравнений (£ — время, р — независимая вспомогательная переменная) [1, 2]

dA . dB dt 2 /—

— = -QFi sin p, —— = QFi cos p, — = u \J2Q, dp dp dp

Q = A2 + B2, q = P(u) p + £

(P1 (u)u, n)2

Щ4

n i , F1 = u2q + (w, q)w,

u = A cos p + B sin p, w = —A sin p + B cos p.

Радиус-вектор положения KA г и вектор скорости v связаны с ква-тернионными элементами орбиты соотношениями

г = PT (u)u, v =

PT(u)w, P(u) =

r(2Q)1/2

uo —u3 u2

u1 u2 u3

—U2 u1 uo

—u3 —Uo u1

Безразмерные управляющие векторные параметры, характеризующие малую тягу р и единичный вектор нормали п к плоскости солнечного паруса, удовлетворяют ограничениям |р| < ртах, |п| = 1. Размерные масштабные множители для расстояния, скорости, времени, малой тяги и тяги, создаваемой солнечным парусом, определяются выражениями

R, (yM/R)1/2, R3/2/(yM)1/2, yM/R2, pmax

P

max

yMR

2

2

с _ cos2 в _ (RT (uc)uc, n)2 d _ Рсол. nap - d r*2 n — d (u*2)4 n, ^M = ^ ^ ^

Здесь R — масштаб расстояния, M — масса притягивающего центра, 7 — гравитационная постоянная, pCax _ максимальное значение малой тяги,

Рс

в

d

паруса и массу КА. Состояние КА в начальный момент времени

t = 0,<£ -0, A - A, B - BH. (1)

Круговая орбита, на которую необходимо перевести КА, характеризуется классическими элементами орбиты a — ak, e — 0,i — ik, Q — Qk• Критерий оптимальности процесса управления определяется функционалом с весовыми множителями а > 0, i — 0,1:

ft к Гфк

I —I (a0 + aip2)dt — (a0 + «ip2)u2(2Q)1/2d^.

Jo Jo

Оптимальному процессу соответствует минимальное значение функционала.

2. Функция Гамильтона - Понтрягина выражается через сопряженные кватернионные переменные соответствующие кватернион-AB

H — — (а0 + a1p2)u2(2Q)1/2 + Q(F1, П), П — *фь cos у - >фа sin ^

Сопряженные переменные удовлетворяют сопряженной системе дифференциальных уравнений.

Условия для фазовых координат на правом конце траектории имеют вид

A2 — ak — 0, B2 — ak — 0, (A, B) — 0, (2)

/(B, P(A)j1) — ak sin ik sin Q — 0,/(B, P(A)js) — ak cos ik — 0. ()

Условия трансверсальности на правом подвижном конце траектории

1(фа, A) + 1(фь, B) — 0,1(<фа, P(B)j1) + 1(<фь, P(A)j1) — 0,

ak[/(^a, P(A)js) + 1(фь, P(B)js)]+ (3)

+/(A, P(B)j2)[/(^a, P(B)j1) — 1(фь, P(A)j1)] — 0.

Функция Гамильтона - Понтрягина на правом конце траектории удовлетворяет условию

Hopt — 0. (4)

Оптимальное управление согласно условию максимума для функции Гамильтона - Понтрягина выражается через фазовые и сопряженные переменные [1, 2].

Решение задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы уравнений для фазовых и сопряженных переменных с граничными условиями (1) в начальный момент времени и условиями (2), (3), (4) в конечный момент времени.

3. Пример расчета. Начало декартовой системы координат ОЖ1Ж2Ж3 совпадает с центром притяжения, плоскость Ох^2 совпадает с плоскостью орбиты Земли, на которой находится КА в начальный момент времени. Начальное состояние К А определяется координатами:

х1 = 1.0, х2 = 0, х3 = 0, = 0, ^ = 1.0, = 0. Классические элементы конечной орбиты определяются соотношениями ак = 1.52, вк = 0, гк = 4.0°, Пк = 25.0°.

Весовые множители в функционале качества процесса: = 0.5, а1 = 1.0. Ограничения на управляющие параметры: ртах = 1.0 £ = 0.1

£ = 3.7376 определяется координатами

X = -1.3263, Х2 = 0.7424, хз = -0.0079,

VI = -0.3955, ^2 = -0.7059, ^ = 0.0564.

Время перелета составляет 0.59486 земного года.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 12-01-00165).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я. Г. Оптимальный вывод на орбиту космического аппарата с комбинированной тягой // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 180-183.

2. Сапунков Я. Г. Оптимальное управление движением космического аппарата с солнечным парусом // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 176-179.