CC BY
18
если
01/2
|Рт(и)(и2П + w(w, П))| < 1. (8)
2£а2и2
Решение задачи оптимального управления сводится к решению краевой задачи для системы уравнений (1), (3) с граничными условиями (2) в начальный момент времени и условиями (4), (5). (6) в конечный момент времени, при этом в каждый момент времени управляющие параметры определяются из соотношений (7), (8).
3. Пример расчета. Начальное состояние К А определяется координатами: х1 = 1.0, х2 = 0, х3 = 0, V = 0, г>2 = 1.0, = 0. Классические элементы конечной орбиты: а^ = 1.52,
= 0.0, = 5.0°, ^ = 30.0°. Весовые множители в функционале качества процесса: а0 = 0.35, а1 = 1.0, а2 = 0.5. Ограничения на управляющие параметры: р1 тах = 1.0, £ = 0.2. Режим работы первого управляющего параметра состоит из трех этапов. На первом этапе 0 < г < 0.1086, |р11 = 1.0, на втором 0.1086 < г < 2.0529, | = 0.0, па третьем 2.0529 ^ г < 2.1733, |р11 = 1.0. В конечный момент времени при г = 2.1733 при выходе па заданную орбиту состояние К А определяется координатами:
Х1 = -0.0797, х = 1.5133, хз = 0.1181,
V! = -0.8092, ^2 = -0.0451, = 0.0320.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 0801-00310).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Штифель Е., Шейфиле Г. Линейная и регулярная небесная механика. М,: Наука, 1975. 304 е.
УДК 533.6.011
Я.Г. Сапунков, Р.В. Мосин К ЗАДАЧЕ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В статье получено приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне, хорошо аппроксимирующее точное решение во всей области течения газа. Приводятся таблицы значений показателей автомодельности в зависимости от отношения теплоемкостей, полученных на основе приближенного решения, и их погрешности.
1. В работе [1] показано, что уравнения движения идеального совершенного газа в задаче о сходящейся ударной волне в безразмерных автомодельных переменных могут быть приведены к виду
где
dV d ln Л
2
(v + 1)V - -(1 - a)
Y
dln R 2(1 - a)
+ (V - a) A,
Ao
A4
dZ d ln Л
= - Z
d ln Л 2
V — a
V-
Y(V - a) Ao 1 + a(Y - 1)
Y
+ (Y - ^
A4 (V) = vV2 -
2
(v + 1)a + -(1 - a) - 1
Y
Ao = (V - a)2 - Z.
a
V + 2-(1 - a),
Y
(1)
Здесь V = 1 соответствует цилиндрической симметрии, V = 2 -сферической симметрии, 7 - отношение теплоемкостей, а - показатель автомодельности в законе движения ударной волны. Размерные переменные связаны с автомодельными переменными соотношениями
Л =
r r Po r
——, v = - V, p = poR, p =--»ZR.
A(-t)a' t y t2
Закон движения сходящейся ударной волны r = rs(t) = A(-t)a, t < 0. Начальная плотность газа p0 = const. Граничные условия для автомодельных переменных на поверхности ударной волны
V(1) = V. = R(1) = R. = , Z(1) = Z. = ^(Y ~21). (2)
Y+1
Y-1
(Y + 1)2
2. Для упрощения системы (1) отношение Д4/Д0 в первом приближении в [1] полагалось постоянной величиной, во втором приближении - линейной функцией V [2], в настоящей статье это отношение представлено квадратичной функцией V:
ф4 = K + a(V - V.) + ax(V - V.)2, Ao
K =
2
a(Y - 1)
1\ , \ Y- 1 2--(1 — a) — va-
, YJ Y + 1
а =
А,
0в
(V + 1) а + - (1 - а)
7
— К
2(У - а) - А V ; Ах
Величина ах выбрана из условия, что левая часть первого уравнения системы (1) при V = 0 обращалась в пуль. В этом случае правые части уравнений системы (1) хорошо аппроксимируют поведение правых частей в системе точных уравнений во всей области течения. Для величины ах получено следующее выражение:
ах =(— - - - К + аУ^ ] V"2.
\ат 7 )
В результате, в частности, первое уравнение системы (1) принимает
вид
¿V
„ Л :ахУ(V2 + &2У + С2), 62 = аа-х - 2^ - а, и 1п Л
С2 = [К - V - 1 - а(^ + а)]а-х + VS(VS + 2а). Решение упрощенных уравнений с учетом условий (2) имеет вид
Л=
У2(УS2 + № + С2)' _VS2(V2 + 62 V + С2)
2ахС2
ехр
2ахС2 )
2 = Ч £
Вх( а - ^ V2 + b2V + С2
0.5^4
а-К
V2 + 62 V + С2
ехр((Дз - О^ДОФ^)),
а - ^ т ( V2 + b2V + С2
И = И с
Ф(V ) =
0.5Ж4
а
Ус) + 62 V + С2,
ехр((Жз - 0.562^^^)),
^ V + 0.562 . V + 0.562
агС^ — == - arctg
^С2 - 0.2562 ^^ х/с2 - 0.2562 ^2 - 0.2 562) '
а2 = а2 + 62а + с2, а3 = К - а^ + а^^2 - а2), а4 = 2^ + а + 62 - аа-х,
^4 =
7 - 1 аа2
62 + а + С2 2-----Ь аз
(7 - 1) с2
, Дз = (7 - 1)а4 + (а + 62)^4 -
ахС2
Дх =
2
аахс2
-, Д2 = 1 - 7 - Дх - Д4,
N4 =
аз а1а2
, N = -1 - N4, N = а4 + (а + 62)Ж4.
(3)
Координаты особой точки В, соответствующей предельной
А0 = 0, А4 = 0
в
1
1
2
Для определения а вместе с этими соотношениями служит уравнение
0 ( Ув - а ( У| + ЫУВ + С2 V'50
" (4)
21 = М
X
V V - а) V У2 + &2 V + С2 ) х ехр((Д$ - 0.5&2^4)Ф(Ув)).
Уравнение (4) решается численно методом Ньютона, в результате
а
от отношения теплоемкостей для случаев цилиндрической (табл. 1) и сферической (табл. 2) симметрии.
Таблица 1_
7 1.1 1.2 1.3 1.4 1.6
аточн 0.885225 0.861141 0.846203 0.835306 0.819688
априб л2 0.885285 0.861171 0.846223 0.835321 0.819698
Да% 0.0067 0.0035 0.0024 0.0018 0.0012
априб л3 0.885298 0.861182 0.846231 0.835327 0.819700
Да% 0.0082 0.0047 0.0033 0.0025 0.0015
Таблица 2
7 1.1 1.2 1.3 1.4 1.6
аточн 0.795933 0.757107 0.733745 0.717146 0.694156
априбл2 0.796164 0.757206 0.733797 0.717179 0.694187
Да% 0.03 0.01 0.007 0.005 0.005
априблЗ 0.796176 0.757221 0.733811 0.717190 0.694192
Да% 0.03 0.01 0.009 0.006 0.005
а
численного решения полных уравнений, представлены приближенные значения показателей автомодельности, полученные на основе аналитических решений второго приближения [2], и приближения, полученные в настоящей работе, погрешности приближенных значений. Из сравнения данных, представленных в таблицах, видно, что точность приближенного решения, полученного в настоящей статье, соответствует точности второго приближения [2], но полученное здесь приближение хорошо аппроксимирует точное решение во всей области течения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Сапунков Я. Г. Приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 145-147.
2. Сапунков Я.Г. Второе приближение решения задачи о сходящейся ударной волне // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 132-135.
