Модификация метода сапункова решения задачи о сходящейся ударной волне Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Крылов В.В., Ткачев В.В., Добровольский Г.Ф. Микрохирургия аневризм вилли-зиевого многоугольника. М., 2004. 160 с,

2. Holzapfel G.A., Gasser Т.С., Од den R.W. A Xew Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models Ц J. of Elasticity. 2000. V. 61. P. 1-48.

3. Грин, А., Адкиис Дою. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М,, 1965, - 456 с.

4. Care.w Т. Е., Vaishnav R. N., Pater D. J. Compressibility and Constitutive Equation for Arterial Wall // Circ. Res. 1968. V. 23. P. 61-68.

5. Пуриия Б.А., Касьянов В.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека. Рига: Зипате. 1980. 260 с.

УДК 533.6.011

B.C. Кожанов

МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА САПУИКОВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ

В статье описывается модификация метода приближенного аналитического решения задачи о сходящейся ударной волне, предложенного Я.Г. Сапу иковым [1].

Чтобы описать автомодельное течение жидкости с отношением удельных теплоемкостей y за ударной волной (УВ) в задаче о схождении цилиндрической (v = 1) или сферичес кой (v = 2) У В необходимо решить задачу для системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

£V(f) = Д1/Д0 = - (v+1) V + к + (V-а) Д4/Д0,

£ (ln G(£))'=Д2/Д0 =—к/(V-а) - Д4/Д0, (1)

£2'(£}=Аз/Ао = -2{ [2 (V-1)+(7-1) к]/(У-а) + (7-1) Д4/А4 ,

Д0 = (У-а)2-2, Д4 = vУ2-[(v+1) а+к-1] У+ка, к = 2 (1-а с граничными условиями на поверхности У В при £ =1:

У (1) = V*=^, С (1) = С*=^• * (1) = *= (2)

и вдали от УВ при £ ^ го: У (го) = 0 2 (го) = 0.

При этом само автомодельное движение представляется в форме

и = г£-1У(£), р = роС(£), с2 = г2£-22(£), £ = А-1г£Л

где время £ и координата г - независимые размерные переменные, £ - независимая автомодельная переменная, а У, С и 2 - автомодельные представители скорости жидкой частицы и, плотности р и квадрата скорости звука 2

с

Решение поставленной задачи будет аналитическим, если функции У, С и 2 будут аналитическими на предельной характеристике, ограничивающей область влияния течения за У В на УВ. Этого можно достичь подбором показателя автомодельности а, к определению которого сводиться первый этап решения. На плоскости ОУ2 данное требование означает, что интегральная кривая ОДУ = Д3/Д1? выходящая из точки Б (У*,2*), должна проходить аналитическим образом через особую точку В (Ув, 2в):

Ув = I(2^), = (Ув-а)2 , В = (V+1) а+к-1.

Система (1) является нелинейной, и к настоящему моменту получить ее аналитическое решение не удалось. Поэтому некоторые авторы проводят упрощение системы (1) с целью построения простого приближенного аналитического решения задачи.

Так, в соответствии с методом Я.Г. Сапункова необходимо в области между У В и предельной характеристикой отношение Д4/Д0, фигурирующее в правых частях уравнений (1), положить постоянным и равным его значению в точке соответствующей УВ па плоскости ОУ2. Решение упрощенной таким образом системы (1), удовлетворяющее граничному условию (2), имеет вид [1]

У = А + (У* - А) £"(*+1-К), ( У - а У1 ( У - А У2 ( У - а\в1 ( У - А\в2 (3) С* VУ* - а) и* - А) У* - а) \У* - А) ,

01 = -к/А1, в2 = {А [(7-1) (V+1)+2]-2} /А1, ¿1 = -0Ь ¿2=А (V+1) /Аь

А=(к-аК) / (К-а -1), К=Д4/Д0|(^^}, А1 = (v+1) а-к.

а

уравнение

(Ув - а)в1 "У Ув - А^ в2 (У* - а)в1 1У* - А

(УВ - а\( У^) - 1 = 0. (4)

Простота допущения, лежащего в основе метода Я.Г. Сапункова, позволяет провести модификацию метода с целью увеличения точности определения приближенного значения показателя автомодельности.

Модификация заключается в замене постоянной К на функцию К^ (7) = I • К, / = I (т) в выражениях (3), (4). При этом параметр 0 ^ I ^ 1 можно

а

нения (4), будет равно значению показателя автомодельности, полученному при решении исходной автомодельной задачи.

Вычислительная сложность определения I для каждого конкретного значения показателя адиабаты 7 сравнима со сложностью определения самого показателя автомодельности. Компромиссом между точностью и простотой а

симости I = I (7).

Ниже представлены результаты расчетов для случая, когда особая точка В (Ув, 2в) является седлом. Для V = 1 это значения 7 из интервала (1,1.9092), а для V = 2 - (1,1.8698).

Приближенные зависимости I = I (7) для цилиндрически и сферически симметричной УВ на установленных интервалах значений 7 определяются формулами

V = 1 : I (7) = -0.6441586373 + 2.3104886372 - 3.232663187 + (5) + 2.44459306 + 0.030343831п (7 - 0.999300); (5)

V = 2 : I (7) = -1.1756318573 + 4.3920511072 - 6.046788397 + (6) + 3.78212186 + 0.04106372 1П (7 - 0.999200). (6)

а

ные как по оригинальному методу Я.Г. Сапункова (а*ар ), так и по предлагаемой модификации (а*армо^) для нескольких значений 7. Приближенные

а

ют меньший размер).

V = 1 V = 2

7 а аЯар аЯарМой а аЯар аЯарМой

1.01 0.9475104 0.94772 0.9475113 0.9018677 0.90240 0.9018662

1.05 0.9071206 0.90741 0.9071216 0.8322469 0.83289 0.83225Ю

1.10 0.8852480 0.88552 0.8852470 0.7959697 0.79655 0.7959667

1.20 0.8611630 0.86137 0.8611613 0.7571418 0.75759 0.7571354

9/7 0.8480493 0.84821 0.8480485 0.7365975 0.73695 0.7365947

1.30 0.8462231 0.84638 0.8462225 0.7337767 0.734П 0.7337746

7/5 0.8353231 0.83543 0.835323з 0.7171745 0.71742 0.7171754

1.50 0.8267475 0.82683 0.8267478 0.7044280 0.704бо 0.7044293

1.60 0.8196996 0.81975 0.8196997 0.6941895 0.694зо 0.6941898

5/3 0.8156249 0.8156б 0.8156249 0.6883768 0.68845 0.6883767

1.70 0.8137404 0.81377 0.813740з 0.6857165 0.68577 0.685716з

1.80 0.8085999 0.80861 0.8085998 0.6785536 0.67857 0.6785535

1.90 0.8040990 0.804ю 0.8040990 — — —

Максимальная относительная погрешность вычисления значения а с использованием модифицированного метода Я. Г. Си пун копи, когда параметр I определяется то формуле (5) (для V = 1) или (6) (для V = 2), по сравне-

а

составляет не более 0.215 • 10-3% (для V = 1) и 0.882 • 10-3% (для V = 2). Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сапунков Я. Г. Приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 9. С. 145-147.

УДК 533.6.011

Е.О. Кузнецова

ТРАНСЗВУКОВЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗГ-РЕШЕНИЙ

В данной статье изучен вопрос построения первых двух поправок в трансзвуковых разложениях с использованием решений Заславского - Гриба (ЗГ) в качестве нулевого приближения.

В статье [1] рассмотрены трансзвуковые разложения, в которых решение уравнений газовой динамики представляется рядом по степеням малого параметра (характеризующего отклонение от однородного потока). В первом приближении решается система уравнений Кармана - Фальковича, для дальнейших приближений получают неоднородные линейные уравнения, правые части которых зависят от предшествующих слагаемых.