Преобразование радона целых функций многих комплексных переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

Преобразование Радона целых функций многих комплексных переменных

Ломакин Д.Е. fdenislomakin@rambler.ru) Орловский государственный университет

Введение

В монографии [1] И.М. Гельфандом было показано, что преобразование Радона аналитической функции многих комплексных переменных (как

/V О О

обобщенной) может быть найдено в виде у) =| £ |2п-2 Н(£, у), где функция Н (£, у) аналитична по (э^еСх^"1, £2п_1 - единичная сфера в Сп. При этом доказано только существование функции Н (£, у) . В работе автора [3] функция Н (у) получена конструктивно.

В настоящей работе вводится оператор Я0, который ставит в

соответствие функции ^(г) из Н(Сп) одно из ее преобразований Радона.

Изучаются свойства этого оператора, а также пространство (С х £2п-1)

функций вида и(£,у) =| £ |2п-2 Н(£,у), где Н(£,у)=Н(£У), Н(г) е Н(Сп), в

которое оператор Я0 переводит пространство Н(Сп).

В первом параграфе вводится определение преобразования Радона, доказывается, что оператор Я0 задает одно из преобразований Радона функций

из Н(Сп), а также доказывается формула обращения для оператора Я0 .

Во втором параграфе доказывается терема единственности для оператора Я0 в классе функций из пространства Н£ (С х £2п-1).

В третьем параграфе доказывается непрерывность оператора Я0 : Н(Сп) ^ (С х £ 2п-1), а также показывается, что Я0 устанавливает

взаимно однозначное соответствие между пространствами Н (Сп ) и

Н£ (С х £2п-1). Рассматривается вопрос о полноте пространства Н£ (С х £2п-1).

Электронный журнал «Исследовано в России» 24 11 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

Доказывается, что Я0 - топологический изоморфизм пространств И (Сп) и И, (С х 5 2"-1).

1 Определение и формула обращения

Обозначения: 52п-1 - единичная сфера в Сп, йъ - элемент площади 5пЛ. Для г, w е Сп полагаем < г, w >= ^ , йю2п - элемент объема в Сп. Через

ДСп) обозначается пространство гладких финитных функций, носители

Сп

.

Для функции ф(г) е ДСп) через ф(,,£), (,,£) е С х (Сп \{0}), будем

обозначать комплексное преобразование Радона ([1], гл.2, §3, с.161). Так как

-2

ф(а,,а^)=| а | ф(,,£,),ае С\{0} ([1], гл.2, §3, с.162), то мы будем отождествлять функцию ф(,, £,) с ее сужением на Сх5 , которое будем

обозначать ф(,, w), w е 52п-1.

Имеет место следующий аналог формулы Планшереля для преобразования Радона ([1], гл.2, §3, с.168). Если функции

Ф1 (г), Ф2 (г) е Б(Сп ), то

д 2п-2

\фl(z)ф2(z)d®2n (г) = (-1)П-1 Ьп Г ф1<Л -П"Т ф2(, w)d®2(s)dъ(w),

п 2 п 1 д,п 1д,п 1

Сп Сх52

(1)

где ср1 (,, w), ср2(,, w) - преобразования Радона функций р1( 2), р 2( г) соответственно, Ьп>0. Функция р(г) е ДСп) восстанавливается через свое преобразование Радона ф(,, w) по формуле

д 2п-2

Ф(2) = (-1)п-1 Ьп Г -- Ф(< г, w >, w)dст(w), (2)

где Ьп>0 то же, что и в (1).

На пространстве С (С х 52п 1), состоящем из функций, непрерывных на

Со 2п —1

х 5 , рассмотрим оператор

(Я * /)(г) = | / (< г, у >, у).

£ 2п-1

Этот оператор является дуальным к преобразованию Радона, то есть, для любой функции ф( г) из Э(Сп) верно [8, с.10]

|(Я * /)(г)ф(г^®2п (г)= 11(s, у)ф<Л У) •

С п Сх £ 2 п-1

Пусть ЯЭ - векторное пространство, образованное комплексными преобразованиями Радона ф( £, у), функций ф( г) из Э(Сп). Обозначим через М векторное пространство, образованное функциями вида

д2п-2 Л

у(£, у)=-;-т ф(£, У), (3)

д£п-1д£п-1

где ф(£, у) е ЯЭ. Пусть Р е П(Сп) - обобщенная функция. Преобразованием

Радона обобщенной функции Р называется линейный функционал, заданный на М и определяемый соотношением

(-1)п-1 Ьп < Р, у> = < Р, ф>, (4)

где ф и у связаны формулой (3) ([1], гл.2, §3, с.172). Непосредственно из формулы обращения для преобразования Радона (2) следует, что если для у е М верно у(£, у) = 0, то ф(г) = 0, где функция фе Э(Сп) связана с у соотношением (3), то есть, данное определение корректно. Из формулы (1) вытекает, что в случае Р(г) е Э(Сп) преобразование Радона Р совпадает с

обычным. Заметим, что продолжение функционала Р на Э(С х £2п-1)

определяется неоднозначно. Преобразование Радона целой аналитической функции Р (г) (как обобщенной) может быть задано в виде

Р(£,у) =| £ |2п-2 Н(£,у), где Н(£,у) - целая аналитическая функция комплексного переменного £ ([1], гл.2, §3, с.179). При этом в [1] доказано только существование функции Н (£, у).

Электронный журнал «Исследовано в России» 24 13 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

Пусть И (Сп) пространство целых в Сп функций с топологией равномерной сходимости на компактах, то есть, топология в И (Сп) задается с помощью системы полунорм:

^(г)||р=тех| ^(г) |;р = 1,2,...

у |г|<р

Рассмотрим пространство И, (С х 5 2п—1) функций вида и (¿, w) =|, |2п—2 И (где е Сх52п-1, И (г) е И (С п). Топологию в

И, (С х 5 2п—1) зададим с помощью системы полунорм:

(¿,w)||р = max | И^) |;р = 1,2,...

р |,|<р, wеS2n-1

Введем оператор Я0 : И (Сп) ^ И, (С х 5 2п 1), который каждой функции

ж ж

р(2)=Iс^...^1 42..4п I I^..л^142..4п (5)

|к|=0 I=0 к1 +к2 +...+кп =1

ставит в соответствие функцию w) =|, |2п—2 И(¿^) из пространства

И, (С х 5 2п—1), где

И(*) = I I^...кп^1, (6)

I =0 к1 +к2 +...+кп =1

п—1

1 Ск1к2...кп П(1 + ])

/ 1\п-1 12 п л- л-

й =(-1)__1=1_

Мкк к---Т-;

Ьп 2пп ((п 1)|)2Г1 + С I + + сп-1 I(I - 1)-(/ - п + 1)

п ((п -1)!) 1 + Сп-1- + ••• + Сп-1-;-^-

^ 11 (п -1)!

I = к1 + к2 +... + кп, ск1к2 кп - коэффициенты ряда (5), С^г-1, т=1,2,...,п-1 -биномиальные коэффициенты, Ьп - константа из формулы (1). Покажем, что из сходимости ряда (5) в топологии И (Сп) вытекает сходимость в этой топологии ряда (6). Рассмотрим ряд

ж

А*) = I I а^^А1 , (7)

I=0 к1 + к 2 +...+ кп = I

где

1 п-1

акхк2.А = 2Т П(к + k2 + - + ^ + 3)

2п 3=1

Введем также оператор А: Н п) ^ Н п),

п-1

Л=-

л п — 1 п _п 11 ^ ' дг

2п 3=1V =1

где I - тождественный оператор. В силу теоремы Вейерштрасса о равномерной

сходимости оператор Л: Н ^ п) ^ Н (Cn) непрерывен.

Имеем

п-1

ск. к

2П

1

Л( О^/,1 )=—7 С^..^ П (kl + k2 + ... + К + 7) ^ 2к22..4п

7 =1

Тогда для любого N > 0 верно

N N

Л(У У Ок1к2...кп 212 ■■■^п )= У У °к1к2...кп21к1 ^ •••znn •

I=0 к1 + к 2 + •••+ кп = I I=0 к1 + к 2 +...+кп = I

Из непрерывности оператора А и из сходимости ряда (5) в топологии Н ^п) вытекает сходимость в этой топологии ряда (7). Кроме того, /(г)=(ЛР)(г). Тогда ряд составленный из модулей ряда (7) сходится в ^. Отсюда следует

Сп

ряда

У У | акк2 кпгк ..4п | [12, гл.1, §3, с.43], то есть, для каждого

I=0 к1 + к 2 +...+кп = I

компакта К с Cп и любого положительного е найдется номер Ще,К) такой, что

для произвольных т,р е N таких, что р > т > N(е,К) верно

р

У У1 ак1к2...кпг1к142-4п 1 <е Vz е К. Очевидно, что

I=тк1 + к 2 +...+кп = I

г\2-*кп I-1 акхк2...кпгкгк22..4п |, тогда

р

I Iйкхк2...^ 222...?пп

I=тк1 + к 2 +...+к„ = I

<! 11йк1к2...к„21к1 г?2...гп- |<

I=тк1 + к 2 +...+кп = I

<

I Жк2...кпг1к1 zk22••4nl<z ^ е *.

I=тк1 + к 2 +...+кп = I

Таким образом, выполнен критерий Коши равномерной сходимости для ряда (6), следовательно ряд (6) сходится в топологии И (Сп).

Функцию Р(w) = | , |2п-2 И() будем обозначать также через [ *0( Р)](,, w)•

Теорема 1.1. Для любой функции Р(г) е И(Сп) функция [Я0(Р)](,, w)

задает ее преобразование Радона как обобщенной функции. Доказательство. Покажем, что

д

(-1)п-1 Ьп . п-1 ([Я0(Р)](,,w))=А(¿П

2п-2

где (w) е С х 5

2п-1

где / (г) сумма ряда (7). Последнее равенство

эквивалентно равенству

(-1)п-1Ьп

д

2п - 2

—г (¿|2п - 2 и (™))= А (

д,п-1д,п-

(8)

где

А(г)=(АР)(г)= I Iа^.кА1 2 ...г

I=0 к1 + к 2 +...+кп = I

В [3, Лемма 4] показано, что

д

2п-2

-1-— (| , |2п-2 и(^))=

<(п -1)!)2

, д ,2 д2

п -1 п -1

1 + Сп+ Сп-1 » 2 + ••• + Сп-1

п-1 ^ д

1! д,

2! д,2

(п -1)! д,п-1

И (™), (9)

ж

Электронный журнал «Исследовано в России» 24 16 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

где I - тождественный оператор. Подставляя в (8) вместо Н(¿у) ряд (6), а вместо /(¿у) ряд (7) при г = ¿у , и, учитывая (9), убеждаемся в справедливости равенства (8).

В [7] доказано, что функции ¥ (г) и / (2) связаны равенством

¥(г)= |/(< г,у > у)йЪ(У),

5 2п-1

то есть, ¥ (г )=[ Я * / ](г), где Я * оператор дуального преобразования Радона. Поэтому для любой функции ф( г) е п) верно

| ¥(г)ф(г2п (г) = | /(¿у)ф(2 (. Cn

Тогда из (8) следует

С CxS2n-1

|¥(г)ф(г)й«2п (2У-

C

I -1 ( * \2п-2 Н(Ы))ф(£,¿Жу)

Cx 5 2п-1

Так как функция ф(г) из Э^17) имеет компактный носитель в ^, то из определения преобразования Радона следует, что ее преобразование Радона ф( у) также имеет компактный носитель в C х 52п-1. Тогда, интегрированием по частям, из последнего равенства получим

|¥(г)ф(г'^<2п (z) ■

Cx 5 2 п-1

= (-1)п-1 Ьп | И2п-2 Н(щ) -1 ф(¿Жу).

Следовательно, по определению функция | £ |2п-2 Н(¿у) задает преобразование Радона функции ¥ (г). Теорема доказана.

Электронный журнал «Исследовано в России» 24 17 http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/2004/227.pdf

Следующая теорема устанавливает формулу обращения для преобразования Радона Я0.

Теорема 1.2. Пусть Р (г) е И (Сп), Р = Я0( Р). Тогда

( ^2п-2

Р ( г )=(-1)п-1 ЬпЯ

—^-- Р(,, w)

д,п-1д,п-1

(г),

где Я * - оператор дуального преобразования Радона:

[Я * А](г)= \ А(< г, w >, w)dст(w)•

5 2п-1

Доказательство. Функция Р(,, w) удовлетворяет уравнению

д 2п-2

(-1)п-1 Ьп ——1-т р(,, w)=А ),

п дs дs

при этом функция А- решение уравнения [Я * А](г)= Р(г)• Из этих равенств следует

Р(г)=[Я * А(™)](г) = (-1)п-1 ЬпЯ *

( д2п-2 ^

--г Р(,, w)

д^ д;?

(г).

Теорема доказана.

2 Теорема единственности

Теорема 2.1. В классе функций (С х 52п-1) преобразование Радона функции Р (г) из И (Сп) определяется единственным образом.

Доказательство. Пусть Р (г) е И (С п) и пусть (ЯР )1(,, w) и (ЯР )2(,, w) - преобразования Радона функции Р (г), причем (ЯР )1(,, w), (ЯР)2(,, w) е И, (С х 52п-1). По определению преобразования Радона для любой функции ф(г) е Б(Сп) верно

(-1)п-1 Ьп < (ЯР) ], у> = < Р, р>, д2п-2 Л

где ] =1,2, ^ "Г Ф^ w)•

д,п 1дsn 1 Рассмотрев разность, получим:

*

2п-2

(-1)п-1 Ьп I I ((((_,м) - (Я¥)2^,м)) д 1 п1 ф(_,у) da(w) ^(¿)=0.

C 5 2п-1 д£п-1д£п-1

По условию (Я¥)7(_,м) = _ |2п-2 ¥7(¿у), где ¥7(г) - целая функция. Тогда (Я¥)1(_,м)-(Я¥)2(б,м')^ _ |2п-2 Н(¿у), где Н(г) - целая функция.

Для любой функции ф(г) е п) имеем:

Я 2п-2

I I | б |2п-2 Н(_М) я п -1 ф(_,М) ^а(м) ^<2(б)=0. (10)

C 52п-1 Я_ Я_

Применяя к последнему интегралу теорему Фубини, получим

,2п-2

I I | б |2п-2 Н (¿М)-Я--- ф(_, М) dст(w) ^ю2(б)=

j V У я_п-1Я_п-1 ^ ' ^ '

C 5

2п-2

= I (| | б |2п-2 Н(_М) п-1 _п-1 ф(_,М) d<2(s))da(w).

5 2 п-1 C Я_ Я_

Так как функция ф(г) из ^^) имеет компактный носитель в ^, то из определения преобразования Радона следует, что ее преобразование Радона ф(_, м) также имеет компактный носитель в C х 52п-1. Тогда, интегрированием по частям, из последнего равенства и из (10) получим

Я 2п-2

I I яп-1я_п-1(|_|2п-2 Н(_М))ф(_,м) d©2(_) da(м)=0• (11)

Я_ 1Я_

52п-1C

Покажем, что функция

Я 2п-2

И(_,*>)=—^--(| _|2п-2 Н(_М))

Я_п-1Я_п-1

имеет вид И(_, м)=И (_м ), где И (г) е Н^п). Из (9) имеем:

=((« -1)0

Я 2п-2

—^-- (| _ |2п-2 Н (_М))=

Я_п-1Я_п-1

2 2 п -1 п -1

I + сп 1 _- + с?1 + ••• + сп-1 _ Я

ч -11!Я_ п-12!Я_2 "' п-1 (п -1)! Я_п-1 ,

Н ( ),

где I - тождественный оператор. Далее для любого натурального к верно

д к

/ К (И(™))= ,к I

д,к " и + и +"'+ к = к дг!1 .••дг

д -И

к1 + к 2 +...+ кп = к

к1 к

п

V 1 •• п У

дк

= I 'к1-* Тк^Н (г)

к1 + к 2 +...+кп = к дг1 •••дгп

Поэтому верно

д к ~ / —Г (И (^ ))= ~ (ж),

где (г) - целая функция. Тогда из (9) следует, что

д2п-2 ~

—-1-г(| , |2п-2 И(™))= А(™),

д, д,

где ^ (г) - целая функция.

Из (11) вытекает, что

Г Г И(,, w) ф(,, w) dст(w) йю2(,)=0

52п-1С

для любой функции ср еЯЭ. Покажем, что функция И(,, w) принадлежит ядру оператора Я * . Положим g(г) = (Я * И)(г)= |к(< г, w >, w)dст(w)• Тогда [8, с.10]

5 2 п-1

для любой функции ф( г) из Б(Сп) верно

|g ( г )ф( г )й©2п ( г) = | А( * w)ф( * w)d®2(s)da(w) =0.

С п Сх 5 2п-1

Следовательно, для любой р( г) е ДСп)

Г g ( г )Ф( г )й®2п ( г )=°.

Сп

Так как последнее равенство верно для произвольной функции р( г) из ДСп), то ([5], Ч.2, гл.6, с.172) почти всюду в Си верно g(г)= 0, а, значит,

Электронный журнал «Исследовано в России» 2420 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

g(2) = (К * И)(2) =0 в Сп. Таким образом, мы получили, что функция И(s, м) принадлежит ядру оператора К * .

В работе [9] показано, что для того, чтобы функция И(s, м) принадлежала ядру

оператора К * необходимо и достаточно, чтобы для любой сферической гармоники Ут (м) степени т > 1 функционал

2п

< Иут , а^) >=< И,— |)Ут (ме10 )с1®>, a(s) е О(€)

0

задавался мерой Рт &) где Рт &) - многочлен степени не выше

т -1, а при т = 0 было ¥У = 0.

т

Пусть а^) произвольная функция из О^). Рассмотрим функционал

2п

< Иу , а > = <

И,— | )Ут (м>ет

>=

0

( . 2п

\ | И^, м) Ут (ме'@ №

$2п-1C 0

2п

V 0

dю2(s) d<(м).

Так как И(s, м)=И ^м), где И (2) е Н^п), то

( 1 2п

< Иут ,а > = | \ И^м) — \а(seг0)Ут (ме*0)d0 $2п-1C

По теореме Фубини имеем:

2п

V 0

dю2(s) d<(м).

< ИУ , а > = Ут 2п

2п

1-Ц( | ~(8м)а^е10)Ут{ме10) d<(w))dю2(s) d0

0 C $ 2п-1

Положим во внутреннем интеграле м=£,е 1&, тогда = ме10, а da(£,) = d<(w). Получим

< ИУ , а > =

т

2п (

=—{ | |И^е1@1)а^ет)Ут(^(^ф

0 Vс $2п-1

d0 =

й© .

1 2^ ( ~ Л Г Г И^^в1©)Ут(^^а®

^ 5 2п-1С

2п

0

У

Пусть теперь X=sвl<©, следовательно, йю2(^)=йю2(,). Тогда

2п

< И7т,а >=2- Г Г ГИ(Х^)а(Х)Ут(^^(Х^) й©^

0 52п-1С

= Г ГШ)а(Х)¥т(^)й®2(Х)йа(^).

5 2 п -1 С

Таким образом, меняя порядок интегрирования, получим

< И7т,а >=Г ГИ(^)а(,)Гт (w)d<з(w)d®2(s).

С 5 2 п -1

С другой стороны

Иу , а > = | Рт (,,,

= Г Рт (s,, ) а(,) й®2(,),

С

где Рт (,,,) - многочлен степени не выше т -1. Следовательно,

Г Рт <А Ю а(,) й®2(,) = Г а(,) Г ~(^)Ут

С С 5 2п-1

Тогда

у Л

а(,) йю2(,)=0 V а(,) е Б(С)

Г Рт (,,- Г Н( МУт (w)dа(w)

С ^ 52п-1

Так как последнее равенство верно для произвольной функции а(,) из ДС), то ([5], Ч.2, гл.6, с.172) почти всюду в С верно

Рт(,,- Гк^Ут(w)dа(w)= 0.

-<2п-1

Последняя разность представляет собой непрерывную функцию, тогда всюду в С имеет место равенство

Рт <Л Ю = Г ~(^)Ут (w)dъ(w) •

5 2 п -1

Электронный журнал «Исследовано в России» 2422 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

Таким образом, для любой сферической гармоники Ут (м) степени т интеграл

^т СЮ = |И( ^ )Ут ( w)d<( м)

$ 2п-1

представляет собой многочлен, степени не выше т -1, тождественно равный нулю при т = 0.

Покажем, что функция И (sw) тождественно равна нулю. Так как И (г) целая, то

да

н^)=£ с^/1+к2+...+кпмк мк2...мкп. (12)

|к|=0

Зафиксируем т и к®,к°,...,к®, к(° + к(° +... + к(° = т . Заметим, что для любых мультииндексов к1,к2,...,кп функции м^1 м^2 ..м^ и м^1 ...м1^,

м = (мъм2,...,мп) е $2п-1, представляют собой сферические гармоники степени

к0 к0 к 0

кх + к2 +... + кп . Положим Ут(м)= м11 м22 ...мпп, тогда Ут(м) - сферическая гармоника степени т . Поэтому

^т (s) = |~(sW)Ут (w)d<(w) =

$ 2 п -1

да

Г Х-1 к1 + к2 +...+к„—к1— к2 —к„ к,0 к2 к° т / ч

= ] X Ск1к 2 ...кп 1 2 пм11 м22...мппм11 м22..мпп ^(м).

$ 2 п 1 |к |=0

Так как гармоники различных степеней ортогональны, то

^ (s)= X Ск1к2...кп sm { мк1 мк2 м мк0 м^ d<(w) .

к1 + к2 +...+кп =т $ 2 п-1

Переходя к сферическим координатам ([8], гл.1, §2, с.44), вычислим последние интегралы. Рассмотрим на сфере $2п-1 сферические координаты

0 = (0Ь 02 0п-1) е

0, П 2

п-1

, Ф = (фьФ2,...,Фп) е [0,2п]п

м1=м:(0, ф)=cos 0: егф1, м2 = м2(0, ф)=sin0^02 егф2

wn-1 =wn-1(0,ф) sinGjsin02 ...sin0n_2cos0n-1 e1(p"-1

wn = wn(0,ф) sin01sin02 ...sin0n_2sin0n-1 е1фп. Для любой суммируемой на сфере функции верно

J f (w)da( w)

S 2n-1

J f ( Wi(6 ,ф),W2(0,ф),...,wn(0,ф)) D(0) d01... d0n-1 dф1... dфn,

0,2

n-1

n x[0,2n]n

n-1

где D(0)=П(sin 0j )2(n-j)-1 cos0j .

j=1

Рассмотрим интеграл

r Г —h— k2 —kn k0 k20 k0 1 / ч

I1= I w11 w22...wnnw11 w22 ...wnn da(w).

2n-1

S

00

где (к1 , к 2,..., к°°) ф (к1, к 2,..., kn). Не нарушая общности доказательства, будем

считать, что к1 ф к^. Заметим, что

И dф = {2п'k = 0 (13)

J I 0,k ф 0. v у

Тогда

П П

2 2 2п 2П

I1 =J...J J J (cos01e-'-1)"1...(sin01..,in0n)kn (corf^ ...(sin0,.,»^)k" x

I—

n-1 n

х Б(0) d01 ... d0п-1 dф1 ... dфп. Так как к1 Ф к®, то из (13) следует, что 11= 0.

Рассмотрим теперь случай, когда (к^,к2 ,...,к®) = (к1,к2,...,кп). Вычислим интеграл

,0 ,0 ,0

Г —к— к2 —к„ к0 к2 к0 л / ч 12 = I м11 м22...мпп м11 м22 ...мпп «ст(м) =

$ 2п-1

г _к0_к20 _кп0 к0 к20 кп0 , , х

$ 2 И-1

= | | |2к0| м2 |2к0 ...| мп |2к0 d<(w).

$2п-1

Переходя к сферическим координатам получим:

п п 2 2

12 =(2п)п I...| |cos0! |2к1° ... | sin02...sin0п-1 |2к° О(0) ¿01... d0п-1=

0 0

п-1

= 0(к10, к 20,..., к0)

где ®(к10,к2,...,к*0) - положительное число. Таким образом,

•т (s) = 0(к1 ,к^,..., кп) ск0к° к0 S .

С другой стороны • т (s) - многочлен степени не выше т -1. Тогда с 0 0 0 =0.

к1 к2 ...кп

Таким образом, для любых к10,к2 ,...,к° имеем с 0 0 0 = 0. Тогда из (12)

к1 к2 ... кп

следует, что И (sw )= 0. Поскольку

~ д2п-2

И(sw)=——---(| s |2п-2 Н

дsn-1дSn-1

то

д 2п-2

—^--(И2п-2 Н^м)) = 0.

дsn-1дSn-1

В [3, теорема 6] доказано, что в классе функций аналитических по s в С и непрерывных по совокупности переменных решение последнего уравнения единственно, тогда Н 0. Таким образом,

(КГ м) = (КГ )2( s, м).

Теорема доказана.

3 Свойства оператора

Теорема 3.1. Я0: И (С п) ^ И, (С х 5 2п-1) - линейный непрерывный оператор.

Доказательство. Линейность оператора Я0 очевидна. Докажем непрерывность.

Рассмотрим окрестность нуля в И, (С х 5 2п-1).:

V = ^ е Н, (С х 52п-1) :|| и ||т1 < и ||т2 < 82 '•••'|| и \\ту < 8у }•

Если т0 = т8х(т1, т2,..., ту), 8 0 = тт(вь 8 2,..., ву), то

V = {и(,, w) е И,(Сх 52п-1) :|| и ||т0 <80 }с V.

Покажем, что существует окрестность нуля Ж в И (Сп) такая, что Я0(Ж) с ¥1 с V.

Пусть Ж = Р (г) е И (Сп ):|| Р ||2п2т < 8}, где значение 8 будет выбрано ниже. Зафиксируем Р (г) е Ж. Так как Р (г) е И (Сп), то ([12], гл.1, §1, с.30)

ж

Р ( г)= I Скк..Хпг\ г 1=0

А А 12 г1п

1 Г Р(4)

где / = (/ь /2,..., 1п), с,, / =- , , , \ —;—rdE, Г - остов некоторого

12 '^'/1/2.../п (2п)п Г^22 +1...^пп +1

поликруга с центром в нуле.

Подействуем на Р (г) оператором

п-1

" I г1

дг

А =-

2пп ]=1 VI=1

л П—± п /у

П I+ ]1

2„ п 1 1 ^ 1

Получим

ж п-1

А(Р)(sw) = —7 I С,1,2...,п П(/1 + /2 + ••• + /п + ]) ,!/| ^.•^1пп 2п |/|=0 ]=1

z=sw

Причем, из доказанного выше, следует, что последний ряд сходится равномерно на каждом компакте { s |< R}x S2n-1 с C x S2n-1. В качестве Г возьмем следующее множество

Г = {z е Cn :| zi |= 2nm0,i = 1,2,...,n},

тогда Г c{z е Cn :| zt |< л/й • 2nm0,i = 1,2,...,n}c {z е Cn :| zt |< -2n2m0,i = 1,2,...,n}.

Так как F(z) е W, то max | F(z) |< 8. Тогда

zer

| chh-ln |

1- f-

F (£)

(2n)n J^i +42L+1

d|

n

n

<-

8

(n2m0 )|

Положим /(sw )=A(F)(sw). Тогда если | s |< 2m0, то

n-1

i uu П —1

| /(sw) | < —7 X | Cl1l2...ln | П(l1 + l2 + ... + ln + j) s|l|< 2n |l|=0 У=1

8 да 1 n-1

<:rn X If П(l1 +12 +... + ln + j)

2п |/|=0 n

j=1

Покажем, что ряд

да 1 n-1

X —|ТГ П(l1 + l2 + ... + ln + jj)

|l|=0 n j=1

сходится. В работе [3, лемма 2] показано, что

n-1

П

j=1

(l1 + 12 + ... + ln + j )< nn-1(l1 + 1) n-1(l 2 + 1) n-1...(ln + 1)n-1.

Тогда

(14)

V 1 Т"Т(/ + / + + 1 + Л<nn-1 V (l1 + 1)n-1(l2 + 1)П-1...(1П + 1)n-1

X ^ H(l1 + l2 + ... + ln + j)<n X--

|l|=0 n j=1 |l|=0 n n ... n

=n

(l1 + 1)n-1 ^ (l2 + 1)'

I xk 1 ; x

II =0 n 1 l =0

l2 =0

n

- X

ln =0

(ln +1У

nln

Так как ряд

2

V п-1

I

(к + 1У

к=0 п

к

сходится при п > 2 по признаку Даламбера, то отсюда следует сходимость ряда (14). Обозначим сумму ряда (14) через ©. Тогда

|А(Р)^)НА^)|<-8п, (,, w) е{|,|< 2т0}х 52п-1. (15)

2п п

Имеем:

1 ж п-1

А(sw)=-—п I ^ I Ск1к2...кп П(к + к2 + ••• + кп + ]) ^ ^ ^

/=0 к1 +к2 +...+кп =/ ]=1

В [3, теорема 3] показано, что А (представима степенным рядом

ж

А ^ ) = I с к (w) ,к ,

к =0

где коэффициенты ск вычисляются по формуле

1 г А(^)

=Ъ Г ^

|, |=2т0

С другой стороны

п-1

Ск Н = — I Ск1к2...кп П (к1 + к 2 + ••• + кп + ]) ^ ^2к2..^кп к1 +к2 +•••+кп =к ]=1

Из соотношения (15) следует, что

8©

Ск

А- '

2п (2т0) Рассмотрим функцию

ж

и () = I Ьк1к 2...кп,|к^1к1 2..шпкп к=0

где

n-1

( n-1 CHkП(k + j)

b =(-1) j='

k1k2-'-kn 7 о n

\+en,k+...+с:-1 k(k - '>...<k -"+1Л

n-11! n-1 (n -1)!

bn2n ((n -1)!)2

v

k — k + k 2 +... + kn.

Тогда

да

H (sw )=X bk (w)sk ,где

k—0

.-.)n-1

bk (w)

(-1)n-1_Ckiw)_

bn f 7 7,7 „ ,7 .

((n -1)!)'

1 + c" 1 k +...+e n-1 k (k - 1)...(k - n +1)

n-11! n-1 (n -1)!

а, значит,

80

\bk (w)|<

2nn(2m0)kbn ((n -1)!)2

Оценим модуль H(sw) при | s |< m0:

да да i

|H(sw)|=|Xbk(w)sk|<2n (80 |)!)2 X^

k—0 2n bn ((n - 1)!) k—02

Следовательно,

i rr/ —ч 1 80

max | H(sw)|<-

|s|<m0,weS2n-1 П"Ьп ((n - 1)!)2

По определению оператора R0 получаем, что R0(F) —| s|2n-2 H(sw) и

80

R0(F)||m0= max21| H(sw)|<—, „

0 |s|<m0,weS2n-1 п"Ьп ((n - 1)!)'

Положим

8 —8 0 П n ((n -1)!)2 bn

0

тогда ||R0(F^m0 < 80, то есть, R0(F) e V с v

Теорема доказана.

Электронный журнал «Исследовано в России» 2429 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2004/227.pdf

Теорема 3.2. Оператор Я0: И (С п) ^ И, (С х 5 2п-1) - биекция. Доказательство. Покажем, что Я0 сюръективен. Рассмотрим произвольную функцию | , | п- И() из И, (С х 5 2п-1 ) . Покажем, что найдется такая функция Р (г) е И (С п), что (Я0 Р)(,, w)=| , |2п - 2 И () Положим

( л2п-2 / Л

Р ( г ) = ( -1)п-1 ЬпЯ

д2

V

5$"" 1^(S|kn-2 Н^^

(г).

Покажем, что Р(г) целая функция. В [6] показано, что если функция А(,, w)

аналитична по , в С и непрерывна в С х 52п-1 по совокупности переменных, то (Я * А)(г) целая в Сп функция. Из (9) следует, что функция

И ()) аналитична по , в С и непрерывна по совокупности

д2п-2

д , |2п-2 ттг„—\

д,п-1д,п-1

переменных. Поэтому Р (г) е И (С п). Пусть теперь

РХ w)=( Я0 Р)(,, w).

В силу теоремы 1.2 верно

Р (г ) = ( -1)п-1 ЬпЯ

Из последних двух равенств имеем:

( д2п-2 ^

-1-- Р(,, w)

дsn-1дSn-1

(г).

(-1)п -1 ЬпЯ

( д 2п -2 и 2 2 ^

—^-т(((,, w)- | , |2п-2 И))

д,п-1дSn-1V '

( г )=0.

По определению оператора Я0 функция Р(,, w) имеет вид Р1^,w)=| , |2п-2 Н0), где И0(г) е Н(Сп). Тогда w)-1, |2п-2 И= =| , |2п - 2 Н1( sw), где Н1( г) е И (Сп). Далее, рассуждая так же, как и в теореме 2.1, получим

w)— | , |2п-2 И) =0.

То есть,

F(s,w) =|s |2n-2 H(sw). Таким образом, оператор R0 сюръективен. Покажем, то он инъективен. Для

этого достаточно показать ([4], гл.2, §1, с.40), что R-40) = {0}, а это непосредственно следует из формулы обращения. Теорема доказана.

Рассмотрим пространство Hs (C х S2п-1). Следующая теорема показывает, что Hs (C х S 2п-1) - пространство Фреше. Теорема 3.3. Hs (C х S2п-1) - пространство Фреше.

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно показать, что пространство Hs (C х S2п-1) полное. Рассмотрим произвольную

фундаментальную последовательность элементов из Hs (C х S2п-1): um(s,w) =|s|2n-2 Hm(sw), m=1,2,... Так как ([2], гл.4, §1, с.199) фундаментальность относительно метрики равносильна фундаментальности по каждой из полунорм, то для каждого p=1,2,... и любого положительного s найдется номер N(s, p) такой, что, как только m,k>N(s, p), то Ци^щЦр^. Следовательно,

max2 J H m (sw) - Hk (sw)|<s. (16)

| s |< p, weS 2n-1

Тогда

max| H m (z) - Hk (z)|<s

| z |< p,

Таким образом, последовательность Hm (z), m=1,2,... фундаментальна. В силу полноты пространства H(Cп), найдется функция H(z) e H(Cn) такая, что Hm (z) ^ H (z) в стандартной топологии этого пространства. Переходя в (16) к пределу при m ^ да получим

max | H(sw) - Hk(sw) | <s, k>N(s, p), p=1,2,.

| s |< p, weS 2n-1

Таким образом, мы получили, что последовательность ит м) |2п-2 Нт ) функций из Hs (С х £2п-1) сходится к функции

| s |2п-2 Н(sw) из Н$ (С х £2п-1) в топологии Н$ (С х £2п-1). Следовательно,

пространство Hs (С х $2п-1) полное. Теорема доказана.

Следующая теорема показывает, что К0 : Н (Сп) ^ Hs (С х £ 2п-1) есть топологический изоморфизм, то есть, линейное взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение ([4], гл.2, §1, с.42).

Теорема 3.4. Оператор К0 есть топологический изоморфизм пространств

Н (С п) и Ня (С х $ 2п-1).

Доказательство. Так как Н(Сп) и Hs (С х $2п-1) - пространства Фреше и К0 - линейное взаимно однозначное непрерывное отображение Н(Сп) на Н s (С х $ 2п-1), то ([4], гл.2, §1, с.42) К0 - топологический изоморфизм. Теорема доказана.

Следствие. Оператор К- непрерывен.

Список литературы

1. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции, вып.5. Интегральная геометрия и связанные с не вопросы теории представлений. - М.: Физматгиз, 1962. - 656 с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1989. - 624 с.

3. Ломакин Д.Е. Преобразование Радона целых функций многих переменных. / Орл. гос. ун-т. - Орел, 2003. - 24 с. Деп. в ВИНИТИ 07.07.2003 г., № 1276-В2003

4. Робертсон А. Робертсон В. Топологические векторные пространства. -М.: Мир, 1969. - 258 с.

5. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975. - 443 с.

6. Секерин А.Б. Дуальное преобразование Радона в пространствах целых функций. // Вестник науки: Сборник научных работ преподавателей и аспирантов физико-математического факультета ОГУ. Выпуск 2. -Орел, 2002. - с. 40-45.

7. Секерин А.Б. Представление бесконечно дифференцируемых функций разностью плюрисубгармонических. // Матем. заметки. 1986. Т.40, №5. с. 598-607.

8. Секерин А.Б. Применение преобразования Радона в теории аппроксимации. / БНЦ УрО АН СССР. Уфа, 1991. - 192 с.

9. Секерин А.Б. Применение преобразования Радона к аппроксимационным задачам многомерного комплексного анализа. Дис. ... докт. физ.-мат. наук / Уфа, 1992.

10. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. - М.: Мир, 1973. - 344 с.

11.Стейн И. Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. - М.: Мир, 1974. - 412 с.

12.Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.2. - М.: Наука, 1985. -464 с.