Комплексное преобразование Радона распределений и аналитических функционалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3

УДК 517.55

КОМПЛЕКСНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ И АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ

А. Б. Секерин, Д. Е. Ломакин

Статья посвящается авторами Ю.Ф. Коробейнику в честь его юбилея. В числе многих заслуг юбиляра авторы отмечают его большой вклад в сохранение традиций и высокого уровня исследований российской математической школы в это трудное для фундаментальной науки время.

Рассматриваются свойства комплексного преобразования Радона (ПР) распределений и аналитических функционалов. В терминах ПР распределений дано необходимое и достаточное условие представимости функций разностью логарифмических потенциалов. На основе свойств ПР целых функций, рассматриваемых как распределения, описан образ ПР сопряженного пространства к пространству целых функций многих переменных.

Преобразование Радона (ПР) является объектом исследования в течение достаточно длительного периода. Свойства ПР на пространствах распределений исследовались в работах [2, 4, 5, 8—11]. Следует отметить, что, в отличие от действительного случая, ПР распределений в комплексном пространстве мало изучено. В данной работе приводится ряд новых результатов, связанных с комплексным ПР распределений и его применениями. Основным результатом первой части работы является необходимое и достаточное условие представимости функций разностью логарифмических потенциалов. Данное условие формулируется в терминах ПР распределений. Этот результат принадлежит Секерину А. Б. Во второй части работы описан образ ПР сопряженного пространства к пространству целых функций многих переменных. Этот результат установлен Ломакиным Д. Е. (за исключением предложенного Секериным А. Б. определения ПР аналитического функционала).

Введем необходимые обозначения. Для х, ш £ Сп полагаем (х, ш) = ^ х^. Единичная сфера в Сп обозначается через Б2п-1, do — элемент площади сферы, (1ш2п — стандартная мера Лебега в Сп, А — оператор Лапласа. Если X — локально компактное пространство, являющееся счетным объединением компактов, то через Сс(Х) будем обозначать пространство действительнозначных, непрерывных на X функций с компактным носителем. При этом будем считать, что на Сс(Х) задана стандартная топология индуктивного предела. Далее, зарядом на X будем называть действительнозначный, непрерывный функционал на Сс(Х). Известно [1], что любой заряд на X представляет

© 2005 Секерин А. Б., Ломакин Д. Е.

собой разность положительных борелевских мер, конечных на компактах. Через Р(Сп) будем обозначать пространство гладких в Сп функций с компактным носителем.

Классическое комплексное ПР функции ^ £ Р(Сп) задается равенством

= Щ2 / ¥>(*) ^СЮ, £ с X (Сп \ 0), (1)

где ^А — элемент площади на гиперплоскости г : (г,£/|£|) = в/|£|.

Для любой функции ^ £ Р(Сп) и а £ С \ 0 верно

[йИ(а5,<) = М-2^]^), (2)

поэтому функцию [Д^](в,£) мы будем отождествлять с ее сужением [й^>](5,ад) на С X 52п-1. Если р £ Р(Сп), то [Д^](в,ш) £ Р(С X Б2п-1), где через Р(С X Б2п-1) мы обозначаем пространство непрерывных по (5, ад) функций ад), принадлежащих Р(С) при каждом фиксированном ад (будем считать, что на С X Б2п-1 задана стандартная топология произведения).

Приведем определение ПР распределений, предложенное в [2, с. 171]. Рассмотрим векторное пространство М, образованное функциями вида

, д2п-2 [Л^](в,ш)

Ф(*^) = д5п-1д,п-1 , V £^(сп). (3)

Пусть ^ £ Р (Сп). На пространстве М определим функционал Ьр:

(—1)п-Х(Ьр ,ф) = (ад, (4)

где ф и ^ связаны соотношением (3). Постоянная Ьп > 0 в (4) определяется таким образом, чтобы для регулярных распределений, задаваемых основными функциями, обобщенное ПР совпадало с обычным. В силу формулы обращения для ПР [2, с. 165] функционал Ьр определен корректно. Преобразованием Радона распределения ^ называется продолжение функционала Ьр на Р(С X Б2п-1). Данное продолжение всегда существует, но не обязательно является распределением на Р(С X Б2п-1). Кроме того, в силу неединственности продолжения, ПР распределений определено неоднозначно, что является одной из основных трудностей при исследовании его свойств. Другим неудобством является также то, что в определение ПР распределений необходимо включать пространство, на которое продолжается функционал Ьр. Это пространство, в свою очередь, зависит от рассматриваемой задачи.

Зададим на [0, то) X Б2п-1 стандартную топологию произведения. Для множества А С Сп обозначим через А! множество точек (Ь, ад) £ [0, то) X Б2п-1, таких, что гиперплоскость г : (г, ад) = Ь пересекает А. В [3, с. 11] доказано, что для открытого множества 7 и компакта К в Сп множества и К соответственно открытое и компактное подмножества в [0, то) X Б2п-1.

Пусть и(г) — плюрисубгармоническая функция в Сп. Функция и(г) называется логарифмическим потенциалом, если на [0, то) X Б2п-1 существует положительная мера такая, что для любой области 7 СС Сп верно равенство

и(г) = У 1п |Ь — (г,ад)| ^(¿,ад) + Яп(г),

где функция (г) плюригармонична в П. Мера ^ называется логарифмической мерой потенциала н(г).

Функция н(г) в Сп называется разностью логарифмических потенциалов, если н(г) = Н1(г) — Н2(г), где Н1(г), Н2(г) — логарифмические потенциалы.

Задача представления функций разностью логарифмических потенциалов имеет самостоятельный интерес, а также важные приложения к вопросам построения мероморф-ных функций с заданным ростом и представления аналитических функций рядами экспонент [3]. В монографии [3] приведен ряд достаточных условий представимости функций разностью логарифмических потенциалов. Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие.

Напомним, что действительнозначная функция н(г) называется 5-субгармонической, если она равна разности субгармонических функций [7].

Теорема 1. Пусть н(г) — 5-субгармоническая функция в Сп. Для того, чтобы н(г) была разностью логарифмических потенциалов, необходимо и достаточно, чтобы преобразование Радона распределения ^ = Дпн имело нулевой порядок сингулярности, т. е. продолжалось до заряда на С х 52п-1.

< Необходимость. Пусть н(г) = н1(г) — н2(г), где н1(г), н2(г) — логарифмические потенциалы, а и ^2 — их логарифмические меры. Положим V = ^1—^2. Из определения логарифмического потенциала следует, что для любой области П СС Сп верно равенство

н(г) = У 1п — (,г,ад)| ^(¿,ад) + Яп(г), (5)

П

где функция Нп(г) плюригармонична в П.

Пусть ^(г) — любая функция из Р(Сп). Имеем [3, с. 15]

У 1п |в — (г,ш)|Др(г) ^Ш2п(г) = 2п[Яр](в,ш), (в,ш) € С х 52п-1. (6)

с"

Тогда для любой области П СС Сп, такой, что вирр(^) СС П, из (5) и (6) получаем

(Дпн, р) = (н, Д» = 2п j [йДп-V] (¿, ад) ^(¿, ад).

п

Легко показать, что из включения вирр(^) СС П следует, что носитель сужения на [0, то) х 52п-1 функции [йДп-1^] (в, ад) содержится в П. Поэтому верно

(Дпн,р) = 2п У [йДп-1^] (¿,ад) ^(¿,ад). (7)

Из формул, связывающих ПР функции и ее производных [2, с. 162], следует

[*Дп-Ч М = д^^д^, М € С х 52п-1.

Поэтому из (7) следует, что для функционала , определяемого на пространстве М по распределению ^ = Дпн равенством (4), верно

(¿^,ф) = (—1)п-1Ь-12п У ^(¿,ад) ¿V(¿,ад), ф € М.

Последнее равенство очевидно определяет непрерывное продолжение Lf на Cc(C х S2n-1). Необходимость доказана.

ДОСТАТОЧНОСТЬ. Пусть функционал Lf, определяемый по распределению F = Anu равенством (4), продолжается до заряда ß на Cc(C х S2n-1). Для функции h(t, w) £ Cc([0, то) х S2n-1) определим ее продолжение на C х S2n-1 равенством he(s,w) = h(|s|,e-i0w), где s = 0, 0 = args. При этом очевидно he(s,w) £ Cc(C х S2n-1). Зададим на [0, то) х S2n-1 заряд v равенством

/( —1)n-1 b [

h(t,w) dv(t, w) =-^-n he(s,w) dß(s,w),

[0,m)xs2"-1 Cxs2"-1

где число bn то же, что ив (4). В силу (2) для преобразования Радона [R^>](s,w) любой функции ^>(z) £ D(Cn) и любого 0 £ [0, 2п] верно [R^>](s,w) = [R^>](ei0s,ei0w). Поэтому

/(—1)n-1b /"

[R<p](i,w) dv(t,w) = -——И [R<p](s,w) dß(s,w). (8)

[0,ot)xs2"-1 Cxs2"-1

Представим заряд v разностью положительных мер v1 и v2 и, используя явный вид формулы построения логарифмического потенциала по заданной мере [3, с. 54], построим логарифмические потенциалы U1(z) и U2(z) такие, что V1 и V2 — соответственно, их логарифмические меры. Пусть u(z) = U1(z) — U2(z) и ^>(z) — любая функция из D(Cn). Из определения логарифмического потенциала и из (6) следует

(An(u1 — U2),P> = <«1 — U2, A» = 2n j [RAn-V] (t,w) dv(t,w).

[0,m)xs2"-1

Тогда из (8) получаем

<An(u1 — U2), <^> = (—1)n-1bn J [RAn-1 p] (s, w) dß(s, w).

CxS2n-1

Так как в обозначениях формулы (4) мера ß задает функционал Lf, где F = Anu, то

<An(u1 — П2),^> = <Anu,^>.

Поскольку здесь ^>(z) —любая функция из D(Cn), то разность h(z) = u(z) — (u1(z) — U2(z)) удовлетворяет обобщенному уравнению Anh(z) = 0. В силу эллиптичности оператора An функция h(z) почти всюду в Cn равна некоторой гладкой функции H(z) [6, с. 81]. Далее [3, с. 64] любая гладкая функция в Cn — разность логарифмических потенциалов. Таким образом, доказано существование логарифмических потенциалов V1(z) и V2(z), таких что почти всюду в Cn верно u(z) = V1(z) — V2(z). Так как субгармонические функции, равные почти всюду, равны тождественно, то же самое верно и для ¿-субгармонических функций. Тогда всюду в Cn верно u(z) = v1(z) — v2(z). >

Рассмотрим пространство H(Cn) целых в Cn функций в стандартной топологии равномерной сходимости на компактах. Через H' (Cn) будем обозначать пространство всех линейных непрерывных функционалов на пространстве H(Cn). Введем также пространство Hc(C х S2n-1) функций вида f (s, w), (s, w) £ C х S2n-1, непрерывных по совокупности переменных и целых по s в C. Топологию в Hc(C х S2n-1) зададим c помощью счетного набора норм

k = max |f(s,w)| (k = 1, 2,...).

На пространстве С (С х 52п 1), состоящем из функций, непрерывных на С х 52п 1 рассмотрим оператор

[^7](г)= У /

Б2"-1

Этот оператор является дуальным к ПР, т. е. для любой функции ^ из Р(Сп) верно [3, с. 10]

У^7](гЖ*) Ж^п(г))= У /(в, ад^в) Жг(ш). (9)

С" СхБ2"-1

Назовем преобразованием Радона функционала ц € Н'(Сп) линейный функционал, заданный на Нс(С х 52п-1), и определяемый соотношением

(Кц,<р) = (ц, К», (10)

где р € Нс(С х 52п-1).

Теорема 2. Функционал Кц, задаваемый формулой (10), непрерывен в топологии Нс(С х 52п-1).

< Для доказательства теоремы достаточно показать, что для любой последовательности € Нс(С х 52п-1), сходящейся к нулю в топологии Нс(С х 52п-1), последовательность комплексных чисел (Кц, ) сходится к нулю.

Пусть } С НС(С х 52п-1) и ^ 0 в топологии НС(С х 52п-1). Нетрудно показать, что оператор К* непрерывно отображает пространство Нс(С х 52п-1) в Н(Сп). Тогда последовательность ^ 0 в топологии Н(Сп), а, следовательно, так как ц € Н'(Сп),

(ц, ) ^ 0. Из формулы (10) следует тогда, что (Кц, ) ^ 0. >

Через НС (С х 52п-1) будем обозначать пространство линейных непрерывных функционалов на Нс(С х 52п-1). Из определения следует, что оператор ПР аналитических функционалов линеен на Н'(Сп), т. е., в силу теоремы 2, К : Н'(Сп) ^ НС (С х 52п-1) — линейный оператор.

Пусть КегК* — ядро оператора К*, т. е.

КегК* = € Нс(С х Б2п-1) : [К*р](г) = 0}.

Следующая теорема дает описание образа оператора К.

Теорема 3. Пусть / € НС (С х 52п-1). Для того, чтобы функционал / был преобразованием Радона Кц некоторого функционала ц € Н'(Сп) необходимо и достаточно, чтобы для произвольной функции ^ € Кег К* было выполнено условие:

(/,¥>) = 0.

< Докажем необходимость. Пусть ц € Н'(Сп) и / = Кц. Тогда, по определению, для любой функции ^ из Кег К* имеем:

(/,¥>) = (Кц,<р) = (ц, К» = 0.

Необходимость доказана. Докажем достаточность.

Пусть дан линейный непрерывный функционал / на пространстве Нс(С х 52п-1). Пусть далее для любой функции ^ из Кег К* верно (/, = 0. Докажем, что найдется такой функционал ц € Н'(Сп), что Кц = /.

Положим для ф £ Н (Сп)

<^,ф) =

где < — любая функция из Нс(С х 52"-1) такая, что = ф. Покажем, что функ-

ционал ^ определен корректно. Сначала покажем, что для любой функции ф £ Н(Сп) существует такая функция < £ Не (С х 52"-1), что = ф. Рассмотрим оператор

А : Н(Сп) ^ Не (С х 52п-1), задаваемый формулой

1 п-1 / п „ \

^'•»^йЗ П Е*^ + И*М

]=1 \г=1 /

где I — тождественный оператор. В силу теоремы Вейерштрасса о равномерной сходимости оператор А : Н(Сп) ^ Нс(С х 52п-1) непрерывен. В [3, с. 75] показано, что если < = Аф, то для функции ф справедливо равенство ф = Таким образом, для любой

функции ф £ Н(Сп) существует функция < = Аф, < £ Н(С х 52п-1) такая, что < = ф и <^,ф) = </>

Пусть теперь для функции ф £ Н(Сп) существуют функции <1, <2 £ Не (С х 52п-1) такие, что ф = и ф = Тогда — <2) = 0, а, следовательно, <1 — <2 £

Кег "^Л Из условия теоремы следует </, <1 — <2) = 0, т. е. </, <1) = </, <2). Поэтому значение ф) функционала ^ определено корректно. Покажем, что функционал ^ непрерывен в топологии Н (Сп).

Пусть последовательность элементов фк из Н(Сп) сходится к нулю в топологии этого пространства. Тогда, в силу непрерывности оператора А, последовательность = Афк сходится к нулю в топологии Не (С х 52п-1). Следовательно, фк) = </, ) ^ 0 при к ^ то, т. е. ^ — линейный непрерывный функционал.

Покажем, что ^^ = /. Пусть < — любая функция из Не (С х 52п-1). По определению <^,<) = = </,<). >

Дадим описание ядра оператора Рассмотрим произвольную функцию ад) из пространства Не (С х 52п-1). Нетрудно показать, что функция ад) может быть представлена в виде

Л(^,ад) = ^ ск (ад)зк, к=0

где коэффициенты (ад) непрерывны, и ряд сходится равномерно на компактах из С х 52п-1. В данных обозначениях справедлива теорема.

Теорема 4. Для того, чтобы функция Л(^,ад) из пространства Не (С х 52п-1) принадлежала ядру оператора необходимо и достаточно, чтобы для любой сферической гармоники Ут степени т и любого к ^ т выполнялось

( 2^ \

2- I П Ск(аде-0)е-к0 йЛ Ут(ад) йст(ад) = 0.

< Рассмотрим на Р(С х 52п-1) функционал ^, задаваемый функцией ад) £ Н(С х Б2п-1). Тогда для всех <(я) £ Р(Сп), в силу формулы (9), имеем:

Д<) = J ад)[й<](^, ад) йш2(в) йст(ад) = У[^*Л](г)<(г) йш2п(г).

€хя2"-1 еп

Отсюда следует, что [R*h](z) = 0 тогда и только тогда, когда функционал F равен нулю на подпространстве RD(C х S2n-1) с D(C х S2n-1), образованном преобразованиями Радона функций из D(Cn). В [3, с. 79] доказано, что для того, чтобы функционал G G D'(C х S2n-1) обращался в нуль на RD(C х S2n-1) необходимо и достаточно, чтобы для любой сферической гармоники Ym степени m ^ 1 функционал

(Gym, a(s)) = /F, -Л/ a(sei0)Ym(wei0) dA a(s) G D(C) \ 0 '

задавался мерой Pm(s, s)dw2(s), где Pm(s, s) — многочлен степени не выше m — 1, а при m = 0 было GYm = 0.

Согласно цитированной теореме, для произвольной функции a(s) из D(C) имеем:

(Fym,a(s)) = /h, /«(sei0)Ym(wei0) dA 0

= / h(s,wH /a(sei0)Ym(wei0)dHda(wH d^(s)

с ^ S2"-1 ^ 0 ' '

= J Pm(s, s)a(s) d^2(s),

с

где Pm(s, s) — многочлен степени не выше m — 1. По теореме Фубини имеем:

2п

1 I I I I I * ' - ' i„„je\

(Рут ,а(в)) = —J\J (у Л.(в,ш)а(ве*0 )Гт(шегУ) dw2(в) ^а(ш)

0 \,д2п-1 С Положим во внутреннем интеграле в = Ае-^. Тогда

,а(в)) = / ( / ( / Л(Ае-г0,ш)а(А)Гт(шег0) dw2(А)) ) d0.

0 ^ 52п-1 С ' '

Меняя порядок интегрирования и полагая ад = £е-г0, получаем

(Рут,а(в)) = ¿/(/ [ / ^(Ае-*0)а(А)Гт(£) da(edw2(А)^ d0.

0 ^ С ^ £2п-1 / /

Пусть

2п

Л(в, ш) = — I Л(ве*0, аде*0) d0. 2п у

0

Тогда, вновь меняя порядок интегрирования, получаем

(Рут ,а(в)) = ^ ( J Л(в,ш)Ym(щ)da(щП а(в^2(в) = J Рт(в,в)а(в) dш2 (в).

С ^ ' С

Таким образом,

J йст(ад) = Рт(М).

Так как функция ад) представляется в виде

= ^ Ck(w)sk,

то

k=0 2п

1 i

h(s,w) = ^ sk— Ck(wei0)eike d0.

Следовательно,

1

k=0 0

2п

/ (/ск К^ГтИ йт(ю)1 ^ = Рт(М).

к=0 \ 52п-1 V 0 / /

Последнее равенство имеет место тогда и только тогда, когда для всех к ^ т верно

1 ' ' I ' лв\Лкв

4

5

6

7

8 9

10 11

2п J ( J Ck (wei0 )eike dfl) Ym(w) da(w) = 0. >

S2n-1 \ 0 '

Литература

Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер.—М.: Наука, 1967.—396 с.

Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин Н. Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы

теории представлений.—М.: Наука, 1962.—656 с.

Секерин А. Б. Применения преобразования Радона в теории аппроксимации.—Уфа: Башкирск.

научн. центр УрО АН СССР, 1991.—192 с.

Хелгасон С. Преобразование Радона.—М.: Мир, 1983.—152 с.

Хелгасон С. Группы и геометрический анализ.—М.: Мир, 1987.—736 с.

Хермандер Л. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами.—М.: Мир, 1986.— 456 с.

Arsove M. G. Functions, representiable as differences of subharmonic functions // Trans. Amer. Math. Soc.—1953.—V. 75, № 2.—P. 327-365.

Hertle A. Continuity of the Radon transform and its inverse on Euclidean spaces // Math. Zeitschr.— 1983.—V. 184.—P. 165-192.

Hertle A. On the range of the Radon transform and its dual // Math. Ann.—1984.—V. 267, № 1.— P. 91-99.

Ludwig D. The Radon transform on Euclidean space // Comm. Pure Appl. Math.—1966.—V. 19.— P. 49-81.

Sekerin A. B. The support theorem for the complex Radon transform of distributions // Collectanea Mathematica.—2004.—V. 55, № 3—P. 243-251.

Статья поступила 7 мая 2005 г.

Секерин Алексей Борисович, д. ф.-м. н. г. Орел, Орловский государственный университет E-mail: sekerin@orel.ru

Ломдкин Денис Евгеньевич

г. Орел, Орловский государственный университет E-mail: denislomakin@rambler.ru

3