О 2-порожденности слабо локализуемых подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 8-21.

УДК 517.538.2 + 517.984.26 + 517.547

О 2-ПОРОЖДЕННОСТИ СЛАБО ЛОКАЛИЗУЕМЫХ ПОДМОДУЛЕЙ В МОДУЛЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА И ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

Аннотация. В работе рассматривается топологический модуль целых функций V(а; Ь) - изоморфный образ при преобразовании Фурье-Лапласа пространства Шварца распределений с компактными носителями в конечном или бесконечном интервале (а; Ь) С R. Доказывается, что каждый слабо локализуемый подмодуль в V(а; Ь) либо порожден двумя своими элементами, либо равен замыканию суммы двух подмодулей специального вида. Также приводятся двойственные результаты об инвариантных относительно оператора дифференцирования подпространствах пространства С^(а; Ъ).

Ключевые слова: целые функции, субгармонические функции, преобразование Фурье-Лапласа, конечно порожденные подмодули, локальное описание подмодулей, инвариантные подпространства, спектральный синтез.

Mathematics Subject Classification: 30D15, 30H99, 42A38, 47E05

1. Введение

Пусть [а\; Ъ\] <Ш [а2; Ь2] <Ш ... - последовательность отрезков, исчерпывающая конечный или бесконечный интервал (а; Ь) вещественной прямой, Р^ - банахово пространство, состоящее из всех целых функций р, для которых конечна норма

Обозначим через V(а; Ь) индуктивный предел последовательности {Р^}. Каждое из вложений Рк С Рк+\ вполне непрерывно, следовательно, V(а; Ь) есть локально-выпуклое пространство типа (ЬМ*) (см. [1]). Известно (см., например, [2, §16.1]), что всякий элемент р пространства V (а; Ь) является целой функцией вполне регулярного роста при порядке 1, индикаторная диаграмма которой есть отрезок мнимой оси ; С \(а; Ь).

Через То(а; Ь) будем обозначать линейное подпространство пространства V(а; Ь), состоящее из всех функций р, которые быстро убывают на вещественной прямой:

В пространстве V(а; Ь) операция умножения на независимую переменную z непрерывна, поэтому V(а; Ь) - топологический модуль над кольцом многочленов C[z]. Для краткости всюду ниже, если не оговорено противное, будем пользоваться термином «подмодуль», имея в виду замкнутый подмодуль модуля V(а; Ь), то есть замкнутое подпространство, инвариантное относительно умножения на z.

N.F. Abüzyarova, On 2-generateness of weakly localizable sübmodüles in the module of

ENTIRE FUNCTIONS OF EXPONENTIAL TYPE AND POLYNOMIAL GROWTH ON THE REAL AXIS.

© Абузярова Н.Ф. 2016.

Работа выполнена при поддержке гранта 01201456408 Минобрнауки РФ. Поступила 31 мая 2016 г.

Н.Ф. АБУЗЯРОВА

у± = max{0, ±у}, z = х + \у. (1.1)

lp(x)l = o(lxln), п Е N.

Обозначим подмодуль, порожденный функциями p\,...,pm G V (а; Ь) (иначе,

т-порожденный):

= +-----+ Рш'-Рт, Pl,...,Prn Е C[z]}, (1.2)

Функции р1,... ,рт называются образующими подмодуля . Подмодуль с одной

образующей называется главным.

Ниже приводятся определения понятий, характеризующих свойства подмодулей и использующихся в вопросах локального описания (см. [3] - [6]).

Для подмодуля J С V (а; Ъ) положим cj = inf cv, dj = sup dv. Множество [cj; dj]

fej ^ej

называется индикаторным отрезком подмодуля J.

Дивизор функции р eV(a; b) для всех Л е C определяется формулой

nv(X)

\m,

0, если р(Х) = 0,

если Л - нуль р кратности т,

а дивизор подмодуля J С V(а; Ь) - формулой nj(Л) = min nv(X). Далее, определяем нуле-

j

вое множество А^ функции р:

Л = {(Afc; mk) : nv(Xk) = mk > 0}, и нулевое множество Л j подмодуля J:

Л J = {(^fc; mk) : nj(Xk) = mk > 0}.

Подмодуль J слабо локализуем, если он содержит все функции р е V(а; Ъ), удовлетворяющие условиям: 1) n(p(z) > nj(z), z е C; 2) индикаторная диаграмма функции р содержится в множестве i[cj; dj]. В случае, если cj = а и dj = b, слабая локализуемость J означает, что этот подмодуль локализуемый (обильный).

Пусть р е V (а; Ь), с, d е R и

а < с < Ср < dv < d < b.

Обозначим J(р, (с; d)) подмодуль в V(а; Ь), состоящий из всех функций ф е V(а; Ь) с множеством нулей Лф D Л^ и индикаторной диаграммой i[c^; d^] С i(c; d) (здесь и всюду в дальнейшем символ «(» обозначает скобку «[» или «(», в зависимости от того, какое из соотношений а = с или а < с имеет место, так же следует понимать скобку «)»). Ясно, что подмодуль J(р, (с; d)) слабо локализуем. Для подмодуля J(р, [cv; d^]) будем использовать более короткое обозначение J(р).

Подмодуль J называется устойчивым в точке X е C, если выполнение условий р е J и nv(X) > nj (Л) влечет включение е J. Подмодуль J устойчив, если он устойчив в любой точке Л е C.

Легко видеть, что устойчивость подмодуля J является необходимым условием его слабой локализуемости. Однако, не всякий устойчивый подмодуль в V(а; Ъ) слабо локализуем. Действительно, из результатов работы [7, § 4] следует, что каждый главный подмодуль в V(а; Ь) устойчив. Это также можно проверить непосредственно, используя определение устойчивости и описание топологии в V(а; Ь). С другой стороны, пример, построенный в работе [8], а также теорема 3 работы [9], показывают, что в модуле V(а; Ь) не все главные подмодули слабо локализуемы. Таким образом, утверждение о том, что всякий устойчивый конечно порожденный подмодуль в V(а; Ь) слабо локализуем, не верно.

В данной работе мы доказываем, что обратное утверждение имеет место: каждый слабо локализуемый подмодуль J С V(а; Ь) либо порожден двумя (быть может, совпадающими) своими элементами, либо равен замыканию суммы двух (быть может, совпадающих) подмодулей вида J(р, (с; d)). В [3, теоремы 4 и 5] нами были анонсированы менее общие утверждения.

Вопрос о 2-порожденности в широком смысле ранее исследовался для локализуемых (обильных) подмодулей в модуле целых функций конечного порядка, определяемом ограничениями на индикатор [10], [11], для локализуемых (обильных) подмодулей в абстрактных весовых модулях голоморфных функций [12], для подмодулей с конечным нулевым множеством в модуле V(а;Ь) [4]. Один из результатов работы [12] - это теорема о том, что локализуемые (обильные) подмодули модуля V (а;Ь) порождаются двумя подмодулями вида 3( <р, (а;Ь)). Отметим, что из абстрактной части статьи [12] можно вывести п. 1) теоремы 1 настоящей работы для частного случая, когда CJ = а или (и) = Ь. Другие утверждения о 2-порожденности слабо локализуемых подмодулей в V(а;Ь), доказываемые здесь: п. 2) теоремы 1, теорема 3 и п. 1) теоремы 1 в общей формулировке - не могут быть получены при помощи результатов работы [12].

Дальнейшее изложение ведется следующим образом: второй параграф содержит теоремы о 2-порожденности в широком смысле произвольного слабо локализуемого подмодуля 3 в V(а; Ь) (теоремы 1 и 3), в третьем параграфе из этих теорем выводятся двойственные утверждения о структуре инвариантных относительно оператора дифференцирования замкнутых подпространств пространства С™ (а; Ь).

2. Структура слабо локализуемых подмодулей

Теорема 1. Пусть J С V(а;Ь) - слабо локализуемый подмодуль.

1) Если J содержит функции из (а;Ь), то для любой функции Е ^ С\'Ро(а;Ь) существует бесконечно много функций <р2 Е ^ {~]гР0(а;Ъ) со свойством:

J = . (2.1)

2) Если ^ С\'Ро(а;Ь) = %, то существует функция Е J такая, что

J = = {Р'^0, РЕ £[г]}. (2.2)

Доказательство. 1) Первое из сформулированных утверждений доказывается по той же схеме, что и теорема 2 в работе [4], где были рассмотрены устойчивые подмодули с конечным множеством нулей.

Без ограничения общности можем считать, что 0Ь Е А^ и ^(0) = 1. Пусть Лр1 = {Лэ}, < |^2| < ... , каждый нуль выписан столько раз, какова его кратность.

Выберем и зафиксируем два числа а', Ь' Е К, удовлетворяющие соотношениям

а < а < сР1 < dрl < Ь' < Ь, а! < CJ, dJ < Ъ', где сР1 = НР1 (-л/2), dрl = Нр1 (к/2), НР1 - индикатор функции р1. Также выберем и зафиксируем какую-нибудь последовательность Г = {^(^}, 0Ь Е Г столь близкую к Лр1, что для последовательностей ЛР1 и Г выполнено условие

™ I X — ~ I

£ 1 + 11тX- + |1т7,| < <2-3)

Положим

С = ^ - 1 л = „2(71| Гт+1),, С ^1 + |1тЛ,|, = е 11||ь1(а'^

е

^ 1 + |1тЛ, Г -

где 51 Е С™ (а';Ь') - прообраз при преобразовании Фурье-Лапласа Т функции р1. Сходимость ряда в определении величины С следует из условия (2.3) (см. доказательство теоремы 5.1.2 в [13]).

Рассмотрим произвольную последовательность Г = {^к}, 0Ь Е Г, для которой

Ь -Лк ККк -Лк I к =1, 2,... (2.4)

Согласно предложению 3 и замечанию 1 из работы [4] функция р2, определенная по функции и последовательности Г равенством

Mz) = e~icz lim П i1 --), где С= C-pl±^pl (2.5)

есть преобразование Фурье-Лапласа некоторой функции s2 e С0°(а'; Ь') С С0°(а; Ь), причем chsupp s2 = [cLpi; dv1 ] и

|S^Ш^Ат, te (a;b), m = 0,1,... (2.6)

Здесь chsupp s2 - замыкание выпуклой оболочки носителя функции s2. Пусть {гк

0 - возрастающая последовательность вещественных чисел, больших 2, такая, что

1>Мх)1<1х1-к, X e R, Ixl > гк. (2.7)

Положим

Rk = max{ гк ,Äk+1( b' -а')}, к = 0,1, 2,... (2.8)

Для функции р2, в силу соотношения р2 = Т(s2), s2 e С^(а!; Ъ'), и оценок (2.6), имеем

Ых)1< ^, Ixl >Rk, k = 0,1,... (2.9)

Заметим, что последние оценки справедливы для всех функций р2, определенных формулой (2.5) по функции и последовательности Г, если только Г удовлетворяет (2.4).

Последовательности Л и Г имеют одинаковую плотность, обозначим ее А0. Для произвольных фиксированных чисел А > А0, 8 > 0 положим R* = ß(8/A)max{|AjI, Ijj|}, где функция ß(x) - обратная к функции

X(ß) = ~ln (1 + ß) + ln (1 + 1) . (2.10)

ß \ ßj

Воспользуемся следующим утверждением, справедливым для функций р1, <р2 e Т(С™(а;Ь)), удовлетворяющих условиям:

Pi(0) = Р2(0) = 1, hp!(в) = hp2(в), в e [0; 2ж).

Теорема A [4, теорема 1]. Предположим, что для некоторых чисел А > А0, 8 > 0 и возрастающей последовательности Rk > 2, к = 1, 2,..., такой, что

Mx)l< у^, l^(x)l<j1k, X e R, IxI>Rk, k =1, 2,...,

Щк lxlk

верно соотношение

где

ln

limsuP maxi R>k+Rn >Ь (2.11)

max{Rk ,Rk }

Sk = £

j>k

1 1

Aj lj

Тогда подмодуль , порожденный функциями и <р2 в модуле V(а;Ь), устойчив.

Фиксируем любую последовательность Г, подчиненную, кроме (2.4), дополнительным требованиям: пересечение Г Р| Л есть ЛJ и для последовательностей Л и Г выполнено соотношение (2.11). Так как 3 - слабо локализуемый подмодуль, функция р2, задаваемая формулой (2.5) по такой последовательности Г, содержится в 3. Соотношения (2.7), (2.9) и (2.11) означают, что выполнены условия теоремы А с числами Кк, определенными формулой (2.8). Поэтому, согласно этой теореме, 2-порожденный подмодуль устойчив или, что в нашем случае эквивалентно (см. [7, предложение 4.9]), тождественный нуль

1

можно аппроксимировать в топологии V(а;Ь) функциями вида (рр1 -др2), гдер, д - многочлены и р(0) = д(0) = 1. Этот факт, в силу [7, предложение 4.8], является достаточным условием для устойчивости подмодуля

3 := 3 ( ръ (cj; dj)) + 3 (Р2, {cj; dj)).

Устойчивый подмодуль 3 содержит слабо локализуемый подмодуль 3( pi). Теорема 1 из [3] утверждает, что тогда 3 - слабо локализуемый подмодуль. Учитывая, что подмодули 3 и 3 имеют одинаковые индикаторные отрезки и нулевые множества, заключаем, что

3 = з.

2) Нетрудно проверить, что если подмодуль 3 не содержит функций из подпространства Vq (а; Ь), то [cj; dj] С (а; Ь) и 2= dj — Cj. Кроме того, в этом случае для любой функции ф Е 3 множество Лф \ ЛJ конечно. Действительно, если это не так, то, полагая

п 0—ß),

где последовательность {ßj} С Лф \ЛJ - «редкая», то есть lim lßj+1l/lßj | = получим,

j i<x

что ф ЕЗПЪ(а;Ъ).

Из вышесказанного следует, что для некоторого с Е R функция

рм=^'Mim, п (i—^)

XjeAj,\Xj\<R v J/

содержится в 3 и порождает этот помодуль, точнее, выполняется соотношение (2.2).

□

В оставшейся части настоящего параграфа будет доказан следующий факт: если индикаторный отрезок слабо локализуемого подмодуля 3 есть собственное подмножество интервала (а;Ъ), то этот подмодуль либо главный, либо 2-порожденный в смысле (1.2). Пусть функция Ф Е V (а; Ь) такова, что

3(Ф) = Зф = {рФ, РЕ C[z]}. (2.12)

Тогда Зф - слабо локализуемый подмодуль и, согласно теореме 2 [9], ФЬ Е Vq(a;b). Как будет видно ниже, в доказательстве теоремы 3, функция с такими свойствами имеется в каждом слабо локализуемом подмодуле.

Рассмотрим произвольную последовательность {ßj} С Лф \ {0}, для которой

liminf ^^ = а0> 1. (2.13)

j ^ lßj1

Определим функции

оо

*(•*) = п (i — -), р = -¿¿\ ßjj ш

Для г Е С, М С С символом , М) обозначаем расстояние от точки г до множества

М.

Теорема 2. Функция р Е То(а;Ь) и порождает слабо локализуемый главный подмодуль Зр.

Для доказательства этой теоремы нам понадобятся три леммы.

Лемма 1. 1) Для каждого натурального числа п существует представление функции ш в виде произведения двух целых функций ш1>п и ш2,п, таких, что при всех г, , Лш) >5 > 0, справедливо неравенство

| 1п 1шщ^)1- 2-п1п 1ш(г)1 | <А1п(е + (2.14)

где А - положительная постоянная, зависящая только от функции ш и величиины 5, Лш = {цз} - нулевое множество функции ш.

2) Имеется подпоследовательность {ш2,пкр}"=1, сходящаяся в топологии пространства V(а;Ь) к функции Ф, причем (ф/ф) - многочлен.

Доказательство. 1) Положим

М = (mj е Лш : \lmpj\ < 1}, М = АШ \М,

ад= Д (l - £), u,(z)= П Í1 --ßj eM ßj eM

Mj

Ясно, что Ш = Шш.

Для получения представления ш = ш1,пш2,п воспользуемся следующей теоремой.

Теорема B [15, теорема 2]. Пусть {zk}, к е Z - нули целой функции v, пронумерованные в порядке возрастания Re zk, причем

Rez0 = min{Re zk, Re zk > 0}.

k

Если все точки zk лежат в полосе \Imz\ < 1, причем \Re zk\ > 1, и в каждом квадрате

П = {z : \Im z\ < 1, 2j - 1 < Rez < 2j + 1}, je Z,

находится не более одной точки zk, то функция v представима в виде произведения целых функций vl, v2 так, что

\ln \Vl(z)\- Ь \v2(z)\\< СМ И + c2ln+-^. + Сз,

d(z)

где d(z) - расстояние от точки z до множества нулей функции v, а С > 0 - абсолютные постоянные (не зависящие от функции v).

Отбрасывая, если необходимо, конечное число нулей функции ш, а затем перенумеровав оставшиеся нули в порядке возрастания их вещественных частей, видим, что последовательность М = (Mk}, k е Z, удовлетворяет условиям теоремы B. Согласно этой теореме, при всех z, dist(z, М) > 6 > 0, функция

= п( 0 -

1 ) ( 1 - 11, п е N, (2.15)

ß2n+1kJ V ß2n+1k+l,

удовлетворяет соотношению

1 1п 1Шщ2-п1п 1й(г)1 ^Аь^ №), п е Н, (2.16)

где постоянная А > 0 зависит только от 5; а выбор индексов 2п+1 к, 2п+1к + 1 в формуле (2.15) произведен согласно рассуждениям, проводимым при доказательстве теоремы В [15, теорема 2]. Аналогичное утверждение для функции ш получим, используя еще один результат работы [15]. Для этого напомним необходимые обозначения. Пусть

Рк = : 1 < < 2к + 1, 0 < < 2к}, к = 0,1, 2,...

Тогда разность Рк \ Рк-1, к = 1, 2,..., состоит из трех квадратов, конгруэнтных Рк-1. Символами Р™, т = 1, 2,..., 12, обозначены эти три квадрата, а также симметричные им относительно обеих осей и начала координат. Принадлежность граничных отрезков

и вершин определяется таким образом, чтобы квадраты Р™ попарно не пересекались и покрывали все множество {г : |1тz| > 1}.

Теорема С [15, теорема 3]. Пусть {хк}, к Е Ъ - нули целой функции V, пронумерованные в порядке возрастания | хк У Предположим, что |1т z| > 1, и в каждом квадрате Р™ лежит не более одного нуля функции V. Тогда функция V представляется в виде произведения целых функций ь1, у2 так, что

|1п |- 1п |Ь2(г)Ц < СМ+ И + С21п+ + С3,

( )

где d(z) - расстояние от точки г до множества нулей функции V, а С - абсолютные постоянные (не зависящие от функции у).

Фиксируем число а Е (1;а0). Отбрасывая, если необходимо, конечное число нулей т функции ш, а затем, перенумеровав оставшиеся нули в порядке возрастания Т|, с учетом условия (2.13), будем иметь

|Tк+l| > а^к I к =1, 2,...

Положим

+ 1.

т =

Нетрудно проверить, что все функции

(г) = П (1 - т^- ), э = 1,...,т

к=0\ ттк+] /

удовлетворяют условиям теоремы С. Применив к каждой функции , ] = 1,... ,т, эту теорему п раз, получим представление

причем

11п ^^(г^ - 2-пЫ Ш (г)^ < А1п(е + Ш(г, М) > 5, (2.17)

где постоянная А > 0 зависит только от 8 и ш. Полагая

Ш

ш1,п = ш1,1,п . . . шт, 1 ,п, ш2,п = ~

получим нужную факторизацию

ш = ш1,пш2,п.

Из оценок (2.16), (2.17) видим, что для функций

Ш1,п = Ш1,пШ1,п, Ш2л

ш

ш1 ,

справедливо первое утверждение леммы.

2) Из соотношений ш = ш1,пш2,п и (2.14) следует, что для всех натуральных п и всех г Е С, , Лш) > 5, верны оценки

^А^рШ < (е + Щ)™*1^.

В силу топологических свойств пространства V(а; Ь) последовательность {ш2,пр}с^=1 относительно компактна в этом пространстве. И значит, существует подпоследовательность {ш2,пкр}<к=1, сходящаяся в топологии V(а;Ь) к некоторой функции Ф, причем индикатор этой функции совпадает с равными между собой индикаторами функций Ф и р. Соответствующая подпоследовательность целых функций минимального типа при порядке 1

Ф

ш1,пк = -

Ш2,пкр

сходится к целой функции ( Ф / Ф), которая имеет минимальный тип при порядке 1. Из оценок (2.14) предельным переходом получаем полиномиальную оценку сверху для |Ф /Ф| на вещественной прямой. Применяя следствие из теоремы Фрагмена-Линделефа [2, §6.1], заключаем, что (Ф /Ф) - многочлен.

□

г

Пусть п(г) = 1 - считающая функция последовательности Лш, N (г) = f ^¡ß dr, \<r 0 M(r) = max 1ш(х)1, m(r) = min |w(z)|.

\.z\ = r

Из условия (2.13) на последовательность Лш следует, что

п(г) = Coln(1 + r), г> 0, (2.18)

где C0 - положительная постоянная. Из леммы 3.5.8 монографии [22], с учетом (2.18) и формулы Йенсена (см., например, [22, §1.2]) получаем двойное неравенство

N (г) <M (г) < N (r) + C0ln(1 + r). (2.19)

Лемма 2. 1) При всех z Е C имеет место оценка сверху

Ь lu(z)l < N(|z|) + COln (1 + Izl). (2.20)

2) Для любых £ > 0 и 6 > 0 и всех z Е C, dist(z, Лш) > 5, верна оценка снизу

Ь 1Ф)1 > (1 - e)N(Izl) - Ciln(1 + Izl) - Ü2,e, (2.21)

где постоянная C2,s > 0 зависит от Лш ,5 и е, а постоянная C1 > 0 - только от Лш.

Доказательство. 1) Нужная оценка (2.20) следует из правого неравенства в (2.19). 2) Известно, что для целой функции, нулевое множество которой удовлетворяет условию (2.18), соотношение lnm(r) ~ lnM(г) выполняется, когда г — <х по множеству единичной относительной меры [22, теорема 3.6.1]. Исключительное множество значений г может быть покрыто счетным множеством непересекающихся, в силу (2.13), интервалов, центрированных с множеством \\ßj |} (то есть каждый интервал содержит ровно одну точку Ißj|). Это множество интервалов имеет нулевую относительную длину. Не ограничивая общности рассуждений можем считать, что существует убывающая последовательность положительных чисел 5j, j = 1,2,... , такая что для любого е > 0 справедливо неравенство

<х

lnm(r) > (1 - £)lnM (г), v > г£, НЕ U ((1 - Sj |;(1 + 5j |).

j=i

Из (2.13) и (2.18) нетрудно вывести, что

N (г) < N ((1 - 6j )r) + (Co Ь 2 + 1)ln(1 + г) + С2,е, г> 0,

где постоянная C2,£ > 0 зависит только от Лш, 5 и е.

Требуемая оценка снизу (2.21) получается стандартными методами из последних двух оценок и левого неравенства в (2.19). □

Лемма 3. Для каждого натурального п функция ш2>пр содержится в подмодуле Jp. Доказательство. Для фиксированного п Е N имеем, в силу (2.14),

ln ^п^К (1 - 2-n)ln ^(z^ +Aln(e + ^D, dist(z, Лш) > 5. (2.22)

С учетом (2.13) и (2.20), отсюда получаем оценку

ln ^п^К (1 - 2~n)NdzD + Aln^^ ZE C. (2.23)

Рассмотрим весовую функцию У (ж) = (е + |х|)А+1 exp ((1 - 2~n)N (|х|)) > 1, х Е R. Эта функция четная, выпуклая по ln ^^ для любого к = 0,1,... верно соотношение

жк = о( V (х)), |ж| —У +ж.

Для функции ш2.п из оценки (2.23) следует, что

1Ш2,п(х)1

J ^ 0, Ixl ^ У (x)

Рассуждая точно также, как при доказательстве леммы 3 в работе [9], выводим, что существует последовательность многочленов {pj}, сходящаяся к функции ш2,п в весовой норме HI = sup , где V(x) = (1 + |x|)2F(x). '

же!

Положим v(x) = ln V(x),

POO

* W = 'fL v-xh?iT

- интеграл Пуассона от функции V, г = х + \у. Из условия (2.13) нетрудно вывести, что функция V принадлежит классу медленно меняющихся канонических весов, введенных в монографии [19, §1.3]. Поэтому (см. [19, §1.4]) функция Рь гармонична в верхней и нижней полуплоскостях, непрерывна и субгармонична во всей комплексной плоскости, удовлетворяет оценке

(г) > ь(^), ге К,

и соотношению

Р ( )

Ишвир Р^) = 1. (2.24)

у(1г1)

Так как V(а;Ь) - локально-выпуклое пространство типа (ЬN*), для того, чтобы последовательность р^ф была ограничена в нем, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена по одной из норм (1.1) (см. [1]). Принимая во внимание оценку (2.21), определение веса V, соотношение (2.24) и свойства функции N (г), вытекающие из условия (2.13), и используя теорему Фрагмена-Линделефа, устанавливаем, что

1р,(г)ф)1 < (е + М)™"* ехр(— с^у-),

где (Су) - значение индикатора функции ф в точке ж/2 (соответственно, в точке —ж/2). Последняя оценка эквивалентна ограниченности последовательности {р^ф} по одной из норм (1.1).

Из этого факта, опять используя свойства локально-выпуклых пространств типа (ЬN*) (см. [1]), выводим, что найдется подпоследовательность этой последовательности, сходящаяся в V (а; Ь) к функции ш2,пф.

' □

Доказательство теоремы 2.

Включение ф е 'Ро(а; Ь) очевидно. Из п. 2) леммы 1 и леммы 3 следует, что

Ф е ^. (2.25)

В силу (2.12) имеем 3( Ф ) С Как утверждается в теореме 1 работы [3], это соотношение, с учетом устойчивости подмодуля ^у, эквивалентно слабой локализуемости J¡f.

Теорема 3. Пусть подмодуль J слабо локализуем и [cJ; dJ] С (а;Ь). Тогда либо J -главный подмодуль, либо J = , где фь ф2 е ^П Р0(а; Ь).

Доказательство. Если ^ {~]гР0(а;Ъ) = %, то, как доказано в п. 2) теоремы 1, J - главный подмодуль. Поэтому дальнейшие рассуждения будем вести в предположении, что ^То(а; Ь) =

Сначала покажем, что в подмодуле 3 существует функция ф1 е 'Р0(а; Ь) со свойствами: с(р1 = , = dJ, главный подмодуль Jуг слабо локализуем.

Для этого рассмотрим произвольную функцию ф е ^С\'Ро(а; Ь) и положим

ф = [е1(с*-с*)х + ) ф.

Ясно, что функция р принадлежит множеству 3 ^]'Ро(а;Ь), и ее индикаторная диаграмма есть ЦCJ;dJ]. Если главный подмодуль ^ слабо локализуем, то полагаем р\ = р. В противном случае рассмотрим наибольшую субгармоническую миноранту у(г) функции ( Н(г) — 1п 1р(х)\), где Н(г) = dJ(1тг)+ — ^(1тг)-.

Для функции V справедливо соотношение VЬ = — ж. Действительно, в силу включения р Е То(а; Ь), для любого к = 0,1, 2,..., имеем Мк = тах \р(х)хк| < +ж, а также

Ь

р(г)^з(Ь)ег, в Е С0°(а; Ь).

а

Класс С(а;ь)([Мк}) (см., например, [21, §1У.Л|) содержит ненулевую функцию в, и значит, не является квазианалитическим. Это эквивалентно, согласно критерию Карлемана, соотношению

те

Г 1пТ(г) ,

' &т < +оо,

J 1 + Г2

к

где Т(г) = вир —— функция следа последовательности {Мк}, (см., например, [21, §1У.Л|).

к>0 к

Таким образом, 1пТ(е*) - конечная функция, выпуклая по Ь Е К. Следовательно, функция и(г) = 1пТ(1г\)Ь = — ж субгармонична в С [23, теорема 2.1.2]. Из определения и вытекает оценка

и(х)+1п 1р(х)1< 0, х Е К. (2.26)

Функция р, как и все элементы пространства V(а;Ь), имеет вполне регулярный рост во всей плоскости, а функция и зависит только от |г|. Применяя теорему о сложении индикаторов [24, теорема 1], из (2.26) выводим, что и имеет минимальный тип при порядке 1. Из этого факта, оценки (2.26), теоремы Фрагмена-Линделефа для субгармонических функций [2, §7.3], следует оценка

и(г)+1п 1р(г)1<Н(г), гЕ С,

а из нее - неравенство и(х) < у(г), г Е С. И значит, VЬ = — ж.

Пусть ш - целая функция (минимального экспоненциального типа), удовлетворяющая соотношению

|1п 1ш(г)1— ф)|<С1п (1 + 1г\), хЪеЕ, (2.27)

с некоторой постоянной С > 0, исключительное множество Е может быть покрыто счетным объединением кружков с конечной суммой радиусов. Существование такой функции следует из теоремы 5 работы [14]. Положим Ф = шр. Ясно, что Ф Е 3. Из того, что функция V - наибольшая субгармоническая миноранта функции ( Н — 1п |р|), и оценки (2.27) следует выполненение соотношений (2.12) для функции Ф. Выберем последовательность {¡¡3} С ЛФ \ ЛJ, удовлетворяющую условиям (2.13), ¡3 = 0. Положим

Ф

р1 =

п 1 — *

3 = 1 4

Для этой функции справедлива теорема 2, и значит, - слабо локализуемый подмодуль.

Теперь рассуждаем так же, как при доказательстве п. 1) теоремы 1. Определим функцию р2 по формуле (2.5), где последовательность Г удовлетворяет условию ГР|ЛР1 = ЛJ и столь близка к последовательности Л , что подмодуль устойчив. Кроме того,

этот устойчивый подмодуль содержит слабо локализуемый подмодуль 3 ( Ф ). Теорема 1 из работы [3] утверждает, что тогда подмодуль слабо локализуем. Индикаторный

отрезок и нулевое множество подмодуля такие же, как у исходного подмодуля 3.

Следовательно, 3 = .

' □

3. Представление инвариантных подпространств, допускающих слабый

спектральный синтез

Рассмотрим пространство Шварца £(а;Ь) = С™(а;Ь), наделенное метризуемой топологией проективного предела банаховых пространств Ск[ак; Ьк], где [а\; Ь\] Ш [а2; Ь2] Ш ... -какая-нибудь последовательность отрезков, исчерпывающая интервал (а; Ь). Известно, что £(а;Ь) - рефлексивное пространство Фреше. Обозначим через W - замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования D = ^ (короче, D-инвариантное) подпространство этого пространства. В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматриваются только замкнутые подпространства в £( а; ).

Пусть Exp W - запас всех корневых элементов оператора D (экспоненциальных одночленов tje-1 xt), содержащихся в W. Для нетривиального (не совпадающего со всем пространством £ (а; Ь)) подпространства W множество ExpW не более, чем счетно.

Положим

Wf = {f e£ : f[k)(t) = 0, te I, к = 0,1, 2,... }, (3.1)

где I С (а; b) - относительно замкнутый непустой промежуток, и обозначим Iw минимальный относительно замкнутый в (а; Ь) непустой промежуток, удовлетворяющий условию Wi С W (существование такого промежутка следует из теоремы 4.1 [16]).

Преобразование Фурье-Лапласа Т, действующее в сильном сопряженном пространстве £ ( ; ) по правилу

Т( 5)(z) = (S, е-Uz), S e (С™(а; Ь))', есть линейный топологический изоморфизм пространств ( С™(а; Ь))' и V(а; Ь) [17, теорема 7.3.1]. Имеет место следующий

принцип двойственности между совокупностью {J} слабо локализуемых подмодулей модуля V(а; Ь) и совокупностью {W} D-инвариантых подпространств пространства £(а;Ь) имеет место взаимно однозначное соответствие по правилу: J А—> W тогда и только тогда, когда J = Т( W0), где замкнутое подпространство W0 С £'(а; Ь) состоит, из всех распределений S e £'(а; Ь), аннулирующих W, при этом

Iw = [cj; dj], ExpW = {tje-iXkt, j = 0,...mk — 1, (Ak,mk) e Aj},

где A j - множество нулей подмодуля J ([3, принцип двойственности], [4, предложение 1]).

Известно (см. [16, теорема 2.1]), что для нетривиального D-инвариантного подпространства W спектр aw оператора D : W ^ W либо совпадает со всей комплексной плоскостью, либо дискретен; во втором случае aw = Aj, согласно принципу двойственности.

Нетривиальное D-инвариантное подпространство допускает слабый спектральный синтез, если

W = WIw + C(ExpW), С( ■ ) — линейная оболочка множества ( ■ ). (3.2)

Ясно, что D-инвариантное подпространство W, допускающее слабый спектральный синтез, является минимальным среди всех D-инвариантых подпространств W, для которых

Iw = Iw, ExpW = ExpW.

В силу принципа двойственности, аннуляторный подмодуль J = Т( W0) такого подпространства является максимальным среди всех замкнутых подмодулей J С V(а;Ь), с нулевым множеством и индикаторным отрезком, удовлетворяющими условиям:

Aj = Aj, [cf; dj] = [cj; dj}.

Следовательно, J - слабо локализуемый подмодуль. Ясно, что верно и обратное: если аннуляторный подмодуль D-инвариантного подпространства слабо локализуем, то это подпространство допускает слабый спектральный синтез.

Напомним, что радиус полноты р(А) последовательности кратных точек Л = {(Aj,mj)} определяется равным инфимуму радиусов (открытых) интервалов С R, для которых

система экспоненциальных одночленов {Ьке, к = 0,...,т3 — 1, ] Е М}, не полна в пространствах £(I), С(I), Ьр(1), 1 < р < ж (см. [18]).

Для произвольных подмножеств А, В С К обозначим через А + В их геометрическую разность, т.е. множество всех х Е К, для которых х + В С А. Пусть 5 Е £'(а;Ь) и к Е (а; Ь) + еЬ яирр Б, где еЬ яирр 5 - выпуклая оболочка яирр 5. Определим функционал Би Е £ '(а; Ь) формулой

( я, Л = ( Б, ¡(1 + к)), ! Е £ (а; Ь). Для распределения Б Е £'(а; Ь) и непустого относительно замкнутого в (а; Ь) промежутка (с; d), удовлетворяющего условию

еЬяиррБ ( (с; d), (3.3)

положим

Ш (Б, (с;в)) = {! Е £ (а; Ь) : (Б * ¡)(К) = (Бн, ¡') = 0, Ук е( с; в) + еЬэиррБ}. Ясно, что Ш(Б, (с; в)) - Д-инвариантное подпространство.

Лемма 4. Д-инвариантное подпространство Ш(Б, (с; в)) допускает слабый спектральный синтез, его аннуляторный подмодуль есть 3( р, (с; в)), где р = Т(5).

Доказательство. Из рассуждений, приведеных после принципа двойственности, видно, что первое утверждение леммы следует из второго. Обозначим За аннуляторный подмодуль подпространства Ш(Б, (с; в)). Согласно принципу двойственности имеем включение

За С 3(р, (с; в)).

Так как нулевое множество ЛJ1 подмодуля 3А совпадает с нулевым множеством Л р функции р, а индикаторный отрезок этого подмодуля равен [с; в], из (3.3) следует, что величина p(ЛJ1) меньше половины длины отрезка [с; в]. Пункт 3) теоремы 2 из работы [3] утверждает, что в этом случае подмодуль За будет слабо локализуемым, если только он устойчив.

Как уже отмечалось нами ранее [4, Введение], модуль V(а; Ь) является борнологическим и Ь-устойчивым пространством (последнее понятие введено в работе [5]). Поэтому он относится к классу топологических модулей, для которых в работе [7] (предложение 4.2 и замечание 1 в конце п.1 §4) доказано, что устойчивость подмодуля 3 С V(а;Ь) в каждой точке Л Е С следует из его устойчивости в какой-нибудь одной точке. Таким образом, для доказательства равенства

31 = з(р, (с; в))

(эквивалентного слабой локализуемости подмодуля За) достаточно проверить устойчивость подмодуля 3А в какой-нибудь одной точке ¡Ь Е Лр. Без ограничения общности рассуждений можем считать, что 1 = 0, р(0) = 1.

Пусть ф Е Зъ ф(0) = 0. Функция ф есть предел в топологии пространства V(а;Ь) обобщенной последовательности функций вида (аАе1к1Х + ■■■ + ате1НтХ)р, где к з Е (с; в) + [ср; вр], ] = 1,... ,т; Цср; - индикаторная диаграмма функции р (по теореме Пэли-Винера-Шварца совпадающая с еЬяиррБ). Так как, очевидно, е1Нгр ^ е1Нгр при к' ^ к в топологии V(а; Ь), можем считать, что

кз Е (с; в) + [ср;вр], ] = 1,...,т. (3.4)

Из определения топологии в V(а; Ь) нетрудно вывести, что обобщенная последовательность

е '1к1Х — 1 е1НтХ — 1 \ . .

а1--1-----+ ат- р (3.5)

сходится к функции ^.

В силу включений (3.4) каждый элемент обобщенной последовательности (3.5) принадлежит локализуемому подмодулю 3(р, (с; в)) модуля V(с; в). Этот подмодуль, в силу принципа двойственности и хорошо известного результата о спектральном синтезе в ядре

оператора свертки (см., например, [20, теорема 16.4.1]), совпадает с аннуляторным подмодулем 3-2 С V ( с; Г) И-инвариантного подпространства Ш (Б, (с; Г)) С £ (с; Г), где

Ш (Б, (с; Г)) = а е £ (с; Г): (Б * ¡)(К) = (Бн, ¡') = 0, Ук е (с; Г) - сЬэиррБ}.

Из всего сказанного выше выводим, что каждая функция обобщенной последовательности

(3.5) принадлежит подмодулю 3-2 = 3( <р, (с; Г)), который, в свою очередь, содержится в 3\. И значит, для предельной функции ^ обобщенной последовательности (3.5) также верно включение ^ е Зг, то есть подмодуль 3\ устойчив в точке 0. Из этого факта следует, что справедливы оба утверждения доказываемой леммы.

□

Замечание 1. Заметим, что доказанная лемма верна при замене условия (3.3) на более слабое требование: длина отрезка сЬ яирр Б меньше, чем величина (Г-с) (последняя может равняться и

Теорема 4. Всякое И-инвариантное подпространство с дискретным спектром ащ, удовлетворяющим условию 2р(ащ) < 1\, где 1| < - длина промежутка ,

может быть представлено в виде совокупности решений двух (быть может, совпадающих) однородных уравнений свертки:

! еШ (Б1 * ?)(Ь) = 0 к е - сНвиррБг, (36)

1 (Б2 * /)(к) = 0, к е — сНвиррБ2.

Доказательство. Следствие 2 из работы [3] утверждает, что И-инвариантное подпространство Ш, удовлетворяющее условиям доказываемой теоремы, допускает слабый спектральный синтез, и его аннуляторный подмодуль 3 слабо локализуем. Легко видеть, что в этом подмодуле имеется функция из 'Р0(а; Ь) с индикаторной диаграммой, компактно принадлежащей промежутку 11 щ. И значит, согласно п.1) теоремы 1 и принципу двойственности _

з = ,

где функция р2 е ЗП^Щ Ь) имеет ту же индикаторную диаграмму, что и функция . Применяя лемму 4, с учетом рефлексивности пространства £(а;Ъ), получим соотношение

(3.6) с Б = ), Б- = Т~х(<р-). □

Теорема 5. Если И-инвариантное подпространство Ш допускает слабый спектральный синтез и С (а;Ь), то существуют распределения Бг, Б2 е Ш0 (возможно, Бг = Б2) такие, что

¡(Si,-

fEW ^ ^ f) = 0, j = 0,1, 2,... (3-7)

Доказательство. Аннуляторный подмодуль 3 = Т( W°) слабо локализуем и удовлетворяет условию теоремы 3. Следовательно, либо 3 = 3Р, либо 3 = 3Р1,Р2. Отсюда, принимая во внимание принцип двойственности и рефлексивность пространства £ (а; Ь), заключаем, что имеет место (3.7) с Si = Т-l(tp\), S2 = T-i(p2) (при этом Si = S2, если 3 - главный подмодуль). □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах ЛВП, важных в приложениях // Математика. Сб. переводов инстранных статей. 1957. 1:1. С. 60-77.

2. B.Y. Levin (in collaboration with Yu. Lyubarskii, M. Sodin, V. Tkachenko). Lectures on entire functions (Rev. Edition). AMS. Providence. Rhode Island, 1996. 254 p.

3. Абузярова Н.Ф. Спектральный синтез в пространстве Шварца бесконечно дифференцируемых функций // Доклады РАН. 2014. Т. 457. № 5. С. 510-513.

4. Абузярова Н.Ф. Замкнутые подмодули в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси // Уфимский матем. журнал. 2014. Т. 6, № 4. С. 3-18.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I // Известия АН СССР, серия матем. 1979. Т. 43. № 1. С. 44-66.

6. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сборник. 1972. Т. 87 (129). № 4. С. 459-489.

7. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Известия АН СССР, серия матем. 1979. Т. 43. № 2. С. 309-341.

8. A. Aleman, A. Baranov, Yu. Belov Subspaces of С^ invariant under the differentiation // Journal of Functional Analysis. 2015. V. 268. Pp. 2421-2439.

9. Абузярова Н.Ф. Некоторые свойства главных подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси // Уфимский матем. журнал. 2016. Т. 8, № 1. С. 3-14.

10. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Матем. сборник. 1999. Т. 190. № 4. С. 3-22.

11. Абузярова Н.Ф. Конечно порожденные подмодули в модуле целых функций, определяемом ограничениями на индикатор // Матем. заметки. 2002. Т. 71. № 1. С. 3-17.

12. Хабибуллин Б.Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими // Функц. анализ и его приложения. 2004. Т. 38. Вып. 1. С. 65-80.

13. Седлецкий А.М. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I // Совр.матем. Фунд. направления. 2003. Т. 5. С. 3-152.

14. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Anal. Math. 1985. V. 11. Pp. 257-282.

15. Юлмухаметов Р.С. Решение проблемы Л. Эренпрайса о факторизации // Матем. сб. 1999. Т. 190. № 4. С. 123-157.

16. A. Aleman, B. Korenblum Derivation-Invariant Subspaces of C^ // Computation Methods and Function Theory. 2008. V. 8. № 2. Pp. 493-512.

17. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.

1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986. 462 с.

18. A. Beurling, P. Malliavin On the closure of characters and the zeros of entire functions // Acta Math. 1967. V. 118. № 1-4. Pp. 79-93.

19. Абанин А.В. Ультра-дифференцируемые функции и ультра-распределения. М.: Наука, 2007. 222 с.

20. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.

2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986. 455 с.

21. P. Koosis The logarithmic integral I. Cambridge Univ. Press. 1998. 606 pp.

22. R.P. Boas, Jr. Entire functions. Acad. Press. Publ. Inc. New-York. 1954. 276 pp.

23. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. Москва: Наука. 1971. 430 с.

24. Фаворов С.Ю. О сложении индикаторов целых и субгармонических функций многих переменных // Матем. сб. 1978. Т.105(147). № 1. С. 128-140.

Наталья Фаирбаховна Абузярова, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]