Замкнутые подмодули в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 3-18.

УДК 517.538.2 + 517.984.26 + 517.547

ЗАМКНУТЫЕ ПОДМОДУЛИ В МОДУЛЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА И ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

Н.Ф. АБУЗЯРОВА

Аннотация. В работе рассматривается топологический модуль целых функций V -изоморфный образ при преобразовании Фурье-Лапласа пространства Шварца £' распределений с компактным носителем в конечном или бесконечном интервале (a; b) С R. Изучаются некоторые свойства замкнутых подмодулей модуля V, связанные с задачей локального описания, и вопросы двойственности между замкнутыми подмодулями в V и инвариантными относительно дифференцирования подпространствами пространства S = С ~(а; Ь).

Ключевые слова: целые функции, преобразование Фурье-Лапласа, локальное описание подмодулей, инвариантные подпространства, спектральный синтез, конечно порожденные подмодули.

Mathematics Subject Classification: 30D15, 30H99, 42A38, 47E05

1. Введение

Для конечного или бесконечного интервала (а; Ь) вещественной прямой рассмотрим последовательность отрезков, исчерпывающую этот интервал: [ai; b1] Ш [а2; Ь2] Ш ... Пусть Рк - банахово пространство, состоящее из всех целых функций р>, для которых конечна норма

IMU = suP^-гг, У± = тах{0, ±y}, z = х + iy,

zee (1 + \z\)k exp(bky+ - akу )

V - индуктивный предел последовательности {Р^}. Каждое из вложений Рк С Рк+1 вполне непрерывно, поэтому локально-выпуклое пространство V есть пространство типа (LN*), в частности, оно полное, отделимое, неметризуемое, рефлексивное, монтелевское (см. [1]). Кроме того, в этом пространстве непрерывна операция умножения на независимую переменную z, т.е. V - топологический модуль над кольцом многочленов C[z].

В настоящей статье изучаются некоторые специальные свойства замкнутых подмодулей модуля V. Для краткости всюду ниже будем пользоваться термином „подмодуль", имея в виду замкнутый подмодуль. Исследование подмодулей в V представляет интерес в связи с тем, что они состоят в двойственности с замкнутыми подпространствами пространства Са; Ь), инвариантными относительно оператора дифференцирования.

Для функции >р G V и всех A G C определим ее дивизор

, , 10, если >р(\) = 0, nv(\) = <

т, если А - нуль р> кратности т.

N.F. Abuzyarova, Closed submodules in the module of entire functions of exponential type AND polynomial GROwTH ON THE REAL AXIS. © Абузярова Н.Ф. 2014.

Работа выполнена при поддержке гранта №01201456408 Минобрнауки РФ. Поступила 16 мая 2014 г.

Дивизором подмодуля J С V называется функция nj(Л) = minnv(X). Обозначим

>pej

А^ = {(Afc, т-к) : т-к = nv(Xk) > 0, к = 1, 2,... } - нулевое множество функции р Е V, отличной от тождественного нуля; Aj = {(А&,m,k) : mk = nj(Xk) > 0, k = 1, 2,... } -нулевое множество подмодуля J = {0}.

Известно (см., например, [2]), что всякий элемент пространства V является функцией

вполне регулярного роста при порядке 1, индикаторная диаграмма которой есть отрезок

мнимой оси [ic^; idv] С (ia; ib). Для подмодуля J положим cj = inf cv, dj = sup dv.

fej ^ej

Множество [cj; dj] будем называть индикаторным отрезком подмодуля J.

Так как V - пространство типа (LN*), множество В С Р ограничено тогда и только тогда, когда оно содержится и ограничено в одном из банаховых пространств Рк (см. [1, теорема 2]). Используя этот факт и определение топологии в V, нетрудно проверить, что пространство V борнологическое и b-устойчивое. Напомним, что локально-выпуклое пространство целых функций называется b-устойчивым, если для любого ограниченного множества В С V множество всех целых функций гф вида 4,(z) = p(z)/(z — Л), Л Е C, ip Е В, содержится и ограничено в V (см. [3, §1]).

В силу вышесказанного для исследования подмодулей в модуле V можно применить абстрактные методы, разработанные И.Ф. Красичковым-Терновским в [3], [4].

Подмодуль J слабо локализуем, если он содержит все функции ip Е V, удовлетворяющие условиям: 1) nv(z) > nj(z), z Е C; 2) индикаторная диаграмма функции р содержится в множестве i[cj; dj]. В случае, если cj = а и dj = b, слабая локализуемость J означает, что этот подмодуль обильный или допускает локальное описание (короче, локализуемый).

Подмодуль J называется устойчивым в точке X Е C, если выполнение условий р Е J и nv(X) > nj (Л) влечет включение p/(z — X) Е J. Подмодуль J устойчив, если он устойчив в любой точке Л Е C.

Термины „устойчивый (в точке) подмодуль", „обильный подмодуль" введены в [3], [5].

Ясно, что устойчивость подмодуля J является необходимым условием его слабой ло-кализуемости.

Обозначим Jlf1 замкнутый подмодуль, порожденный функциями р\,... , рт Е V:

J = {pipi +-----+ РтРт, Р\,...,Рт Е C[z]}, (1.1)

Функции pi,..., рт называются образующими подмодуля JVl...,,frn.

Из результатов работы [4, § 4] следует, что главный (порожденный одной функцией) подмодуль в V всегда устойчив. Это также нетрудно проверить непосредственно, учитывая, что модуль V поточечно устойчив (о свойстве поточечной устойчивости V подробно говорится в доказательстве теоремы 1). В отличие от главных подмодулей, подмодули, порожденные т функциями, т > 1, устойчивы не всегда. Например, подмодуль, порожденный в V функциями е-1 cz, е-1 dz, где а < с < d < b, не устойчив в силу предложений 1 и 2 настоящей работы и примера 2 из работы [12, § 2].

Ниже, в параграфе 3, рассматривается вопрос об условиях устойчивости подмодуля, порожденного в V двумя функциями р, ф, в терминах взаимного расположения нулей (а значит, „близости" роста) этих функций (теорема 1). В основе исследований лежит критерий устойчивости для подмодуля с конечным числом образующих, полученный И.Ф. Красичковым-Терновским ([4, предложение 4.9]).

Достаточные условия устойчивости подмодуля с двумя образующими, содержащиеся в теореме 1, по всей видимости, далеки еще от необходимых, как и во всех известных нам утверждениях такого рода (см. [6]—[11]). С другой стороны, в отличие от общего критерия И.Ф. Красичкова-Терновского [4, предложение 4.9], условия устойчивости, формулируемые в терминах взаимного расположения нулевых множеств двух функций (или подмодулей) - обозримые и проверяемые. Это позволяет, в частности, получать утверждения о

2-порожденности или представимости в виде замыкания суммы двух специальных обильных подмодулей (идеалов) для обильных (см. [6]—[11]), а иногда, как в нашем случае, даже только устойчивых подмодулей (теорема 2).

Пример неустойчивого подмодуля, приведенный выше, показывает, что 2-порожденный подмодуль в V не обязательно является главным. Из теоремы 2 следует большее: не всякий устойчивый подмодуль с двумя образующими в V - главный.

Отметим, что для широкого класса весовых модулей функций, голоморфных в области П С C, в работе [9] изучались условия обильности (устойчивости) подмодуля, порожденного двумя обильными (устойчивыми) подмодулями, в терминах „близости" последовательностей нулей порождающих подмодулей. Однако зазоры между весами, определяющими топологию рассматриваемых в [9] модулей, растут быстрее логарифмической функции, так что здесь результаты этой работы неприменимы: в модуле V зазоры между весами логарифмические.

2. Вопросы двойственности

2.1. Принцип двойственности. Пусть Е = С^(а; Ь) - пространство Шварца, наделенное стандартной топологией проективного предела банаховых пространств Ск [ак; ]. Известно, что Е - полное метризуемое рефлексивное локально-выпуклое пространство, в котором каждое ограниченное множество относительно компактно. Пусть, далее, D = d; -оператор дифференцирования, W С Е - замкнутое и инвариантное относительно D (короче, D-инвариантное) подпространство: DW С W. Если не оговорено противное, то считаем, что W = Е. Обозначим через Exp W запас всех корневых элементов оператора D -экспоненциальных одночленов Vе~lAi - содержащихся в W.

В работе [12] решена следующая задача спектрального анализа: спектр a(W) сужения оператора дифференцирования на Д-инвариантное подпространство W (называемый иначе спектром D-инвариантного подпространства W) либо дискретен, либо совпадает со всей комплексной плоскостью ([12, теорема 2.1]). В первом случае a(W) представляет собой последовательность кратных точек Л = {(-i\j ,mj), } m,j G N, j = 1, 2,... , при этом Exp W = {tk e~ lx>f, k = 0,1,...,mj - 1, j = 1, 2,... }.

Пусть I С (a; b) - относительно замкнутый в (a; b) непустой промежуток. Положим

Wj = {f GE : f (k)(t) = 0, t G I, k = 0,1, 2,... }. (2.1)

В работе [12, параграф 2, пример 1] отмечено, что в случае, когда I = {с}, с G (а; Ь), соответствующее Д-инвариантное подпространство Wc представляет собой совокупность всех функций f G Е, удовлетворяющих условию f(fc)(c) = 0, k = 0,1,... , и имеет пустой спектр.

В [12] также доказано, что для всякого D-инвариантного подпространства W = Е существует минимальный относительно замкнутый в (а; Ь) промежуток I = для которого верно включение Wi С W (теорема 4.1).

Обозначим этот промежуток и положим Cw = inf{t G Iw}, dw = sup{i G Iw}.

Согласно теореме Пэли-Винера-Шварца [13, глава 7] преобразование Фурье-Лапласа Т устанавливает линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного к Е пространства Е' и пространства V:

5 GE' о у GV ^ у = Т (S) = (5, е-).

Символом ch supp S будем обозначать выпуклую оболочку носителя функционала S G Е'. Так как все элементы пространства Е' имеют компактные носители, ch supp S -отрезок, лежащий в (а; Ъ).

Предложение 1. (Принцип двойственности.) Между Б-инвариантными подпространствами Ш С £ и замкнутыми подмодулями J С V имеет место взаимно однозначное соответствие по правилу: Ш о J J = Т(Ш0), где = Е £' : (Б, f) = 0, f Е ЭД} - аннуляторное подпространство для Ш. При этом

Ехр Ш = (V е~гХк \ з = 0,...тк — 1, (Хк ,тк) € Л^}, (2.2)

а границей промежутка служат точки ^ и dJ.

Доказательство. Первая часть принципа двойственности доказывается такими же рассуждениями, как в [5, §2]. Соотношение (2.2) следует из нее.

Докажем утверждение о границе промежутка . Пусть ^ = Т(Ш0) - аннуляторный подмодуль Д-инвариантного подпространства ЭД. Положив I' = (а; Ъ)[\cJ; dJ], видим, что Д-инвариантное подпространство Шр аннулируется всеми функционалами из подпространства Ж0. Отсюда, учитывая первую часть сформулированного принципа двойственности, заключаем, что Шр содержится в Ш, и значит, Шр С . Последнее включение эквивалентно включению: I' 3 . Предположим, что оно собственное, пусть, например, CJ < Сщ. Тогда, согласно теореме Пэли-Винера-Шварца, в аннуляторном подпространстве Ш0 имеется распределение Б со следующим свойством: пересечение носителя Б и открытого интервала (cJ; Сщ) не пусто. По определению носителя распределения найдется финитная бесконечно дифференцируемая функция <^0, для которой еЬ яирр р0 Ш (с^; сщ) и (Б, р0) = 0. Следовательно, р0 Е ^■ С другой стороны, видим, что р0 Е ЭД/^ С Ж Значит, соотношение CJ < Сщ не может иметь места.

Так же доказывается, что не может выполняться строгое неравенство dJ > dw■

□

Оказывается, что И-инвариантное подпространство Ш имеет дискретный спектр тогда и только тогда, когда его аннуляторный подмодуль J устойчив.

Необходимая часть этого утверждения содержится в пункте 11) предложения 3.1 [12], а достаточная - в нижеследующем предложении.

Предложение 2. Если аннуляторный подмодуль J = (0} И-инвариантного Ш подпространства устойчив, то Ш имеет дискретный спектр ащ = — гЛJ.

Доказательство. В силу (2.2) в доказательстве нуждается лишь включение ащ С —1ЛJ.

По предложению 2.2 из работы [12] точка Л лежит в множестве С \ ащ тогда и только тогда, когда выполнено соотношение (И — Х)Ш = Ш, означающее, что является сюръек-тивным отображение

(Б — А) : ЭД ^ ж

Рассмотрим сначала случай, когда 3 = - главный подмодуль, порожденный функцией р = Т(Б), Б Е £'; в этом случае Л ^ = Лр. Обозначим соответствующее Д-инвариантное пространство (для которого Т(ЭДр) = ^"р). Подпространство состоит из всех функций / Е £, удовлетворяющих соотоношениям

(Б,Бк f ) = 0, к = 0,1, 2,... Докажем, что для любой точки А0 Е С \ Лр верно равенство

(Б + 1\0)Шр = ЭДр. (2.3)

Считаем, что ^(А0) = 1.

Пусть еЬ яирр 5 = [с; С (а; Ь). Для / Е Шр положим

ь \

/(¿) = — ( Б, [ f (т)е-[(г-г)х°ат ) е-их° + I f (т)е-^-т)А°¿т. (2.4)

Нетрудно проверить, что (И +1 Ао) f = / и ( Б, Ик/) = 0, к = 0,1, 2,... Значит, f - решение уравнения (И + 1 Ао)д = /, / Е , принадлежащее подпространству Ш^.

Соотношение (2.3) и, следовательно, включение ащ^ С — для главного подмодуля доказаны.

Рассмотрим теперь случай, когда 3 = Т( Ш0) - произвольный устойчивый подмодуль в V, А0 Е ЛJ. Пусть р0 Е 3, р0 (А0) = 1. Если ф Е 3, то функция

ф= )ф — ^^ А0 = 0,

I

ф — ф(0)^о, Ао = 0,

принадлежит 3 и обращается в нуль в точке А0. Поэтому ф = ^— А0) Е 3. Таким образом, представление

ф ='}(г — А0)ф + ^^0, А0 = 0,

гф + ф(0)<р0, А0 = 0, имеет место для произвольной функции ф Е 3. Для подмодуля 3 можем написать

3 ={г — А0)3 + 3^. (2.5)

Используя принцип двойственности (предложение 1) и рефлексивность пространства 8, из (2.5) нетрудно вывести, что исходное И-инвариантное подпространство Ш есть пересечение И-инвариантных подпространств Шх и Ш2, имеющих аннуляторные подмодули (г — А0)3 и 3<р0, соответственно.

Решением в Ш уравнения (И + 1А0)д = /, / Е Ш, будет функция /, определяемая формулой (2.4). Действительно, как уже отмечалось, f Е Ш2, а соотношение (И + 1А0)/ = f Е Ш эквивалентно включению £ Е Шх. Поэтому £ Е Шх Р| Ш2 = Ш. Следовательно, (И + 1 А0) : Ш ^ Ш - сюръективный оператор. Согласно цитированному в начале доказательства утверждению из работы [12] точка (—1 А0) не является точкой спектра ащ. Значит, справедливо включение С \ (—) С С \ ащ, эквивалентное требуемому.

□

2.2. Сохранение класса Т( С°(а;&)) при возмущениях нулей. Рассмотрим функцию

ь

= г, зЕС^(а;Ь); (2.6)

а

обозначим через Л = { Ак}, к = 1,2,,... - последовательность корней этой функции, упорядоченную по возрастанию модулей: | Ах | < |А2| < ....

Нас интересуют условия близости другой последовательности Г = {^к} к последовательности Л, при которых Г тоже будет множеством нулей функции ф из Т(С¡(а; Ь)).

Устойчивость различных классов функций финитных преобразований Фурье относительно сдвигов нулей изучалась А.М. Седлецким [14].

Пусть (а'; Ь') Ш К. Теорема 5.1.2 работы [14], в частности, содержит следующее утверждение: условие

\ Аз — 1з \

^1 + \1шА, \ + \1ш1] \ сохраняет класс Т(Ьр(а'; Ь')), 1 < р < <х>.

< (2.7)

Предложение 3. Пусть р - функция вида (2.6) с последовательностью нулей Л = [Хк}, 0 < |Ai| < I Х21 < ..., и пусть Г = {^к} - другая последовательность, столь близкая к Л, что выполнено условие (2.7). Тогда для любых а', b' Е R таких, что chsupp s Ш (а';Ь') С (а;Ь), функция ф, определенная формулой

ф(г) = e-KZ lim П (1 - z/ъ), где с = (^(тг/2) + hv(—тг/2))/2, (2.8)

hk |<R

принадлежит классу Т( С£°(а'; Ь')), и ее индикатор hф совпадает с индикатором hv функции р.

Доказательство. Пусть а',Ь' Е R такие, как сказано в условии. В силу цитированного выше результата А.М. Седлецкого функция ф есть образ при преобразовании Фурье-Лапласа некоторой функции s Е Lq(а1 ;Ь') для всех 1 < q < ж, причем из доказательства теорем 5.1.1, 5.1.2 в работе [14] видно, что chsupp § = chsupp s, и значит, индикаторы целых функций р и ф совпадают.

Применив аналогичные рассуждения к функциям zmp и хтф, т =1, 2,... , и учитывая соотношения

zmp = Т(s(m)), хтф = Т(§(m)) (s(m — обобщенная производная распределения 5), получим

s(m Е Lq(а';Ь'), 1 < q < ж, и chsupps(m С chsupps, т = 0,1,...

Следовательно, 5 Е СХ(а'; Ъ'),ф = Т(5) Е Т(СХ(а'; Ь')). □

В работе [14] (доказательство теоремы 5.1.2) показано, что условие (2.7) влечет сходи-x W-- I

мость ряда £ 1+_|Im7:^^. Обозначим его сумму через С. j=i 3

Нижеследующее утверждение, дополняющее предложение 3, будет использовано при доказательстве теоремы 2.

Лемма 1. В условиях и обозначениях предложения 3 справедливы неравенства

max I§(m)(t)I<Am,m = 0,1,..., где Am = е2С||s(m+1)\\LHa,M). (2.9)

a'<t<b'

Доказательство. Положим

5 т,о(¿) = 5 {т\г), 8т,п(г) = 5 - - Хп) ! е1Хп(-г)8т,п-Х(т)&т, г € (а'; Ь').

о а'

Из оценки (5.1.14) в [14], определений функций в тп и величины С следует, что II *шАЩа> Ф') < (1 + II *т,п-1\\Ща> ;Ъ>) <•< ^ || в (т+1)ЦЬ1 (а ;*).

Так как последовательность 5 т,п сходится к ё(т в Ь1(а';Ъ') (это доказано в теореме 5.1.2 работы [14]), учитывая последнее неравенство, заключаем, что

Ц^ \\Ща> ; У) < е2С II в (т)\\ЬЧа> ; У).

Из этой оценки выводим требуемые неравенства (2.9):

к

§(т+1)(г)а г

max | s(m)(t)I = max

a a

<\ls(m+1)l\L4a> ;Ы) < e2° || S (m+1)\\L4a> ;ЫУ

□

3. Достаточные условия устойчивости 2-порождЕнного подмодуля в V

3.1. Вспомогательные оценки. Пусть р Е V, р(0) = 1, Л = {Аj}, \Ах\ < \А2\ < ... множество нулей функции р. Известно [2, гл. II], что для р имеет место представление

ф)

—К с^+А^) г ¡2

^ / \ !й( 1—а

где су = Н(—ж/2), = Н(ж/2),

(3.1)

при этом бесконечное произведение сходится условно и равномерно на компактах в С, а последовательность Л имеет плотность А0 = (— сч>)/2ж.

Рассмотрим еще одну функцию ф Е V, ф(0) = 1, с нулевым множеством Г = {}, упорядоченным по возрастанию модулей ' \ и имеющим плотность А0. Функция ф тоже может быть представлена в виде (3.1) с '1 вместо Аj.

Введем необходимые обозначения.

*«=п 0—й

фм( г) = П (1 — т)

¿ГМ \ Аj /

фк (г)

й(1 —

ф м м = п 0 — Ъ)

1ем ^ 11 '

где М С М, - непустое множество, для которого оба произведения сходятся (условно и равномерно на компактах в С); если М = 0, то полагаем Фми Фмтождественно равными единице.

Для чисел а Е (0; 1/2) и А Е С обозначим еа (А) замкнутый круг радиуса а \А\ с центром

А, и для непустого множества М С N положим Ем,а = у (еа(Аj) У еа('1)).

¿ем

Пусть

х(м) = 11п (1 + м) + 1п (1 + 1

М \ м

(3.2)

эта функция строго убывает на положительной полуоси и принимает там положительные значения; значит, существует обратная к ней функция м(х) > 0, также определенная и строго убывающая при положительных значения аргумента.

Следующие величины характеризуют близость последовательностей Л и Г.

Бп = У^

1>п

1

А

1

ъ

Км = тах

¿ем

I А 11 \

I 11 , А1 /,

М С М, М = 0,

полагаем Км = 1, если М = 0. Далее в этом пункте считаем, что

\ А1 \ > 2, , \ъ3\> 2, 3 = 1, 2,...,

и для некоторого числа А > А0 при всех г > 0 выполнены неравенства

пЛ(г) < Аг, пг (г) < А г,

(3.3)

(3.4)

здесь пл(г) = £ 1 и пг(г) = £ 1 - считающие функции последовательностей Л и

1: А |<г 1: ^|<г

Г.

Лемма 2. 1. Пусть 5 > 0 и А > А0 - число, для которого выполнены неравенства (3.4). Для всех к при \г\ > тах{2, м(£/А)тах{\Ак\, \'к\}} справедливы оценки

1п \рк(х)\ < т1п{^\г\, к1п \г\}, 1п \фк(х)\ < т1п{^\г\, к1п \х\}.

(3.5)

2. Для а Е (0; 1/2), М С N вне множества Ем,а выполнены неравенства

Фм (г)

1п

Фм (г)

^ вр I I

< \А

а

1

Фм (г)

Фм (г)

<

а

Бр\г\ ехр

а

8р\г\

(3.6)

(3.7)

где р = тт{/ : ] Е М}, а множество М С N - такое, что произведения, определяющие функции Фм, Фм, сходятся.

3. Пусть функция р при всех г Е С удовлетворяет неравенству

1п \р(г)\ < \1тг\.

Для произвольных а Е (0; 1/2), К> 0, к Е N положим

М = М(к,К,а) = {ЗЕ N : 3>к} (еа(А1) Ц еа(Ъ)) р|[—К,К] = 0}

(3.8)

(3.9)

Тогда неравенство

\фк(х)р(х) — Рк(х)ф(х)\ <

/^П(1 +а)

а(1 — а)

ехр

у^П(1 + а) а(1 — а)

Кмвк+1К

а( — Су)

1— а

1 + ехр

)

'Т у к + тп{5К, к1п к}

v/^П(1 + а)

а(1 — а)

выполнено для всех х Е [—К; К], К > тах{2, /А)\Ак\}, к Е N.

Кмвк+1К

(3.10)

Отметим, что величины вр в правых частях неравенств (3.6), (3.7) и 5к+1 в правой части неравенства (3.10) могут принимать значение в этом случае указанные неравенства тривиальны. В дальнейшем, при использовании этих неравенств на последовательности Л и Г будут наложены условия, обеспечивающие конечность вр.

Доказательство. 1. Неравенства 1п\рк(х)\ < 5\х\, 1п \фк(х)\ < 5\х\ для М > м(А) тах{\Ак\, \ 1к\} доказываются так же, как п. 1 леммы 1 из [6], с учетом условий (3.4) на число А и того, что последовательности Л и Г упорядочены по возрастанию \А1 \,

ъ\.

Из условий (3.3) непосредственно получаем, что 1п\рк(х)\ < к1п\г\, 1п \фк(х)\ < к1п \г\ при \ \ > 2.

2. Для вывода оценок (3.6) и (3.7) воспользуемся схемой, которая применялась при доказательстве пунктов 2 и 3 леммы 1 из [6]. Фиксируем произвольное а Е (0; 1/2). Для г Е е<у (11) имеем

1п

1 — г/А,

1 — 11

Аналогично, для г Е (А,) будет

1п

1п

1+

(1/Ъ — 1/А, )*

1 — 11

1 — 11

1 — А,

<

11

11

<

м

а

1

11

1

А

м

а

Из этих неравенств следует справедливость оценки (3.6)для всех г, лежащих вне множества Ем,а:

ln

Фм (z)

Фм (z)

<Е

зем

ln

1 - z/X3

1 - */1з

<

(Е 1 -1 )

\им Ъ X )

^И.

а а

Для того чтобы получить неравенство (3.7), оценим сначала выражение

множества Ем,а. Заметим, что

ln фм (z)

ln Фм(z)

вне

Re ln

Фм (z)

Фм (z)

ln

Ф м( )

Фм (z)

Im ln

Ф м( )

Ф м( )

arg

Ф м( )

Ф м( )

Для

Reln

Фм (z)

Оценим

Фм (z)

Im ln

выполняется неравенство (3.6).

Фм (z)

Фм (z)

Для этого воспользуемся легко проверяемым неравенством

arg(1+w) <^lwl, w E C,

где взята ветвь функции arg, принимающая значения в промежутке (—ж; ж]. Для z E е а (lj) имеем

arg

1 - z/X3

= arg

1 - z/Ъ

Аналогично, для z E е а( Xj) будет

1 +

(1/ Ъз - 1/\)z

1 - z/ъ

ж < -

а

1

Ъз

|z|.

arg

1 - z/l3

1 - z/Xj

ж < -

а

11

Ъ

X.

N.

Поэтому

Im ln

Ф м( )

Ф м( )

<

Е

е м

arg

1 - z/X,

1 - z/Ъз

ж

<~Splzl, Z E Ем,а.

а

Из полученных оценок для Re ln Фмщ и Im ln фмт^ следует, что

Фм (z)

ln

Ф м( )

Ф м( )

< + 1 Splzl, Z E Ем,а.

а

Выражение вне множества Ем,а может быть представлено в виде ехр см (z), где

см (г) = 1п . Разлагая ехр см (г) в ряд по степеням см (г) и используя стандартный способ оценки таких рядов, получим неравенство (3.7).

3. Положим N = {] > к, ] Е М}. Так как {] : ]> к} = МуМ, функция, которую нужно оценить, может быть представлена в виде

фк(z)p(z) - Рк(z)ip(z) = фк(z)ip(z) [ 1 -

л - Ф^ \

V Фм (z)J

+

+ фк (z)p(z)

Ф м( )

1

Фм (z)

(3.11)

Фм (г) V Фм (г).

Заметим, что множество М, определенное формулой (3.9), конечно, поэтому множество индексов N отличается от множества {] : ] > к} лишь на конечное число элементов. Следовательно, все четыре произведения, участвующие в определении функций Фм, Фм, ФN, Фм, сходятся.

Для фиксированных а Е (0; 1/2), К > тах{2, ц(8/Д)|Х&|} выберем положительное число £и,а < 2 а К/ (1-а) столь малым, что прямоугольник П х,£ = {г = х + [у : .х. < К, .у. < е}

1

и множество Е^,о = и (ео-(А1 )и ео(1,)) не имеют общих внутренних точек при всех £ < £к,о.

Оценим каждое из слагаемых в правой части (3.11).

Выражение р^) — представляет собой целую функцию. Используя условие

(3.8), оценку (3.7) и ограничения при выборе числа £, выводим, что на границе области

Ск,£,о, состоящей из всех внутренних точек множества Пд,£ у I У (ео(А,) У ео(1,)) ], эта

\1е м

целая функция удовлетворяет неравенству

р( ) 1 —

ЛфмМ ^

V Фм (*)У

<

л/^2ГГ(1 + а)

а(1 — а)

Кмвк+1Кх

(

Г2 + 1(1 + а) а(^ — Су) .

х ехр -----КмЬк+1 Г---- I К. (3.12)

а(1 — а) 1 — а

Учитывая соотношения (3.5), получаем, что при К > тах{2, ц(8/А)\Ак\}, к Е N для всех х Е [— К; К] выполняется неравенство

фк (х)р(х) ( 1 — ФмМ)

Ф м( х)

<

л/^2ГГ(1 + а)

а(1 — а)

Км вк+1К

ехр

/пГГ\(1 + а) а(1 — а)

Кмвк+1 +

а( — Су) 1 -а

К Гшт^К, к1пК}

(3.13)

Оценим второе слагаемое в правой части представления (3.11). В силу неравенств (3.6), (3.8) и условий выбора числа е на границе области Си,£0 для целой функции р(г) имеет место неравенство

р( )

Ф м( )

Ф м( )

< ехр

(

+ 1(1 + а) ^ с { а(¿у — Су)

а(1 — а)

Кмвк+1 +

1 а

К.

(3.14)

Далее, при любом е Е (0; е) на границе прямоугольника П для множителя

Л Фм Л

— фШ; верна оценка

Л — \

<

/г^ГТ

а

вк+АА ехр

/г^ГТ

а

вк+1\А

Внутри прямоугольника П х,£ функция — Ф^(^) ^ аналитична. Поэтому для всех х Е [- К; К] будет

ЛФхМ ^

V Ф^ (х)>

<

/г^ГТ

вк+1 /К2 + £2

а

ехр

(

л/^ГТ

вк+1/К2 + е2

а

.

Устремляя здесь к 0, получим

л ФхМ \

V Ф^ (х))

<

л/^ГТ

а

вк+1К ехр

(

/г^ГГ

а

&+1К х Е [—К; К].

Из этого неравенства, оценок (3.14) и (3.5) выводим нужную оценку для второго слагаемого:

*<хМх)ФЖ (1 - Ш

Фм (х) V Фм (х),

у/^+тд + а) к

< --Т.-ч-кмЪк+1К*

а(1 - а)

ехр

'2^2 + 1(1 +а) с , а(^ - Ср)

)

-— К + тт{8К, к1пК}

а(1 - а) 1 - а

для всех х Е [-К; К], К > тах{2, ^(8/Д)|Хк.}, к Е N. (3.15) Из оценок (3.13) и (3.15) следует требуемое неравенство (3.10).

□

3.2. Условия устойчивости подмодуля с двумя образующими. Рассмотрим функции р, ф Е Т(СЖ(а; Ь)) С V, удовлетворяющие условиям:

р(0) = ф(0) = 1, (в) = кф(в), вЕ [0;2тг). (3.16)

Функции р и ф - преобразования Фурье-Лапласа финитных бесконечно дифференцируемых функций, поэтому для них верны оценки

|р(х)|<^, |ф(х)|<^, х Е К, ^УКк, к = 1,2,..., (3.17)

где {Кк} - некоторая возрастающая последовательность чисел, больших 2.

Обозначим Л = {Хj}, Г = {Ъ]} последовательности нулей функций р и ф, соответственно, упорядоченные по возрастанию модулей, каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность. Последовательности Л и Г имеют одинаковую плотность; будем обозначать ее Д0, как и выше. Для произвольных фиксированных чисел Д > Д0, 8 > 0 положим К* = $/Д)тах{|Х]^ |^|}, где функция ^(х) - обратная к функции х(^), определенной формулой (3.2).

Теорема 1. Предположим, что для некоторых чисел Д > Д0, 8 > 0 и возрастающей последовательности Кк > 2, к = 1, 2,..., для которой выполнено (3.17), верно соотношение

1п ^

Итвир- р^р*-! > д. (3.18)

к^ж тах{Кк ,Кк }

Тогда подмодуль ^р,ф, порожденный функциями р и ф в модуле V, устойчив. Доказательство. Для вещественного числа с отображение

<р ^ <рс = е1СХр

определяет топологический модульный изоморфизм исходного модуля V и модуля 'Рс, состоящего из преобразований Фурье-Лапласа распределений с компактными носителями, лежащими в интервале (а - с;Ъ - с). Ясно, что подмодуль и его образ ^Рс,фс при указанном изоморфизме устойчивы или нет одновременно.

Используя этот факт, перейдем к функциям рс = е1СХр, фс = е1СХр Е Тс, где с = (к(р(-Т1 /2) + Н(р(,к/2))/2. Индикаторные диаграммы функций рс и фс совпадают с отрезком мнимой оси [-^Д0; г^Д0]. Поэтому для этих функций выполнена оценка вида (3.8). В дальнейшем изложении индекс будем опускать.

Как отмечалось выше, модуль V является Ь-устойчивым. Поэтому, согласно предложению 4.2 из работы [4] (с учетом замечания 1 из § 4 этой же работы), устойчивость замкнутого подмодуля 3 достаточно доказать для какой-нибудь одной точки Х0 Е С. Например, для Х0 = 0.

Воспользуемся критерием устойчивости в точке Ао для подмодуля с конечным числом образующих ([4, предложение 4.9]), который в случае двух образующих формулируется так: подмодуль с образующими, удовлетворяющими условию р(А0) = 1, ф(А0) = 1, устойчив в точке А0 тогда и только тогда, когда тождественный нуль можно аппроксимировать в топологии V функциями вида (рр — дф), где р, д - многочлены и р( Ао) = д( Ао) = 1.

В начале § 4 работы [4], содержащем предложения 4.5, 4.8, из которых выводится этот критерий, на модуль V накладывается более сильное, чем Ь-устойчивость, требование равномерной устойчивости. Напомним, что равномерная устойчивость модуля V означает, что для любой окрестности нуля и С V найдется окрестность нуля и' С V, такая, что при всяком А Е С верна импликация: р Е и', пу(А) > 0 Е и. (Этот термин введен

в [3], [4]). --

Фактически, как это отмечено и в замечании 2 [4, § 4], при доказательстве предложений 4.5, 4.8, 4.9 в [4] использовано лишь следующее, более слабое, свойство поточечной устойчивости пространства V: для любой окрестности нуля и С V и любого А Е С найдется окрестность нуля У\ С V, такая, что верна импликация: р Е У\, пу(А) > 0 Е и.

Также в [4, § 4 ], доказано, что борнологическое Ь-устойчивое пространство является поточечно устойчивым.

Из вышесказанного заключаем, что сформулированный критерий устойчивости для подмодуля с двумя образующими может быть применен в рассматриваемом модуле V.

Заметим, что на интересующие нас свойства подмодуля, порожденного функциями р и ф, не влияет изменение последовательностей Л и Г на конечное число точек. Действительно, пусть при некотором п0 Е N для функций р/рпо, ф/фпо выполнены условия критерия устойчивости: существуют обобщенные последовательности многочленов ра, д_а, удовлетворяющие соотношениям:

'Рарр--йаф--^ 0 в V, ра(0) = (¡а(0) = 1 для всех а.

рП0 фП0

Тогда для многочленов Ра = рп0фп0ра, ц_а = рпофпоЯа и функций р, ф, очевидно, будут выполняться аналогичные соотношения:

рар — Чаф ^ 0 в V, Ра(0) = ^(0) = 1 для всех а.

Таким образом, можем считать, что исходные последовательности нулей Л и Г удовлетворяют условиям (3.3), (3.4).

Рассмотрим последовательность {фкр — ркф}. В силу (3.3) на вещественной оси, при \х\ > 2, имеем

\рк (х)\<\х\к, \фк (х)\ < \х\к, к=1, 2,... Учитывая (3.17) и то, что Кк > 2, отсюда получим

\фк (х)р(х) — рк (х)ф(х)\< 2, \х\>Кк, к =1, 2,... (3.19)

Выберем и фиксируем число 8' > 8 такое, что соотношение (3.18) остается верным после замены в нем 8 на 8'. Существует подпоследовательность индексов ки, для которой

ln ^

kv+1 > 8' //=1,2,... (3.20)

тах{Д^ ,R*kv} Следовательно,

skv+iRkv ^ о, f ^ ГС, (3.21)

где обозначено Rk = max {Rfc, R* }.

Фиксируем произвольное а Е (0; 1/2) и воспользуемся пунктом 3 леммы 2, положив в нем R = Rkv. Оценим сначала величины Kmv , где множество индексов Ми = М(ки, Rkv, а)

определяется формулой (3.9). Для ] Е Ми хотя бы одна из величин ^ |Ъ] | не превосходит Кк„/(1 - а). Пусть, например, ^| < Кк,/(1 - а). Тогда

1

Х±

Ъ

< +1Кк,/(1 - а).

Поэтому

км 1, .

(3.22)

Из неравенства (3.10) для функции (фк,р - Рк^ф) получим оценку [фк„(х)р(х) - (х)ф(х)| < Мх^М2,и, |х| < Кк„,

где

а(1 - а) М2,,у = +1Кк„ ехр

аа —2 + 1(1 + а^ Л , (\/ъ2 + 1(1 +а) „

Ми =-,—-Км„ I 1 + ехр I -4 —-Км^вк,+1^

у/жгЛ(1 + а)

а(1 - а)

Км1,БК+1 +

лЛ2 + 1(1 + а^ „ , 2ттД0а\

1 а

)

К, + 8Кк

а(1 - а)

В силу соотношений (3.21) и (3.22) последовательность {М1,и} ограничена. Для второго сомножителя М2 и имеем

1п

2м

' ^ж2 + 1(1 +а) а(1 - а)

Км„$к„+1 +

2жД0а 1п Кк

1 а

+

1п КкЛ

Кк )

+ 8 -

1п

8к,

+ 1

Кк

Кк

(3.23)

Выберем теперь а столь близким к нулю, чтобы выполнялось неравенство (2жД0а)/(1 - а) < (8' - 8)/3. Для выбранного а найдем значение индекса и = иа такое, что

значения обоих выражений: ^а+-(1,-+а) +1 и (1п Кк,)/(Кк,) - меньше, чем (8' - 8)/3

при всех и > иа.

Для числа 8' и подпоследовательности {ки} выполнено соотношение

1п Як,+1

Ит

> 8'.

тах{Кк, ,К1}

Поэтому найдутся положительное число е0 и значение индекса V = //1 > иа, такие, что выражение, стоящее в квадратной скобке в правой части формулы (3.23), не превосходит (- 0) при всех > 1. Следовательно, имеем оценку

М2,и < ехр(-£0Кк1,), у> щ.

С учетом ограниченности последовательности {М1,и} отсюда получаем, что найдется номер 0 > 1 , для которого

[фк1, (х)р(х) - рк, (х)ф(х^ < 2, |х| <Кк„, у> щ. (3.24)

Из этих оценок и неравенств (3.19) заключаем, что при всех и > щ будут выполнены соотношения

к„ (х)рр(х) - рк, (х)ф(х)| < 2, х Е К. В силу принципу Фрагмена-Линделефа во всей комплексной плоскости справедливы неравенства

к„(г)р(г) - рк,^ф^) < 2ехр ('кДo|Im-Z|), и> щ. Из этих неравенств следует, что последовательность функций Ф^(г) = фк„(г)<р(г) - (г)ф(г), V = и1, и2,..., ограничена в V, а значит, относительно компактна в этом пространстве (см. [1]). Учитывая полноту V (как пространства типа (ЬN*), заключаем, что некоторая подпоследовательность {Ф^} сходится в пространстве V к тождественному нулю.

1

V

V

Согласно критерию устойчивости из работы [4], приведенному выше, подмодуль 3,,ф устойчив.

□

Замечание 1. Пусть N0 С N - такое бесконечное множество индексов, что для чисел Rk выполнено соотношение

Rk

lim —— =

к^ж, keNo К

Незначительно изменяя рассуждения в последней части доказательства теоремы 1 (касающейся применения неравенства (3.10)), можно показать, что утверждение теоремы остается справедливым, если условие (3.18) заменить на следующее: найдется подпоследовательность Ni С N0, для которой

ln

lim -^ > 0.

к^ж, keNi Rk

Следствие 1. В условиях и обозначениях теоремы 1 имеет место импликация: если множество Л Р| Г конечно, то подмодуль 3,,-ф слабо локализуем.

Доказательство. Пусть W - ß-инвариантное подпространство в £, для которого J-аннуляторный подмодуль: 3,,ф = Т( W0). Согласно теореме 1 подмодуль 3,,ф устойчив, поэтому (предложение 2) спектр подпространства W конечен и равен (—). По предложению 6.1 из работы [12] подпространство W представляет собой алгебраическую прямую сумму подпространств Wjw и £(Exp (—iA.^)) (С( ■) - линейная оболочка множества). Используя двойственность, получим, что подмодуль 3 есть пересечение аннуляторных подмодулей этих подпространств:

З^ф = Т( Wjw) П Т0C(Exp (-iAj))0).

Подмодуль Т( Wj ) представляет собой множество всех функций из V, индикаторные диаграммы которых содержатся в множестве iIw = i[Cj; dj]. Подмодуль Т(£(Exp (—))0) есть совокупность всех функций из V, обращающихся в нуль на множестве Л^. Следовательно, 3^,ф - слабо локализуемый подмодуль.

' □

4. 2-порожденные подмодули в V

Применим результаты предыдущего параграфа для доказательства следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть 3 С V - устойчивый подмодуль с конечным множеством нулей ЛJ и индикаторным отрезком [cj; dj] С (a;b), причем1 cj < dj. Тогда для любой функции р Е 3, удовлетворяющей условиям р Е Т(СЖ(а;Ь)), h(p(—n/2) = cj, h(p(n/2) = dj, найдется функция ф Е 3, такая, что

3 = 3,

Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что 0 € Л^•

Рассуждая так же, как и при доказательстве следствия 1, заключаем, что подмодуль 3 слабо локализуем. Поэтому множество 3 ( С^(а; Ь)) не пусто. Легко видеть, что среди функций этого множества имеются функции с индикаторной диаграммой 1[CJ; dJ]. Пусть

1Если CJ = dJ = с € (а; Ъ), то подмодуль ^ порожден одной функцией е 1 сг. Это следует из упоминавшегося в начале § 2 примера 1 из [12, § 2] и принципа двойственности (предложение 1).

p Е J P| Т(С0°(а; Ь)) - одна из таких функций, равная 1 в точке 0, и пусть Л - ее нулевое множество.

Выберем и зафиксируем два числа а', b' Е R, удовлетворяющих соотношениям

а < а' < cj < dj < b' < b,

и какую-нибудь последовательность Г = {7к}, столь близкую к Л, что для последовательностей Л и Г справедливо (2.7). Пусть

Л ^ IAj - Ъ1 А = 2С" (m+1)|| С = 2^1 + |Im Aj I, Лт = е 11 ^ Ul(a ^

где sр Е С0°(а';Ь') - прообраз при преобразовании Фурье-Лапласа функции p. Рассмотрим произвольную последовательность Г = {Ък}, 0 Е Г, для которой

Ь -Ак |<|7к -Ак I, к =1, 2,... (4.1)

Из предложения 3 и леммы 1 следует, что функция ф, определенная по функции p и последовательности Г равенством (2.8), есть преобразование Фурье-Лапласа некоторой функции sф Е С0°(а'; Ъ') С С0°(а; Ъ), причем ch supp 8ф = [cj; dj] и |s^\t)I < Am, t Е (a; b), m = 0,1,...

Пусть {Гк}™= 0 - возрастающая последовательность вещественных чисел, больших 2, такая, что {p(x)I < IxI-k, x Е R, |x| > гк. Положим

Пк = max{Гк,Ак+1(Ь'-а1)}, к = 0,1, 2,... (4.2)

Для функции ф имеют место соотношения

|ф(х)|< . |х|>Пк, к = 0,1,...

Последние оценки справедливы, с одними и теми же Пк, для всех функций ф, определенных формулой (2.8) по функции p и последовательности Г, если только Г удовлетоворяет (4.1). Среди таких последовательностей Г выберем последовательность, подчиненную дополнительным требованиям: пересечение Г Р| Л есть Л^ и для последовательностей Л и Г выполнены условия теоремы 1 с числами Пк, определенными формулой (4.2). Так как J -слабо локализуемый подмодуль, функция ф, определенная по такой последовательности Г, содержится в J. По теореме 1 подмодуль устойчив, а в силу следствия 1 он также слабо локализуем.

Слабо локализуемые подмодули J и имеют одинаковые индикаторные отрезки и нулевые множества. Поэтому = J. □

Замечание 2. Утверждение теоремы 1 и схема доказательства теоремы 2 могут быть использованы для изучения вопроса о 2-порожденности устойчивых подмодулей с бесконечным множеством нулей. Мы планируем подробно обсуждать эти вопросы в другом месте.

Автор выражает благодарность участникам Уфимского городского семинара имени А.Ф. Леонтьева по теории функций за внимание к работе и полезное обсуждение.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах ЛВП, важных в приложениях// Математика. Сб. переводов инстранных статей. 1957. 1:1. С. 60-77.

2. B.Y. Levin (in collaboration with Yu. Lyubarskii, M. Sodin, V. Tkachenko). Lectures on entire functions. (Rev. Edition). AMS. Providence. Rhode Island, 1996. 254 p.

3. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I. // Известия АН СССР, серия матем. 1979. Т. 43, №1. С. 44-66.

4. Красичков-Терновский И.Ф.Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II.// Известия АН СССР, серия матем. 1979. Т. 43, №2. С. 309-341.

5. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сборник. 1972. Т. 87 (129), №4. С. 459-489.

6. Абузярова Н.Ф. Об одном свойстве подпространств, допускающих спектральный синтез // Матем. сборник. 1999. Т. 190, №4. С. 3-22.

7. Абузярова Н.Ф. Конечно порожденные подмодули в модуле целых функций, определяемом ограничениями на индикатор // Матем. заметки. 2002. Т. 71, № 1. С. 3-17.

8. Хабибуллин Б.Н. Спектральный синтез для пересечения инвариантных подпространств голоморфных функций // Матем.сборник. 2005. Т. 196, №3. С. 119-142.

9. Хабибуллин Б.Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций, порожденные подмодулями, допускающими локальное описание // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Геометрическая теория функций и краевые задачи. Т. 14. 2002. С. 280-298.

10. Хабибуллин Б.Н. Замкнутые подмодули голоморфных функций с двумя порождающими // Функц. анализ и его приложения. 2004. Т. 38, вып. 1. С. 65-80.

11. Хабибуллин Б.Н. Замкнутые идеалы голоморфных функций с двумя порождающими // Матем. заметки. 2004. Т. 76, №4. С. 604-609.

12. A. Aleman, B. Korenblum Derivation-Invariant Subspaces of C^ // Computation Methods and Function Theory. 2008. V. 8, №2. P. 493-512.

13. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986. 462 с.

14. Седлецкий А.М.Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации. I. // Совр.матем. Фунд. направления. 2003. Т. 5. С. 3-152.

Наталья Фаирбаховна Абузярова, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]