Обильность главных с[п]-подмодулей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.5

ОБИЛЬНОСТЬ ГЛАВНЫХ СИ -ПОДМОДУЛЕЙ

© 2009 г А.Б. Шишкин

Славянский-на-Кубани государственный

педагогический институт, ул. Кубанская, 200, г. Славянск-на-Кубани, Краснодарский край, 353560, sfagpi@mail. ru

Slavyansk-on-Kuban State Pedagogical Institute, Kubanskaya St., 200, Slavyansk-on-Kuban, Krasnodar Territory, 353560, sfagpi@mail. ru

Пусть ж^(zj),...,жи(z„) — система полиномов комплексных переменных,...,z„ ■ В связи с задачей спектрального синтеза для дифференциальных операторов ж(Dj),...,жи(Dn), Dj = д/dzу, рассмотрена задача локального описания замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций над кольцом С[ж ,...,жи ] ■ Показано, что главные подмодули допускают локальное описание.

Ключевые слова: обильность, главные подмодули, спектральный синтез, локальное описание.

Let ж (zj ),..., жп (zn ) be a system ofpolynomials of the complex variables zj,..., z„ ■ In connection with the problem of spectral synthesis for systems of differential operators (D\),...,Kn (Dn ) , D j =д / dz j, the problem of the local description of closed submodules is considered for a special module of entire functions over the ring С[ж ,...,жи ] ■ It is shown that main submodules admit the local description

Keywords: ampleness, main submodules, spectral synthesis, local description■

Пусть л - отображение из Сп в Сп, осуществляемое фиксированным л -многочленом (л,...,лп). Считаем, что многочлен л^, I = 1,..., п , отличен от константы и зависит лишь от одной переменной . Значит, полный

образ отображения л совпадает с Сп и для любого Х = (Х1,...,Хп) е Сп л -слой ~ =л_1(А) является конечным множеством, совпадающим с декартовым произведением ~ х... х ~п, где ~ =лг_1(Аг-). Функцию р, голоморфную в Сп, называют л-симметричной, если

найдется голоморфная в Сп функция Ф такая, что р представляется в виде композиции Ф о л.

Если П - выпуклая область в Сп , то Р(Ц) - индуктивный предел банаховых пространств Р^к) = = {ре Н(Сп ):|| <р\\к <да} с юршми || р|| к = |р(Я)|

где dx сс d2 сс... - последова- p[m ):= J f е 0(сn ) HI fil = sup

= sup

ЛеС" eXPHd'k (Л)

тельность компактов, исчерпывающая Q ; Hd'k (C) -опорная функция компакта d'k = {Ле Сn : Л е dk }. Пусть Qj,...,Qv - выпуклые области в Сn ; P - топологическое произведение P(Qj) х...хP(Q^) . Пространство P обладает структурой топологического модуля над кольцом п -симметричных многочленов С[п]. Замкнутый С[п] -подмодуль в P называется главным, порожденным элементом ф е P, если он совпадает с замыканием в P множества элементов вида гф, где r е С[п]. Пусть I - главный С[п] -подмодуль в P .

Основная цель работы состоит в доказательстве следующей импликации: если f е Р и / = ср, где с -л -симметричная целая функция, то f е I. Если главный подмодуль удовлетворяет этой импликации, то его называют обильным. Обильность главных (^1,...,гп) -подмодулей в скалярной ситуации доказана в [1, 2]. Доказательство обильности в векторной ситуации дано в [3]. Полученный в настоящей работе результат может быть выведен из результатов [3], но автор предлагает альтернативное доказательство, основанное на результатах из [2].

Пусть - плюрисубгармоническая функция в Сп первого порядка и конечного типа, т.е. существуют константы а,Ь > 0 такие, что \у(г) < а | 71+Ь , г е Сп .

Положим ут (г) = ху(г) +ет | г |, где ет > ет+1 > 0 , ет ^ 0 при т ^ да . Обозначим

|Дг)|

zeCn

exp [у m (z)]

■<да!

P[ := П P[m ).

m=1

Пространство Р(^т) - банахово с нормой , причем очевидные вложения ) з Р(^>)3... являются вполне непрерывными. Наделим Р^ топологией проективного предела. Последовательность {fк }да=1 сходится в Р¥, если она сходится равномер-

Сп

и ограничена в

каждом из пространств Р(^т).

да

Теорема 1. Если \> 0 - плюрисубгармоническая

функция первого порядка и конечного типа в Cn, удовлетворяющая условию Липшица

|\\(z)-\(z')| < const\z - z'|, z, z'e Cn , (1)

то множество многочленов секвенциально плотно в пространстве P\.

Эта теорема доказана в [2, теорема 12.3] и будет использована нами при доказательстве основного результата настоящей статьи.

п -симметризация

Выберем произвольную целую функцию \ е H(Cn) и рассмотрим функцию

<Р(С) = - 2 К®)

m юел~1(л(С))

(2)

где С = (С1,..., Сп) £ Сп ; т = т(С) - число элементов

в слое ж_1(ж(С)).

Функция р представляется в виде р=Фо ж, где

Фе Н(Сп). Действительно, ж -слой ж_1(ж(С)) представляет собой декартово произведение ж1_1(ж1(^1)) х ...хжп_1(жп(Сп)). По предложению [4,

2.2] функция <1(^) = — ^ г(а1,С2,-,Сп)

т1 ^ежГЧжС^)) представляется в виде р1(С) = Ф1(ж1(£1),£2,...,£п),

где Ф1 е Н (Сп), т1 = т1(С1) - число элементов в

слое жГ1 (ж1 (С1)). По тому же предложению функция

<2 (С) =— 2 Ф1(ж1(С1),а>2,Сз,...,Сп) представ-

т2 ®2 еЖ2г1(Ж2(^2))

ляется в виде <2(С) = Ф 2 (ж"1 (С 1), Ж2 (С2 ), Сз—Си ) >

где Ф2 е Н(Сп); = т2(С2) - число элементов в слое ж-1 (ж"2(С2)). На последнем шаге получаем представление рп = Ф п о ж, где рп (С) = -1 х

тп

х 2 Фпг1(Ж1(С1),...,Жпг1(Спг1),®п) ,

Юп £ж~п(жп (Сп ))

Фп е Н(Сп), тп = тп (С„) - число элементов в слое

жГ1 (жп (С п)). Осталось заметить, что функция рп совпадает с р. Таким образом, функция (2) является ж -симметричной. При этом, если - многочлен, то р - многочлен от ж (ж -симметричный многочлен или элемент кольца С[ж]).

Промежуточные оценки

Рассмотрим отдельно некоторые оценки, используемые при доказательстве основного результата.

Пусть а (г) = М ехр[-(1 - г 2)_1] , г е(-1;1) , а(г) = 0,

| г | > 1; М - нормировочная постоянная, обеспечи-

вающая выполнимость равенства | а( | С | )dwc = 1;

Сп

ёж с - элемент 2п -мерного объема. Выберем г еС, г ф 0, и обозначим А(С, z, г) функцию

1 -а\

С -z

\t\2n I Прежде всего

1Ж, z, t) -PiC, zt ')\< 1

1 1

\t| 2n \t'\2n

а^

С-z

\t'\

2n

Í С-z ) Í С-z' )

а| J а1

t t' J

При этом 1 1

а

С-z

\t\2n \t'\2n

<A [|t'\-\t\\ 22-1\t\k\t'\2n-k-1 < \t \ 2n\t'\2n k=0

2n-1 A

< \\t'\-\t\\ 2

k=0 \ t \ 2n-k\t'\ k+1

а|

С-z

- а|

С'- z'

< B

С-z

С'-z'

t'

\C\ + \z '\

< b\( | c'-c\ + \ z'-z |) —+| |t '|-| t\ | ,.

1 "|t| ...... |t||t'| )

Здесь A - константа, ограничивающая функцию а ; B - константа, ограничивающая производную функции а . Значит,

\РС, z, t) -Р(С', z ', t' )\< ( \С '-С\ + \ z ' - z \)-

B

+\\t'\-\t\\

\t\ \t '\ 2n ^ (3)

A

\t\ \t' \ 2n+^ k=0\ t \ 2n-k\t'\ k+1

Рассмотрим е (С)^(С, z, /) -РСС', z', ? '). Здесь е (С) - некоторая неотрицательная величина, зависящая от С. Оценим модуль этой разности. Прежде всего

| е (С) АС, ^ 0 - ДСzх') | < | е (С) -11 Р(С, z, г)+ !+|^(С, z, г)-А(С, ^, г' )|.

Значит,

| е (С)А(С, z, г)-р(С, z ', г') | < | е(С) -11 х

А В х-^- + (|С'-С| + и' - z|)-^ +

2n

\t I

+ \\t'\-\t\ \

\t\ \t'\

B\£\+\zl + 2n¿\

2n

\t\ \t'P+1 ' k=o\t\ 2n-k\t'\ k+1

• (4)

Пусть ф - произвольная плюрисубгармоническая

функция 1-го порядка и конечного типа в Сп, г еС. Известно [5, гл. 2, § 1, п. 5, доказательство теоремы 2.1.1], что при |г| > 0 функция фг =

+

t

+

t

t

t

= }ф( г + гС)а( K| ) ам>^= }ф( г+и^Ы |CI ) dw^ К|<1 |^|<1

является бесконечно дифференцируемой плюрисуб-гармонической в Сп . Если 111 < | |, то

ф(г) < ф, (г) < ф,' (г) Уг е С п. (5)

При , ф 0, используя замену переменных г + , функцию представим в следующем

виде:

(z) = \ф(£Ш, z, t) dw^

(6)

!i-z|<|t|

Функция ф, будет плюрисубгармоничной в Сп и в предположении, что параметр , является целой функцией от г [5, ил. 2, § 1, п. 1, свойство и ил. 2, § 1, п. 5, теорема 2.1.1, следствие 2]. При этом выполнимость соотношений (4) и (5) от этого предположения не зависит.

Основной результат

Теорема 2. Главные С[л] -подмодули в Р обильны. Доказательство. Пусть I - главный С[л] -подмодуль в Р, порожденный элементом р = (р у) е Р ; f = сре Р,

где с - целая л -симметричная функция. Необходимо показать, что f е I. Рассмотрим следующие функ-

ции:ф(г) = 1п + |c(z)|, ф(г) = \ф(г + ,

т<1

/и> 0, и(г) = шахф^ ,...,ф^п }.

Из (5) вытекает, что и(г) = ф^. (г), если

| | = шах{|г11,...,| гп |}. Убедимся, что функция и удовлетворяет условию (1). Для этого достаточно показать, что функция ф^. удовлетворяет условию Липшица на множестве О\ := { г е Сп : | zi | > | г у |, у = 1,...,п }.

Пусть г, г' е О1. Можно считать, что | ^ | > 1, | г - г' | < 12 . В силу (6) | ф^ (г) - ф^, (г') | < |< } ф^Р^, ) -Р(С, г', .

| г|<«| г| + | г - г '|

Учитывая (3), получаем |Ж, г, ^ )-Р(£, г', )|<|г - г '|

B

2"+1 I и I |2n

м ! Zi!! zt |

в

K! + |z'| _ + 2"—1

A

+! z ■ — z '■! B ,

i ! B ,2" It II |2n+1 ' ,z„ 2n I _ {2n—k\t k+1

M ! zi !! zi ! k=0 M ! zi ! ! z !

При этом ! z'! <! z! +1/2, ! zx ! >! z !/4", ! z\! > >(z! —12)/4", K!<(м +1)!z! +1.

Следовательно,

! z — z'!

!Ж, z, м) — ß(£, z', z )!< const i

! z j

2n+1

!Фz (z)—Фм[(z')!<

< const! z — z'! j

!i—z! <Mz!+1! z!

ФЬ) w <• 11 '|.

-dwr < const! z — z !

2n+1 Ь 1 1

Таким образом, выполнимость условия (1) для функции у доказана. Отметим далее, что для любого

z е С n выполняется неравенство | c(z) | < exp y(z) . Действительно, если z е Gi, то в силу (5) имеем

ln|c(z)|< ln + |с^)|ф (z) = [z) .

Это означает, что функция с принадлежит пространству Pу. По теореме 1 найдем последовательность полиномов {pk }k=i, равномерно сходящуюся к

функции с на компактных подмножествах С", такую, что

| Pk (z) |< constexp[[(z) + s | z |], z е С". (7) Положим

rk(z) =

1

mz аеж~1(ж(z))

Z Pk (a) £

где mz - число элементов в слое л 1 (n(z)).

Пусть qt - степень многочлена , q > q,, i = l,...,n. Обозначим K(0) - круг {z, :| zt | < R} , K(m) - множе-

{2л 2л I zi :| zi | > R, — (m - 1) < argz <-m\, m = 1,... q .

q q J

При достаточно большом R функция

f (©i, z,) = л, (©i) - л, (zi) = (af - zf ) ^^ +

,qi

a;

(

+ z

nx (ax) Ui (zi)

Л

v a

i У

при каждом фиксированном

(m)

из некоторой окрестности множества К т Ф 0, имеет единственный корень тх, лежащий во

внутренности множества Т]ЦК(т)(р,8), где | = 1,

arg^i

= — , s £{0,...,qt — 1} , K(m)(p,S) = {z e C :! z ! >

4i

2л 2л

> R — p, — (m -1) — S< arg z < — m + , p,ö ^ 0

q q

при R . Функция ю, =a(m,s')(zi) является взаимно однозначной и голоморфной [6, п. 1.2, предложение 2] в окрестности множества K(m). При этом

Vi

fK(m) (—p,—S) с A (m,s) с TjfK(m) (A S) , (8)

где А (т'5) =ю\т'*)(К(т)). Обратная функция

-1 является голоморфной в окрестности мно-

. (тя) л[ (юi)

жества А( ' ), ее производная равна-.

л'г (Zi)

Пусть г е Ох ,®ел 1(л( г)). Оценим модуль разницы Иг) - Ир) . Модуль отдельных компонент г может быть меньше К . Переупорядочим переменные так, чтобы выполнялось следующее условие: | |,...,| гп' | > К ,|г„-+1 |,...,|ги|<К .

q

При этом одна из этих совокупностей переменных может оказаться пустой. Пусть Zj е К ^),

о, е^ К(т\р,8), , = 1,...,п'. Учитывая, что

Cn = Cn x C"-"

C" = и кY , к(y) = K

7j=°,-, q, J=1,..., n

х... х к(Yn' ), получаем

ф^ (z) = i ФЮ ß(C, z, Vi )dw( = Cn

2

i

Yj =0,..., q, K(r) х C"-"'

ф(0 ß(£, z, Pt )dw£ .

у=1,..., п'

В интеграле под знаком суммы осуществим замену переменных: С^v(С)|С1 ^vв(Св),...,Сn ^(Сп),

Сп'+1 ^Сп'+1,...,Сп ^Сп- где V,(С,) = (о(р5))-1(С,)-

]

-j\bjj J J

если у j Ф 0 , и v ■ (С i) = С j, если у = 0. Получаем

j j j / ъ j ■

представление

Ф^ (z) =

= T i ФЮ) J (OßMO, z, HZ г )W ,

Yj =0,..., q, A(r,s)xC"-"' j=1,..., n '

где J (Ю) = П

Yj *0

*JЮ)

2

ж, (V, (Су ))

А(у,5) = А(^1) х ...хА(гп','п'), А (0,5у) = С .

Учитывая, что А(ЧС),z,) = Р(v~sv(С),v~s z,), где п-'уСС) = (V51 У1(С1Х-Л-п Уп(Сп),СИ'+1,...,СИ),

V z = V zn', zn'+в,..., zn) , полученное

представление можно переписать в следующем виде:

(z) =

= 2 / Ф(С) е (ОР^ЧСХ^Ч и )dwc.

у, =0,..., д, А^хС"-" у=1,.., п'

При этом фЦо (о) = | ф(С) А(С, о, И1 г ) х Сп

хdwc = 2 | ф(С) Р(С,о, И® г )dwc .

у,=0,..., д, (у) х Сп-п' у=1,..., п '

Значит,

I фИЕ1 (z) -фИ® (о)| <

< 2 I Ф(С) | е(С)Р(л~iv(С),v"Чи) -

YJ = q, A(Y,s) xCn-nl =1,..., n '

- ß(£ ,a, H®,) | dw^ +

+ T T

k=1,..., n', Yj =0,..., q, AY,s) xC

i Ф(Ю) ß(^,®, H®i )dw^

k ф0 j=1,..., n'

где A(Y,s) = A(yJ,sJ) x...x А(Yk-Mk-0 xd Ys)

;Д (Yk+1,sk+1) x ...xA(y",s"); d(Yk,sk) -

разность множеств А(у'Sk) ищк K(yk). В силу оценки (4)

| J(C)P(n~sv(C),V~sz, fjz t) - P(C,w, pot) | <

¿|J (Ю) - 1K-|

H2n|z;|2n+1

+ (\C-rT 'уЮ^ + ^-Л-sz|) x B

,,2n+1 I и i2n

H | zi || |

+ || ^ | -1 zi || x Ю | +нl®, | 2n-1

Л

,,2n+1 I || i2n+1 ' ,,2n I i2n|k+1

H | zi || ^ | k=0 H | zi | | ^ |

| J(Oßiv v(£), v z, Hz,) -ß(i,®, H®i) | ^

< | J(C)-1|| z, |---+

i|H2n|zi|2n+1

+ (Ю-Л-'уЮ^^-Л -sz|) x

в

, ,2n+1 I и i2n

H | zi || ai \ + \\ ®i \ - \ zt \\ x

\ Ю \ +H \ a, \ 2n-1

B . 'Ю \ H \ i . . + 2 ■

-

симметрическая

,,2n+l | и |2n+l , „ ,,2n | |2n-^i к+1

p | zt W | k=0 н | zi| | |

\ У

Так как z е Gi, то | z \ j4n < | zt | < | z |. Кроме того, при достаточно больших | zt | выполняются неравенства | z < | ai | < 21 z |. При этом, если

|С | > 2(1 + н) | z |, то J (C)Piv~sv(C),V~sz, Hz г) --Р(С, o, ) = 0 .

Значит, при достаточно больших | zt | и некотором D > 0 выполняется неравенство

| J (C)P(n~sv(C),V~sz, Hz г) - Р(С, О, H®i) | < <|J (С) -1| | zi | + (\С-1-sv(С)| + |o-Л-sz|+||фl | -

-|zi||)rzDn+i ■

Следовательно, для любых z е C n

sup | J (C)P(V~S v(C),V~S z, H^i ) -Р(С, О н®г) | <

A(y,s) xCn-n'

< f— | z | +C.

I ж1 | 11 z 12n+1 При этом N можно выбрать сколь угодно большим. Отсюда вытекает, что

Z i Ф(С)|J(С)P(v~sv(С),v~sz,нzl)-

yj = q, A(y's) xCn-n' j =1,..., n

-Р(С, о, Н®1) | dwc < — | z | +оотг .

В то же время при некоторых Е, Г > 0

Е | ® | + Г

I ф(С) Р(С, о, Но г ^С < ' | . ук (о),

А(у,5) хСп-п' С Н2п\о1\п

где Ук (о) - 2п -мерный объем множества

(А(у, 5) х Сп - п') П {| С | < (1 + Н)|о|}.

В силу (8) при достаточно большом Я будет выполняться неравенство Ук (о) < — | о | п- . При этом

+

x

+

x

x

опять N можно выбрать сколь угодно большим. Отсюда вытекает, что

< j ln + ! fj(z + MzlO!a(b)dab<

z z

k=1,...,n', Yj=0,..., q, A(^s)xCn—n Yk*0 j =1,..., " '

s . . < — ! z ! +const. 2

Следовательно,

j _ ф(Ь) ß(b° M°i )dwb < < HK, (z) + Mj HK, (ztOa(Odac +

w — " J „ J Ь

C"

+ sj (! z + Mz£ ! +Cs)a(C)da>b. C"

Из (10) следует оценка ! фj (z)!exp[(z) <

!Фмг (z) — фма (о)! <s! z! +const, z e Gi, i =1,...," . < const exp[HK-. (z) + s ! z !] , z e C", J = 1,...,v .

Пусть [(z) = ф№ (z), [(о) = Фмо (о). При этом 0 <фfBi (z) — фmzj (z) <

< фмо (о) +s ! z ! — Фма (о) + s ! z ! + const < 2s ! z ! +const. Значит, ! [(z) — [(о)! =! ф^. (z) — Фмо (®)! <

< ! (z) — Фмzj (z) ! + ! Фмzj (z) — Фмо (о)! < 3s ! z ! +const

В силу (7) имеем

! rk (z)! < const—1— z ехр[[(о) + s ! о!] <

mz юеГ\1 (z))

(9)

< constexp[[(z) + 4s | z |]. Кроме того, для достаточно малых / справедлива оценка

[(z) + ln | ф j (z) | < Hк'. (z) + s | z | +const,

"* J

z e Cn , j = \..,v, (10)

где Kj с Qj - некоторый компакт, охватывающий

определяющие множества функционалов T_1(фj), T—1 (fj). Действительно, если z e Gi, то

[(z) + ln | ф J (z)| <ф/Е, (z) +

+ ln + | ф J (z)| < J ln + | c(z + /z1Q)\a(Q)da^ + Cn

+ J ln + | фJ (z + /z<)| a(^)da^< сn

Значит, в силу (9) имеет место оценка | rk (z^(z) | < constexp[HKk (z) + 5s | z |], j = 1,...,v .

J

Последовательность {rk}k=i сходится к с равномерно на компактах Сn. Можно считать, что Kj + {z е С" : | z | < 5е} с Qj , j = 1,...,v . Это означает,

что последовательность {rkф}^=1 сходится к f в топологии P . Так как rkфеI и подмодуль I замкнут в P, то f е I. Теорема доказана.

Литература

1. Юлмухаметов Р.С. Однородные уравнения свертки //

Докл. АН РАН. 1991. Т. 316, № 2. С. 312 - 315.

2. Кривошеее А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и

операторы свертки // Успехи математических наук. 1992. Т. 47, вып. 6(288). С. 3 - 58.

3. Красичкое-Терноеский И.Ф. Аппроксимационная теоре-

ма для однородного уравнения векторной свертки // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 9. С. 37-56.

4. Красичкое-Терноеский И.Ф. Спектральный синтез в

комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559 - 1587.

5. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих

переменных. М., 1971. 430 с.

6. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. М.,

1985. 272 с.

Поступила в редакцию

24 марта 2008 г.

n

C