CC BY
24
5. Sharapudinov I. I. Polynomials, orthogonal on grids from unit circle and number axis. Dagestanskie elekt-ronnye matematicheskie izvestiia [Daghestan electronic mathematical reports], 2013, vol. 1, pp. 1-55 (in Russian).
6. Nurmagomedov A. A. About approximation polynomials, orthogonal on random grids. Izv. Sarat. Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2008, vol. 8, iss. 1, pp. 25-31 (in Russian).
7. Nurmagomedov A. A. Asymptotic properties of polynomials (x), orthogonal on any sets in the case of integers a and ß. Izv. Sarat. Univ. (N. S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2010, vol. 10, iss. 2, pp. 10-19 (in Russian).
8. Baik J., Kriecherbauer T., McLaughlin K. T.-R., Miller P. D. Discrete orthogonal polynomials. Asymptotics and applications. Princeton, Princeton Univ. Press, 2007, 184 p.
9. Ou C., Wong R. The Riemann-Hilbert approach to
global asymptotics of discrete orthogonal polynomials with infinite nodes. Analysis and Applications, 2010, vol. 8, pp. 247-286.
10. Ferreira C., Lopez J. L., Sinusia E. P. Asymptotic relations between the Hahn-type polynomials and Meixner-Pollaczek, Jacobi, Meixner and Krawtchouk polynomials. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2008, vol. 217, pp. 88-109.
11. Szego G. Orthogonal Polynomials. AMS Colloq. Publ, 1939, vol. 23, 154 p.
12. Bari N. K. Generalization of inequalities of S. N. Bernshtein and A. A. Markov. Izv. AS USSR. Ser. matem., 1954, vol. 18, no. 2, pp. 159-176 (in Russian).
13. Konyagin S. V. V. A. Markov's inequality for polynomials in the metric of L [O neravenstve V. A. Markova dlia mnogochlenov v metrike L]. Trudy Matematicheskogo Instituta im. V. A. Steklova, 1980, no. 145, pp. 117-125 (in Russian).
УДК 517.5
ПРОЕКТИВНОЕ И ИНЪЕКТИВНОЕ ОПИСАНИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ.
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
А. Б. Шишкин
Доктор физико-математических наук, профессор, Кубанский государственный университет, филиал в г. Славянске-на-Кубани, [email protected]
Исследования инвариантных подпространств дифференциальных операторов бесконечного порядка в комплексной области породили целый ряд вопросов, связанных с переходом к двойственным задачам. Настоящая работа посвящена преодолению этих трудностей.
Ключевые слова: инвариантные подпространства, спектральный синтез, локальное описание, инъективное описание, проективное описание, двойственность.
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н — произвольное локально выпуклое пространство над полем С, п : Н ^ Н — линейный непрерывный оператор. Подпространство Ш С Н называется инвариантным относительно оператора п (далее просто инвариантным или п-инвариантным), если пШ С Ш. Основной вопрос по отношению к произвольному замкнутому п-инвариантному подпространству Ш С Н: возможно ли инъективное (внутреннее) описание этого подпространства, например, в терминах корневых подпространств оператора п? Корневым подпространством оператора п, отвечающим собственному значению А £ С, называется непустое подпространство {х £ Н : (п — А)пх = 0, п £ N1. Элементы этого подпространства принято называть корневыми. Говорят, что замкнутое п-инвариантное подпространство Ш С Н допускает спектральный синтез, если замыкание линейной оболочки корневых элементов оператора п, лежащих в Ш, совпадает с Ш. Задача спектрального синтеза для оператора п состоит в нахождении условий, при которых замкнутое п-инвариантное подпространство Ш С Н допускает спектральный синтез.
Если Н — конечномерное пространство, то любое инвариантное подпространство является прямой суммой конечного множества корневых подпространств. Из теоремы Гильберта-Шмидта о спектраль-
ном разложении самосопряженного компактного оператора в гильбертовом пространстве [1] вытекает, что любое инвариантное подпространство такого оператора является прямой суммой не более чем счетного множества корневых подпространств. Известно, что уже среди компактных операторов, действующих даже в сепарабельном гильбертовом пространстве, есть такие, которые не имеют ни одного корневого элемента. Поэтому дальнейшие исследования по спектральному синтезу связаны с изучением конкретных операторов и даже конкретных инвариантных подпространств.
Пусть О — открытое множество в C; H := H(О) — пространство функций, локально аналитических в О, с топологией равномерной сходимости на компактах; n(z) = ^ °kzk — целая функция
k=0
минимального типа при порядке р = 1. Символом n(D) обозначим дифференциальный оператор ^
бесконечного порядка ckDk с постоянными коэффициентами. Результат действия n(D)f операто-
k=0
ра n(D) на элемент f е H лежит в H. Это позволяет рассматривать n(D) как оператор, действующий из H в H. Он является линейным и непрерывным. Пусть Л е C, Л — п-слой п-1 ( Л), Z е Л. Экспоненциальный одночлен вида exp Zz является собственным элементом оператора n(D) (соответствующим собственному значению Л). Алгебраический спектр оператора n(D) совпадает с C. Экспоненциальные одночлены вида zj exp Zz, Z е Л являются корневыми элементами оператора n(D) (соответствующими собственному значению Л е C). Корневое подпространство оператора n(D), соответствующее собственному значению е C, совпадает с замыканием в H подпространства, натянутого на множество всех экспоненциальных одночленов вида zj exp Zz, Z е Л. Это означает, что задача спектрального синтеза для оператора n(D) эквивалентна следующей задаче: при каких условиях, каждый элемент замкнутого п^)-инвариантного подпространства W С H можно аппроксимировать в топологии H линейными комбинациями экспоненциальных одночленов вида zj exp Zz, Z е Л, Л е C, лежащими в W.
Впервые задача спектрального синтеза для оператора дифференцирования D была рассмотрена Л. Шварцем (L. Schwartz) в его известной монографии о периодических в среднем функциях [2]. С задачей спектрального синтеза для оператора D тесно связана задача спектрального синтеза для оператора, порождаемого умножением на независимую переменную. Речь идет об операторе А*, сопряженном оператору P ^ PЛ) ^ Л^(Л), где P — локально выпуклое пространство целых функций, с ограничением на рост. Впервые постановка задачи для оператора Л* и ее исследование проведены в работе В. А. Ткаченко [3]. Дальнейшие исследования по спектральному синтезу в комплексной области связаны с переходом от оператора дифференцирования к оператору кратного дифференцирования Dq. Первое исследование задачи спектрального синтеза для оператора кратного дифференцирования проведено С. Г. Мерзляковым [4]. Первое исследование (Л12)*-инвариантных подпространств проведено работе А. Б. Шишкина [5]. В работе И. Ф. Красичкова-Терновского [6] впервые рассмотрена более общая задача — задача спектрального синтеза для дифференциального оператора n(D) конечного порядка. В работе А. Б. Шишкина [7] инициирован случай систем п1 (D),... ,nn(D) дифференциальных операторов конечного порядка.
Основной метод решения задач спектрального синтеза в комплексной области — метод аннуля-торных подмодулей, развитый в работах И. Ф. Красичкова-Терновского еще в 1971 году. Этот метод предполагает переход от задачи спектрального синтеза к эквивалентной двойственной задаче — задаче локального описания подмодулей целых функций.
Первые исследования инвариантных подпространств дифференциальных операторов бесконечного порядка породили целый ряд вопросов, связанных с переходом к двойственным задачам. Настоящая работа посвящена преодолению этих трудностей.
В первом параграфе изложена схема двойственного перехода для случая: G — открытое множество в комплексной плоскости, п — произвольная локально аналитическая в G функция. Эта схема связана с общей схемой двойственности из статьи А. Б. Шишкина [8], предполагающей переход к общим задачам проективного и инъективного описаний. Во втором параграфе доказывается теорема двойственности, осуществляющая переход от задачи спектрального синтеза к задаче локального описания при тех же условиях. В частном случае эта теорема доказана ранее А. Н. Чернышевым [9]. В третьем
параграфе доказывается специальная теорема двойственности, предполагающая дополнительно, что открытое множество G допускает собственное исчерпание. В четвертом параграфе рассматриваются полиномиальные ядра и полиномиальные оболочки конечных систем (системы однородных уравнений п-свертки и п*-свертки). Задачи проективного и инъективного описаний для них сводятся к задачам полиномиальной аппроксимации (полноты).
1. ПРОЕКТИВНОЕ И ИНЪЕКТИВНОЕ ОПИСАНИЯ
Пусть G — открытое множество в C, п — локально аналитическая в G функция, Л — полный образ n(G). Считаем, что Л — односвязная область. Для любого Л £ Л символом Л обозначаем п-слой п-1(Л) = {z £ G: n(z) = Л}, а для любого конечного множества ш С Л символом Z, обозначаем декартово произведение Z+ х ш, где Z+ — множество неотрицательных целых чисел. Считаем, что каждый п-слой Л и декартово произведение Z, наделены дискретными топологиями. Значит, конечные множества и только они являются компактами в Л ив Z,.
1.1. Пространства M, и N,. Обозначим через M, пространство всех комплексных функций a = a(j, Z) на Z, с топологией равномерной сходимости на компактах. Пространство M, является рефлексивным. Обозначим через N, его сильное сопряженное пространство. По запасу элементов пространство N, совпадает с пространством всех комплексных функций b = b(j, Z) на Z, с компактными носителями. Топология пространства N, совпадает с топологией индуктивного предела относительно вложений N,,d С N,, где d — компакт в Z,, N,,d — пространство всех комплексных функций на Z,, носители которых лежат в d, с топологией, порождаемой обычной sup-нормой l|b||,d = sup |b(j,Z)|. Билинейная форма, приводящая пространства M, и N, в двойственность,
имеет вид
(a,b) = Е a(j, Z)b(j, Z), a £ Mw, b £ N,.
Пространство M, является топологической алгеброй с произведением:
(ai х a2)(j,Z) = Е ai(k,Z)a2(n,Z)-
j=k+n
Это позволяет рассматривать M, как топологический модуль над кольцом С[п] многочленов от функции Z) = jп(-^(Z), а N, — как топологический модуль над кольцом многочленов С[п*], где п* — эндоморфизм N,, сопряженный с умножением элементов M, на функцию п.
1.2. Отображения m, и n,. Пусть O(G) — алгебра всех локально аналитических в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах, O(G)* — сильное сопряженное к пространству O(G). Оператор умножения на функцию п является непрерывным эндоморфизмом O(G), его сопряженный оператор п* является непрерывным эндоморфизмом O(G)*. Это позволяет рассматривать пространство O(G) как топологический модуль над кольцом С[п] многочленов от п, а пространство O(G)* — как топологический модуль над кольцом С[п*] многочленов от п*. Подмодули в O(G)* традиционно называются п*-инвариантными подпространствами.
Рассмотрим непрерывное взаимно однозначное отображение m,: O(G) ^ M,, которое каждому элементу f £ O(G) ставит в соответствие функцию 1 f(j)(Z), (j, Z) £ Z,. Его сопряженное отображение n, : N, ^ O(G)* является взаимно однозначным. Из равенств
(f,n, (b)) = (m, (f),b) = £ b(j, Z) j f(j) (Z)
j!
(j,C)ezw
вытекает, что отображение пш каждому элементу Ь £ ^ ставит в соответствие сумму ^ Ь(^', £)^и),
(и
где — функционал / ^ -/и)(С).
По формуле Лейбница для каждого / £ О(С) и £ £ С справедливы равенства
|!(п/)(и)(с) = ^ Е (Лп(и-п) (С)/(п) (С) = Е 1 п(') (С) Пг /(п) (с )•
Из этих равенств вытекает, что шш(п/) = Пшш(/), т.е. отображение шш является модульным гомоморфизмом 0(0) в Мш. Переходя к сопряженным отображениям, получаем пш(п*Ь) = п*пш(Ь) для любого Ь £ , т.е. отображение пш является модульным гомоморфизмом в 0(0)*.
1.3. Схема двойственности. Пусть Р — всюду плотное подпространство 0(0), наделенное отделимой локально выпуклой топологией, мажорирующей индуцированную топологию; Р* — сильное сопряженное к Р. Из сделанных предположений вытекает, что пространство 0(0)* можно отождествить с подпространством в Р* и говорить о непрерывном вложении 0(0)* С Р*.
Считаем, что пространство Р является полурефлексивным. При этом предположении в силу известной теоремы о биполяре имеет место общий принцип двойственности: между совокупностью {1} всех замкнутых подпространств в Р и совокупностью {Ш} всех замкнутых подпространств в Р* можно установить взаимно однозначное соответствие по правилу ортогональности 10 = Ш, Ш0 = 1. Здесь 10 — аннулятор подпространства 1 С Р в пространстве Р*, а Ш0 — аннулятор подпространства Ш С Р* в пространстве Р.
Выберем произвольное замкнутое подпространство Ш С Р* и обозначим через максимальный замкнутый подмодуль в , образ которого при отображении пш лежит в Ш. Подмодули С , и ( Л, Л £ Л, называются инъективными подмодулями подпространства Ш. Говорят, что подпространство Ш допускает инъективное описание, если Ш совпадает с замыканием в Р* подпространства, натянутого на множество уЛ€ЛишелПш(Шш). Согласно принципу аппроксимации [10], для проверки того, что замкнутое подпространство Ш допускает инъективное описание, достаточно убедиться в выполнимости включения
П П Пш(Шш)0 С Ш0, (1)
Л^Лшел
где пш(Шш)0, Ш0 — аннуляторы в Р подпространств пш(Шш) и Ш соответственно.
Далее, выберем произвольное замкнутое подпространство 1 С Р и обозначим 1ш минимальный замкнутый подмодуль в Мш, включающий множество шш(1). Подмодули 1ш С Мш, и ( л, Л £ Л, будем называть проективными подмодулями подпространства 1. Говорим, что подпространство 1 допускает проективное описание, если оно совпадает с пересечением Р|Л€Л Пшел (Р п ш-1 (1ш)). Из определения проективного подмодуля 1ш вытекает включение 1 С ш-1 (1ш), значит, для проверки того, что замкнутое подпространство 1 С Р допускает проективное описание, достаточно убедиться в справедливости включения
П П (Р П ш-1(1ш)) С 1. (2)
Л^Лшел
Лемма 1. Инъективный подмодуль С Мш замкнутого подпространства Ш С Р* и проективный подмодуль 1ш С Мш его аннулятора 1 = Ш0 С Р связаны правилом ортогональности 10 = Шш, Ш0 = 1ш.
Доказательство. Зафиксируем Л £ Л и и ( Л. Рассмотрим инъективный подмодуль С замкнутого подпространства Ш С Р* и проективный подмодуль 1ш С Мш его аннулятора 1 = Ш0 С Р. Легко убедиться, что аннулятор является замкнутым подмодулем в Мш, а аннулятор 1° является замкнутым подмодулем в . Из определений и 1ш вытекают включения пш (Шш) С Ш и шш (1) С 1ш. По свойствам сопряженных отображений шш (Ш0) С и пш (10) С 10. В силу рефлексивности Р по теореме о биполяре Ш0 = 100 = 1. Значит, шш (1) С и пш (10) С Ш. Первое из последних включений и свойство минимальности 1ш дают включение 1ш С т.е. С . Второе включение и свойство максимальности влекут включение 10 С . Таким образом, = 10, и по теореме о биполяре = 1ш. □
Теорема 1 (схема двойственности). Замкнутое подпространство Ш С Р* допускает инъективное описание тогда и только тогда, когда его аннулятор 1 = Ш0 С Р допускает проективное описание.
Доказательство. Предположим, что замкнутое подпространство Ш С Р* допускает инъективное описание. Нам нужно показать, что в этом случае замкнутое подпространство 1 = Ш0 С Р допус-
кает проективное описание. Для этого достаточно доказать справедливость включения (2). Пусть / £ Р и / £ т-1 ) для любых Л £ Л и ш ( Л. По лемме 1 = , значит, (/) £ и тш(/) £ . Пусть Ь £ , тогда (/, (Ь)) = (тш(/),Ь) = 0. Следовательно, / £ )0 для лю-
бых Л £ Л иш ( Л. По предположению подпространство Ш допускает инъективное описание. Поэтому оно совпадает с замыканием в Р* подпространства, натянутого на объединение уЛ€Лиш€л). Следовательно, / аннулирует Ш, т. е. / £ I. Тем самым справедливость включения (2) доказана.
Обратно, пусть замкнутое подпространство / = Ш0 допускает проективное описание. Нужно показать, что Ш допускает инъективное описание. Для этого достаточно доказать выполнимость включения (1). Пусть / £ )0 С Р и Ь £ . Тогда (т„(/),Ь) = (/,пш(Ь)) = 0. Значит, тш(/) £ (Ш)0. Но )0 = , следовательно, тш(/) £ и / £ т-1(/ш). Если включение / £ (пш))0 имеет место для любых Л £ Л и ш ( Л, то и включение / £ т-1(/ш) будет выполнено для любых Л £ Л и ш ( Л. Так как подпространство / допускает проективное описание, то / = Р|Л€Л Р|(Р П т-1 )), значит, будет выполнено включение / £ /. Что и доказывает справедливость включения (1). □
2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ СИНТЕЗ И ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ
2.1. Спектральный синтез. Если Л £ Л и £) £ Z+ х Л, то при достаточно большом к £ N для любой функции / £ 0(0) имеем ^(п* — Л)*,/^ = (п — Л)*/^ = 0. Это означает, что
функционал ) является корневым элементом оператора п*. Следовательно, спектр оператора п* включает множество Л. Если Л £ С \ Л, то операция умножения / ^ (п — Л ) / осуществляет изоморфизм 0(0). Поэтому сопряженная операция 5 ^ (п* — Л)з осуществляет изоморфизм 0(0)*. Следовательно, точка Л £ С\Л не лежит в спектре оператора п*, т.е. спектр оператора п* совпадает с Л.
Предложение 1. Для любого Л £ Л корневое подпространство ДЛ совпадает с линейной оболочкой множества : £) £ Z+ х Л}.
Доказательство. Пусть Л £ Л и к £ N. Из очевидного соотношения ((п* — Л)*5,/) = = (з, (п — Л)*/) вытекает, что множество решений 5 £ 0(0)* уравнения (п* — Л)*5 = 0 совпадает с аннулятором идеала /Л,к С 0(0), порождаемого функцией (п — Л)*. Наделим множество
^ = Ш,с) £ Z+ х Л : /(%) = 0 V/ £ /Л,*}
дискретной топологией и обозначим через МЛ,к пространство всех комплексных функций на с топологией компактной сходимости, а 0(0)//Л,к — фактор-пространство 0(0) по подпространству /Л,к. Отображение тЛ,к : 0(0)//Л,к ^ МЛ,к, которое каждому классу смежности / ставит в соответствие функцию — /), / £ /, на , является линейным и топологическим изоморфизмом. Сильное сопряженное к 0(0)//Л,к совпадает с аннулятором /0 к С 0(0)* идеала /Л,к, наделенным индуцированной из 0(0)* топологией. Сильное сопряженное к МЛ,к совпадает с пространством МЛ* всех комплексных функций на с компактными носителями. Отображение тЛ *, сопряженное к тЛ,к, является изоморфизмом /Л,к и МЛ,*. Значит, для любых / £ 0(0) и 5 £ /Л,к справедливы соотношения
(5,/) = (тЛ,* (с),/} = (е,тл,* (/)} = £ ) Л /}(С),
где с = (тЛ *)-1 (5) £ МЛ*. Эти соотношения показывают, что /"Л* совпадает с подпространством в 0(0)*, натянутым на множество ) : £) £ , *}. Осталось заметить, что иь=1 , * = = Z+ х Л. Следовательно, корневое подпространство ДЛ совпадает с линейной оболочкой множества (<— ) £ Z+ хЛ}. □
Говорим, что корневой элемент 5 £ ДЛ погружен в подпространство Ш С Р*, если все корневые элементы (п* — Л)-5, ] =0,1... лежат в Ш. Замкнутое подпространство Ш С Р* допускает спектральный синтез (синтез по корневым элементам оператора п*), если оно совпадает с замыканием в Р* линейной оболочки множества корневых элементов оператора п*, погруженных в Ш. Задача
спектрального синтеза (для оператора п*) состоит в определении условий, при которых замкнутое подпространство Ш С Р* допускает спектральный синтез.
Рассмотрим вопрос влияния на спектральный синтез модульной структуры в Р. Если Р замкнуто относительно умножения на функцию п и оператор умножения на функцию п непрерывен в топологии Р, то можно рассматривать пространство Р как топологический модуль над кольцом С[п] многочленов от п. Сужение на пространство Р оператора умножения на функцию п обозначим пЛ, его сопряженный оператор обозначим П*. Оператор П*, вообще говоря, имеет свой запас корневых элементов и, следовательно, порождает свою задачу спектрального синтеза. Однако при выполнении аксиомы устойчивости (относительно деления на п — Л)
/ £ Р, Л £ С, £ 0(0) £ Р
п — п —
эта задача эквивалентна задаче спектрального синтеза для оператора п*. Это вытекает из следующих
предложений.
Предложение 2. Спектр Л оператора п* : Р* ^ Р* совпадает со спектром Л оператора п* : 0(0)* ^ 0(0)*.
Доказательство. Прежде всего, из включения 0*(0) С Р* вытекает включение Л С Л. Допустим, что существует ненулевое в £ Р*, удовлетворяющее уравнению (п* — Л)в = 0 при Л £ С \ Л. Тогда (в, (п — Л)/) = 0 для любого / £ Р. Таким образом, в аннулирует любой элемент вида (п — Л)/, / £ Р. Из аксиомы устойчивости вытекает, что в аннулирует любой элемент из Р вида (п — Л)/, / £ 0(0), т. е. в аннулирует Р, значит, в = 0. Это противоречие и доказывает, что Л = Л. □
Предложение 3. Корневое подпространство КЛ оператора п*, соответствующее собственному значению Л £ Л, совпадает с замыканием КЛ в Р* корневого подпространста КЛ оператора п*.
Доказательство. Пусть Л £ Л, в £ Р*, / £ Р и ((п* — Л)кв,/) = 0. Из соотношения ((п* — Л )кв,/) = (в, (п — Л)к/) и аксиомы устойчивости вытекает, что множество решений в £ Р* уравнения ((п* — Л)кв,/) = 0 совпадает с аннулятором (Р П 1Л,к)0 С Р*, где 1Л,к — идеал в 0(0),
Зй, где ^
^Лк — ^ -*Л,к* нипаоапи, ни Л к COBПaДa
на множество : £) £ ^Л)к}. Следовательно, КЛ совпадает с замыканием в Р* подпространства, натянутого на множество : () £ Z+ х Л}, т.е. КЛ = КЛ. □
Если Р обладает структурой топологического модуля над кольцом С[п], то Р* обладает структурой топологического модуля над кольцом С[п*]. Замкнутое подпространство Ш С Р*, допускающее спектральный синтез по корневым элементам оператора п*, является инвариантным подпространством (подмодулем) в Р*. Корневой элемент в оператора п* погружен в инвариантное подпространство Ш тогда и только тогда, когда он принадлежит Ш. Следовательно, замкнутое подпространство Ш С Р*, допускающее спектральный синтез по корневым элементам оператора п*, совпадает с замыканием в Р* линейной оболочки множества корневых элементов оператора п*, принадлежащих Ш.
2.2. Спектральный синтез и инъективное описание. Выберем произвольное замкнутое подпространство Ш С Р* и обозначим через Ш' подпространство
{в £ 0(0)* : г*в £ Ш для любых г* £ С[п*]}.
Замечаем, что
• Ш' — максимальное инвариантное подпространство 0(0)*, лежащее в Ш. Действительно, пусть V — инвариантное подпространство 0(0)* и V С Ш. Но тогда для любых в £ V и г* £ С[п*] будет выполнено включение г*в £ V С Ш, значит, в £ Ш' и V С Ш'. Кроме того,
• Ш' — замкнутое подпространство 0(0)*.
Действительно, пусть V — замыкание подпространства Ш' в 0(0)*. Так как Ш' — инвариантное подпространство 0(0)*, а модуль 0(0)* является топологическим, то V — инвариантное подпространство 0(0)*. Из непрерывности вложения 0(0)* С Р* вытекает, что V С Ш. Из свойства максимальности подпространства Ш' следует включение V С Ш', т.е. V = Ш'.
порождаемый функцией (п — Л)к. При этом (Р П 1Л,к)0 = 1Л к, где 1Л к — замыкание в Р* аннулятора 1Лк С 0(0) идеала 1Л,к. Выше показано, что 1Л к ^впадает c подпроcтрaнcтвом в 0(0)*, натянутым
Лемма 2. Инъективный подмодуль W- замкнутого подпространства W с P* совпадает с прообразом n-1(W').
Доказательство. Действительно, отображение является модульным гомоморфизмом, значит, n-1(W') — замкнутый подмодуль в и его образ (n-1(W')) лежит в W. По определению W^ имеем n-1 (W') с W-. С другой стороны, по определению инъективного подмодуля W^ образ (W^) является инвариантным подпространством O(G)* и лежит в W. По свойству максимальности W' имеем пш (W-) с W' и W- с n-1(W'). Отсюда вытекает, что
W- = n-1 (W'). (3)
Лемма доказана. □
Предложение 4. Замкнутое подпространство W с P* допускает инъективное описание тогда и только тогда, когда оно допускает спектральный синтез.
Доказательство. Для произвольных А £ Л и ш ( Л обозначим через Д- линейную оболочку множества : (j, Z) £ Z-}. Замечаем, что (J-€а Z- = Z+ х Л, значит, корневое подпростран-
ство Да совпадает с линейной оболочкой множества (J-€а Д-. Из (3) вытекает, что замкнутое подпространство W с P* допускает инъективное описание, тогда и только тогда, когда оно совпадает с замыканием в P* подпространства, натянутого на множество
U U n-(W-) = U U n-(n-1 (W')).
АелАел
Замечаем, что образ nw(Nw) совпадает с Д-. Значит, n-1(W') = n-1 (W' П Д-) и nw(n-1 (W')) = = W' П Д-. Следовательно, замкнутое подпространство W с P* допускает инъективное описание, тогда и только тогда, когда оно совпадает с замыканием в P* подпространства, натянутого на множество
U U (W' П Д-) = U (W' П ДА) , АелАел
т.е. допускает спектральный синтез по корневым элементам оператора п*. Предложение доказано. □
2.3. Локальное описание. Выберем А £ Л, ш ( Л и обозначим: О(ш) — кольцо ростков функций, локально аналитических в точках множества ш, (ш) — подкольцо О(ш), состоящее из ростков вида f о п, f £ О(ш). Легко увидеть, что кольцо (ш) изоморфно кольцу O(А) ростков функций, аналитических в точке А. Рассматриваем О(ш) как модуль над кольцом (ш).
Введем в О(ш) отделимую локально выпуклую топологию, порожденную счетным набором полунорм u ^ jy|u(j)(Z)|, (j,Z) £ Z-. Легко проверить, что произведение элементов О(ш) на элементы кольца (ш) непрерывно в топологии О(ш), следовательно, (ш)-модуль О(ш) является топологическим.
Предложение 5. Любой подмодуль в (ш)-модуле О(ш) замкнут в топологии О(ш).
Доказательство. По предложению 2 из [11, гл. V, C] существует окрестность U множества ш такая, что сужение п^ отображения п на множество U является собственным отображением на некоторое открытое множество V с C. Следовательно, тройка (U, п^, V) — аналитическое накрытие [11, гл. III, B, теорема 21]. При этом можно считать, что слой п-1( А) с Л совпадает с ш. Точка А может оказаться критической точкой накрытия (U, п^, V), однако все другие точки из V мы вправе считать простыми. Число точек в простых слоях накрытия (U, п^, V) обозначим v. Пусть ( А) — декартово произведение v копий кольца O(А). Топологизируем ( А) с помощью счетного набора полунорм v = (v0, ...,vp-1) ^ j |v(j) ( А)|, каждая из которых определяется выбором точки (j,i) из декартова произведения Z+ х {0,..., v — 1}, и рассматриваем ( А) как топологический модуль над кольцом O(А). По лемме 3 из [8] любой элемент u £ О(ш) единственным образом представляется в виде
p-1
u = ^^ u £ (ш).
i=0
Это представление определяет отображение
: 0(ш) ^ 0^( Л )|и ^ (^0,..., ^р_1),
где V определяется однозначно из соотношения и = V о п^. Отображение является модульным изоморфизмом. Используя правило для нахождения производной сложной функции и предельный переход по £ ^ Л, если точка Л является критической точкой накрытия (и, п^, V), можно убедиться в том, что отображение является и топологическим изоморфизмом. В силу векторного варианта [12, теорема 6.3.5] леммы Круля [10] всякий подмодуль топологического 0( Л)-модуля 0^( Л) замкнут. В силу непрерывности отображения любой подмодуль в 0П(ш)-модуле 0(ш) замкнут. Лемма доказана. □
Пусть / — подпространство в Р, ш ( Л. Обозначим /(ш) подмодуль 0(ш), порождаемый /. Отметим, что согласно определению подмодуль /(ш) исчерпывается элементами 0(ш), допускающими представление в виде конечной комбинации а1 /1 + ••• + ап/п, где а- £ 0П(ш), /- £ /. Подмодуль /(ш) С 0(ш) называется локальным подмодулем / (ассоциированным с ш). Подпространство / допускает локальное описание (описание по семейству 0П(ш)-модулей 0(ш), ш ( Л, Л £ Л), если оно совпадает с пересечением Р|Л€ЛП(Р П /(ш)).
2.4. Локальное описание и проективное описание. Пусть / — замкнутое подпространство в Р, /[п] — подмодуль в 0(0), порождаемый I, /' — замкнутый подмодуль в 0(0), порождаемый I. Согласно определению подмодуль /' совпадает с замыканием I[п] в топологии 0(0) и является минимальным замкнутым подмодулем в 0(0), содержащим /.
Лемма 3. Проективный подмодуль подпространства / С Р совпадает с замыканием тс(/') образа тс (/') в топологии .
Доказательство. Действительно, так как / С /', то тс(/) С тс(/') С тс(/'). При этом тс(/') является замкнутым подмодулем в . По определению имеем С тс(/'). С другой стороны, если а £ тс(/'), то т-1 (а) £ /'. Значит, существует последовательность /п £ /[п], сходящаяся к т-1 (а) в топологии пространства 0(0). В силу непрерывности отображения тс последовательность тс(/п) £ сходится к а в топологии . Следовательно, тс(/') С и тс(/') С . Таким образом,
/с = т. (I'). (4)
Лемма доказана. □
Предложение 6. Замкнутое подпространство / С Р допускает локальное описание тогда и только тогда, когда оно допускает проективное описание.
Доказательство. Отождествим элементы пространства 0(0) с порождаемыми ими ростками из 0(ш). Получаем возможность говорить о вложении 0(0) в 0(ш). Убедимся, что подмодуль /(ш) совпадает с замыканием /' подмодуля /' в топологии 0(ш). Действительно, так как вложение 0(0) С 0(ш) является непрерывным, то замыкание /[п] в топологии 0(ш) совпадает с замыканием /' в этой топологии. При этом /[п] С /(ш), значит, /' = /[п] С /(ш). Но по предложению 5 /(ш) = /(ш). Следовательно, /' С /(ш). Докажем выполнимость обратного включения /(ш) С /'. Пусть и £ /(ш). В некоторой окрестности множества ш элемент и допускает представление в виде
конечной суммы СПип , где СП - СП ◦ п, СП голоморфны в некоторой окрестности точки Л, ип £ 1.
Обозначим через сПк) композицию сПк) о п, где сПк) — частичная суммы разложения Сп в степенной ряд в окрестности точки Л. Так как сПк) £ С[п], то и(к) = ^ С*ип £ /'. Легко проверить, что последовательность и(к) сходится к и в топологии 0(ш). Отсюда вытекает, что и принадлежит замыканию /' подмодуля /' в топологии 0(ш). Значит, /(ш) С /'. Таким образом, доказано, что /(ш) = /'. Пусть П. : 0(0) ^ 0(ш) — отображение вложения. Тогда
/ (ш) = п. (/'). (5)
Наконец, пусть — отображение 0(ш) ^ , которое каждому ростку и £ 0(ш) ставит в соответствие комплексную функцию а(^, £) = -туи(-)(£), определенную на множестве . Отображения п.,
являются взаимно однозначными, и, кроме того, отображение м^ есть топологический изоморфизм О(^) на полный образ М^ = (О(^)) с топологией, индуцированной из Мш. Из очевидного соотношения = м^ о п^ следует, что п^ = М-1 ◦ тш и п-1 = т-1 о . Из (5) вытекает, что
п-1 (/ (^)) = т-1 о М^ (/ (^)) = т-1 о М^ (п^(//)) •
Но отображение м^ есть топологический изоморфизм О(^) на М^,, значит,
т-1 о м^ (п^ (I')) = т-1 (м^ о п^ (I')) = т-1 (/')) •
Из (4) получаем п-1 (/(^)) = т-1(/ш). Осталось заметить, что Р П /= Р П п-1 (/(^)) = = Р П т-1 (/ш). Предложение доказано. □
2.5. Теорема двойственности. Пусть Ш — замкнутое подпространство в Р*, / — аннулятор Ш0 подпространства Ш в Р.
Теорема 2 (теорема двойственности). Следующие утверждения эквивалентны:
1) Ш допускает спектральный синтез,
2) Ш допускает инъективное описание,
3) / допускает проективное описание,
4) / допускает локальное описание.
Доказательство. Эквивалентность утверждений 1) и 2) следует из предложения 4. Эквивалентность утверждений 3) и 4) следует из предложения 6. Эквивалентность утверждений 2) и 3) следует из схемы двойственности. Теорема доказана. □
3. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ
Для любого множества V С С прообраз п-1 (V) совпадает с множеством (г £ С : п(г) £ V}. Множество и С С будем называть п-симметричным, если и = п-1(п(и)). По свойствам прообразов совокупность (и} всех открытых п-симметричных подмножеств С образует топологию тп. Множество С и пустое множество являются п-симметричными, т.е. £ тп.
3.1. п-симметричные представления. Функцию /, заданную на п-симметричном множестве и, будем называть п-симметричной, если она представляется в виде композиции доп, где д — некоторая локально голоморфная на п(и) функция. Совокупность (и) всех п-симметричных на и функций образует кольцо, которое, очевидно, является подкольцом кольца 0(и) всех функций, локально голоморфных на и. При этом совокупность (0(и)} вместе с гомоморфизмами сужения образует предпучек колец над (С, тп). Пусть А£ Л иА = (г £ С : п(г) = Л}. Слой предпучка (0(и)} в точке г £ Л совпадает с кольцом 0(А) и не зависит от выбора точки г £ А. С другой стороны, совокупность (Оп(и)} вместе с гомоморфизмами сужения тоже образует предпучок колец над (С, тп). Слой этого предпучка в точке г £ А совпадает с кольцом ( А).
Выделение класса п-симметричных функций связано со специальными представлениями локально аналитических на С функций. Предположим, что функция п осуществляет собственное отображение С на Л. По свойствам собственных голоморфных отображений тройка (С, п, Л) является аналитическим накрытием: существует замкнутое дискретное множество а С Л такое, что сужение п на С \ п-1(а) является локально биголоморфным V-листным накрытием над Л \ а. Точки А £ Л \ а называются обыкновенными, а соответствующие им п-слои А — простыми. Простые п-слои состоят из V различных точек. Упорядочение простого п-слоя удобно записывать в виде конечной последовательности г0,..., _1. Элементы этой последовательности зависят от точки А £ Л \ а. При этом отображения А ^ ( А), к = 0,..., V — 1, аналитичны в окрестности каждой обыкновенной точки (и зависят от выбора этой точки).
Пусть г £ С\п-1 (а), ,г0,..., — упорядочение простого п-слоя, содержащего г. Выберем произвольный элемент / £ О(С) и рассмотрим функцию /к(г) = ), где А = П — ) —
А 0<к<^'< V-1
определитель Вандермонда, Дк(/) — определитель, полученный заменой к-го столбца в определителе А на столбец из / (¿о),...,/ (2^-1). Функция /к является аналитической в точках из О \ п-1 (ст). Легко убедиться (см [6, предложение 2.3]), что она допускает однозначное аналитическое продолжение до функции голоморфной в О и представляет элемент кольца Оп(О). Отсюда вытекает, что любая функция / £ О(О) единственным образом представляется в виде
/ =Е 2к/к, /к £ Оп(О). (6)
к=0
Действительно, согласно известным свойствам определителей на декартовой степени ^ имеют ме-
V-1
сто тождества / (2/ )Д = ¿к Дк (/), ^ = 0,..., V — 1. Так как Д = 0 и 2 £ {20 ,...,2^-1}, то
7
к=0
V — 1
/(¿) = 2к/к(2), где /к = Дк(/) £ Оп(О). Единственность представления (6) следует из того, что
к=0 Д V — 1
соотношения /(27) = ^ ¿к/к(2/), ^ = 0,..., V — 1, определяют значения /(к) (27) однозначно.
к=0
Выберем произвольную точку А £ Л. Легко убедиться, что существует фундаментальная система {Ц} п-симметричных окрестностей слоя А. При этом тройки (Ц, п,п(Ц)), и £ {Ц}, являются аналитическими накрытиями. Это дает возможность переписать представление (6) в локальной форме. Точнее, любой элемент и £ О(А) единственным образом представляется в виде
V
и = Е2кик, ик £ Оп(А). (7)
к=1
Если А £ Л \ ст, то росток ик порожден отношением Дк(/)/Д, / £ и, если же А £ ст, то росток ик порожден аналитическим продолжением этого отношения в точки множества .
3.2. Модульные изоморфизмы. Из представления (6) вытекает, что отображение
V
к
Хс : О (Л) — О(О)| (^) — £ 2к (^ ◦ п),
—>
к=1
где OV(Л) — декартова степень О(Л), является биективным. Пусть А £ Л; О( А) — кольцо ростков функций, голоморфных в окрестностях А; ^( А) — декартова степень О( А). Из представления (7) вытекает, что отображение Хс распространяется (с сохранением биективности) на локальные объекты
V
Хл : О( А) — О(А) («к) — Е 2к(«к ◦ п).
—
к=1
Наделяем О(Л) топологией равномерной сходимости на компактах; О(А) — топологией, порождаемой полунормами и — 1 |и(/)(А)|, ] £ Z+; О(А) — топологией, порождаемой полунормами V — 1 (2)|, 2) £ Z+ х А; OV(Л) и OV( А) — топологиями произведения. Рассматриваем ^(Л) — как модуль над кольцом многочленов С[2], О(А) — как модуль над кольцом Оп( А), OV( А) — как модуль над кольцом О(А ). Легко убедиться, что все указанные модули являются топологическими. Отображение Хс осуществляет алгебраический и топологический изоморфизм С [2]-модуля ^ (Л) и С[п]-модуля О (О), а отображение хс осуществляет алгебраический и топологический изоморфизм О(А)-модуля OV(А) и Оп( А)-модуля О(А). При этом для любого ^ £ OV(Л) выполняется соотношение
Пл(ХсМ) = Хл (Ы^)) , (8)
где $л, пл — это отображения вложения OV(Л) — OV( А), О(О) — О(А) соответственно. Из этого соотношения, в свою очередь, вытекает, что для любого V £ (OV(Л)) с OV( А) выполняется соотношение
1(«))= п-1(хл (V)). (9)
3.3. Замкнутые подмодули в О (О). Локально выпуклая алгебра О (Л) является равномерно устойчивой: для любой окрестности нуля V С О(Л) существует окрестность нуля и С О(Л) такая, что справедлива импликация
/ £ и, А £ Л, £ О(Л) £ V.
2 — 2 —
Действительно, для любого / £ О(Л) и любого компакта К (е Л имеем:
тах
/(2)
2—
2
< - тах |/(2)|,
где £ = |р(К, дЛ), Ке = {2 : р(2, К) < £} ^ Л.
Равномерно устойчивые алгебры изучались ранее. Известно, например, что любой замкнутый подмодуль в О(Л)-модуле OV(Л) допускает описание по семейству О( А)-модулей OV( А), А £ Л [13, предложение 6.13]. В частности, любой замкнутый идеал в алгебре О(Л) допускает описание по семейству локальных колец О( А), А £ Л [13, предложение 6.11]. Построенные выше модульные изоморфизмы позволяют извлечь из этого следующее предложение.
Предложение 7. Если отображение п : О — Л является собственным, то всякий замкнутый подмодуль в О(О) допускает локальное описание.
Доказательство. Пусть 1 — замкнутый подмодуль в О(О). Прообраз У = Х-1(1) является замкнутым подмодулем в С[2]-модуле OV(Л). Так как многочлены плотны в О(Л), то У — замкнутый подмодуль в О(Л)-модуле OV(Л). По предложению 6.13 из [13] У совпадает с пересечением Р|лел$- (У( А)), где А) — подмодуль О( А)-модуля OV( А), порождаемый $ л(У). Локальный подмодуль У( А) состоит из всевозможных конечных комбинаций л ) + ■ ■ ■ + Ьп $ л £ О( А £ 1 .В силу соотно-
шения (8)
Х л(Ь1 $ л(^1) +-----Ь ьп$ л)) = с1Пл(/1) +-----Ь с„пл(/п),
где С/ = Ь/ о п, // = ). Значит, для любого А £ Л локальные подмодули 1( А) и У( А) связаны
очевидным соотношением 1( А) = х л(У( А)). При этом 1 = хс(У). Отсюда и соотношения (9) вытекает, что
I = Хс(У) = П Хс($-1 (У( А)))= П П-1(Х л(У(С)))= П п-1(1 ( А)).
лел лел лел
Предложение доказано. □
3.4. Собственные исчерпания. Говорим, что открытое множество О допускает собственное исчерпание, если существуют открытые множества О(п) С С, п = 1, 2,..., удовлетворяющие условиям:
• О(1) С О(2) С ... С О;
• и"=1 = О;
• сужение п на каждое множество является собственным отображением на некоторую одно-связную область Л(п) = п(О(п)).
Если О допускает собственное исчерпание, то Л(1) С Л(2) С ... С Л, Л = и^=1 Л(п). При этом, как легко убедиться, Л — односвязная область в С.
Ослабим начальные условия на выбор функции п и не будем предполагать, что отображение п : О — Л является собственным, но предположим, что множество О допускает собственное исчерпание. Обозначим через О(О(п)) пространство локально аналитических на
функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Понятно, что имеют место непрерывные вложения О(О(1)) Э О(О(2)) Э ... Э О(О(п)) и О(О(п)) = ПГ=1 О(О(п)). Пусть I — замкнутый подмодуль в — замыкание 1 в
Пространство О(О(п)) обладает структурой модуля над кольцом С[п], 1(п) — замкнутый подмодуль в О(О(п)). Из определения подмодулей 1(п) вытекает, что I = П^=11(п) = П(О(О) П I(п)). Из предложения 7 и предложения 6 вытекает, что подмодуль 1(п) С О(О(п)) допускает проективное описание. Это означает, что
1(п) = п п (тпГ ,
лел(™) шсл(™)
где Л(п) = Л П С(п), ш-п) — отображение О(С(п)) ^ М-, которое каждому элементу / £ О(С(п)) ставит в соответствие функцию 4у /^ (£), () £ , — проективный подмодуль I(п) в М-. Значит,
те те / 1 \
I =П(0(С)П 1(п))=П П П (°(с)П (ш-т))" (^П
П=1 п=1 ЛеЛ(п) -сЛ(")
Осталось заметить, что О(С) П = ш- , а в силу (4) 1^п) = (I(п)) =
Следовательно,
I = П П П ш-1 (I- ) = П Пш-1 (I-) •
т=1 лел(п) -сл(™) лел-€л
Таким образом, нами доказано следующее предложение.
Предложение 8. Если открытое множество С допускает собственное исчерпание, то всякий замкнутый подмодуль в О(С) допускает проективное описание.
3.5. Специальная теорема двойственности. Пусть I — замкнутое подпространство Р; I' — замкнутый подмодуль в О (С), порождаемый I; Ш — аннулятор I в Р *; Ш' = {з £ О (С)* : г* 5 £ Ш, V г* £ С[п*]}; Ш' — замыкание Ш' в топологии Р*.
Лемма 4. Подмодуль I' с О(С) и инвариантное подпространство Ш' с О (С)* связаны правилом ортогональности Ш' = (I')0, I' = (Ш') .
Доказательство. Из определений Ш' и I' вытекают включения к(Ш') с Ш и к*^) с I', где к — отображение вложения Р с О(С), к* — его сопряженное отображение (отображение вложения Н* с О(С)*). По свойствам аннуляторов к(Ш0) с (Ш')0 и к*((I')0) с I0. По теореме о биполяре Ш0 = 100 = I. Значит, к(!) с (Ш')0 и к*((I')0) с Ш. Первое из последних включений и свойство минимальности I' дают включение I' с (Ш')0, т.е. Ш' с (I')0. Второе включение и свойство максимальности Ш' влекут включение (I')0 с Ш'. Таким образом, Ш' = (I')0, а по теореме о биполяре I' = (Ш')0. □
Теорема 3. Если открытое множество С допускает собственное исчерпание, то следующие утверждения эквивалентны:
1) I допускает локальное описание;
2) I допускает проективное описание;
3) I = Р П I';
4) Ш = W7;
5) Ш допускает инъективное описание;
6) Ш допускает спектральный синтез.
Доказательство. Эквивалентность утверждений 1), 2), 5) и 6) вытекает из теоремы двойственности.
Убедимся в эквивалентности утверждений 2) и 3). Предположим, что подпространство I допускает проективное описание и / £ Р П I'. Тогда в силу (4) (/) £ (I') с ^ и / £ Р П ш-1 ) для любых А £ Л и ш ( Л. Значит, / £ I. Таким образом, доказано включение РПI' с I. Так как обратное включение, очевидно, выполнено, то I = Р ПI'. Обратно. Пусть / £ Р П ш-1 ) для любых А £ Л и ш ( Л. Из (4) вытекает, что проективные подмодули ^ и I- совпадают. Следовательно, / £ ш-1 (I-) для любых А £ Л и ш ( Л .По предложению 8 подмодуль I' допускает проективное описание. Значит, / £ I' и / £ Р П I'. Из равенства I = Р П I' вытекает, что / £ I. Это означает, что подмодуль I допускает проективное описание.
Далее убедимся в эквивалентности утверждений 4) и 5). Пусть Ш = Ш'. Из предложения 8 и теоремы двойственности вытекает, что замкнутое инвариантное подпространство Ш' с О (С)* допускает инъективное описание, значит, Ш' совпадает с замыканием в О(С)* подпространства, натянутого на множество илели-сл п-(Ш-). Из (3) вытекает, что инъективные подмодули и Ш- совпадают. Следовательно, Ш совпадает с замыканием в Р* подпространства, натянутого на множество У ЛеЛ У-сл п-(Ш-), т. е. подпространство Ш допускает инъективное описание. Обратно, пусть з £ Ш.
те
Так как по предположению подпространство Щ допускает инъективное описание, то 5 можно аппроксимировать в Р* линейными комбинациями элементов множества иЛ€Л и(Щ,), содержащегося в Щ. Значит, Ш С Щ. Обратное вложение, очевидно, выполнено. Теорема доказана. □
4. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ОБОЛОЧКИ И ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ЯДРА
4.1. С[п]-оболочки и С[п]-ядра. Выберем конечную систему /,...,/ элементов из 0(0) и обозначим Г V-функцию (/1,..., /) £ 0(0)^. Пусть 0т — пространство всех V-функций g £ 0(Л)^, для которых сумма
(g о п) Г = о п) Д + ... + о п) Д
принадлежит Р.
Если г1,..., г^ — многочлены, то V-функцию г = (г15...,г^) называем V-многочленом (или V-полиномом). Степень V-полинома г определяется как наибольшая из степеней полиномов г1?..., г^. Пространство 0т не является пустым. Оно, например, содержит v-полином нулевой степени 0 = (0,..., 0). Если /1,...,/ £ Р, то пространство 0т содержит все V-полиномы нулевой степени и может содержать все или отдельные v-полиномы положительной степени, например, если пространство Р обладает структурой модуля над кольцом С[п], то пространство 0т содержит все V-полиномы.
Совокупность ^ всех элементов из Р, допускающих представление в виде (г о п) Г, где г — V-полином, называем С[п]-оболочкой множества {/1,...,/} в пространстве Р, а ее замыкание ^ = ^ в топологии Р называем замкнутой С[п]-оболочкой множества {/1,...,/} в пространстве Р.
Совокупности «Г и являются подпространствами в Р. Если Д,...,/ £ Р и 0т не содержит V-полиномов положительной степени, то «Г совпадает с подпространством в Р порождаемым множеством {/1?..., /}. Если /1,...,/ £ Р и Р обладает структурой модуля над кольцом С[п], то ^ совпадает с подмодулем в Р порождаемым множеством {/1,..., /}.
Совокупность Щ всех функционалов 5 £ Р*, для которых (5, (г о п) Г) = 0 при любом выборе V-полинома г £ 0т, называем С[п]-ядром множества {/1,..., /} в пространстве Р*.
Совокупность Щ является замкнутым подпространством в Р*. Если /1,...,/ £ Р и 0т не содержит V-полиномов положительной степени, то Щ совпадает с пересечением ядер функционалов 5 ^ (5,/), ^ = 1,...^. Если /1,..., / £ Р и Р обладает структурой модуля над кольцом С[п], то 0т содержит все V-полиномы. При этом Щ совпадает с пересечением ядер функционалов 5 ^ (5, (г о п) Г), где г — произвольный V-полином.
Предположим, что система функций Д,...,/ является независимой над кольцом 0П(0) = = {д о п : д £ 0(Л)}, т. е. справедлива импликация
(g о п) Г = 0, g £ 0(Л)" g = 0.
Из этого предположения вытекает, что отображение 0(Л)^ ^ 0(0)| g ^ (g о п) Г является взаимно однозначным. Таковым же будет сужение
^ : 0f ^ Р| g ^ (g о п) Г
этого отображения на подпространство 0f. Наделим 0f локально выпуклой топологией, индуцированной из Р отображением . Тогда отображение ^ и обратное отображение
-1
: Р ^ 0f I ^ о п) Г ^ g
будут непрерывными. Понятно, что область определения отображения и-1 может не совпадать со всем пространством Р.
Лемма 5. Подпространства ^ С Р и Щ С Р* связаны правилом ортогональности 10 = Щ, Щ = ^. Здесь 10 — аннулятор ^ в Р*, Щ — аннулятор Щ в Р*.
Доказательство. Действительно, если 5 £ Ш, то (з, (г о п) Г) = 0 для любого V-многочлена г из О. Значит, 5 принадлежит аннулятору ^7° С Р*, т. е. Шт С ^7"°, и по свойствам поляр Э ^7"°° = 1т. С другой стороны, если 5 £ 7°, то 5 £ ^, значит, J0 С Ш и по свойствам поляр 1т = 7°° Э Ш^. Следовательно, 1т = , 1° = = Ш. □
Теорема 4. Если открытое множество С допускает собственное исчерпание, Р — модуль над кольцом С[п], /15...,/ £ Р и образ (От) замкнут в пространстве Р*, то следующие утверждения эквивалентны:
1) V-многочлены плотны в пространстве От;
2) замкнутое подпространство 1т допускает проективное описание;
3) замкнутое подпространство Ш допускает инъективное описание.
Доказательство. Убедимся в справедливости импликации 1) ^ 2). Пусть V-многочлены плотны в пространстве От. Покажем, что подпространство 1т допускает проективное описание. В силу специальной теоремы двойственности нам достаточно показать, что 1т = Р П 1', где 1' — замкнутый подмодуль в О (С), порождаемый 1т. Так как вложение 1т С Р П 1' следует из определения 1', то докажем лишь выполнимость обратного вложения. Пусть / £ Р П 1'. Тогда / можно аппроксимировать в топологии О(С) элементами вида (г1 о п) + ... + (гк о п) , где г1,..., гк — полиномы, ,..., £ 1т. По определению 1т функции ,..., можно аппроксимировать в топологии Р функциями вида (г о п) Г, где г — V-полиномы из О т, значит, функцию / можно аппроксимировать в топологии Р элементами подпространства (От). Но по условию образ (От) замкнут в пространстве Р, значит, при некотором g £ От имеем представление / = ^ о п) Г. По предположению V-многочлены плотны в пространстве От и, кроме того, отображение -ит является непрерывным, следовательно, / можно аппроксимировать в топологии Р элементами вида (г о п) Г, где г — V-многочлен из От, т.е. / £ 1т. Таким образом Р П 1' С 1т и, следовательно, 1т = Р П 1'. Проверим выполнимость импликации 2) ^ 1). Пусть замкнутое подпространство 1т допускает проективное описание. По специальной теореме двойственности это означает, что 1т = Р П 1'. Выберем произвольную V-функцию g £ О т. Из определения От вытекает, что ^ о п) Г £ Р. Покажем, что ^ о п) Г £ 1'. Так как Л — односвязная область, то по теореме Рунге V-многочлены г плотны в пространстве О(А)^. Отсюда следует, что функцию ^ о п) Г можно аппроксимировать в топологии О(С) функциями вида (г о п) Г, где г — V-многочлен. Из того, что Р — модуль над кольцом С[п] и /1,..., / £ Р вытекает, что функции (г о п) Г, где г — V-многочлен, принадлежат 1т. Это означает, что функция ^ о п) Г принадлежит 1'. Следовательно, ^ о п) Г £ Р П 1' = 1т. Из определения 1т вытекает, что функцию ^ о п) Г можно аппроксимировать в топологии Р элементами вида (г о п) Г, где г — V-многочлен. Из непрерывности обратного отображения и-1 вытекает, что g можно аппроксимировать в топологии От v-многочленами.
Эквивалентность утверждений 2) и 3) следует из леммы 5 и теоремы двойственности. □
Замечание. При доказательстве импликации 1) ^ 2) мы не использовали условий: Р — модуль над кольцом С[п] и /1,..., / £ Р. Значит, импликация 1) ^ 2), следовательно, и импликация 1) ^ 3) остаются справедливыми без этих условий.
4.2. п-свертка. Обозначим через О* сильное сопряженное к пространству От. Сопряженный оператор
-и* : Р* ^ О* | 5 ^ (5, ^ о п) Г)
будем называть п-сверткой ^-функции Г С и функционала 5 £ Р*). Оператор -и* является
непрерывным. Значит, множество Ш решений однородного уравнения п-свертки -и*5 = 0, 5 £ Р* является замкнутым подпространством Р*. Обозначим 1 аннулятор этого подпространства в пространстве Р.
Предложение 9. Следующие утверждения эквивалентны:
1) V-многочлены плотны в пространстве О т;
2) Ш = Шт;
3) 1 = 1 .
Доказательство. Прежде всего убедимся в справедливости импликации 1) ^ 2). Пусть V-многочлены плотны в пространстве 0т. Если 5 £ Щ, то (и*5, g) = (з, ^ о п) Г) = 0 при любом g £ 0т. Значит, (5, (г о п) Г) = 0 для любого V-многочлена г £ 0т. Отсюда следует, что подпространство Щ содержится в С[п]-ядре Щ множества {/1,...,/^} в пространстве Р*, т.е. Щ С Щ. Обратно, пусть функционал 5 £ Р* принадлежит Щ, значит, (5, (г о п) Г) = 0 для любого V-многочлена г £ 0т . По предположению любую V-функцию g £ 0т можно аппроксимировать в топологии 0т V-многочленами г. В силу непрерывности оператора равенство (з, ^ о п) Г) =0 будет иметь место для любого g £ 0т, а это означает, что 5 £ Щ, т. е. Щ С Щ. Следовательно, Щ = Щ.
Справедливость импликации 2) ^ 3) вытекает из леммы 5 и следующих соотношений 1 = Щ0 = = Щ = .
Проверим импликацию 3) ^ 1). Пусть 1 = . Подпространство Щ совпадает с ядром оператора и*. По свойствам сопряженных отображений его аннулятор 1 С Р совпадает с замыканием в Р полного образа (0т ), т.е. множества элементов вида ^ о п) Г, g £ 0т . Значит, любой элемент из Р вида ^ о п) Г, g £ 0т , принадлежит и может быть аппроксимирован в Р элементами вида (г о п) Г, где г — V-многочлен. В силу непрерывности обратного оператора и-1 в 0т плотны V-многочлены. □
Следствие 1. Если открытое множество 0 допускает собственное исчерпание, V-многочлены плотны в пространстве 0т и образ (0т) замкнут в пространстве Р, то замкнутое подпространство Щ допускает инъективное описание.
Доказательство. Если v-многочлены плотны в пространстве 0т, то по предложению 9 Щ = Щ. Значит, по теореме 4 (см. замечание) подпространство Щ допускает инъективное описание. □
4.3. С[п*]-оболочки и С[п*]-ядра. Выберем конечную систему элементов из Р*
и обозначим я V-функционал ) £ (Р*= (Р*)*. Для произвольной v-функции
g = (д1,..., д*) £ 0(Л)* символом (g о п)* я обозначаем функционал
/ ^ (я, (g о п) /) = (51, (д1 о п) /) + ... + (^, (д* о п) /). Этот функционал определен, по крайней мере, на тех элементах / £ Р, для которых вектор
^ о п) / = ((д1 о п) /,..., (д* о п) /)
принадлежит Р*. Говорим, что функционал ^ о п)* я принадлежит Р* и пишем ^ о п)* я £ Р*, если множество {/ £ Р : ^ о п) / £ Р*} плотно в Р и функционал ^ о п)* я продолжается до непрерывного функционала на пространстве Р. Говорим, что функционал ^ о п)* я принадлежит 0(0)* и пишем ^ о п)* я £ 0(0)*, если множество {/ £ Р : ^ о п) / £ Р*} плотно в Р (значит, плотно и в 0(0)) и функционал ^ о п)* я продолжается до непрерывного функционала на пространстве 0(0). V-полином г £ 03 называем допустимым, если функционал (г о п)* я принадлежит 0(0)*.
Пусть — пространство всех функций д £ 0(Л), для которых (д о п)* ^ £ Р*; — подпространство , состоящее из всех функций д, для которых (д о п)* ^ = 0; 0^ — фактор-пространство /Е^.; 03 — декартово произведение 081 х ... х 0^. Договоримся использовать упрощенную терминологию, в которой элементы фактор-пространства /Е^. (классы эквивалентности) отождествляются с их представителями из . Говорим, что функция д из 0(Л) принадлежит 03:, если д £ , т.е. класс эквивалентности, порождаемый функцией д, принадлежит 08.. Говорим, что V-функция g = (д1,... , д*) из 0(Л)* принадлежит 03, если д^- £ 0^. для всякого ^ £ {1,..., V}.
Пространство 03 не является пустым. Оно содержит, например, v-полином нулевой степени 0 = (0,..., 0), который, очевидно, является допустимым. Если £ 0(0)*, то простран-
ство 03 содержит все v-многочлены нулевой степени и может содержать все или отдельные V-мно-гочлены положительной степени, например, если пространство Р обладает структурой топологического модуля над кольцом С[п], то пространство 03 содержит все V-полиномы. Действительно, если 51,..., £ 0(0)* и Р обладает структурой модуля над кольцом С[п], то для любого V-полинома г множество {/ £ Р : (г о п) / £ Р*} совпадает с Р. При этом функционал (г о п)* я непрерывен на пространстве 0(0) (значит, и на пространстве Р), т.е. все V-полиномы лежат в 03 и являются допустимыми.
Совокупность /д всех функций / £ Р, для которых
((г о п)* 8, /) = (в, (г о п) /) =0
при любом выборе V-многочлена г из Од, называем С[п*]-ядром множества {^,..., } в пространстве Р. Совокупность /д является замкнутым подпространством в Р. Если £ О(О)* и Од не содержит v-полиномов положительной степени, то /д совпадает с пересечением ядер функционалов / ^ (^,/), ^ = 1,..., V. Если 51,..., £ О(О)* и Р обладает структурой модуля над кольцом С[п], то /д совпадает с пересечением ядер функционалов / ^ (8, (г о п) /), где г — произвольный V-полином.
Совокупность всех элементов из Р*, допускающих представление в виде (г о п)* 8, где г — некоторый V-полином из Од, называем С[п*]-оболочкой множества {з1,... , ^} в пространстве Р*, а ее замыкание Жд = V? в топологии Р* называем замкнутой С[п*]-оболочкой множества {з15..., } в пространстве Р*. Совокупности V? и Жд являются подпространствами в Р*. Если з1,..., ^ £ О(О)* и Од не содержит V-полиномов положительной степени, то V? совпадает с подпространством в Р* порождаемым множеством {^,...,5^}. Если з^...,^ £ О(О)* и Р обладает структурой модуля над кольцом С[п], то Р* обладает структурой модуля над кольцом С[п*] и V? совпадает с подмодулем в Р* порождаемым множеством {з1,..., }. Предположим, что система функционалов ..., является независимой, т. е. справедлива импликация
^ О п)* 8 = 0, g £ Од g = 0.
Из этого предположения вытекает, что отображение
ид : Од ^ Р* | g ^ ^ о п)* 8
является взаимно однозначным. Наделим Од локально выпуклой топологией, индуцированной из Р* отображением ид. Тогда отображение ид и обратное отображение
и-1 : Р* ^ Од | ^ о п)* 8 ^ g
будут непрерывными. Понятно, что область определения отображения и-1 может не совпадать со всем пространством Р*.
Лемма 6. Подпространства Жд с Р* и /д с Р связаны правилом ортогональности Жд0 = /д, /0 = Жд. Здесь Жд0 — аннулятор Жд в Р, /0 — аннулятор /д в Р*.
Доказательство. Если / £ /д, то ((г о п)* 8,/) = 0 для любого V-многочлена г из Од. Значит, / принадлежит аннулятору V,0 с Р, т.е. /д с Уд0, и по свойствам поляр Э Уд°° = Жд. С другой стороны, если / £ Уд0, то / £ /д, значит, Уд0 с /д и по свойствам поляр Жд = Уд00 Э /0. Следовательно,
Жд = /д0 и Жд0 = /д00 = /д . □
Теорема 5. Если открытое множество О допускает собственное исчерпание, Р — модуль над кольцом С[п], ..., £ О(О)* и образ ид(Од) замкнут в пространстве Р*, то следующие утверждения эквивалентны:
1) допустимые V-многочлены плотны в пространстве Од;
2) замкнутое подпространство Жд допускает инъективное описание;
3) замкнутое подпространство /д допускает проективное описание.
Доказательство. Убедимся в справедливости импликации 1) ^ 2). Предположим, что допустимые V-многочлены плотны в пространстве Од. Покажем, что замкнутое подпространство Жд с Р* допускает инъективное описание. В силу специальной теоремы двойственности нам достаточно показать, что Жд = Жд, где ж? = {з £ О(О)* : г*з £ Жд Уг* £ С[п*]} — макммальное инвариантное подпространство О(О)*, лежащее в Жд, Ж? — замыкание Ж? в топологии Р*. Вложение Ж? с Жд и, следовательно, вложение Ж? с Жд вытекает непосредственно из определения подпространства Ж?. Докажем выполнимость обратного вложения Жд с Ж?. Если з £ Жд, то по определению Жд функционал з можно аппроксимировать в топологии Р* элементами из Р* вида (г о п)* 8, где г — V-полином
из 0д. Значит, 5 можно аппроксимировать в топологии Р* элементами множества ид(0д). Но по условию это множество замкнуто в пространстве Р*, значит, при некотором g £ 0д имеем представление 5 = ^ о п)* я. По предположению допустимые V-многочлены плотны в пространстве 0д и отображение ид является непрерывным, следовательно, 5 можно аппроксимировать в топологии Р* элементами (г о п)* я £ 0(0)*, где г — допустимый V-многочлен из 0д. Легко проверить, что эти элементы принадлежат Щ, значит, 5 £ Щ. Таким образом, Щ = Щ. Проверим выполнимость импликации 2) ^ 1). Пусть Щ = Щ и g £ 0д. Из определения 0д вытекает, что ^ о п)* я £ Р*. Покажем, что ^ о п)* я £ Щ. Так как Л — односвязная область, то по теореме Рунге V-многочлены г плотны в пространстве 0(Л)*. Отсюда следует, что функционал ^ о п)* я можно аппроксимировать в топологии 0(0)* функционалами вида (г о п)* я, где г — V-многочлен. Из условия, что Р — модуль над кольцом С[п] и 51,..., £ Р* вытекает, что функционалы (г о п)* я, где г — V-многочлен, принадлежат Щ. Это означает, что функционал ^ о п)* я принадлежит Щ. Из определения Щ вытекает, что функционал (g о п)* я можно аппроксимировать в топологии Р* элементами вида (г о п)* я, где г — V-многочлен. Так как в данной ситуации любой V-многочлен является допустимым, то из непрерывности обратного отображения и-1 вытекает, что g можно аппроксимировать в топологии 0д допустимыми v-многочленами.
Эквивалентность утверждений 2) и 3) следует из леммы 6 и теоремы двойственности. □
Замечание. При доказательстве импликации 1) ^ 2) мы не использовали условий: Р — модуль над кольцом С[п], 51,..., £ 0(0)*. Значит, импликация 1) ^ 2), следовательно, и импликация 1) ^ 3) остаются справедливыми без этих условий.
4.4. п*-свертка. Обозначим 0* сильное сопряженное к пространству 0д. Сопряженный оператор
< : Р ^ 0* | / ^(8, ^ о п) /)
будем называть п*-сверткой (функции / С Р и V-функционала я £ (0(0)*)*). Оператор и* является непрерывным. Значит, множество 1 решений однородного уравнения п*-свертки и*/ = 0, / £ Р, является замкнутым подпространством Р. Обозначим через Щ аннулятор этого подпространства в пространстве Р*.
Предложение 10. Следующие утверждения эквивалентны:
1) V-многочлены плотны в пространстве 0 д,
2) 1 = 1 ,
3) Щ = Щ.
Доказательство. Прежде всего убедимся в справедливости импликации 1) ^ 2). Пусть V-многочлены плотны в пространстве 0 д. Если / £ 1, то (и* /, g) = (я, ^ о п) /) = 0 при любом g £ 0 д. Значит, (я, (г о п) /) = 0 для любого V-многочлена г £ 0д. Отсюда следует, что подпространство 1 содержится в С[п*]-ядре множества {51,..., } и, значит, содержится в замкнутом С[п*]-ядре 1д множества {51,..., }. Обратно. Пусть функция / £ Р принадлежит 1д, значит, (я, (г о п) /) = 0 для любого V-многочлена г £ 0д. По предположению любую V-функцию g £ 0д можно аппроксимировать в топологии 0д V-многочленами г. В силу непрерывности оператора ид равенство (я, ^ о п) /) = 0 будет иметь место для любого g £ 0д, а это означает, что / £ 1, значит, 1д С 1. Таким образом, 1=1 .
Справедливость импликации 2) ^ 3) вытекает из леммы 6 и следующих соотношений Щ = 10 =
= 10 = Щ.
Проверим импликацию 3) ^ 1). Подпространство 1 совпадает с ядром оператора и*. По свойствам сопряженных отображений его аннулятор Щ С Р* совпадает с замыканием в Р* полного образа ид (0д), т.е. с замыканием множества элементов вида ^ о п)* я, g £ 0д. В силу равенства Щ = Щ любой элемент из Р* вида ^ о п)* я, g £ 0т, принадлежит Щ и может быть аппроксимирован в Р* элементами вида (г о п)* я, где г — V-многочлен из 0д. В силу непрерывности обратного оператора и-1 в 0д плотны v-многочлены. □
Библиографический список
1. Rellich F. Spektraltheorie in nichtseparablen Räumen // Math. Ann. 1934. Vol. 110. P. 342-356.
2. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques // Ann. of Math. (2). 1947. Vol. 48. P. 857929.
3. Ткаченко В. А. Спектральная теория в пространствах аналитических функционалов для операторов, порождаемых умножением на независимую переменную // Мат. сб. 1980. Т. 112(154), № 3(7). С. 421-466.
4. Мерзляков С. Г. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования // Мат. заметки. 1983. Т. 33, № 5. С. 701-713.
5. Шишкин А. Б. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб. 1991. Т. 182, № 6. С. 828-848.
6. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности //Мат. сб. 1991. Т. 182, № 11. С. 1559-1588.
7. Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем
дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 12. С. 123-160.
8. Шишкин А. Б. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 9. С. 143-160.
9. Чернышев А. Н. Спектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Труды ФОРА. 2001. № 6. С. 75-87.
10. Эдвардс Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М. : Мир, 1969.
11. Ганнинг Р., Росси Х. Аналитические функции многих комплексных переменных. М. : Мир, 1969.
12. Хермандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М. : Мир, 1968.
13. Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1979. Т. 43, № 2. С. 309-341.
Projective and Injective Descriptions in the Complex Domain. Duality
A. B. Shishkin
Kuban State University, 119/7,2, Krasnodarskaya str., 353560, Slavyansk-on-Kuban, Russia, [email protected]
Research of a invariant subspaces of a differential operators infinite order in a complex domain generated many issues, related with transition to dual problems. This work devoted overcome these difficulties
Key words: invariant subspaces, spectral synthesis, local description, projective description, injective description, duality.
References
1. Rellich F. Spektraltheorie in nichtseparablen Raumen. Math. Ann., 1934, vol. 110, pp. 342-356.
2. Schwartz L. Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques. Ann. of Math. (2), 1947, vol. 48, pp. 857929.
3. Tkachenko V. A. Spectral theory in spaces of analytic functionals for operators generated by multiplication by the independent variable. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1981, vol. 40, no. 3, pp. 387-427.
4. Merzlyakov S. G., Invariant subspaces of the operator of multiple differentiation. Mathematical Notes, 1983, vol. 33, no. 5, pp. 701-713.
5. Shishkin A. B. Spectral synthesis for an operator generated by multiplication by a power of the independent variable. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1992, vol. 73, no. 1, pp. 211-229.
6. Krasichkov-Ternovskii I. F. Spectral synthesis in a complex domain for a differential operator with constant
coefficients. I : A duality theorem. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1993, vol. 74, no. 2, pp. 309-335.
7. Shishkin A. B. Spectral synthesis for systems of differential operators with constant coefficients. Mathematics of the USSR-Sbornik, 2003, vol. 194, no. 12, pp. 1865-1898.
8. Shishkin A. B. Spectral synthesis for systems of differential operators with constant coefficients. Duality theorem. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1998, vol. 189, no. 9, pp. 1423-1440.
9. Chernyshev A. N. Spectral synthesis for infinitely differential operator with constant coefficients. Duality theorem. Trudi FORA, 2001, vol. 6, pp. 75-87 (in Russian).
10. Edwards R. E. Functional Analysis. Theory and Applications. New York, Holt, Rinehart and Winston, 1965.
11. Gunning R. C., Rossi H. Analytic functions of several
complex variables. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J., 1965, 317 p. (Rus. ed. : Gunning R., Rossi Kh. Analiticheskie funktsii mnogikh kompleksnykh peremennykh. Moscow, Mir, 1969, 395 p.) 12. Hermander L. An introduction to the theory of functions of several complex variables (Rus. ed. :
Hermander L. Vvedenie v teoriyu funktsii neskol'kikh kompleksnykh peremennykh. Moscow, Mir, 1968, 279 p.) 13. Krasichkov-Ternovskii I. F. Local description of closed ideals and submodules of analytic functions of one variable. II. Mathematics of the USSR-Izvestiya, 1980, vol. 14, no. 2, pp. 289-316.
УДК 517.984
ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
НА ГРАФЕ-ЕЖЕ
В. А. Юрко
Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Исследуется обратная спектральная задача для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля на графе-еже с обобщенными условиями склейки во внутренних вершинах и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах. Приведена теорема единственности восстановления потенциалов по заданным спектральным характеристикам, получено конструктивное решение обратной задачи.
Ключевые слова: граф-еж, операторы Штурма-Лиувилля, обратные спектральные задачи.
1. В статье исследуется обратная спектральная задача для дифференциальных операторов второго порядка на графе-еже, имеющих цикл и произвольное число граничных ребер. При этом рассматриваются обобщенные условия склейки во внутренних вершинах и краевые условия Дирихле в граничных вершинах. Прямые и обратные задачи для дифференциальных операторов на графах (пространственных сетях) часто возникают в естествознании и технике (см. [1-4]). Отметим, что обратные спектральные задачи восстановления дифференциальных операторов на деревьях (т. е. на графах без циклов) исследовались в [3-4]. Более сложные задачи на графах с циклом изучались в [5-7] и других работах, но только в весьма частном случае так называемых стандартных условий склейки. В частности, задачи на графе-еже рассматривались в [6]. В данной статье рассматриваются операторы Штурма-Лиувилля на графе-еже с обобщенными условиями склейки (см. определения в п. 2). Этот класс условий склейки встречается в приложениях и порождает новые качественные трудности в исследовании нелинейных коэффициентных обратных задач. Для изучения этого класса обратных задач мы развиваем идеи метода спектральных отображений [8-9]. Кроме того, важную роль в исследовании играет вспомогательная обратная задача для квазипериодических операторов с условиями разрыва во внутренних точках. Основными результатами данной работы являются теорема единственности и конструктивная процедура построения решения обратной задачи для операторов Штурма-Лиувилля на графе-еже с обобщенными условиями склейки во внутренних вершинах и с краевыми условиями Дирихле в граничных вершинах.
2. Рассмотрим компактный граф G в Rm с множеством ребер E = {eo, ...,er}, где e0 — цикл, E' = {ei,..., er} — граничные ребра. Пусть {vi,..., vr+N} — множество вершин, где V = {vi,..., vr}, vk <G ek — граничные вершины, а U = {vr+1,..., vr+N} — внутренние вершины, U = E' П e0. Цикл e0 состоит из N частей: e0 = er+1 U ... U er+N, er+k = [vr+k,vr+k+1 ], k = 1,N, vr+N+1 := vr+1. Каждое граничное ребро ej, j = 1,r имеет начальную точку в vj и конечную точку на множестве U. Множество E' состоит из N групп ребер: E' = é\ U ... U EN, Ek П e0 = vr+k. Пусть rk — число ребер в Ek; r = r1 + ■ ■ ■ + rN. Обозначим m0 = 1, mk = r1 + ■ ■ ■ + rk, k = 1,N. Тогда Ek = {ej}, j = mk-1 + 1,mk. Ребро ej <G Ek представляет собой отрезок ej = [vj, vr+k]. Например, граф G с N = 3 и r = 4 изображен на рис. 1.
