Локальное описание целых функций. Подмодули ранга 1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 2, С. 14-28

УДК 517.5

ЛОКАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ. ПОДМОДУЛИ РАНГА 1

Т. А. Волковая, А. Б. Шишкин

Подмодуль целых функций называется обильным, если он совпадает со своей локальной оболочкой. Свойство обильности подмодуля расщепляется на три отдельных свойства: интенсивность, устойчивость и насыщенность. В настоящей работе подмодули целых функций исследуются на наличие указанных свойств. При этом особое внимание уделяется подмодулям ранга 1.

Ключевые слова: подмодули целых функций, локальные подмодули, локальная оболочка, локальное описание, обильность, интенсивность, устойчивость, насыщенность5 критерий обильности.

1. Критерий обильности

1.1. Постановка задачи и ее предыстория. Пусть п — целая функция, С[п] — кольцо многочленов от п над пол ем С. Для упрощения изложения будем считать, что полный образ п(С) совпадает с С. Функция у, локально аналитическая в точках множества и С С, называется п-симметрична, если она представляется в виде Ф о п, где ф — некоторая локально аналитическая на п(и) функция. Простейшие п-симметричные функции — это отображения, осуществляемые элементами кольца С [п]. Если А £ Си ш С А := п-1(А), то О(ш) — кольцо ростков функций, локально голоморфных в окрестностях ш, Оп(ш) — кольцо ростков п-симметричных функций, локально голоморфных в окрестностях ш. Естественное вложение Оп( А) ^ Оп(ш) является кольцевым изоморфизмом. Это позволяет рассматривать О(ш) как модуль над кольцом Оп( А).

Символом О (С) обозначим пространство всех целых функций, с топологией равномерной сходимости на компактах. Выделим в О(С) произвольное множество Р, обладаю-

С

топологического модуля над кольцом С[п]. Пусть I — замкнутый подмодуль в Р. Обозначим I(ш) минимальный подмодуль Оп ( А)-модуля О(ш), включаюнщй I. Ясно, что I(ш) состоит из всевозможных конечных сумм / вида

] = ^ С ^ Оп ( А), Уг £ I. (1)

Пересечение

П

к» I(ш)

называется локальным подмодулем I, ассоциированным с п-слоем А и обозначается I ( А).

Здесь символ ш Ш А означает, что перебираются лишь конечные подмножества ш п-слоя А. Согласно этому определению, локальный подмодуль I( А) исчерпывается ростА

© 2014 Волковая Т. А., Шишкин А. Б.

в окрестности каждого конечного подмножества А. Представление (1) называется локальным представлением функции f в окрестности множества ш < А

Целая функция f принадлежит I локально, в записи f Gioc I, если f G I( А) при любом A G C. Подмодуль I допускает локальное описание (или является обильным) если справедлива импликация:

f G P, f G I ^ f G I.

loe

Пересечение

П (i( А)n p)

лес

называется локальной оболочкой подмодуля I. Ясно, что замкнутый подмодуль I С P является обильным тогда и только тогда, когда он совпадает со своей локальной оболочкой. Задача локального описания состоит в нахождении условий, при которых замкнутые I С P

Эта задача имеет длинную предысторию. Случай n(z) = z исследовался в работах [13]. В работах [4, 5J изучался случай n(z) = zq. В работе [6J инициированы исследования по ситуации n(z) — многочлен. В работе [7] инициирован случай n(z) = (ni (z),... , nn(z)), где ni(z),... ,nn(z) — многочлены. Случай n(z) — целая функция рассматривался в [810]. Задача локального описания тесно связана с задачей спектрального синтеза для дифференциального оператора n(D) с постоянными коэффициентами f7, 11J.

В работах [1-3] исследовались общие приемы решения задачи локального описания в случае n(z) = z. В этих работах разрабатывается метод резольвентной функции, в основе которого лежит возможность деления аналитической функции на двучлен z — A при обращении этой функции в нуль в точке А. Этот метод существенно опирается на

P

ляется основным ограничителем класса пространств, к которым применимы результаты статей [1-2]. В работе [3] аксиома равномерной устойчивости заменена менее ограничительной аксиомой — аксиомой локальной устойчивости. В статье [10J авторы адаптировали метод резольвентной функции к общей ситуации, в которой деление на двучлен z — A заменено делением на целую функцию п — A. В этой статье проверка обильности замкнутого подмодуля была сведена к проверке трех свойств — интенсивности, устойчивости и насыщенности. В настоящей работе упомянутые свойства замкнутых подмодулей подвергаются дополнительному исследованию. При этом основное внимание уделяется подмодулям ранга 1, свойства которых допускают глубокую аналогию со свойствами C[z]-подмодулей целых функций общего вида.

P

творяет следующим аксиомам.

Аксиома компактной сходимости. Вложение P С O(C) непрерывно.

Аксиома равномерной устойчивости. Для любой окрестности нуля V С P существует окрестность нуля U С P такая, что

f£U, A G С, G Р —¿f— G V.

п — A loe п — A

P

/ G Р, A G С, G Р —¿f— G Р.

п — п —

Кроме того, из аксиомы равномерной устойчивости вытекает выполнимость следующей аксиомы.

Аксиома локальной устойчивости. Для любой точки A G Си любого ограниченного множества B С P существуют окрестность U\ точки A и ограниченное множество B' С P такие, что

f £ В, С е í/a, -f—z £ р^ —f— е В'.

П — Z loe П — Z

Аксиома локальной устойчивости, как и аксиома равномерной устойчивости, влечет

P

1.3. Критерий обильности. Во-первых, подмодуль I С P устойчив в точке A G С,

если

f f /е/, gj.

П — П —

Подмодуль I устойчив, если он устойчив в любой точке A G С. Если подмодуль I С P является обильным, то он, очевидно, устойчив.

Во-вторых, пусть I — подмодуль в P, f G P и f Gi0 Д. Фиксируем точку A £ Си рассмотрим представление

f = ид + (п — Af

где элемент ид выбирается из I таким образом, чтобы выполнялось условие

/л := G I. (2)

П—

I

нуля V С P существует окрестность нуля U С P такая, что для любой функции f G U, принадлежащей I локально, найдется функция ид G I П V, для которой выполняется условие (2).

Если подмодуль I слабо интенсивен в точке A G С, то для любой функции f G P,

I

f = ид + (п — A) иЛ2 + (п — A)2 fд2,

где элементы ид и ид2 выбираются из I таким образом, что выполняется условие

, f — ид , fл — ид2 f — ид — (п — •Х)ид2 г

JX -Г' J>¿ -Г~ "" -/-Ü2- , 1-

п — A п — A (п — A)2 loe

Пусть подмодуль I С P является слабо интенсивным в любой точке Z из некоторой

I

функции f G P, принадлежащей I локально, существуют окрестность ид точки A и

функции и^, ид, ид2 G I, удовлетворяющие условию

/ ~ ^С / ~ ЦА / - пд - (тг - А)ПД2 ^ п — Z ' п — A ' (п — A)2 loe '

для которых множество

= с1^ (т^г -Ч : (е С,Л'(*л

P

Если подмодуль / е Р слабо интенсивен (соответственно интенсивен) в любой точке А £ С, то его называем слабо интенсивным (соответственно интенсивным). Если подмодуль I С Р является обильным, то он интенсивный и, значит, слабо интенсивный. Действительно, в этом случае достаточно положить пл = п^ = /, пл2 = 0.

В-третьих, пусть I — устойчивый слабо интенсивный подмодуль в Р, / е Р и /с1. Рассмотрим линейный непрерывный функционал Б на Р, аннулируюнщй I. Этому функционалу соответствует комплексная функция

Ф(А) := (Б,/А) ,

где /л — элемент из условия (2). Так как

/ - пл / - п'л п'л - пл

G I,

п — А п — А п — A loe

то в силу устойчивости I

и'х - ЦА G L п—

Это означает, что функция Ф не зависит от выбора элемента ид G I, для которого справедливо условие (2). Когда S пробегает совокупность всех линейных непрерывных функционалов, аннулирующих I, функция Ф пробегает некоторый класс функций, заданных на С. Этот класс мы обозначим S(I, f). Класс S(I, f) не разделяет точек С, если существуют две точки Ai, А2 G С, Ai = А^, гткш, что Ф(Ai) = Ф(А2) для любой Ф G S(I, f). Подмодуль I слабо насыщен относительно f, если S(I, f) не разделяет точек С. Подмодуль I слабо насыщен, если он слабо насыщен относительно любого элемента f G P, f GiocI- Обильный подмодуль I является слабо насыщенным, так как в этом S(I, f)

Пусть р — некоторая непрерывная полунорма в P, f G P и f G^CI- Положим Pf ( А) = inf р (f — ид), где inf берется по всевозможным на G I, для которых справедливо условие (2) (если такого ид не существует, то полагаем pf ( А) = Подмодуль I

f G P р

импликация:

Ф G O(C), |Ф( А)| < pf ( А) (V А G С) ^ sup с |Ф| <

Подмодуль I насыщен, если ^н насыщен относительно любого f G P, локально при-

II функция pf совпадает с тождественным нулем.

Слабый критерий обильности в локально устойчивых пространствах. Для того чтобы замкнутый подмодуль I С P был обильным, необходимо и достаточно, чтобы I был слабо интенсивным, устойчивым и слабо насыщенным [10].

Критерий обильности в равномерно устойчивых пространствах. Для того

I С P I

[10]

2. Интенсивность

Пусть А G С. Введем в O( А) отделимую локально выпуклую топологию, порожденную счетным набором полунорм

u^±\Dnu(0\, (3)

каждая из которых определяется выбором точки (n, Z) из декартова произведения Za = Z+ х А Топология в пространстве O( А) может быть описана как топология проективного предела пространств О(ш) относительно отображений сужения

: O(А) ^ О(ш).

Здесь ш — конечные подмножества слоя А пространство О(ш), топологизируется с помощью полунорм вида (3), каждая из которых определяется выбором точки (n, Z) из декартова произведения Zw = Z+ х ш. При описании топологии в O( А) можно обойтись не более чем счетной совокупностью Ш1,Ш2,... конечных подмножеств А удовлетворяющей условиям

ш1 С ш2 С ... С А, ш1 U ш2 U ... = А.

Легко видеть, что топология O( А) совпадает с топологией проективного предела пространств O(wfc) относительно отображений сужения

V,А : O(А) ^ °("k), k G N.

Произведение элементов O( А) на элементы кольца Оп ( А) непрерывно в топологии O( А), следовательно, Оп ( А)-модуль O( А) является топологическим. Аналогичное утверждение верно также и для Оп )-модулей О(ш^).

Пусть I — замкнутый подмодуль P, I( А) — локальный подмодуль I, ассоциированный с ж-слоем А. В [8] доказано, что из аксиомы компактной сходимости вытекает выполнимость следующего предложения.

Предложение 2.1. Для любого А G C локальный подм одуль I ( А), ассоциированный с ж-слоем А замкнут в топологии O( А) и совпадает с замыканием подмодуля I в топологии O( А).

Система элементов щ,..., un G O(C) называется независимой, если выполняется импликация

ClUi + ... + c„u„ = 0, ci,... ,Cn G On (C) ci,... ,Cn =0.

Ранг множества I С O(C) (в обозначениях Rank I) — это максимальное число элементов в независимых системах ui,..., un G I.

Предложение 2.2. Всякий подмодуль I С P ранга 1 является интенсивным.

< Пусть А G C, za G А f G P и u G I. Считаем, что f Gi0CI) u ф 0 и кратность обращения в нуль функции u в точке Za G а является наименьшей из возможных. В окрестности точки za имеет место представление f = ciui + ... + cnun, где ci,..., cn G On ( А), ui,..., un G I. Так ее ли Rank I = 1, то система элем ентов {u, u^} зависима при любом k G {1,..., n}. Значит, существуют отличные от тождественного нуля а^, bk G On (C), для которых aku = bku^ При этом

^ ii / ai an\

/ = ClUi + ... + c„nra = I + ' ' ' + j u = u.

Функция

Ciui + ... + c

с =-

u

голоморфна в точке za- Из представления

ai a„ A о ж

С = ~Г + --- + ~Г = ~5-'

bi bn B о ж

где A, B G O( А), вытекает, что c G Оп( А). Это означает, что c = C о п, где C G O( А). Следовательно, для любого Z = n(z) го некоторой окрестности Ua точки А функция f допускает представление

f = uc + (п - Z) uc2 + (п - Z)f,

в котором uz = c(zz) u = (C о п) (zz) u, Uz2 = c'(zz) u = (C' о п) (zz) u, где C' — производ-C

f — uz c — c(zz) h--=—-r= „ \au = acu<= I,

п — Z п — Z loe

С-Фс)

/с2 := —-= -—— u = bcu G I.

„ C—c(zz) ~/ \

fe - uC2 _ " Фс)

п — Z п — Z loe

Действительно, имеют место представления az = Az о п, bz = Bz о п, где

Л-,С') = здч = ^ - сю) £ 0,0.

Значит, az u, bz u G I (А) для любого Z G Ua. Если Z' G Ua, то включешя az u, bz u G I (А') очевидно выполнены.

Если f ^ О в топологии P, то в силу аксиомы компактной сходимости f (z) = c(z)u(z) ^ О равномерно по z го некоторой окрестности точки za- Следовательно, c(z) ^ О равномерно по z го некоторой окрестности точки za- Отсюда следует, что ua = c(za)u ^ О в топологии P. Значит, подмодуль I является слабо интенсивным в точке А. При этом для любого Z G Ua, Z = А, имеют место представления

1 /uz — Ua \ 1 (c(zz) — C(Za) Л ~ UA2 = 7-Г —л-л--сu

Z — А V Z — А V Z — АV Z — А 1

(С(0-С(Х) , Л С-Л V С-А ~С{Х))

Значит, множество

.^^(^-«лфе^.с/л

ограничено в Р. Следовательно, подмодуль I является интенсивным в точке А. Остальное следует из произвольности выбора точки А е С. >

3. Устойчивость

3.1. Свойства устойчивых подмодулей. Пусть I — интенсивный подмодуль в Р. Возникают естественные вопросы:

1) При каких условиях устойчивость подмодуля I в одной точке влечет устойчивость подмодуля I, т. е. его устойчивость в любой другой точке?

2) Влечет ли устойчивость подмодуля I устойчивость его замыкания I в Р?

При условии замкнутости подмодуля I на первый вопрос отвечает следующее предложение.

Предложение 3.1. Если замкнутый интенсивный подмодуль I С Р устойчив в точке X, то он устойчив.

< Пусть А' £ С, / £ I и £\ос1. Нам необходимо показать, что £ I. Вы-

берем произвольный линейный непрерывный функционал Б на пространстве Р/1. По свойствам резольвентной функции [10] функция

Ф(с ) = (С )) = ^

I ~ч тг-С ]

является целой и при некоторых натуральных а^

п+1

Ф(")( А) = £ а^Фт( А),

т=1

где Ф(га)( А) = (Б Р( А)), Фт( А) = (Б ( А)). Так как подмодуль I устойчив в точке А, то /дп £ I. Это означает, что Фт( А) = 0 для любого натурального т ^ п. Следовательно, фН ( А) = 0 для любого натурального п, т. е. Ф — тождественный нуль. Значит, любой линейный непрерывный функционал Б на Р, аннулирующий I, обращается в нуль на элементе Д/ = ^ . По теореме Хана — Банаха Д/ £ I. Значение функции Ф в точке А' не зависит от выбора элемента Пд/ £ I, для которого справедливо представление (2), значит, можно считать, что и\/ = 0 и Д/ = £ I. \>

Следующее предложение отвечает на второй вопрос.

Предложение 3.2. Если слабо интенсивный в точке А подмодуль I С Р устойчив в этой точке, то его замыкание I устойчиво в той же точке.

<\ Пусть / £ / и ^г\£\ос1- Утверждаем, что £ I. Действительно, пусть /а £ I и /а ^ / в топологии Р. Из аксиомы компактной сходимости и предложения 2.1 вытекает, что для любого А £ С локальные подмодули I( А) и /( А) совпадают (с замыканием I в топологии О (А)). Значит, / — /а£\ос1 и ^г\£\0с1- В силу слабой интенсивности

подмодуля I существуют и" £ I, для которых-7Г_Л Л £\ос1 и и" —> 0 в топологии Р.

Так как то ?г_ЛЛ £10С/. Устойчивость подмодуля / в точке А влечет включе-

ние дл ^ /. При этом /" + и" —» / в топологии Р. В силу аксиомы равномерной

£"+«? £ П гч £ 7

устойчивости -^ —> -^Ч- в топологии Р. Это означает, что -^Ч- (Е /. [>

17 п—Д п—Д ' п—Д

3.2. Главные подмодули. Замкнутый подмодуль I С Р порожден элементами ф,..., фп £ Р, если ф,..., ф 0 и I совпадает с замыканием в Р множества элементов вида Г1фга +... + ггафга, гд е Г1,..., гп £ С [п]. Если замкнутый под модуль I С Р порожден одним элементом ф ф 0 то его называют главным (с образующей ф).

Пусть ^ — главный подмодуль в Р с образующей ф , — подмодуль в Р, образованный элементами вида гф где г £ С[п]. Подмодуль ^ совпадает с замыканием подмодуля в тополог ИИ Р.

Предложение 3.3. Ранги подмодулей и ^ равны 1.

< Сначала докажем, что ранг подмодуля равен 1. Действительно, если и, П2 £ п1,п2 ф 0, то п1 = г1 ф п2 = г2ф где г1,г2 £ С[п] С Оп (С) и г1,г2 ф 0. Следовательно, С1П1 + С2П2 = 0, ГДв С1 = Г2,С2 = -Г1 £ Оп(С) И С1, С2 ф 0.

Далее убедимся, что ранг подмодуля ^ тоже равен 1. Действительно, если П1,П2 £ ^ то существуют обобщенные последовательности па,па £ сходящиеся к П1 и П2 соответственно в топологии Р. При этом п® = г®ф п^ = г^ф где г®,Г2 £ С[п] С Оп(С)

и c®u® + C2U2 = 0 где c® = ró?, cf = —rf G On(C). Из аксиомы равномерной сходимости вытекает, что функции , являются целыми и rf = Rf о -/г —> , = Щ 0 тг —>

равномерно на компактах. Пусть A G Си zo G А. Сужение no функции п на некоторую окрестность Uo точки zo является собственным отображением Uo ^ V0 = n(Uo). Значит, Rf ^ Ci, Rf ^ C2 равномерно та компактах из Vo- Это означает, что Ci, C2 G O( A), а ^ = Ci о 7г, ^ = C2 о 7Г G Отг(А). Следовательно, ci = у, c2 = y G Ow(C) и С2ui — ciu2 = 0. При ЭТОМ С1,С2 ф ^^ЛИ Ui,U2 Ф 0 >

В силу предложения 2.2 подмодули / и J являются интенсивными.

Предложение 3.4. Главный подмодуль является устойчивым.

< Пусть /^ — главный подмодуль в P с образующей J^ — подмодуль в P, образованный элементами вида r^, где r G C[п]. Подмодуль / совпадает с замыканием подмодуля J^ в топологии P. Пусть zo G С и ^(zo) = 0. Покажем, что подмодуль J^ является устойчивым в точке А = 7r(zo). Предположим, что / G J и ;^t\GiНам нужно показать, что ^^ G J. Так как / G J, то / = г</?, где г = R о 7Г, R — многочлен. Так как то = </?, где с = о 7Г G О^А). Значит, f = rip = (iг — А) с</?. Так как ^>(zo) = 0, то для всех z го некоторой окрестности точки zo имеет место равенство r(z) = (n(z) — A) c(z) и для всex £ из некоторой окрестности точки A имеет место равенство R(Z) = (Z — A)C(Z)■ Это означает, что многочлен R(Z) делится на двучлен Z — A и функция принадлежит кольцу С [-/г]. Следовательно, = G J ¡р. Таким образом, доказано, что подмодуль J^ является устойчивым в точке A. В силу предложения 3.2 подмодуль /^ тоже устойчив в точке A, а в силу предложения 3.1 подмодуль /^ является устойчивым. Предложение доказано. >

3.3. Конечнопорожденные подмодули. Пусть /1,..., /п — подмодули в P. Замкнутый подмодуль / = /o С P порожден подмодулями /i,..., /п, если / есть замыкание множества элементов вида /i + ... + /n, где / G /k. Фиксируем точку A G С, для которой выполняется условие: для любого k G {0,1,... , n} найдутся zk G А и Uk G /k такие, что Uk(zk) = 0. Набор a = {ai,..., an} комплексных функций на слое А называем допустимым, если существуют элементы /k G /k такие, что /k|д = ak, k = 1,..., n.

Положим

T(a, A) = {/ = /i + ... + /n : /k G /k, /k= a^.

Предложение 3.5. Пусть /i,..., /n — устойчивые подмодули в P, / — замкнутый подмодуль ранга 1, порожденный подмодулями /i,..., /n. Для того чтобы подмодуль / был устойчивым в точке X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: для любого допустимого набора a = {ai,..., an}, для которого ai + ... + an = 0, замыкание T(a, ) P

< Достаточность. Пусть замыкание множества T(a, A) в топологии P содержит нулевой элемент. Рассмотрим произвольный элемент F G I, для которого ^гх^ЪсР Нам нужно показать, что ^^ G I. Пусть J — подмодуль в Р, составленный из сумм вида /i + ... + /n, где /k G /k- Так как J С /, то Rank J = 1. По предложению 2.2

J/ подмодуля J в пространстве P. Выберем произвольную окрестность нуля V в пространстве P. По аксиоме равномерной устойчивости существует окрестность нуля V* такая, что справедлива импликация:

fev*, AgC, -^-еР^-^-еК (4)

п — п —

Подбираем теперь окрестности Vi, V2 так, что бы Vi + V2 С V *. Так как F £ /, то существует обобщенная последовательность Fa = FJ + ... + F,a £ J, FJ £ /fe, сходящаяся к F в топологии P. Так как подмодуль J является интенсивным, то он является слабо интенсивным в точке А. При этом по предложению 2.1 для любого a имеет место локальное вложение F — Fa£i0CJ. Значит, для любого a имеет место представление

F — Fa = uj + (п — А)Я,

где элемент ua = u^ + ... + uJA £ J, u^ £ /fe, выбран так, чтобы выполнялось условие

fx '■= * х Л ¿

П — А loe

При этом для некоторого a' разниц а F — f' принадлеж ит Vi, где

/' = + «А = " А) (^д - /А') е J-

Рассмотрим представление f' = f + ... + f¿, где f = Fj' + £ /fe, и обозначим a k сужение f |д функции f| на слой A. Ясно, что система a = {ai,...,an} является допустимой и ai + ... + an = 0. По условию 0 принадлежит замыканию множества T(a, А); поэтому существует элемент

f = fi + ... + fn £ T(a, А) n V2, f £ 4, f = a fc.

f'_f

Так как Rank / = 1, то Rank/fe = 1. При этом f'k — fk = СкЩ £ h и = ^тд Ufe, где

Cfe — п-симметричная мероморфная функция. По условию выбора точки А существует _ f'_f

Zfe £ А такое, что uk(zk) ф 0. Значит, ck(zk) = 0, ^ £ О^А) и Из

«.> т f' —fk т

устойчивости подмодуля i fe вытекает, что £ i fe.

Рассмотрим теперь элемент ф = F — f' + f. Так как F — f' £ Vi, a f £ V2, то (p £ Vi + V2 С V*. Далее, замечаем, что £ Р. Поэтому, в силу импликации (4),

* F f'-Uv.

п — А П — А П — А Но

ft f n ft f ft -/"

J - J = ST^ Jk ~ Jk Jk ~ Jk J

7Г — A 7Г — A ' 7Г — A

k=i

Значит,

fl — f V := ^-f £ /■

п — А

Итак, для любой окрестности нуля V существует элемент ф £ / такой, что ^^ — ф £ V. Это значит, что ^^ — точка прикосновения / и, поскольку / замкнут, ^^ £ I. Достаточность доказана.

Необходимость. Пусть / устойчив в точке А. Рассмотрим элемент / = /1 + ... + fn £ T(а, А). Замечаем, что /(z) = 0 для любого z £ А. Так как Rank/ = 1, то / = cu0 £ /

и^д = о, где с — 7г-симметричная мероморфная функция. По условию выбора точки А существует zo £ А, такое, что Ho(zo) ф 0. Значит, c(zo) = 0, ^^ £ Отг(А) и ^д£1оС/- Из устойчивости подмодуля / вытекает, что £ I. Поэтому существует

обобщенная последовательность /" = /" + ••• + /,?, € сходящаяся к в топологии Р. Поскольку операция умножения на п — А непрерывна в Р, то последовательность Ра = (п — А) /а сходится к / в топологии Р и, значит, / — Ра ^ 0 в Р. Остается отметить, что / — Ра £ Т(а, А). Необходимость доказана. >

Применим предложение 3.5 к конечнопорожденным подмодулям. Пусть подмодуль I С Р порожден системой ^>1,..., Фиксируем точку А £ С, для которой выполняется условие: для любого к £ {1,..., п} найдется £ А такое, что фк (г^) = 0. Символом А( А) обозначим совокупность таборов а = {а1,..., ап} комплексных функций на слое А для которых набор {а1ф1|л,..., апфп|л} является допустимым и а1^>1|л + ... + а„фга|л = 0.

Предложение 3.6. Для того чтобы замкнутый подмодуль I С Р ранга 1, порожденный системой ..., был устойчив в точке А, необходимо и достаточно, чтобы для каждого набора а = {а1;..., ап} £ А( А) существовали обобщенные последовательности г",..., га £ С[п] такие, что

1) г?|л = а1,..., га|л = ап

2) га^1 + ... + га^га ^ 0 в топологии Р.

< Обозначим через подмодуль элементов вида гф^, где г пробегает С[п], к = 1,..., п. Каждый такой подмодуль устойчив и их совокупность порождает I. Фиксируем а = {а1,..., ап} £ А( А) и рассмотрим систему комплексных функций на слое А

61 (г) = аф)^! (г),... ,6„(г) = ап(г)фп(г), г £ А. Очевидно, что эта система допустима и 61 (г) + ... + 6п(г) = 0 для любо го г £ А. Требу-

0 £ Т(а, )

эквивалентно условиям 1), 2). >

4. Насыщенность подмодулей ранга 1

4.1. Импликации насыщенности. Пусть I — множество в Р ранга 1, р — некоторая непрерывная полунорма в Р, / £ Р. Положим р/ ( А) = р (/ — пд), вде берется по всевозможным пд £ I, для которых справедливо условие (2) (если такого п д не существует, то полагаем р/( А) = Множество I насыщено относительно / £ Р, если

р

Импликация 1. Если целая функция Ф удовлетворяет неравенству

|Ф(А)| < р/( А)

для любого А £ С, то Ф ограничена.

Подмодуль I насыщен, если он насыщен относительно любого / £ Р, локально принадлежащего I. Рассмотрим другую импликацию.

Ф

|Ф( АМгд)| < р (^(гд)/ — /(гд)ф)

для любых А £ С гд £ А и любого ф £ I, то Ф ограничена. Сравним импликацию 1 с импликацией 2.

Предложение 4.1. Если множество I и {/} имеет ранг 1, то импликация 1 эквива-2

< Достаточность. Так как /^Д множество I и {/} имеет ранг 1, то существуют С1 := С1 о пи С2 := С2 о п такие, что С1 ф + С2 / = 0 и С1, С2 € О (С). Значит, вне нулей С2 имеет место тождество

а вне нулей произведения С2 ф имеет место тождество

/(*) С1(г)

P(z) c2(z)

Пусть \GC, zxe\, c2(zx)(p(zx) ф о и nA = ^fjP- Тогда

, f /Ол) Cl I CIQA)

/~ЦА _ J фх)^ _ c2 + c2feQ _

-г ~~-\— ~~-\-^ ~~ —

П — А П — А П — А

где c := C о п и

Значит, G /(Л) и, более того, Ei0CJ. Так как

— \ ^ -L \ /\ I -L KJL KJ. — \

п—Л v ' ' ' n—Л

P/(A) = inf p (/ - ил) < P (/ - ^p)

<

рЫ

p (p(z^)f — f ы^о

то из соображений непрерывности вытекает, что выполнение неравенства |Ф(А)| ^ р/( А) для любого А £ С влечет выполнение неравенства |Ф(А)р^л)| ^ р (р^л)f — f ^л)р) для любых р £ /, А £ Си zл £ А- Это означает, что выполнимость импликации 2 влечет выполнимость импликации 1.

Необходимость. Пусть А е С, пЛ G I и ^юД- Предположим, что G А и ил^л) = 0. Тогда f(z^ = ил^л). По условию неравенство |Ф(А)р^л)| ^ р (р^л)/ — f ^л)р) выполняется для любых р £ /, А £ Си zл £ А- Значит, выполняются неравенства |Ф( А)ил(z^| ^ р (ил(zл)/ — f ^л)ил) и |Ф( А)| ^ р (f — ил). Из соображений непрерывности вытекает, что |Ф( А)| ^ р/( А). Это означает, что выполнимость импликации 1 влечет выполнимость импликации 2. >

Для проверки насыщенности в случае единичного ранга можно пользоваться импликациями 1 или 2.

4.2. Сверхнасыщенность. Пространство P называется аналитически уплотненным, если выполнено условие: для любой конечной системы элементов fi,...,/n £ P множество

B/i,...,/n := {/ £ О(С) : |/(z)| < |/i(z)| + ... + |/n(z)| Vz £ С} P

Множество / С P сверхнасыщено, если оно насыщено относительно любой функции

/ £ PP

/ С P 1

< Пусть / — обильный подмодуль в P, Rank / = 1 и / £ P. Подмодуль / насыщен относительно тождественного нуля. Поэтому предположим, что / отлично от тождествен//

1

более сильное утверждение, именно: существует ограниченное множество В С Р такое, что выполнение неравенства

|Ф(п(г))ф(г)| < р(ф(г)/ — /(г)ф)

для любой непрерывной полунормы р, для любого г £ С и любого ф £ I П В влечет

Ф

Фиксируем ненулевой элемент фо £ I и полагаем

т(г) = |фо(г)| + |/(г)|,

В = К/ £ О(С): |/(г)| < ш(г)}.

РВ Р р р( ) = 0

ложим, что неравенство |Ф(п(г))ф(г)| ^ р (ф(г)/ — /(г)ф) выполнено для любых г £ С, ф £ I П В. Покажем, что целая функция Ф ограничена. Так как фо £ I П В, то

|Ф(п(г))фо(г)| < |фо(г)| р (/) + |/(г)| р (фо) < (|фо(г)| + |/(г)|) р (/, фо) < 2р (/, фо) т(г),

где р (/, фо) = тах{р(/),р(фо)}. Отсюда следует, что

Ф(тг)уо

Так как подмодуль I обильный, то Ф(п)фо £ I. Таким образом, элемент ф1 принадлежит I П В. Значит, для него справедливы неравенства

|Ф(п(г))ф1 (г)| < (|ф1(г)| + |/(г)|) р (/, ф1) < 2р (/, фО т(г), где р(/, ф1) = тах{р(/),р(ф1)}. Отсюда следует, что

Ф(тг)у1

и, поскольку ф1 £ I, имеет место включение ф2 £ I П В. Продолжая выкладки, установим, что фп £ I П В для любого п £ N. В частности, |фп (г)| ^ т(г) для люб ых п £ Ни г £ С. Заметим, что

|фп| =

Ф(п)фп-1

Ф(тт)уга_1 " 2 Р(Л "

Ф(п)

2р (/)

2р(/, фп-1)

Таким образом, при всех п £ Ни г £ С выполняется неравенство

' |Ф(п(г))|

|фо|

2р (/)

|фо(г)| ^ т(г).

Поскольку фо(г) = 0, это возможно только при условии ограниченности целой функции Ф. >

Следствие 4.1. Пусть Р — аналитически уплотненное пространство и I — множество в Р ранга 1. Если I содержит обильный подмодуль ранга 1, то I насыщено.

п

1

5.1. Равномерно устойчивые пространства. Как и прежде предполагаем, что Р — произвольное множество в О (С), обладающее структурой отделимого локально вы-

С

С[п]. Кроме этого, считавм, что Р удовлетворяет аксиомам равномерной устойчивости и сходимости. Согласно критерию обильности в равномерно устойчивых пространствах, обильность подмодуля обеспечивается сочетанием трех свойств — интенсивности, устойчивости и насыщенности. Соединяя необходимые или достаточные условия интенсивности, устойчивости и насыщенности, установленные выше, получаем необходимые или достаточные условия обильности.

Прежде всего, рассмотрим необходимое и достаточное условие обильности подмодуля ранга 1 в общем случае.

Предложение 5.1. Пусть I — замкнутый устойчивый подмодуль в I ранга 1. Для того чтобы подмодуль I был обильным, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента / £ Р, локально принадлежащего I, и любой непрерывной полунормы р вы-

Ф

|Ф( А)ф(гд)| < р (ф(гд)/ — /(гд)ф)

для любых А £ С, гд £ А и любого ф £ I, то Ф ограничена.

< Справедливость предложения вытекает из критерия обильности в равномерно устойчивых пространствах, из предложения 2.2 и предложения 4.1. >

5.2. Аналитически уплотненные пространства. Далее рассмотрим условия обильности в аналитически уплотненных пространствах.

Предложение 5.2. Пусть Р — аналитически уплотненное пространство, I — замкнутый устойчивый подмодуль в Р ранга 1, удовлетворяющий условию: I содержит обильный подмодуль. Тогда I — обильный.

< По предложению 2.2 подмодуль I является интенсивным. По следствию к предложению 4.2 подмодуль I является насыщенным. В силу критерия обильности I — обильный. >

Напомним, что главным подмодулем I С Р с образующей ф мы называем замыкание множества элементов вида гф, где г пробегает кольцо С[п].

РР

ным.

Р

чтобы замкнутый подмодуль I С Р ранга 1 был обильным, необходимо и достаточно, чтобы он был устойчив.

< Необходимость очевидна.

Достаточность. Так как ранг I равен 1, то найдется элемент ф из I, отличный от тождественного нуля. Главный подмодуль ^ с образующей ф является обильным и принадлежит I. Таким образом, подмодуль I содержит обильный подмодуль. В силу предложения 5.2 I — обильный. >

Пусть !1,...,!п — подмодули в Р. Замкнутый подмодуль I = !о С Р порожден подмодулями ..., !п, если I есть замыкание множества элементов вида /1 + ... + /п,

где / £ Фиксируем точку А £ С, для которой выполняется условие: для любого к £ {0,1,..., п} найдутся £ А и п^ £ ^ такие, что п^) = 0. Набор а = {а1,..., ап}

комплексных функций на слое А называем допустимым, если существуют элементы /и € 4 такие, что /|л = а и, к = 1,..., п.

Для допустимого набора а = {а1,..., ап} комплексных функций на слое А положим

Т(а, А) = {/ = /1 + ... + /« : / € 4, /|л = аи}.

Предложение 5.4. Пусть Р — аналитически уплотненный модуль, Д,...ДП — обильные подмодули в Р ранга 1. Для того чтобы подмодуль I ранга 1, порожденный подмодулями 11,..., I«, был обильным, необходимо и достаточно, чтобы для любого допустимого набора а = {а 1,..., ап} комплексных функций на слое А удовлетворяющего условию а1 + ... + а« = 0 замыкание множества Т(а, А) в топологии Р содержало нулевой элемент.

< По предложению 4.2 каждый из подмодулей 11,..., 1П будет сверхнасыщен. Так как ранг I равен 1 и I содержит каждый из этих подмодулей, то I также будет сверхнасыщен и, тем более, насыщен. По предложению 2.2 подмодуль I является интенсивным. Осталось заметить, что в силу предложения 3.5 устойчивость подмодуля I эквивалентна условию: нуль содержится в Т (а, А) для любого допустимого набора а = {а1, ...,а«} комплексных функций на слое А, удовлетворяющего условию а1 + ... + ап = 0. >

Предложение 5.4 сохраняет силу, если свойством обильности будет обладать лишь один из подмодулей Д,..., I«.

Пусть подмодуль I С Р ранга 1 порожден системой ф1,...,ф„. Фиксируем точку А€ С, для которой выполняется условие: для любого к € {1,...,п} найдется

€ А такое, что ф и (¿и) = 0. Символ ом А( А) обозначим совокупность векторов а = (а1,..., а«) € СП для котор ых а1ф1(г) + ... + апфп (г) = 0 для любо го г € АР

того чтобы замкнутый подмодуль I С Р ранга 1, порожденный системой ф1,..., фга, был обильным, необходимо и достаточно, чтобы для каждого вектора а = (а1,..., ап) € А( А) существовали обобщенные последовательности г",..., г^ € С [п] такие, что

1) га|л = аъ...,гШл = а«

2) г"ф1 + ... + Г^фи, ^ 0 в топологии Р.

< Обозначим 4 главный подмодуль в Р, порожденный функцией фи, к = 1,...,п.

Каждый такой подмодуль обилен и их совокупность порождает I. Фиксируем а = (а1,..., ап) € А( А) и рассмотрим систему комплексных функций на слое А

61 = а1ф1 |л,... ,6« = а„ф„|д.

Очевидно, что набор {61,..., 6«} является допустимым и 61(2) + ...+6п(г) = 0 для любого г € А- Требуемое утверждение следует из предложения 5.4, если учесть, что включение 0 € Т(а, А) эквивалентно условиям 1), 2). >

Литература

1. Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1979.—Т. 43, № 1.—С. 44-66.

2. Красичков-Терновский И. Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1979.—Т. 43, № 2.—С. 309-341.

3. Красичков-Терновский И. Ф. Абстрактные приемы локального описания замкнутых подмодулей аналитических функций // Мат. сб.—1990.—Т. 181, № 12.—С. 1640-1658.

4. Шишкин А. В. Локальное описание замкнутых подмодулей в специальном модуле целых функций экспоненциального типа // Мат. заметки.—1989.—Т. 46, № 6.—С. 94-100.

5. Шишкин А. В. Спектральный синтез для оператора, порождаемого умножением на степень независимой переменной // Мат. сб.—1991.—Т. 182, № 6.—С. 828-848.

6. Красичков-Терновский И. Ф. Спектральный синтез в комплексной области для дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. I. Теорема двойственности // Мат. сб.—1991.— Т. 182, № 1.-С. 1559-1588.

7. Шишкин А. В. Спектральный синтез для систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности // Мат. сб.—1998.—Т. 189, № 9.—С. 143-160.

8. Чернышев А. Н. Спектральный синтез для дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами: Дис.... канд. физ.-мат. наук.— Армавир, 2004.—100 с.

9. Письменный Р. Г. Главные подмодули и инвариантные подпространства аналитических функций: Дис.... канд. физ.-мат. наук.—Славянск-на-Кубани, 2010.—104 с.

10. Волковая Т. А., Шишкин А. В. Локальное описание целых функций // Исследования по мат. анализу.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2014.—С. 212-223.—(Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 8, ч. 1).

11. Шишкин А. В. Проективное и инъективное описания в комплексной области. Двойственность // Изв. Сарат. ун-та. Новая сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2014.—Т. 14, № 1.-С. 47-65."

Статья поступила 13 сентября 2013 г.

Волковая Татьяна Анатольевна Кубанский государственный университет (филиал в Славянске-на-Кубани),

аспирантка кафедры математики, информатики и МП РОССИЯ, 353560, Славянск-на-Кубани, ул. Кубанская, 200 E-mail: [email protected]

Шишкин Андрей Борисович

Кубанский государственный университет

(филиал в Славянске-на-Кубани),

профессор кафедры математики, информатики и МП

РОССИЯ, 353560, Славянск-на-Кубани, ул. Кубанская, 200

E-mail: [email protected]

LOCAL DESCRIFTION OF ENTIRE FUNCTIONS. SUBMODULES OF RANK 1

Volkovaya T. A., Shishkin A. B.

Submodule in the module of entire functions is called ample, if this submodule coincides with its local hull. Ampleness splits in three separate properties: intensity, stability and saturation. In the article submodules of entire functions are investigated for the presence of these properties. Particular attention is paid to submodules of rank 1.

Key words: submodules of entire functions, local submodules, local shell, local description, ampleness, intensity, stability, saturation, criterion of ampleness.