Некоторые свойства главных подмодулей в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 8. № 1 (2016). С. 3-14.

УДК 517.538.2 + 517.984.26 + 517.547

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ПОДМОДУЛЕЙ В МОДУЛЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА И ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

Аннотация. В работе рассматривается топологический модуль целых функций V(а; Ь) - изоморфный образ при преобразовании Фурье-Лапласа пространства Шварца распределений с компактными носителями в конечном или бесконечном интервале (а; Ь) С R. Изучаются условия, при которых главный подмодуль модуля V(а; Ь) может быть однозначно восстановлен по нулям порождающей функции.

Ключевые слова: целые функции, субгармонические функции, преобразование Фурье-Лапласа, главные подмодули, локальное описание подмодулей, инвариантные подпространства, спектральный синтез.

Mathematics Subject Classification: 30D15, 30H99, 42A38, 47E05

1. Введение

Пусть [а\; Ь1] <Ш [а2; Ь2] <Ш ... - последовательность отрезков, исчерпывающая конечный или бесконечный интервал (а; Ь) вещественной прямой, Р^ - банахово пространство, состоящее из всех целых функций ip, для которых конечна норма

Обозначим через V(а; Ь) индуктивный предел последовательности {Р^}. В этом пространстве операция умножения на независимую переменную z непрерывна, поэтому V (а; Ь) -топологический модуль над кольцом многочленов C[z]. Каждое из вложений Р^ С Рк+1 вполне непрерывно, следовательно, V(а; Ь) есть локально-выпуклое пространство типа (LN*) (см. [1]). Известно (см., например, [2, гл. I, лек. 16, теоремы 1 и 2]), что всякий элемент пространства V (а; Ь) является функцией вполне регулярного роста при порядке 1, индикаторная диаграмма которой есть отрезок мнимой оси [ic^; id^] С (ia; ib).

В данной работе мы исследуем главные подмодули модуля V(а; Ь). Напомним, что главным подмодулем J^, порожденным функцией Е V(а; Ь), называется замыкание в V(а; Ь) множества [р<р : р Е C[z]}.

Для краткости всюду ниже, если не оговорено противное, будем пользоваться термином «подмодуль», имея в виду замкнутый подмодуль.

Подмодули модуля V(а; Ь) состоят в двойственности с замкнутыми подпространствами пространства С^ (а; Ь), инвариантными относительно оператора дифференцирования

N.F. Abuzyarova, Some properties of principal submodules in the module of entire functions of exponential type and polynomial growth on the real axis.

© Абузярова Н.Ф. 2016.

Работа выполнена при поддержке гранта №01201456408 Минобрнауки РФ.

Поступила 2 июня 2015 г.

Н.Ф. АБУЗЯРОВА

у± = max{0, ±у}, z = х + \у. (1.1)

(см. [3], [4]). А именно, преобразование Фурье-Лапласа Т, действующее в сильном сопряженном пространстве (С™(а; Ь))' по правилу

Т(S)(z) = (S, e-üz), S Е (С™(а; Ь))',

есть линейный топологический изоморфизм пространств (С™(а; Ь))' и V(а; Ь) [5, теорема 7.3.1]. При этом между совокупностью {J} замкнутых подмодулей модуля V(а; Ь) и совокупностью {W} замкнутых инвариантых относительно дифференцирования подпространств пространства С™(а; Ь) имеет место взаимно однозначное соответствие по правилу: J <—> W тогда и только тогда, когда J = Т(W0), где замкнутое подпространство W0 С (С™(а; Ь))' состоит из всех распределений S Е (С™(а; Ь))', аннулирующих W. Задача спектрального синтеза для замкнутых инвариантых относительно дифференцирования подпространств W С С™ (а; Ь) была впервые рассмотрена в работе [6] (для случая произвольного интервала (а; Ь) С R). Эта задача двойственна задаче о (слабой) локализуемости подмодулей в V (а; Ь).

Напомним ряд понятий, характеризующих свойства подмодулей (см. [3], [4], [7], [8]). Для

подмодуля J С V(а; Ь) положим cj = inf cv, dj = sup dv. Множество [cj; dj] называется

tpej

индикаторным отрезком подмодуля J. Дивизор функции р eV(a; b) для всех А Е C определяется формулой

, , 10, если р(\) = 0,

Пр(Л) = <

I т, если А - нуль р кратности т,

а дивизор подмодуля J С V(а; Ь) - формулой nj(А) = min п1р(\).

>pej

Подмодуль J слабо локализуем, если он содержит все функции р Е V(а; Ъ), удовлетворяющие условиям: 1) nv(z) > nj(z), z Е C; 2) индикаторная диаграмма функции р содержится в множестве \[cj; dj]. В случае, если cj = а и dj = b, слабая локализуемость J означает, что этот подмодуль обильный.

Подмодуль J называется устойчивым в точке А Е C, если выполнение условий р Е J и пч>(\) > nj(X) влечет включение p/(z — X) Е J. Подмодуль J устойчив, если он устойчив в любой точке А Е C.

Ясно, что устойчивость подмодуля J является необходимым условием его слабой ло-кализуемости.

Из результатов работы [9, § 4] следует, что главный подмодуль в V(а; Ь) всегда устойчив. Это также нетрудно проверить непосредственно, используя определение устойчивости и описание топологии в V(а; Ь). В силу принципа двойственности [4, предложение 1] индикаторный отрезок главного подмодуля есть [cv; dv].

Для функции р Е V(а; Ь) обозначим через J(р) слабо локализуемый подмодуль с дивизором, равным дивизору nv функции р и индикаторным отрезком [cv; dv}. Иначе говоря, подмодуль J(р) состоит из всех функций гф Е V(а; Ь), делящихся на р и имеющих индикатор hf = hp.

Подмодули Jv и J(р) имеют один и тот же дивизор, равный nv, и один и тот же индикаторный отрезок [cv; dv}. Поэтому справедливо включение

Jv С J(р).

Равенство

Jv = J (Ф) (1.2)

эквивалентно слабой локализуемости главного подмодуля J^. Как показывает пример, построенный в работе [10], это равенство имеет место не всегда. Для выполнения равенства (1.2) имеются две возможности.

(I) Подмодуль J(р), а значит, и главный подмодуль Jv, содержит только функции вида рр, р Е C[z]. Иными словами, образующая р такова, что совокупность целых функций

минимального типа при порядке 1, представимых в виде Ф/р, Ф Е V(а; Ь), совпадает с множеством многочленов C[z].

(II) Множество J(р) \ [рр : р Е C[z]} не пусто, и для каждой функции Ф Е J(р) существует обобщенная последовательность многочленов ра такая, что рар ^ Ф в топологии пространства V(а; Ь).

Достаточное условие для реализации первой из указанных возможностей состоит в требовании обратимости функции р: функция р Е V(-<х>; называется обрати-

мой (см. [11]), если для любой такой же функции Ф выполнена импликация: из условия «Ф Е V(-ж;+ж), Ф/р - целая функция» следует, что Ф/р Е V(-ж;+ж), т.е. главный идеал Xv, порожденный этой функцией в алгебре V(-ж; <х>), замкнут. Действительно, нетрудно видеть, что если р Е V(а; Ь) обратима, то

J(ф) = Jv = [ptp : Р Е C[z]}. (1.3)

Оказывается, что обратимость порождающей функции не является необходимым условием для справедливости (1.3). Ниже, во втором параграфе, мы строим пример необратимой функции р Е V(а; Ь), для которой выполнены соотношения (1.3).

Переходя к рассмотрению случая (II), приведем упомянутый выше пример из работы [10]. Пусть (а; Ь) = (-2ж;2ж), положим

. . sinnz ТТ. . sinЛ г \

• где и{Z) = -^7T- v^Щ1 - . (ы)

Теорема 1.2 работы [10] утверждает (хотя и в двойственных терминах допустимости спектрального синтеза в слабом смысле), что главный подмодуль не является слабо локализуемым в V(-2^; 2ж).

В третьем параграфе настоящей работы выводятся некоторые необходимые условия слабой локализуемости главного подмодуля J^ в V(а; Ь) в случае, когда множество

J(р) \[рр, р Е C[z]}

не пусто. В том числе доказывается следующее утверждение, содержащее в себе, как частный случай, цитированный выше результат [10, теорема 1.2].

Теорема 3. Пусть образующая подмодуля J^ имеет вид

Ф

<Р = -, ш

где Ф = e%lzS Е V(a; b), S - функция типа синуса, 7 Е R, ш - целая функция минимального типа при порядке 1.

Если для порядков функции ш на лучах arg z = 0 и arg z = ж, определяемых равенствами

lnb If (г)| ЫЫ U(-г)|

р0 = lim sup---, рж = lim sup---, соответственно,

ln Т ln Т

выполнено одно из соотношений

р0 < 1/4 < 1/2 < рж или рж < 1/4 < 1/2 < р0, (1.5)

то подмодуль не является слабо локализуемым.

2. Пример необратимой функции, для которой выполнены

соотношения (1.3)

Пусть границы интервала а и b удовлетворяют условиям

а < —ж, ж < Ь.

Положим

в(г) ^ жгв(г)

где

. . ^ те

. этжг ^ %\пж^г тт Л

Ф) =-, эЛ?) = 8{у/г) =-, ^¿О = Д ( 1 + ,

ж г V 22К /

К=1

Хорошо известно, что для функции в имеют место оценки

с0е ^|1т

т рж\1тг1

IФ)| > , , , Ь — ЦУй, к е (2.2)

где с0 - абсолютная постоянная, й е (0;1/2) - произвольное число, та - положительное число, зависящее от й. Из (2.1) следует, что целая функция 51 допускает оценку сверху:

8ш(0/2)|

|в1(г)1< --, г = гегв, —ж < 9 <ж, г> 0. (2.3)

ж(1 + V

Другие вспомогательные оценки оформим в виде лемм.

Лемма 1. Пусть число й0 е (0; 1/2) столь мало, что ^^^ — 1 < 1/2 при ж|£| < й0. Тогда существует постоянная са0 > 0, такая, что

рЖу/\^\\ 81п(в/2)\

| З^)^ * 1+ -, С \ и( ^ ^ — ^ < 3 4} . (2.4)

е

Доказательство.

Прежде всего заметим, что для всех , удовлетворяющих неравенствам

й

щ <^ — ^<¿0, к е Z \{0}, (2.5)

|к|

выполняется оценка

I^ > ^. (2.6)

Из неравенств (2.2) и (2.6) стандартными методами выводится оценка

Сйое"\1тг\ ^ I I Г , ,, й0

| ( )| >

ге С \ и к — Ц < щ} , (2.7)

1 + N

1 1 kеz\{о}

где Са0 - положительная постоянная, зависящая от й0. Утверждение леммы, в свою очередь, следует из (2.7).

Лемма 2. При всех в е (—ж; ж) имеет место асимптотическое равенство

, ,-йч (1пг)2 г 01пг ,

1п з 0 (т егв ) = -Л—- + —— + о(1пг), г^ж. (2.8)

1п 8 1п4

Существуют число 5 > 0 и множество Е0 С (—ж;0) нулевой относительной меры, такие, что для всех х е (—ж;0) \ Е0 выполняется неравенство

1п |sо(х)|> 5(1п(|х| + 1))2 . (2.9)

Доказательство. Считающая функция нулей п(г) функции во удовлетворяет асимип-тотическому соотношению

1п г

п(г) = ---+ о(1пг), г ^ ж. (2.10)

1п 4

Поэтому, согласно теореме 1 работы [12], функция в 0 имеет сильный регулярный рост, и для нее имеет место асимптотическое соотношение (2.8).

В силу (2.10) для функции 80 выполнены условия теоремы 3.6.1 [13]. Эта теорема утверждает, что

тт 15 о(г)1

, ( м ^ 1, (2.11) тах | в0(г)|

когда г ^ +ж, оставаясь вне некоторого множества нулевой относительной меры Е0.

Из (2.11) получаем, что для некоторого числа 8 > 0 неравенство (2.9) выполняется всюду на вещественной полуоси (-ж; 0), за исключением множества Е0.

Теорема 1. Функция р содержится в V(а;Ь) и не является обратимой. Подмодули ^ и J( р) удовлетворяют соотношениям (1.3).

Доказательство.

Рассмотрим функцию р\ = з/ 81. Для этой функция на вещественой оси справделивы следующие оценки

ж < 0, (2.12)

ж> 0. (2.13)

Первая из этих оценок является прямым следствием оценок (2.1) и (2.4), а вторая, (2.13), выводится из них же стандартными приемами с использованием принципа максимума для аналитических функций. Из оценок (2.12) и (2.13), в свою очередь, следует, что функция р1 ограничена на вещественной оси. Учитывая, что она имеет тип к при порядке 1, заключаем, что

Р1 ЕТ (а; Ь). (2.14)

Покажем, что функция р2 = (кгз)/з0 тоже содержится в V(а;Ь). Эта функция, как и функция р1, имеет тип - при порядке 1.

Из рассуждений, приведенных в доказательстве леммы 2, следует, что для любого £ Е (0; 1/2) найдется 8 > 0, такое, что вне объединения колец

4 = {(1 -Ф3 < N < (1 + Ф3}, з = 1,2,...,

выполняется неравенство

1п 150(г)|> ¿(Ь(И + 1))2 . (2.15)

Поэтому для всех вещественных

те

жЕ и(-(1 + Ф3;-(1 - Ф3)

3=1

будет выполняться неравенство

1п 15 0(ж)| > ¿(1п(|ж| + 1))2 . (2.16)

Для оценки функции р2 в интервалах

(-(1 + £)43;-(1 - £)43), 3Е Н, (2.17)

1Р1(ж)1 <

0

к сЛое

1Р1(ж)1 <

гу/Ы'

съе

К СЛо

заметим, что в силу (2.15) на границе кольца А^ имеет место неравенство

эАпжг

ln IMz)l< ln

+ 2ln (2 + e) — 8 (ln ((1 - e)4 + '

1 — г2/№

Так как правой частью последнего неравенства является функция, гармоническая в кольце А^, это неравенство остается справедливым для всех г е А^. Следовательно, найдутся положительные числа 8 > 8 и 8 > 1, зависящие от 8 и е и не зависящие от ], такие, что в интервалах (2.17) верна оценка

^МК ¿(П^, х € (~(1+е)4; —(1 -г)4>), N.

Отсюда, с учетом (2.16), получаем, что на всей вещественной оси справедливо неравенство

ШхМ < --—8-2. (2.18)

Применяя теорему Пэли-Винера-Шварца [5, теорема 7.3.1], заключаем, что

Р2 еТ(С0Г(а;Ь)) С V(а;Ъ). (2.19)

Из включений (2.14) и (2.19) следует, что функция р принадлежит пространству V(а; Ь).

Для доказательства необратимости функции р нам понадобится аналитический критерий Л.Эренпрайса [14, теорема I]:

функция р е V(а; Ь) обратима тогда и только тогда, когда существует положительное число а со свойством: для каждого х е К найдется у е К такое, что

| х — | < 1п (1 + | х| ) ,

Р(У) > (а +

В силу (2.12) и (2.18) найдется положительное число ci, такое, что функция p на всем луче (-го;0) удовлетворяет оценке

ln lp(x)l < —¿(ln(|x| + 1))2 + С\.

Сопоставляя эту оценку и критерий обратимости Л. Эренпрайса, заключаем, что функция p не обратима.

Докажем последнее из сформулированных для функции p утверждений - равенство

J(p) = {pp : ре C[z]}. (2.20)

Из оценок (2.2), (2.4) и соотношения (2.8) следует, что для любого положительного в0 найдется постоянная а0 = ($о), такая, что вне углов {z : | argzl < вй}, {z : ln — arg zl < 9q} функция p допускает оценку снизу:

lp(z)l > ls(z)l(— > - а°еЖ11тZl 2--. (2.21)

|p( )l>l ( ^M^Ol 1Si(z)l) > exp ((ln(|z| + 1))2 /ln8) 1 ;

Пусть Ф - произвольная функция из подмодуля J( p). При некоторых Cq > 0 и к е N

имеем

№(z)l<C0(1 + |z|)V|Imzl, ze C. (2.22)

Из этого соотношения и оценки (2.21), используя принцип Фрагмена-Линделефа, нетрудно вывести, что для функции ш = Ф/p во всей комплексной плоскости верна оценка

lu(z)l < Cefcln(|2:|+1)+(ln(|2:|+1))2, (2.23)

где C > 0 - некоторая постоянная. В частности, эта оценка означает, что ш - целая функция нулевого порядка.

Оценим функцию ш на луче (3(0; +ж). Для этого заметим, что, в силу (2.2), (2.3), (2.8), всюду в полуполосе {г = х + гу : х > 3(0, \у1 < ((0}, но вне кружков - к\ < 3(0, к Е Н, для некоторой постоянной 0 > 0 будет выполняться оценка

1 р^^Ц ) > Т+Щ ■ <2-24'

Учитывая оценку (2.22) для функции Ф, из (2.24) получим, что при всех положительных х справедливо неравенство

| ш(х)I < (С0/Ъ0)(1 + х)к+1. (2.25)

Из оценок (2.23) и (2.25) и принципа Фрагмена-Линделефа следует, что ш - многочлен. Так как данный факт имеет место для любой целой функции ш вида Ф/р, Ф Е 3(р), заключаем, что выполняется требуемое соотношение для подмодулей (2.20).

3. Необходимые условия слабой локллизуЕмости главного подмодуля

Обозначим через Т0(а;Ь) С V(а;Ь) образ пространства финитных бесконечно дифференцируемых функций С0те(а; Ь) С (Сте(а; Ь))' при преобразовании Т.

Рассмотрим функцию р Е V(а; Ь), для которой подмодуль ^ содержит элементы вида

Ф = шр, ш - целая функция, отличная от многочлена. (3.1)

В этом параграфе выводятся некоторые условия, необходимые для слабой локализуемости главного подмодуля ^

Теорема 2. Главный подмодуль Jip содержит функции Ф вида (3.1) тогда и только тогда, когда р Е То (а; Ь).

Доказательство.

1) Необходимость. Докажем эквивалентную импликацию: условие

рЕ'Ро(а; Ь) (3.2)

влечет равенство

^ = {рр : РЕ С[г]}. (3.3)

Согласно уже упоминавшейся теореме Пэли-Винера-Шварца [5, теорема 7.3.1] из (3.2) следует существование натурального числа к и вещественной последовательности

хп, п =1, 2,..., \хп\ ^ ж,

для которых

\р(хп)1 > \хп\-ко, п =1, 2,... (3.4)

С другой стороны, включение р Е V(а; Ь) означает, что для некоторых С > 0 и то Е N и{0} всюду в С имеет место оценка

\рШ < С(1 + ИГ0еЬтоу+-а™оу-, (3.5)

где у± = тах{0, ±у}, х = х + \у, а < ато < Ьто < Ь. Из оценок (3.4) и (3.5) следует, что для каждого натурального замыкание множества (возможно, пустого)

Р3 р|{рр : рЕ СИ} (3.6)

в банаховом пространстве Pj содержится в множестве (возможно, пустом)

Ру Р|{рр : р Е С[г], (1е^р < ] + ко - т0},

которое есть, в свою очередь, подмножество множества (3.6). Следовательно, множество (3.6) замкнуто для каждого ] Е N. Согласно критерию замкнутости в пространстве типа (ЬN*) [1, теорема 1] множество {рр : р Е С[г]} замкнуто в V(а; Ь), и значит, выполняется (3.3).

2) Достаточность.

Пусть р = Т(s), s Е С0°(а; b), [а0; Ь0] - замыкание выпуклой оболочки носителя функции s, [ао; bo] Ш (а; Ь), и пусть p Е Pkl.

В силу теоремы Пэли-Винера-Шварца существуют положительные постоянные Сп, п = 1, 2,... , такие, что верны оценки

[p(z)l< , С" eboy+-aoy-, z = x + гУЕ C, п Е N. (3.7)

^ л < (1 + lzl)n У v у

Положим

f(r) = sup(nln (1 + г) — ln Сп),

neN

и рассмотрим субгармоническую в C функцию v(z) = /(|^|). Согласно теореме 5 из работы [15] существует целая функция ш, такая, что вне множества кружков с конечной суммой радиусов для некоторого натурального числа т0 верно неравенство

|ln lu(z)l — v(z)l < mln(1 + lz\),

в частности, ш Е C[z]. Следовательно, Ф = шр - целая функция вида (3.1), принадлежащая подмодулю J( р).

Покажем, что Ф Е Jv, иными словами, что функцию Ф можно аппроксимировать в топологии пространства V (а; Ь) функциями вида рр, где р - многочлен. Возможность такой аппроксимации вытекает из следующего утверждения.

Лемма 3. Существует последовательность многочленов pj, сходящаяся к функции ш на вещественой оси в весовой норме || ■ ||v, определяемой по формуле

WfWv = sup , (3.8)

хек V(x)

где V(x) = С\(1 + |x|)m°+3ev(x\ постоянная C1 - из неравенств (3.7). Доказательство леммы 3.

В монографии [16, гл. VI] в качестве веса V рассмотрена четная весовая функция W, заданная на вещественной оси и удовлетворяющая условиям

1) W(x) > 1, x Е R,

для каждого натурального п отношение xn/W(x) стремится к нулю при x ^ lnW(x) выпуклая функция аргумента t = ln |x|;

2) для каждого 8 > 1 существует постоянная Cs > 0, такая, что

x2W(x) <Cs (8x), x Е R.

Из теоремы де Бранжа [16, VI.H.1] и теорем, доказанных П. Кусисом в этой же работе [16, VI.H.2], следует, что для веса W, удовлетворяющего условиям 1) и 2), каждая целая функция ш минимального типа при порядке 1, растущая на вещественной оси медленнее, чем W:

ш( x)

0, x

W( x)

II II Щх)|

аппроксимируется многочленами в норме ||ш||^ = sup ^(х).

хек (х)

Функция V(x) = С\(1 + |x|)m°+1 ev(x) удовлетворяет условиям 1) и, вообще говоря, не удовлетворяет условию 2). Однако, прослеживая доказательство П. Кусиса (стр. 226-229 в [16, VI.H.2]), видим, что аппроксимация функции ш многочленами на вещественной оси возможна в норме || ■ HV, V = (1 + |x|)2V. Лемма доказана.

Из определения функции V следует, что найдется постоянная С > 0, такая, что на всей вещественной оси

P (x)tp(x)\ < С (1 + \x\)m0+3, 3 = 1, 2,... Используя принцип Фрагмена-Линделефа, отсюда выводим, что во всей комплексной плоскости

\р3 (z)p(z)\ < Со(1 + \z\)m°+3eboy+-aoy-, j = 1, 2,... Из этих оценок, учитывая, что пространство V(а;Ь) относится к классу локально-выпуклых пространств типа (LN*), и используя свойства таких пространств, установленные в работе [1], выводим, что найдется подпоследовательность этой последовательности, сходящаяся в V (а; Ь) к функции Ф.

Замечание 1. Функция р1 = (sin^z) / (^/zsinK^fz), рассмотренная в §1, не принадлежит классу Vq(а; Ъ), а множество

J(pi) \{pp : C[z]}

1 sin Жл/z гр

содержит функцию —и, следовательно, не пусто. Так что, в отличие от главного подмодуля Jv, подмодуль J( p) может содержать функции шр, ш Е C[z], и в том случае, когда порождающая функция р не принадлежит классу Vo(a;b). Тем не менее, из доказанной теоремы следует, что главный подмодуль J^ с образующей р Е Vo (а; Ь) может быть слабо локализуемым только в случае, если выполнены соотношения (1.3).

Доказательство теоремы 3.

Сначала докажем одно вспомогательное утверждение.

Лемма 4. В условиях сформулированной теоремы существует положительное число d, такое, что при каждом натуральном п функция р может быть представлена в виде произведения двух целых функций р1,п и р2,п, удовлетворяющих условию: при всех z, лежащих вне полосы \Imz\ < 3d, справедливы неравенства

|ln\phn(z)\- 2-nln\p(z)\ \ < ln (1 + \z\) + aq, (3.9)

где A - положительная постоянная, зависящая только от d, a, b.

Доказательство леммы 4.

Так как нулевое множество функции р является частью нулевого множества функции типа синуса, оно содержится в некоторой горизонтальной полосе \Imz\ < d/2 (см., например, [2, гл. III, лек. 22]).

Воспользуемся следующей теоремой из работы [17, теорема 2]: Пусть f - целая функция, все нули которой лежат в полосе \Imz\ < d/2, и существует, целая функция F, делящаяся на функцию f и удовлетворяющая условиям

ln\F (z)\<H (z), F (0) = 1, (3.10)

где функция H липшицева:

\H(z') -H(z'')\ < a\z' - z''\, z', z" Е C.

Тогда f представляется в виде произведения двух целых функций, f1 и f2, причем для z, \Im z\ > 3d, и любого р > 1 выполняется соотношение

\Ь \Ш\- ln \ f2(z)\\ < С (H(z) - ln\F(z)\) + Ci + ln (1 + \z\) + С2 + С3ep, (3.11)

где Cj - некоторые постоянные, зависящие от a, d, H(0).

Положим f = р, F = Ф, H(гегв) = кФ(в)г, h$ - индикатор функции Ф, a = :maXj \h&

р = 1. Учитывая, что в силу свойств функций типа синуса [2] при \Imz\ > 3d будет

\H(z) - ln\F(z)\\ = \h^(argz)\z\ - ln \Ф(г)\\ < C4,

где постоянная С4 зависит только от функции Ф, получаем представление функции р в виде произведения двух целых функций, <рц и р2д, причем

\Ь. Ipi,i(z)I - ln I<P2,i(z)II < ln (1 + lz\) + Aq, |Imzl > 3d,

постоянная Aq зависит только от функции Ф. Из (3.12) и равенства

ln l<pl = ln lipi,il + ln |i^2,l|,

выводим оценку

(3.12)

ln \<P1,1(z)\ - 1ln \<fi(z)\

< 2ln(1 + \z\) + A, limzl> 3d.

(3.13)

Применяя теперь цитированную выше теорему Р.С. Юлмухаметова к функции f = р1,1 с теми же F, Н, а и р, что и выше, получим представление

^1,1 = <Pl,2<f2,2,

в котором целая функция р1,2 удовлетворяет оценке

ln \^1,2(Z)\ - 1ln \<P1,1(Z)\

< 1ln(1 + lzl) + A , lim z|> 3d.

Из этой оценки и (3.13) следует, что

ln l^1,2(^)l - 22ln\p(z)i

< ( 1 + 212 ) (\n(1 + \z\) + Aq) , |Imz\ > 3d.

Продолжая этот процесс, через п шагов получим представление функции р в виде произведения двух целых функций и р2п, причем для всех г, лежащих вне полосы |1т г1 < 3й, будет выполняться требуемая оценка (3.9).

Докажем, что в условиях теоремы функция Ф не может принадлежать главному подмодулю Предположим противное: пусть существует обобщенная последовательность многочленов ра, такая, что рар сходится к Ф в пространстве V(а;Ь). Фиксируем натуральное число по, для которого функция лежит в V(а;Ь). Используя свойства пространства V (а; Ь), нетрудно установить существование счетной подпоследовательности Рак<Р<Р1,по, к = 1, 2,..., сходящейся к функции Фр\п0 в одной из норм || • ||то (см. (1.1)). В частности, эта подпоследовательность ограничена по указанной норме: для некоторой постоянной С > 0 и всех натуральных к имеем

[рак(г)(р(г)(р1,,поШ < С(1 + 1г1)то ехр(У+ - «тоУ-), у = 1тг, г е С.

Из этих неравенств, леммы 4 и свойств функций типа синуса, получим, что на прямой 1т г = у0, Iу01 > 3й, справедливы оценки

\рак (z)\<C(1 + \z\)m0+1 \u(z)\

1+2-n0

(3.14)

где С - положительная постоянная, зависящая только от й.

Предположим, что выполнено первое из соотношений (1.5), и оценим |рак (х)1 на полупрямой х = х + %у0, х > 0, у0 > 3й.

Согласно замечанию после теоремы 3 в [2, §14.2] и с учетом того, что функция ш имеет минимальный тип при порядке 1, для всех х е К, у0 > 0 можем написать

ln \ш(х + гуо) \ = — ж

ln \u(t)\ (t - х)2 + yQ2

dt + ^ ln

3 = 1

х + i Уо - Xj

х + г уо - Xj

где {Х^} - множество нулей функции ш, принадлежащих верхней полуплоскости.

+те

Оценим / 2 при положительных х и у0. Имеем

1п^ = Г0 1п

-те ^ - х)2 + (г - х)2 + у0

г2ж г

1п \ш(г)\ 1п \ш(г)\ л т т т .01.

IЫ< ы < +ж. (3.16)

Для первого слагаемого, 1 справедлива оценка

t 2 + у0

конечность интеграла следует из замечания в [2, §14.2]. Далее, для любого положительного числа е < 1/8 - р0//2 найдутся положительные постоянные Ь£, с£ такие, что при всех х > 0 будет

1п |ш(х)| < Ъ£хро+е + с£. Поэтому слагаемые 12 и 13 можно оценить следующим образом:

г2х л I _

к < (2ро+£Ъ£хро+£ + с£) и-^-2 < - (2ро+£Ъ£хро+£ + Се) , (3.17)

Л (1 - х)2 + Уё Уо

( [1ро+£ \ ( Г\

^ < (Ь£ + ъ)^ ^ + У-) < (Ь£ + С£)[41 ё-р— + У-2) . (3.18)

Из соотношений (3.14)-(3.18) следует, что на полупрямой г = х + гу0, х > 0, у0 > 3( верны оценки

\рак Ш < С'(1 + \г\)то+1 ехр(С''\г\ро+£), к = 1, 2,...,

где С , С - положительные постоянные, зависящие от и 0 и не зависящие от х и .

Из этих оценок, используя принцип Фрагмена-Линделефа, нетрудно вывести, что во всей комплексной плоскости имеют место неравенства

\Рак Ш < С ехр(\г\ро+2£), к =1, 2,...,

причем постоянная С > 0 зависит от и не зависит от к и . Отсюда, в свою очередь, следует, что функция ш (равная пределу последовательность рак) должна иметь во всей плоскости порядок, меньший, чем 1/4, чего не может быть в силу условий (1.5).

Замечание 2. Требование тах(р0,рж) > 1/2 является необходимым для того, чтобы могло иметь место строгое неравенство т!п(р0,рж) < тах(р0,рж), в силу теоремы Вимана (см., например, [18, гл. 1, §18, теорема 30]).

Замечание 3. Для функции V(-г), где V(г) - функция из определения р0 в (1.4), справедливы оба соотношения, (2.8) и (2.9), леммы 2. Используя этот факт и лемму 1, нетрудно убедиться в том, что для функции р0 из работы [10], цитированной во введении, выполнены условия доказанной теоремы. А именно, р0 = , где ш = UV, при этом порядки р0 и рж функции ш равны, соответственно, 0 и 1/2. Применение теоремы 3 дает отличное от приведенного в [10] доказательство отсутствия свойства слабой локализуемости у главного подмодуля ^ в любом модуле V(а;Ь), а < -п, п < Ь.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Себастьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах ЛВП, важных в приложениях// Математика. Сб. переводов инстранных статей. 1957. 1:1. С. 60-77.

2. B.Y. Levin (in collaboration with Yu. Lyubarskii, M. Sodin, V. Tkachenko). Lectures on entire functions (Rev. Edition). AMS. Providence. Rhode Island, 1996. 254 p.

3. Абузярова Н.Ф. Спектральный синтез в пространстве Шварца бесконечно дифференцируемых функций // Доклады РАН. 2014. Т. 457. № 5. С. 510-513.

4. Абузярова Н.Ф. Замкнутые подмодули в модуле целых функций экспоненциального типа и полиномиального роста на вещественной оси // Уфимский матем. журнал. 2014. Т. 6, № 4. С. 3-18.

5. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. 1. Теория распределений и анализ Фурье. М.: Мир, 1986. 462 с.

6. A. Aleman, B. Korenblum Derivation-Invariant Subspaces of C^ // Computation Methods and Function Theory. 2008. V. 8. № 2. P. 493-512.

7. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. I// Известия АН СССР, серия матем. 1979. Т. 43. № 1. С. 44-66.

8. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сборник. 1972. Т. 87 (129). № 4. С. 459-489.

9. Красичков-Терновский И.Ф. Локальное описание замкнутых идеалов и подмодулей аналитических функций одной переменной. II// Известия АН СССР, серия матем. 1979. Т. 43. № 2. С. 309-341.

10. A. Aleman, A. Baranov, Yu. Belov Subspaces of С^ invariant under the differentiation // Journal of Functional Analysis. 2015. V. 268. P. 2421-2439.

11. C.A. Berenstein, B.A. Taylor A new look at interpolation theory for entire functions of one variable // Advances in Mathematics. 1980. V. 33. P. 109-143.

12. Заболоцкий Н.В. Сильно регулярный рост целых функций нулевого порядка // Матем. заметки. 1998. Т. 63. Вып. 2. С. 196-208.

13. R.P. Boas, Jr. Entire functions. Acad. Press. Publ. Inc. New-York. 1954. 276 pp.

14. L. Ehrenpreis Solution of some problems of division, IV // Amer. Journal of Math. 1960. V. 57. P. 522-588.

15. Юлмухаметов Р.С. Аппроксимация субгармонических функций // Anal. Math. 1985. V. 11. P. 257-282.

16. P. Koosis The logarithmic integral I. Cambridge Univ. Press. 1998. 606 pp.

17. Юлмухаметов Р.С. Разложение целых функций на произведение двух «почти равных» функций // Сиб. матем. журнал. 1997. Т.38. № 2. С. 463-473.

18. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ. 1956. 632 с.

Наталья Фаирбаховна Абузярова, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]