Теоремы характеризации и обращения для обобщённого преобразования Радона Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.444

А. Д. Агальцов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Теоремы характеризации и обращения для обобщённого преобразования Радона

Рассматриваются вопросы, связанные с обобщённым преобразованием Радона мер по гиперповерхностям уровня С.Ей'-функций. Найдена теорема характеризации для обобщённого преобразования Радона неотрицательных мер с носителями в положительном ортанте М+. Получена явная формула обращения для этого преобразования в случае абсолютно непрерывных мер.

Ключевые слова: обобщённое преобразование Радона, теорема характеризации, формула обращения, эффект замещения производственных факторов на микроуровне.

1. Введение

При обработке экономической статистики возникает проблема учёта взаимного замещения производственных факторов. При производстве некоторых товаров могут использоваться ресурсы, способные заменять друг друга в производственном процессе. В работе А. А. Шананина [1] была предложена модель производства (обобщённая модель чистой отрасли), в которой учитывается указанный эффект, функция прибыли отрасли в этой модели тесно связана с обобщённым преобразованием Радона мер. Важность изучения свойств функции прибыли заключается в том, что наряду с производственной функцией она является одним из основных инструментов макроописания производственных систем.

Определим на множестве неотрицательных вещественных чисел операцию

а Фа Ь = (аа + Ьа) - , 0 < а < 1.

При а = 1 это обычное сложение. На основании операции Фа определим аналог скалярного произведения для двух неотрицательных векторов р,х € М+ правилом

Р &а X = Р\Х\ фа Р2Х2 Фа . . . Фа Рпхп.

В экономике отображение х ^ р 0а х называется С^б'-функцией. В настоящей работе исследуется обобщённое преобразование Радона борелевских мер у со знаком с носителем в положительном ортанте М+, которое по определению есть

д Г

КаЫ(р,Р о) = о^ J Ц-(Лх), (1)

р© а х^р 0

где р € М+, р = 0 Ро > 0 и производная понимается в смысле теории распределений. Наряду с преобразованием мер (1) в работе исследуется преобразование

Па[р](р,ро) = 1'(ро - Р 0а х)+^(йх), (2)

где обозначено а+ = тах(0, а). Это преобразование представляет собой функцию прибыли в обобщённой модели чистой отрасли [1]. Преобразования (1) и (2) тесно связаны. Результаты, относящиеся к одному из этих преобразований, легко переносятся на другое.

Для преобразований (1), (2) в работе получены теоремы обращения и характеризации. Перед тем как переходить к этим вопросам, покажем, что в случае абсолютно непрерывных

мер с непрерывными плотностями обобщённое преобразование Радона ~Я.а[ц](р,Ро) есть не что иное, как интеграл от плотности по гиперповерхности уровня С-Еб'-функции.

Предложение 1.1. Пусть знакопеременная мера, ц на, М+ абсолют,но непрерывна с непрерывной плотностью а(х). Пусть 0,а(р) — дифференциальная форма на М++ удовлетворяющая равенству

йх (р &а х) Л ^а(р) = йх1 Л ... Л йхп, Р = 0. Тогда, для, обобщённого преобразования Радона, справедлива формула

Ка[ц]('Р,Ро) = ! а(х) Па(р), Р = 0, Ро > 0.

Р&аХ=Р0

Доказательство. Пользуясь формулой коплощади [2], запишем

Р0

! а(х) йх = J ! а(х)0.а(Р) йв.

Р&аХ^ро 0 рОаХ = в

Вспоминая определение обобщённого преобразования Радона, получим Ъа[ц](Р,Ро) = I а(х) йх = I а(х)Па(Р).

Предложение доказано.

2. Характеризация

Перед тем как формулировать теоремы характеризации, дадим несколько определений, которые будут фигурировать в формулировках теорем и в их доказательствах.

Определение 2.1 [3]. Распределение Т € Т>'(0, те) называется неотрицательным (Т ^ 0), если для любой основной функции р € Т>(0, те) р ^ 0 следует, что (Т, р) ^ 0.

Определение 2.2 [4]. Пусть Х\ = (^1, и Х2 = (&2, — Два измеримых пространства, ^ — измеримое отображение, ц — мера на Х^. Тогда мера и на Х2, определяемая для всех ¥2 € Т2 соотношением и(¥-2) = ц(/-1(¥2)), называется прямым образом меры ц при отображении f. При этом мера ц называется обратным образом меры V при отображении /.

Определение 2.3 [5]. Функция ¥ € СМ+, М) называется вполне монотонной, если для любого мультииндекса а € имеет место неравенство

-цы^т > 0

к J даР

для всех Р € Ш М+.

Приведём здесь также две теоремы, на которых базируется доказательство теорем характеризации.

Теорема 2.1 (о неотрицательных распределениях [3]). Пусть распределение Т € Т>'(0, те) неотрицательно: Т ^ 0. Тогда существует и единственна неотрицательная регулярная борелевская мера и на (0, те), конечная на компактах и такая, что для всех р € Т>(0, те) имеет место равенство

ж

(Т,р) = ! р(т) и(йт).

о

Теорема 2.2 (Бернштейн С.Н., Gilbert V. [5]). Пусть функция F(р): R+ ^ R

ограничена на R+ и вполне монотонна на int R+. Тогда найдётся такая неотрицательная конечная борелевская мера, ß с носителем в R что для всехр £ R+ справедливо равенство

f (P)=i

R+

Наконец, перейдём к теоремам характеризации. Следующая теорема характеризует обобщённые преобразования Радона конечных неотрицательных мер с носителями в R+. Теорема 2.3. Распределение ж(р, ■) € Т>'(0, ж), р € R™; р = 0 представимо в виде

&(р,Ро) = Ка[ц](р,Ро),

где ц — неотрицательная конечная борелевская м,ера, с носителем, в R+; абсолют,но непрерывная, в нуле (т.е. ц{0} = 0), тогда и только тогда, когда

1) ж(р, ■) ^ 0,

2) Хж(Хр, Хро) = ж(р,р0) для всех Х> 0,

3) функция

оо

С 11

р (р) = е-т ж(р ? ,...,рЦ ;т)(1т

ограничена на R+, вполне монотон на на int R+ и lim F (Хр) = 0 для всех р = 0.

Доказательство. Необходим,ость. Сначала получим формулу для действия распределения ж(р, ро) на основные функции р £ Т>(0, Покажем, что

(&(р, т),р(т)) = J р(р Qax)ß(dx). (3)

R+

В самом деле, с учётом определения производной в смысле теории распределений имеем (ж(р, т),р(т)) = — / I = — М в(т— р0ах)ц((х),^^\ =

Р&ах^т ' Ж+ '

о о

(т — р 0« х) ц((1х) ^^Т) (1т = — [ [ в(т — р&а х) ^^Т) (,Т ц((1х) =

0 R+ R+ 0

дф) дт

dr ß(dx) = J <р(р Qa x)ß(dx),

R+ pOaX R+

где ()(■) — функция Хевисайда. Свойство ж(р, ■) ^ 0 немедленно следует из формулы (3). Заметим, что распределение &(р,ро) можно доопределить по непрерывности на функциях ф € Со(0, ж) П С[0, ж) с компактным носителем на [0, ж). Отправляясь от случая, когда ж(р, ро) является непрерывной функцией ро, подкорректируем формулу (3):

(ж(р, т),ф(т)) =ц{0}ф(0) + ! ф(р 0ах)ц((х). (4)

R+

0

С учётом требования абсолютной непрерывности меры ц в нуле добавочное слагаемое исчезает. Поэтому формула (3) верна и для функций класса Сж(0, те) П С[0, те) с компактным носителем на [0, те).

Для любого Л > 0 имеет место очевидное равенство

/ ц(йх)= I ц(йх).

(Хр)еаХ^\ро рОаХ^ро

Поэтому ж(р, Ро) является положительно однородным распределением степени —1 как производная от функции, положительно однородной степени нуль. В самом деле, для любой функции р € Т>(0, те) имеем

(ж(^ Лт),р(т)) = Л (&(ЛР, т) ^Л)) =

=— Лп I ц(йх),р1 (Л)/=— Л*\ ]

\ = -j Q) \ =

J ß{dx),p'(t)J = (т),Р(т)^ .

Свойство Хж(Хр, Хро) = ж(р,р0) доказано.

Наконец, пользуясь формулой (3) и конечностью меры ß, получаем, что

F (р) = (ai(p? ;т), е-т = J е-Р1Х"---РпХ" ß(dx).

R+

Отсюда следует ограниченность, вполне монотонность функции F (р) и свойство lim F(Хр) = ß{0} = 0. Необходимость доказана.

А^+те

Достаточность. Доказательство достаточности проведём в три шага. Шаг 1. Из условия ж(р, ■) ^ 0 по теореме 2.1 получаем, что для всех р £ R+, р = 0 существует и единственна неотрицательная борелевская мера ßp с носителем в (0, те), конечная на компактах в (0, те) и такая, что для любой функции р £ Т>(0, те) имеет место равенство

те

(ж(р, т),р(т)) = J p(T)fip(dT).

Воспользуемся положительной однородностью распределения ж(р, Ро) и вычислим при Л > 0

(ж(^ т),р(т)) = ^Л® Лт) ,^Л'Г) ) =

=(Л^^ Лт) ^ (Лт))=(^(р, т),р(лт)).

Пусть теперь Хп(т) € Т>(0, те) — неубывающая последовательность основных функций такая, что Хп(т) = 1 при т € [^,п] и носитель Хп содержится в [^, 2п]. Определим рп(т) = е-т Хп(т)- Тогда по теореме Лебега о монотонной сходимости функция т ^ е-т интегрируема по мере цр и

те

(ж(р, т), <Рп(т)) = j <Рп(т) ßp(dT) ^ j е-т" ßp(dT) = F (Хр%,..., Хр™)

о

о

о

Сделаем в интеграле замену переменных s = та. Тогда

те

F (Хра1,...,Храп ) = j e-Xs (fip)*(ds), о

где (fip)* есть прямой образ меры при отображении т ^ та.

Шаг 2. Из ограниченности функции F (р) на R+ и вполне монотонности на int R+ по

теореме 2.2 существует неотрицательная, конечная борелевская мера ß с носителем в R+, для которой

F(р) = j e-Pl*l-...-Pnxn ß(dx).

R"

Определим борелевскую меру v на R+ как обратный образ меры ß при отображении (xi,... ,xn) ^ (xf,..., x^)- Мера v конечна, так как конечна мера ß. По формуле замены переменных в интеграле Лебега получим

R"

Распишем это как

F(р) = v{0} + J е-Р1Хаv(dx).

Выберем р = Xq, q = 0 и устремим Х ^ +те. Пользуясь теоремой Лебега о монотонной

lim F( Х ) = 0 {0} = 0

А^+те

непрерывна в нуле. Функция

р0 ^ J v (dx)

а х^ро

монотонно неубывает и ограничена. Обозначим через vp меру Лебега-Стилтьеса, порождаемую этой функцией на [0, те), и определим распределение ж0(р, р0) = Ra[v\(p,ро)- Тогда для любой непрерывной и ограниченной функции р на [0, те) имеет место равенство

те

Ыp, т),р(т)) = J p(T)i'p(dT).

Возьмём р(т) = е т". Из формул (3), (5) следует, что

(жо(р, г), е~та) = ! е-(Р1Х1)а-...-(РпХп)а и((х) = Р (р«,..., рап).

R™

Из необходимости следует, что &о(р, Ро) есть положительно однородное распределение степени — 1. Действуя, как в шаге 1 доказательства достаточности, получаем, что

F (Хр?,...,Хр%) = <жо (X а р, т), е- ) =

те

= <Мр, г), е-Хта) = | e-Xl~a up(dr).

R" \{0|

о

о

Делая замену переменных = та и обозначая через (Рр) * прямой образ меры Рр при таком отображении, получим, что

^ (\р'?,...,\р%) = I е-Х* (Рр)*Щ

Из конечности меры Рр следует конечность меры (Рр)*. Шаг 3. На шагах 1 и 2 было получено, что при Л > 0

те те

I е-Хз ({1Р)*Щ = ^ (Хр^, ...,\р1) = I е-Хз (1>р)* Щ. о о

Перейдём к пределу при Л ^ +0. Используя теорему Лебега о монотонной сходимости, получим, что мера (рр)* конечна и равенство

те те

I е-Хз (рг)*Щ = I е-Хз (Рр)*((1,з)

справедливо при Л ^ 0. Отсюда следует совпадение мер (рр)* и (Рр)*. Поэтому и меры (лр и Рр, задающие распределения ж(р,р0) и жо(р,ро), равны. Таким образом,

&(р,ро) = &о(р,Ро) = Яа[и](р,ро).

Теорема полностью доказана.

Мы применим теорему 2.3 для доказательства теоремы характеризации для преобразования Па[р](р,ро)■ Следующая теорема характеризует преобразование Па[р](р,ро) в случае конечных неотрицательных абсолютно непрерывных в нуле мер с носителем в М+. Напомним, что в обобщённой модели чистой отрасли [1] преобразование Па[ц\(р,ро) имеет смысл функции прибыли. Мера р при этом имеет смысл распределения производственных мощностей по технологиям. В контексте этой модели требование абсолютной непрерывности меры р в нуле означает отсутствие «рога изобилия» или возможности получать прибыль, не затрачивая никаких ресурсов. Поэтому требование 0} = 0 не является ограничительным с точки зрения экономических приложений. Перед тем как сформулировать теорему, докажем вспомогательную лемму, которая будет неоднократно использоваться в дальнейшем.

Определение 2.4 [6]. Пусть р — знакопеременная мера (заряд) на М+ и пусть р = — р- — разложение Жордана заряда у. Тогда мера = + р- называется полной вариацией заряда р.

Лемма 2.1. Пусть р — знакопеременная борелевская мера на М+; для которой полная вариация конечна, на компактах. Тогда, при ро > 0 Р € \ {0} функция П[р](р,ро) дифференцируема по ро и справедливо равенство

д Па[р](р,ро)

дро У

р© а

р(йх).

Доказательство леммы. Обозначим С(р,ро) = {х € М+ | р &а х ^ ро}. Пусть А > 0.

Распишем приращение

Па[р](р,ро + А) — Па[р](р,ро) = = ! (ро +А — р &а X) р(йх) — J (ро — Р &а X) р(йх) =

С(р,ро+А) С(р,ро)

= А J р(йх) + J (ро — р &а X) р(йх).

С(р,ро+А) С(р,ро+А)\С(р,ро)

о

о

о

Заметим, что

G(p,po + А) \G(p,po) = {x е R+ | 0 <р Qa x - ро < А}

Поэтому справедлива оценка

J (Р0 - Р &a x) ß(dx)

p,po+A)\G(p,po)

< J Ipo - P Qaxllßl(dx) < А J Ißl(dx) = о(А), А ^ +0,

<

С(р,ро+Д)\С(р,ро) С(р,ро+Д)\С(р,ро)

так как Щ {С(р,р0 + А) \ С(р,р0)} ^ 0 при А ^ +0. Поэтому можно записать: 1 [Па[ц](р, ро + А) — Па[ц](р, ро)] =

С(р,ро+А)

Снова пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла Лебега, получаем

А [ПаЫ(р,Ро + А) - na[ß](p,ро)] = j ß(dx) + о(1), А ^ +0.

/ »m J а ^ +

G(p,po +Д) G(p,po)

А<0

Отметим, что в работе [5] была получена теорема характеризации для преобразования Па[/л](р,ро) в случае а = 1. При а = 1 обобщённое преобразовалие Радона Ra[ß](p,p0) совпадает с классическим преобразованием Радона по гиперплоскостям. С точки зрения экономических приложений функция прибыли Па [¡j](p, ро) в случ ае а = 1 соответствует производственным системам, в которых отсутствует эффект замещения производственных факторов на микроуровне. Следующая теорема является обобщением этого результата на случай произвольных а е (0,1].

Теорема 2.4. Функция П(р, ро): R+ х (0, те) ^ [0, те) представима в виде

П(р, ро) = Па[»}(р, ро),

где ß — неотрицательная конечная борелевская мера, на R+, абсолютно непрерывная в нуле, тогда и только тогда, когда

1) П(р,ро) выпукла,

2) П( Хр, Хро) = ХП(р, ро) для всех Х> 0,

3) П(р, +0) = (р, +0) =0 щи р е int R+,

4) функция

те

а

F (р) = J е-Т~ d^ (ра ,...,рП ;т) о

Rn+ int Rn+

Доказательство. Необходимость. Выпуклость функции Па[»](р,ро) следует непосредственно из её определения с учётом того, что при а е (0,1] функция x ^ р Qa x вогнута а > 1

Положительная однородность следует немедленно из определения преобразования Па[р](р,ро):

Па[р](Хр,Хро) = !(Хро — (Хр) &а х)+р(йх) = (ро — Р &а х)+ р(йх) = ХПа[р](р,Ро).

В силу неравенства (ро — р 0а х)+ ^ ро и конечности меры р получаем, что 0 ^ Па[р](р,ро) ^ ро ! р(йх) ^ 0, ро ^ +0.

= р {0} + J р(йх).

Отсюда следует, что Па[р](р, +0) = 0. Пользуясь леммой 2.1, запишем

д Па[р](р, ро)

др о

р©ах^-ро, х=о

Переходя к пределу при ро ^ +0 и учитывая абсолютную непрерывность интеграла Лебега и т0) чт0 по определению абсолютной непрерывности меры р в нуле р{0} = 0, получаем

^ (Р, +0) = 0• * *

Ограниченность и вполне монотонность функции Р(р) доказывается, как в теореме 2.3, с учётом того, что

д2Па[р]

др\

2

~(р,ро) = Яа[р](р,ро).

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть ж(р, ро) = 9 П(Р2Ро) _ производная в смысле теории расиреде-

°р о

лений, то есть для всех р € Т>(0, +го) имеет место равенство

(ф, т),ф)) = (П(р, т)У(т)).

Функция на (0, +го) выпукла тогда и только тогда, когда её вторая производная является неотрицательным распределением [7]. Поэтому ж(р, ■) ^ 0.

Так как П(р, ро) есть функция, положительно однородная степени 1, то её вторая производная ж(р, ро) есть распределение, положительно однородное степени —1:

(я(Хр, Хт), р(т)) = ± (я(\р, т),<р (I)) = 1 (п(Ар, т),р" (I)) =

= ^ (П(Хр,Хт),р"(т)) = 1 (П(р, т),р"(т)) = { т),<р(т)}

Наконец,

Р (р) = I е ,..., р% ;т)= I е т"&(р£ ,..., р% ;т)йт.

дт

оо

Как и при доказательстве теоремы 2.3, показывается, что при всех А > 0 имеет место равенство

те

Р (Хр)= I е-Хт а ^ (р? ,...,р% ;т). о

Перейдём к пределу при А ^ воспользуемся теоремой Лебега о монотонной сходимости и условием 9П(р, +0) = 0. Получим, что Р(Хр) ^ 0 при А ^

Воспользуемся теперь теоремой 2.3. По этой теореме существует неотрицательная бо-релевская конечная абсолютно непрерывная в нуле мера | с носителем на R+ такая, что œ(p, ро) = Ua[l4(P,Ро)- Определим По(р, ро) = na[i](p, р0). Тогда

д2П(р,ро) . л д2По(р,ро)

-ърТ~ = ПаШр,Ро) = др20 -

Из совпадения вторых производных следует, что функции П(р,ро) ш По(р, ро) отличаются на полином не больше, чем первой степени по ро [7] при каждом фиксированном р. Но из равенств

П(р, +0) = По(р, +0) = 0, д д W»п(р- +0) = W»п(" ■ +0) = 0

следует, что этот полином нулевой. Теорема полностью доказана. 3. Обращение

В случае, когда мера | абсолютно непрерывна с плотностью а(х), будем обозначать

Ка[а](р,р0) := Ka[l](р,Ро), Па[а](р,р0) :=na[i](p,р0).

Кроме того, будем использовать обозначение £P(W+, р(х)) для класса функций, принадлежащих £P(R+) с весом р(х), то есть таких измеримых функций f (х), что

| f(x)lPp(x) dx < те.

Rn

+

Перед тем как сформулировать теорему обращения, докажем вспомогательную лемму. Лемма 3.1. 1) Пусть ü — дифференциальная форма на R+, удовлетворяющая соотношению

( dx1 + ... + dxn) Л ü = dx1 Л ... Л dxn. Тогда, при Re z1 > 0,..., Re zn > 0 имеет место равенство

I хГ1.. .xS- ü = ВО = ),«= (*1, ...,,n).

xi+...+xn = 1,x^0

2) При Re t1 < 1,..., Re tn < 1 имеет место формула

J и-4 ... и- tn (l - (u1 + ... + un)du = аВ(1 - t)B (2, a(n - U - ... - tn)),

R+

где t = (11,..., tn), du = du1... dun.

Доказательство леммы. 1) Заметим, что

оо

X 6

ry.zn-1c-x!-...-xn dx = J x11-1 e-x1 dxi... j xznn-1 e-Xn dxn = T( zi)... T( Zn ).

R+ 0

x

1

0

С другой стороны,

/ х11-1... х^п-1 е-Х1-...-х" ¿х = {формула коплощади} =

J е 3 J хЦ ...Xх™1 Пйв = [хк = укв, к = 1,п}

о Х1+...+хп=.в, х'о оо

= ! е ~8 8г1+".+гп-Чз у У11 -1 ... у"пп-1 П =

У1+...+Уп = 1, у'о

ГХ1-1 „,2п-1

У1+...+Уп = 1, у'о

Сопоставляя полученные выражения, получаем, что

= Г(г1 + ... + гп) I у{1-1... у*п"-1 П

У1+...+Уп = 1, у'о

2) Имеем цепочку преобразований

щ*1 ... и'—Ьп — (и1 + ... + ип)а ^ йи = {формула коплощади} =

! — 5 « ^ J V-1 . . .и-Ьп Пйв = {и,к = Ук в, к = 1,п} =

1

ilJ V 1 .. .ип ' пав = \ ик = укв, к = 1,п\

и1+...+ип=.в, и'о

= ^ [г — 8п-1-*1-...-^ ¿в I V-11...V-*- п.

о Vl+...+vn = 1, 'и'о

Из первой части леммы следует, что

Vl+...+vn = 1, у'о

Пусть 7 — некоторое действительное число. Вычислим интеграл

J V-*1 ... ь-Ьп П = В(1 — п,..., 1 — Ьп) =:В(1 — г).

J (1 — в^йв = ^ = в", 5 = Л йв = аГ~1си} =

о

1 1 = а[—= а/а—= «т,«7).

оо

Поэтому

1

! [\ — в1) 8п-1-*1-...-*п ¿8 = «в (2, «(п — Ь — ... — и)). о

Вторая часть леммы доказана.

Отметим, что в работе [5] была получена формула обращения для преобразования Па[р](р,ро) для случая а = 1. Сейчас мы докажем теорему, которая обобщает этот

1

1

результат на случай а € (0,1]. С точки зрения экономических приложений, следующая теорема может быть использована для нахождения распределения мощностей по технологиям по известной функции прибыли в производственных системах, в которых имеет место эффект замещения производственных факторов на микроуровне в случае, когда известно, что распределение мощностей по технологиям является абсолютно непрерывным.

Теорема 3.1 (3.1.'). Пусть

а(х) € С1 (м+, Ж?(с1-1)... хап(с"-1)) П С2 (м+, х1"(с1-1)+1... х2па(с"-1)+1) при некоторых действительных с1 < 1,..., сп < 1. Тогда

а(х) = J Ка(р1Х1,..., РпХп]с)Па[а](р, 1)йр,

к-

( \

а(х) = J J ! Ка(р1Х1,... ,РпХп ]с)Па[а](р, 8)йвйгйр \ к- о о У

где ядро Ка есть

а2п-1 (■ и-ф1-1)-1 и-а(гп-1)-1И7

К (и г) = а_ ]\т I и1 .. п

Ка (и с) — -\„ 11111

(2п г )п я^те У В(1 — г1,..., 1 — гп)В (2,а(п — г1 — ... — гп))'

с+г В™(о,Я)

С = (С1,..., Сп),

а Вп(0, К) есть шар в Мп радиуса, К с центром, в начале координат,.

Доказательство. Для сокращения обозначений положим П(р,ро) = Па[ а](р,ро). По определению

п(р, Ро) = ! [ро — ((р 1Х1)а + ... + (рпХп)а )«)+а(ж) йх.

к-

Сделаем замену ук = к = 1,п. Якобиан замены равен Щ^) = а-п(х1 ...хп)1-а. Обозначив а* (х",... ,х%) = а-па(х1,... , %'п)(%1 . . . Хп) а 1 получим

п( = ¡(Vо — (Р Ы + ... + ЙЫ ± )+*,Шу.

к-

Пользуясь этой формулой и теоремой Фубини, придём к следующему выражению:

Г 11

р-1 ...р~ап П(р? ,...,РИ ]1)(1р =

к-

г-1 ^-Ьп ' 1

а* (у) Р-1 ... Рп- (1 — (Р1У1 + ... + РпУп)а) = {ик = РкУк, к = 1,п)

I а

к- к-

у11 1... уп 1а*(у)йу щ11 ...Ппи (1 — (и1 + ... +ип)«) йи.

к- к-

п( , о)

Меллина функции а*(х). На этом и основана формула обращения.

Из леммы 3.1 следует, что при И,е< 1,..., И,е Ьп < 1 имеет место формула

1 1

/ Р1 *1. ..рп*- П(Р1 ,...,Р'П -,1)йр =

= аВ(1 — 1)в[2, а[п — £ ¿Л) / у\1-1 ... У^-1 а*(у) йу.

\ \ к=1 / /В"

Пусть т = (т\,..., тп) € Кп. Докажем следующую формулу для преобразования Фурье: Т (а* (еХ1,..., еХп )ехр(с ■ х))(т) =| уГ +1 -1... Угп™-1а*(У1,...,Уп) (у. (7)

Имеем следующую цепочку преобразований:

Т ( а* ( еХ1,..., еХ") ехр( с 1X1 + ... + СпХп)) (т) =

= J ехр (г(хт + ... + ХпТп) + С1Х1 + ... + СпХп) а* (еХ1,..., еХ") йх =

К"

= {ук = еХк, хк = 1пук, йхк = у-1(1ук к = 1,п} =

= ! уГ +С1-1... угптп+сп-1а*(у1,...,уп)йу.

Учтём при этом, что

J ехр (с 1х1 + ... + Спхп) 1а* (еХ1,..., еХп)| (х =

К"

J у11-1... у2"-1 1а*(у1,..., уп)1 (у = {ук = и%, (ук = аи1-1(ик, к = 1,п}

= I и"(С1 -1) -1)1а(ш ,...,ип)1йи< те

в силу условия теоремы. Аналогично

J ехр(2(слх1 + ... + с^хп)) 1а* (еХ1,..., еХп)12 йх =

К"

= i уТ1-1 ... уПСп-1Ыу 1,..., Уп)12йу = = У и"(2с 1-1 ... и*(2с"-1) 1а(и1,..., ип)12а-2п(и1... и,п)2-2аап(и1... ип)а-1 йи = = а-п I и\а{с1-1)+1... и2па(с"-1)+11а(Щ, ...,ип)12йи< те.

Таким образом,

ехр (С1х1 + ... + Спхп) а* (еХ1,..., еХ") € С1(Мп) П £2(Мп).

Отсюда следует, что преобразование Фурье (7) существует и по теореме Планшереля [8] принадлежит £2(Мп).

Учитывая (6) и (7), получаем, что

Т ( а* ( еХ1,..., еХп) ехр( с 1х1 + ... + с^хп)) (т) =

р-г Т1- С1 ... р-т"- с" П(р? ,..., р% ;1)йр аВ(1 — с — гт)В (2, ап — а(с 1 +г^ + ... + сп + гтп))'

Возьмём обратное преобразование Фурье от левой и правой частей. Из принадлежности функции классу £2(Мп) следует, что обратное преобразование Фурье может быть вычислено по формуле [8]:

а* (еХ1,..., еХ" )ехр( С1х1 + ... + ^хп) =

1

1 Г Г ехр(—г х ■ т) р-гТ1-С1 ... р-гт"-с" П(р? ,..., рщ ;1)йр

(2тт)п к^ж у у аВ (1 — с — гт)В (2,ап — а( с\_ +г п + ... + сп + г тп)) В(0,к) К+

Обозначим у к = еХк, к = 1,п. Формула перепишется в виде

а*(Уи ..., Уп) =

_ 1 Цш Г Г (Р1У1)-гТ1-с 1 ... (РпУп)-гТп-Сп П(р? ,...,рщ ;1)йр (1т

(2тт)п к^ж у у аВ (1 — с — гт)В (2,ап — а( ^ + г п + ... + сп + г тп)) В(0,В) к+

Теперь обозначим у к = х^ и сделаем замену пере менных рк = к = 1, п. Возвращаясь от функции а*(■) к функции а(^), получим

. , а2п-1 Г Г (а 1х1)-а(г Т1+с 1 -1)-1... (дпхп)-фТп+Сп-1)-1 П(д 1,..., дп]1)йд1

а(х) = -—— пт / / ---—---——^--—----—-—ат.

(2тт)п к^ж у у аВ(1 — с —г т)В (2,ап — а( с 1 +г п + ... + (щ + г Тп)) В(0, к) К+

Делая замену переменных Хк = Ск + %Тк, к = 1,п и пользуясь определением ядра Ка(и;с) в условии теоремы, получаем требуемую формулу обращения для преобразования Па[а](р,ро). Формула обращения для преобразования а](р,р0) непосредственно следует из равенств

д2Па[а](р,р0) г ,, .

-—2-= Ка[а\(р,р0), (8)

д 0 дП [а]

Па[а](р, +0) = дП[а](р, +0)=0, р € intКп, (9)

дР0

которые влекут Па[а](р,р0) = /0° /0^-а[а](р, 8) йвМ. Покажем, что равенства (8) - (9) действительно имеют место.

Равенство (8) следует из леммы 2.1 и определения преобразования ^а[а](р,ро). Далее для любого р € ^ К+ найдутся такие К(р) > 0 и р*(р), что

Па[а](р,р0) = J (р0 — р &а х)+а(х) йх Щ0Вп(0, к(р))

при 0 < ро < р* (р). Запишем

0 ^ |П„[ а](р,р0)1 ^ J (р0 —р&ах)+1а(х)1 йх ^ К+ПВ"(0, к(р))

< р0 ! 1а(х)1йх ^Ср0 ! х*(с1-1) ...х*(Сп-1)1а(х)1йх <

где С > 0 — некоторая постоянная. Переходя к пределу при р0 ^ +0, получаем, что Па[ а](р, +0) = 0.

1

К+_ПВ"(0, к(р))

Теперь воспользуемся леммой 2.1 и запишем:

д Па[а](р, ро)

0 <

^ J |a(x)| dx ^

a

др о

< I la(x)ldx I x"(c 1-1) ...x%(Cn-1)la(x)ldx,

где С\ > 0 С2 > 0 — некоторые константы. Из принадлежности

х1[с1-1) ...х^с"-1)а(х) еС1 (М+) следует, что имеет место стремление

J xfС1-1)...xfc"-1)la(x)ldx ^ 0, Ро ^ +0.

Это доказывает, что (Р> +0) — 0 Таким образом, доказаны равенства (9), а вместе с

ними и теорема.

Работа поддержана Министерством образования и науки Российской Федерации, соглашение JVsl4.A18.21.0866.

Литература

1. Шананин А. А Исследование обобщённой модели чистой отрасли // Математическое моделирование. — 1997. — Т. 9, № 10. — С. 73-82.

2. Krantz S. G., Parks H. R. Geometric integration theory. — Boston: Birkhâuser, 2008.

3. Lieb E. H., Loss M. Analysis. — Providence: American Mathematical Society, 2001.

4. Богачев В. И. Основы теории меры. Т. 1. — М. Ижевск: РХД, 2003.

5. Henkin G. M., Shananin A. A. Bernstein theorems and Radon transform. Application to the theory of production functions // Translations of Mathematical Monographs. — 1990. — V. 81. - P. 189-223.

6. Колмогоров A. H., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.

7. Schwartz L. Théorie de Distributions. — Paris: Hermann, 1966.

8. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.

Поступила в редакцию 09.12.2012.

К+ГВ^Сда )

К+ГВ^Сда)