Весовые оценки преобразования Радона-Киприянова функций с ограниченным носителем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ВЕСОВЫЕ ОЦЕНКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА-КИПРИЯНОВА ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ НОСИТЕЛЕМ Л.Н.Ляхов, О.И. Попова

Воронежский государственный университет,

Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: [email protected] , [email protected]

Аннотация. Для образа преобразования Радона-Киприянова введены весовые нормы функций определенных на бесконечном полуцилиндре. Доказано, что эти нормы эквивалентны нормам функций в пространстве Соболева-Киприянова.

Ключевые слова: Преобразование Радона-Киприянова, пространство Соболева-Кипри-янова.

Как известно, преобразование Радона, будучи интегральным преобразованием, улучшает свойства гладкости функции, и это преобразование, рассматриваемое как оператор в Ь2, является непрерывным. Но так же известно, что в пространстве Ь2 соответствующий обратный оператор не является непрерывным. Поэтому исследование задач компьютерной томографии на основе формул обращения преобразования Радона вынуждает использовать другие функциональные классы. В работах [1] и [2] (в [2] для функций, определенных в Я2) выяснилось, что к таким классам можно отнести пространство функций, определенных на цилиндре с нормой, согласованной с обычной нормой пространства Соболева Н5. Этот класс функций оказался в соответствующем смысле эквивалентным обычному классу Соболева и оказался очень удобным в практических задачах компьютерной томографии (см. книгу Ф. Наттерера [3]).

В [4] введено специальное преобразование Радона1, приспособленное для работы с весовыми классами функций И.А.Киприянова и соответствующими сингулярными дифференциальными операторами. В данной работе, следуя [1] и [3], вводится весовой функциональный класс на полуцилиндре и приводятся оценки введенной в этом функциональном пространстве нормы преобразования Радона-Киприянова четных гладких функций с ограниченным носителем. Эти нормы выражаются через нормы весового класса Соболева-Киприянова Н (см. [5], [6]).

Пусть Яп={х = (х\,... , хп)} - евклидово пространство точек, а К+ - полупространство определенное неравенством XI > 0, и пусть 0+ - ограниченная область в прилегающая к гиперплоскости XI = 0. Скалярное произведение п-мерных векторов

п

обозначим (х, у)=^2 ХгУг. Уравнение произвольной гиперплоскости в Кп, ортогональной

г=1

1 Впоследствии это преобразование стало называться преобразованием Радона-Киприянова. Именно это преобразование изучается в этой статье.

вектору С, задается уравнением (С,х)=р. Если |С|=1, а р > 0, то уравнение плоскости называется нормальным.

Через О^ (0+) будем обозначать множество бесконечно дифференцируемых функций с носителем в 0+, четное, продолжение которых по переменной Х1 является бесконечно дифференцируемой функцией в Яга.

Для произвольной локально интегрируемой в К+ функции четной по переменной Хі через Щх / (х) будем обозначать действие на эту функцию оператора Пуассона по переменной Х1 Є Д+ по формуле

п

Г (1±1\ г _

Щі д(х) = П^д^х і,х!) = 2 /п / д(х і сое а, х1) віп7 1 а сіа .

2> \2

Здесь и всюду далее предполагается, что 7 фиксированное положительное число.

Пусть функция / четная по х1 абсолютно интегрируемая по Д+ с весом х^ . Преобразование Радона-Киприянова функции / введено в работе [4] и имеет вид

К[/](С;р) = I. /(х)пХх(р — (х,с)) Х1 ^

'К

где (С,х) — р = 0 - нормальное уравнение плоскости с единичным вектором нормали С, проходящей на расстоянии р от начала координат, 8(Р) - обычная2 ^-функция, сосредоточенная на поверхности Р = 0. Как видим, функция К7 [/](С; р) определена на полуцилиндре

(£;р) Є г = £+(п) х Д ,

где $+(п) = (С : ІСІ = 1, С1 > 0} - единичная полусфера с центром в начале координат, принадлежащая полупространству Д+. Размерность цилиндра г равна п. Отметим, что преобразование К7 создано для работы с сингулярными дифференциальными операторами типа оператора Бесселя. Для той же цели в [5], [6] введены весовые функциональные классы функций Соболева-Киприянова W!p1 и, в частности, функциональный класс Н. В связи с этим возникает задача введения нормы для функций, определенных в цилиндре Z так, чтобы она оказалась согласованной с нормой пространства Соболева-Киприянова Н. В данной работе решается именно эта задача в случае, когда носитель функции / ограничен в полупространстве Д+. Следуя [1], [3], введем следующим образом подобие весовых киприяновских классов функций д = д(С,р), заданных на цилиндре Z. Функция д(С,р) Є Н(г), если

ІІдІІж(^) =/ Сі/ (1 + ^2Г [д](£; ^)|2 ^ ^ (С) < ^, (1)

и Я+ ив.!

2 В теории весовых обобщенных функций построенной на основе весового скалярного произведения (см. [6]) используется специальный класс ^-функций. В определении же преобразование Радона-Киприянова использована ^-функция с носителем на поверхности в Д„, теория описана в книге [7], гл.

III, §1.

где через Р обозначено преобразование Фурье функций, действующее только по переменной р:

/+го

#(£; р)е-грстф.

-го

Пусть - ^функция Бесселя, связанная с функцией Бесселя первого рода ■]„ формулой

(см. [5], [6])

. . . 2Г(^ + 1) т . .

]и(^) — — •

Смешанное интегральное преобразование Фурье-Бесселя функций, четных по переменной х1 и интегрируемых по Я+, определяется по формуле (см. [6])

рв[!]{ч) = J /О) ^'2=1(3:1771) е-*^ х} с1х.

К+

Множество функций f, для которых конечна норма

\ 1/р

(/ |/(Х)|Рх'1 ^ (р > 1)

Для функций / и д, принадлежащих (Д+), справедлива формула Планшереля,

обозначим Ь7 (Д+)

Для функций

выражающая инвариантность весового скалярного произведения

(/,д)7 = J / (х) д(х) Хі кх

при преобразовании Фурье-Бесселя:

у Ре[Л(£) РеЫ(£) С7 ^ = у f (х) #(х) х1 ^х-р+ р+

2 сп 1Ьп

Классический класс функций Соболева-Киприянова определяется с помощью смешанного интегрального преобразования Фурье-Бесселя (см. [6]) и представляет собой множество функций, для которых конечна норма

1^(х)|Н.(Бп) = / (1 + М2Г|РеШ(п)№п.

Теорема. Для всякого в существуют такие положительные константы с(в,п, 7), С (в, п, 7), что для f € С0~(П+)

с(а,7г,7)||/||н-(п+) < \\КМ\ ^ С(з, /г, 7) ||/||н«(п») • (2)

□ . Мы исходим из связи преобразований Фурье, Фурье-Бесселя и Радона, полученной в работе [1], которая заключается в следующем равенстве

Ре [/](П) = Ре [/](а€) = / К7 [f](€; р) е-^ ф = Р^[К7 [/]](а€). (3)

Здесь а € Д1, а €, вообще говоря, произвольная точка замкнутого полупространства Я+, но далее нам удобно считать её принадлежащей единичной полусфере 5+, поскольку именно так эта переменная используется в определении нормы (1).

Согласно (1) и (3), имеем

НК7[f] Няг,+(п+7-1)/2(2') =

= / «7(1+ а2)'+(п+’-1)/2|Рр^„[К,.[/]](а€)|2^а^5(€) =

5+(п) Я1

= / €7 /(1 + а2)*+("+7-1)/2 |Ре[/](а€)|2Лт^5(£) •

5+(п) Я1

Учитывая четность функции Ре [/](п) по переменной п1 = а €1, последнее выражение можно переписать в виде интеграла по полной сфере и тогда

НК7 [f ]Ня“+(п+7-1)/2(^) =

= 11 кМ7 /(1 + <т2)"+,"+7-1|/21^[/]Кс)12^л?(0 ■ №

51(п) -^

Интеграл по переменной а представим в виде суммы двух интегралов по полуосям (-то, 0] и [0, +то). В первом из них сделаем замену а = — а1. Получим

(1 + а2)*+(п+^-1)/2|Рв [/ ](а € )|^а

о

— / (1+ а2)'+(п+^-1)/2|РЕ[/](—а1 €)|2^а,

= /(1 + а2)"+(п+"-1)/2|РЕ[/](—а€)|2^а •

о

— 'ОС'

о

— 'ОС'

Теперь учтем, что интеграл по сфере не изменится, если заменить С на —С (|Сі| = 1). Тогда равенство (4) примет вид

ИА7[/]ІІ^+«±рііг = / 16 Г' / (1 + <т2)‘+д±?=1|^1/]К)12^^(0 =

йї(га) в+

= І

£+(п) к+

Здесь уже а > 0, и поэтому эта величина может играть роль радиуса сферических координат в Д+. Предполагая, что в последнем выражении а и С — сферические координаты точки т.е. /7=<т£, /71 >0, |?/|=<7, |£| = 1, перейдем к декартовым координатам в Кп.

При этом

кп = ап-1 какб'(С) ^ какб'(С) = а1-пкп = |П|1—, а1-п С7 = (аС1)7 а1-7-га = п7 |пГ-7-п •

Отсюда

\\КМ)\\2 +»+7-1 =

= 2 У" ^71^Г_га_т(1 + Ы2У+п±^\ЫЛШ2^1- (5)

в+

Теперь учтем, что в наших рассуждениях3 п > 1, 7 > 0. Поэтому

М < (і + 1ч|2)1/2 =*• ^‘-’‘-^(і + ічі2)"^.

Следовательно

\кШ2нв+^[2)>ї ]^ + Ы2У\Рв[1Ш2пия = 2\\Пщ

К+

Это и есть левое неравенство утверждения (2).

Для того, чтобы получить правое неравенство в (2), представим интеграл в правой части равенства (5) в виде суммы интеграла по области П+ = {|п| ^ 1}+ = {|п| ^

1, п1 > 0} и интеграла по области П+ = {|п| > 1}+ = {|п| > 1, П1 > 0}.

В области П+, очевидно, выполняется неравенство 21п|2 > (1 + |п|2), поэтому п|2 > 2-1(1 + |п|2). Следовательно,

/ |п|‘-п-7(1 + М2)‘+(п+7-1)/2|Рв[/](ч)|2ч;^ <

{Ы>1}+

3Интересно отметить, что в классических исследованиях обычно необходимо, чтобы п > 2, так

как преобразование Радона не определено в К\. Напротив, преобразование Радона-Киприянова в К\

определено.

< 2(“-1+’)/2 I (1 + |ч|2)'|^[/](п)|2п7<

{Ы>1}+

< 2(п-1+7)/2||/ПН-СП») . (6)

Теперь перейдем к оценке этого же интеграла в области

= {Ы ^ 1}+ = {Ы ^ 1, Пі > о}.

В этой области функция |п|1-га-7(1 + |п|2)5+(га+7-1)/2 Пі имеет особенность (только в начале координат, поскольку область ограничена). Но переходя к сферическим координатам в интеграле по {|п| ^ 1}+ от этой функции, легко установить его сходимость. Введем обозначение

[ Ы1-га"7(1 + |п|2)5+(га+7"1)/2 Пі Ф = с1(в,п,7) .

Имеем

Inl1-"-7(1 + M2r+("+7-1)/2|FB[f](n)№n <

sup|ft(/](|4)|2 . (7)

Для доказательства теоремы остается оценить величину

_ sup \FB[/](r/)|:2

0+ = |7?|<1,771>О

через норму функции f в пространстве Соболева-Киприянова

Пусть функция х £ C* (Rn) и равна 1 на носителе supp f = П+ G R+. Положим

Xv(x) = х(х).

Тогда

FbUW = J /И З^Ы’П) e~t{x'v) xj dx = J f(x) xv(x) xj dx.

R+ R+

По условию теоремы функция f принадлежат весовому пространству Лебега L7 (R+) (р > 1), но то же самое можно сказать про функцию хп, поскольку она представляет собой произведение бесконечно дифференцируемых функций, одна из которых имеет ограниченный носитель. Поэтому к весовому интегралу от произведения функций, каждая из которых принадлежит L2, можно применить формулу Планшереля для смешанного преобразования Фурье-Бесселя. В результате получим равенство

[f](n) = J Xn(x)f (x)xIdx = J [Xn](£)FB[f](f)C7=

R+ Rn

Rn

£2-1

Рассмотрим первый из этих интегралов. Функция РД [хп] имеет следующий вид

Здесь через х обозначено действие смешанного преобразования Фурье-Бесселя на функцию х, а оператор Тп - смешанный обобщенный сдвиг (по первой переменной действует обобщенный сдвиг, а по оставшимся - обычный).

Поскольку функция х четная по Х\, бесконечно дифференцируема и имеет ограниченный носитель, то ее преобразование Фурье-Бесселя принадлежит подпространству Бе, (Я+) пространства Шварца основных функций Б(Дга), убывающих быстрее любой степени модуля переменной. Учитем, что обобщенный сдвиг, представляя собой интегральный оператор, является сглаживающим. Поэтому в равенстве

я+

К этому выражению применим неравенство Коши-Буняковского, тогда

1/2

X

\ 1/2

X

/(1 + к'Г2)-'^ [/]«)!2Й 4е = Их, Ищ-<я+>11/И

щ (П+) .

\я+

/

Теорема сложения для ^функций Бесселя утверждает, что (см. книгу [6]);]т=і (^і?/і)І^=і О^іці) ТІ1 і 4-і (х^), где через Т% обозначен обобщеннвій сдвиг, действие которого по переменной х1 определяется по формуле

Таким образом,

Т«;Х(Ч1.Ч' + е') = (Тпх)(е).

функция TnX Е Sev, но при этом функция (1 + |£|2)-s при любом действительном s представляет собой мультипликатор пространства Sev. Следовательно, существует и конечен

ртхНн-' = c2(s, п, 7) . (8)

Из (6), использую (7) и (8), получим

IIK[/]||2H,+<n+-,-,)«(Z) < (2<”+y-1)/2 + Cl(s,n,7)c2(s.n,7)B/&■№+) .

Это и есть правое неравенство для KY. В Отметим, что для целых s > 0 норма

II/(x)HL(r„) = / (1 + lnl2№[/](n)l2nYdn-

Jb+

эквивалентна следующей

llf (x)Il,(Rn) = / ^ (BXi DX'/)(x)xY dx. R+ 2li + |i'|<s

d2 75

где ДТ1 = 7—тт H----—-----сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, D

dx2 x1 dx1

i'

дхг22 ’ дхП

Если учесть, что при целых ^ [д](а, 0) = Р[Орд(р, 0)](а, 0), то норма || ■ ||я^(и)

функций, определенных на полуцилиндре, эквивалентна норме

,Y = / eY [^ |Di#(o^)|2dP-

s+(n) Ri i<s

Таким образом, для целых значений в > 0, как следствие доказанной теоремы, мы получим неравенства

с11/11яг(п+) — 11т[■/'] II -з+п+]~1 ^ ^11/11яг(п«) •

Н7 (^ )

Интересно, что здесь в средней части находятся весовые Ы-нормы обычных производных, а крайние члены неравенства содержат весовые Ы-нормы сингулярных В-

производных. С другой стороны, это и не удивительно, поскольку известно ([8]), что смешанные производные типа В1 О'й'(х) при в = 2/1 + |/;| связаны соотношением

Й'1 К')''ОРА',(р; О = К-,[Вх вх,9(х)](р; «.

Литература

1. Smith K.T. Practical and mathematical aspects of the problem of the reconstructing a function from radiographs // Bull. AMS. - 1977. - 83. - P.1227-1270.

2. Natterer F. A Sobolev space analysis of picture reconstruction // SIAM J. Appl. Math. - 39 - P.402-411.

3. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Натте-рер. - М.: Мир, 1990. - 280 с.

4. Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона // ДАН. - 1998. - 360;2. - C.157-160.

5. Киприянов, И.А. Преобразование Фурье-Бесселя и теоремы вложения для весовых классов // Тр. МИРАН. - 1967. - 89. - С. 130-213.

6. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи / И.А. Киприянов. -М.: Наука, 1997. - 200 c.

7. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд. - М.: ГИФМЛ, 1959. - 470 с.

8. Ляхов, Л.Н. Преобразование Киприянова-Радона // Тр. МИРАН. - 2005. - 248. -С.153-163.

WEIGHT ESTIMATES FOR TRANSFORMATION OF RADON-KIPRIYANOV’s FUNCTIONS WITH BOUNDED SUPPORT L.N Lyakhov, O.I. Popova

Voronezh State University,

Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: [email protected], [email protected]

Abstract. For the image of Radon-Kipriyanov’s transformation are introduced weight norms of functions defined on infinite half-cylinder. It is proved that these norms are equivalent to norms in Sobolev-Kipriyanov’s space.

Key words: Radon-Kipriyanov’s transformation, Sobolev-Kipriyanov’s space.