Обращение преобразования Радона-Киприянова радиальных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА-КИПРИЯНОВА РАДИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 6)

Л.Н. Ляхов, О.И. Попова

Воронежский государственный университет, пл. Университетская, 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: lyakhov@box.vsi.ru, olyaa.popova@yandex.ru

Аннотация. Приведен вывод формулы связи преобразования Радона радиальных функций и преобразования Радона-Киприянова K7 функции одной переменной. Получена формула KY-преобразования радиальной в Rn функции в виде K1+n-1-преобразования функции одной переменной. Получена формула обращения преобразования Радона-Киприянова функций одной переменной. Результаты обобщают и уточняют результаты, полученные ранее одним из авторов.

Ключевые слова: преобразование Радона, преобразование Радона-Киприянова, радиальные функции.

1. Преобразование Радона как частный случай преобразования Радона-Киприянова

В качестве введения в тему исследований рассмотрим вопрос о том, как преобразование Радона центрально симметричной функции сводится к преобразованию Радона-Киприянова функции одной переменной. Преобразования Радона R[f ] (см. [3]) и Радона-Киприянова KY [f ] (введено в [4]) функции f определяются соответственно формулами,

R[f](0;р) = J f(x) S(p — {x, 0)) dx = J f(x) dr,

Rn Г

]v7[/](e;p) = A'7[/](p) = |/(x)ny(p-(x,e)))xi&, г/ = 11Г' 7>0- (1)

R+

где x = (x1, x') G R+ = (0, x Rn-1, {x, 0) = П=1 x^ 0^, — скалярное произведение векторов в Rn, p = {x, 0) — уравнение плоскости Г с нормальным вектором 0 (|0| = 1), находящейся на расстоянии |p| от начала координат, 8(P) — ^-функция сосредоточенная на (n — 1)-мерной поверхности P(x) = 0 в Rn, а в последнем равенстве символ

обозначает действие оператора Пуассона порядка v по переменной x1 (определение этого оператора приведено далее).

Известно, что преобразование Радона имеет смысл только для функций многих переменных и это преобразование радиальных функций представляет собой функцию

6В этой работе обобщены и частично уточнены некоторые из результатов, анонсированные ранее в

[1] и [2].

одной переменной, например (см. [3], стр. 28),

Д[е~''т'2](в;р) = тг^ е"р2, х € (2)

Независимость правой части равенства (2) от вектора нормали в (при |в| = 1) к плоскости Г, очевидно, есть следствие центральной симметрии, поскольку преобразуемая функция не зависит от угловых координат точки. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Преобразование Радона радиальной функции /, интегрируемой в Мга, совпадает (с точностью до константы |51(п)|, равной площади единичной сферы в Кга) с преобразованием Радона-Киприянова индекса 7 = п — 1 той же функции, рассматриваемой как функции одной (а именно радиальной) переменной:

Я[/ (|х|)](в; р) = Я[/ (|х|)](р) = |^1(п)|К„-1[/ (г)](р). (3)

□ Доказательство заключается в следующем. Преобразование координат вращением, при котором направляющий вектор оси Х\ перейдет в единичный вектор в, приводит к следующему представлению преобразования Радона радиальной (в Rn) функции f:

R[f](в;p) = / f (|x|) 5(p -Х в)) dx = у f (|x|) 5(p - xi) dx.

Rn Rn

Из этой формулы уже следует, что преобразование Радона радиальной функции не зависит от единичного вектора нормали в к плоскости Г. Поэтому далее левую часть этого равенства будем записывать в виде R[f ](p). Сферическое преобразование координат удобно ввести по формулам

x1 = r cos

x2 = r sin < cos <2 ,

x„-i = r sin <1 sin <2 . . . sin <n-2 cos <n-1, xn = r sin <1 sin <2 ... sin <n-2 sin <n-1,

что приводит к выражению

<x

R[f](p) = / f (r) rn-1 dr X 0

п п п 2п

X J ¿(p - r cos <1)) sinn-2 <1 d<1 J sinn-3 <2 d<2 -J sin <n-2 d<n-2 j d<n-1 • 0 0 0 0 Поделим и умножим левую часть этого равенства на

п

[ Sill""2 Lp\ M = Г ^ Г ^

Щ)

Выделив из полученного выражения площадь единичной сферы |51(п)| в Кга, получим

R[f](p) = |Si(n)| г /^п гг I 18[п'г~2 * /(г) 6{р ~г 008 ^ d* г'П~Чг' (4)

2 } 0 0

Здесь, сокрашая запись, воспользуемся определением оператора Пуассона (см. [5], [6]) порядка V = (7 — 1) /2, действующего по переменной г следующим образом

7+Г

Г 7±м г

П.г/(г, t) = 2 / /(г cos а , ¿) sin7 1 a da

г(i)г V2> о

Тогда

г n _ 1

ВД(р) = \Si(n)\ / /(г) ВДж-r) rn_1dr, //=——, п> 2. (5)

Определение преобразования Радона-Киприянова (1) мы запишем применив его формально к функции одной переменной:

сс

K^[f](e-,p) = K^f](p) = J f(x)Uvx5(p-x)x^dx, 7>0.

0

Теперь, сравнивая правую часть этого равенства с правой частью равенства (5) (или, что тоже самое, (4)), получим формулу (3), которая связывает преобразования Радона радиальной функции с преобразованием Радона-Киприянова четной функции одной переменной, когда 7 = n — 1 — натуральное число. I

Следует отметить, что в работе [4] (и в [7], [8]) не предполагалось применять KY-преобразование к функциям одной переменной, хотя никаких принципиальных трудностей введения такого преобразования не было, но было ясно, что появится некоторая специфика и даже простота в определениях и формулах, и это надо рассматривать отдельно. Необходимость изучения KY-преобразований функций одной переменной связана не только с исследованием преобразования Радона радиальных функций, но и с решением задачи о носителе KY-преобразования (см. [9]). В следующем пункте проведены необходимые исследования и уточнена указанные выше формулы (3) или (4) и (5) (см. Теорему 3 и ее следствие).

Сначала приведем пример вычисления преобразования Радона радиальной функции через преобразование Радона-Киприянова функции одной переменной. Снова вернемся к (4), где совершим антиполярное преобразование координат

z\ = r cos а, z2 = r sin a, 0 ^ a ^ n, rn-1 sin"-2 adr = z"-2 dz\ dz2.

Имеем

Д[/](В;р) = |Si(n)| г{{п^у2)Г{1/2) ! z2~2dz2 [ f[ \!~l + 4 ) S(p-z1)dz1

='5'<»)| г((,л;^г(1/2) / ^. (б»

0

Отметим, что формулы (3), (4), (5) и (6) эквивалентны и формула (6) получена из определения преобразования Радона-Киприянова (1) заменой функции f = f (х), х £ К\ на функцию вращения

Этот подход легко применить для вычисления преобразования Радона радиальной функции. В частности если

f (x) = e-|x|2, x E Rn, |x|2 = X

i=l

то

R[fmp) = |5x(n)| ^ m I I zr2 ф _ Zl) dzi Cb2

r(V)rv2, 0

— те 0

r(f)

Последний удвоенный интеграл представляет собой Г-функцию Эйлера от аргумента (n — 1)/2 и, следовательно,

Я[/](0;р) = е~р2 ■ I Г = тг^ е-2.

Таким образом получили формулу (2).

Надо отметить, что приведенная схема вычислений классического преобразования Радона радиальных функций не только сокращает рассуждения. Важнее то, что эта схема применима к более общему преобразованию (Радона-Киприянова), а это дает возможность получить новые формулы, которые не известны из классической теории. В работе [1] показано, что для индекса y E (0, 2] вычисление преобразования Радона-Киприянова функций одной переменной, сводится к вычислению дробного интеграла от fi(t) = С/(ч/^)- Это позволило применить методы обращения интегралов дробного порядка для получения формул обращения преобразования Киприянова-Радона. В настоящей работе подобный результат получен в общем случае y > 0 и другим путем.

2. Преобразование Радона-Киприянова радиальных функций

Через R+ будем обозначать евклидово полупространство точек определенное неравенством xl > 0, и пусть y фиксированное положительное число, а функция f =

f (|x|) — радиальная функция, абсолютно интегрируемая с весом xj, (x, £) = p — уравнение гиперплоскости, лежащей на расстоянии p от начала координат, с единичным вектором нормали £.

Преобразование Радона-Киприянова радиальных функций определяется следующим соотношением:

K [f](£; p) = / f (|x|)nxx í(p -(x,£))xídx =

R+

п

= C(i) J f (|x|)J ^(p — xi cos — (x', £')) sin7-1 adaxidx,

R+ о

где = (x-2, = (^2, - ,vn), а С(т) = r/2— константа, нормирующая опера-

V 2 J1 V2 J

тор Пуассона.

Далее используем процедуру вращения. Для этого сделаем замену переменных:

xi cos а = zi xi sin а = z2,

0 ^ а ^ n, zi G (-œ, +œ), z2 G (0, +œ),

= (zi,z2,x') G R++1 , |z| = |x| = Jz2 + z2 + x2 + x2 + ... + хП

В результате, находим

K[/](£;p) = C(y) / / (ИЖр - ziCi -(x/,e/))z27-1dz.

R++1

Введем обозначение £ = (£1, 0,£') для вектора, лежащего в координатной гиперплоскости Z2 = 0. Тогда

КШ&Р) = С(гг) [ f(\z\)S(p-(z,0)z^¡-1dz.

Скалярное произведение инвариантно относительно вращений. В данном случае вращение необходимо провести в координатной гиперплоскости z2 = 0. Такое вращение не

7

изменит координаты z2 и, следовательно, веса z2 под знаком интеграла в полученном равенстве. Поворот совершим вокруг оси z2 так, чтобы направление оси zi совпало с направлением вектора £. Новые координаты вектора £ обозначим £ = (|£|, 0, 0,.., 0). Ясно, что |£| = ICI = |Ç| = 1. Имеем

z

K[/](£;p) = C(y) / /(|z|)í(p - zi)z2Y-idz.

Теперь произведем сферическое преобразование координат (как и раньше, первую координату положим равной z1 = r cos ai,). Тогда

K[/](£; p) = Ky[f](p) = C(7) J f (r)rn+7-1dr J 8(p-r cos ai) sin7-1 ai cos7-1 a2 dS,

0 Si(n+1)

где dS — элемент поверхности единичной сферы в евклидовом пространстве размерности n + 1:

dS = sinn-1a1 da1 sinn-2 a2 da2 ... sin an_ 1 dan_ 1 dan.

Следовательно

п п

, f ](p) = c (Y)

7

Ky[f](p)=c(7W f (r)rn+7-1dr 8(p-r cos a1) sinn+7-2 a^1 / cos7-1 a2 sinn-2 a2 da2 x

0 0 0 п п

x J sinn-3 a3da3 ■ J dan . 00 Это выражение умножим и разделим на

Г fra+7~M Г

тгп±1

о у 2

Теперь можно воспользоваться формулой «площади весовой сферы» (см [6], формула (1.2.5))

/Ш п—т т Г | ъ+1

где надо положить т = 1, 71 = 7. Тогда

К,1Л(р) = I 1(г)11Цр - г)гп+1~1(1г , !/ = п + .

о

Здесь, справа, снова видим «одномерное» преобразование Радона-Киприянова, но уже с новым индексом. Итак, получен следующий результат.

Теорема 2. Преобразование Радона-Киприянова индекса 7 радиальных функций не зависит от вектора нормали к плоскости интегрирования £ и представляет собой одномерное преобразование Радона-Киприянова индекса п + 7 — 1, умноженное на площадь весовой полусферы | (п) 17:

Ky[f](p) = |S+ (n)|y K7+n-1[f](p).

Эту формулу интересно сравнить с формулой «преобразование Радона радиальной функции» — с формулой (3). Ясно, что 2 |$+(п)|7= |51(п)|. Но тогда

К/] = к„_1[/](р) = к[/].

Вообще говоря, преобразованире К0 формулой (1) не определено. Полученное равенство справедливо лишь для функций радиальных в евклидовом пространстве размерности п > 2.

Из теорем 1 и 2 вытекает, что в теории преобразования Радона-Киприянова, а также для приложений данной теории необходимы знания свойств преобразования Радона-Киприянова функций одной переменной. Некоторые из них приведены в следующем разделе.

3. Преобразование Радона-Киприянова функций одной переменной.

Связь с преобразованиями Фурье, Ганкеля и операторами преобразования Пуассона-Сонина

Пусть / = /(ж) абсолютно интегрируемая по (0, то) с весом х1 функция, число 7 положительно и фиксировано. Через / = /(г) будем обозначать функцию

2 |

Преобразование Радона-Киприянова (1) функции одной переменной / = /(х) легко трансформируется по схеме получения равенства (6) в следующее интегральное выражение

'ял(р) = Mffm / /(-) -Г' ¿г = г т^ у / (уР? + zTldz2,

{zi=p}+ о

(7)

где {z1 = p}+ — полупрямая в R+ = {z = (zi, z3), z2 > 0}, заданная уравнением z1 = p.

Очень важной в теории преобразований Радона-Киприянова является формула связи с преобразованиями Фурье и Фурье-Бесселя (см. [4], [7], [8]). В нашем случае роль прямого и обратного преобразований Фурье-Бесселя должно выполнить прямое и обратное преобразования Ганкеля (см. [5]), соответственно

сс

щит = FB[fm = [ ji=i(ro /и x-idx,

—1

i

H—1[f ](x)

v-1 т.2 / Y + 1

2Y—1 Г2

Hy [f ](x).

2

Ядром этих преобразований Ганкеля служит так называемая ^функция Бесселя связанная с функцией Бесселя первого рода ^ равенством

. . . 2й Г(^ + 1) т . .

Ш = —^—¿ -Ш-

Хорошо известно представление ^функций Бесселя в виде интеграла Пуассона ([5])

= П7ехр[—ггг].

Отсюда получим следующее представление преобразования Ганкеля:

Щ[u](£) = C(yW / e-ix?cosa sin7-1a da f (x) xY dx, C(7)

J J 1 Ш 1

0 0 V2/ 42

Антиполярное преобразование координат

z1 = x cos a, z2 = x sin a, 0 ^ a ^ n, x dx da = dz1dz2

приводит к выражению

H [f ](£) = с (Y ) / dZi / Л \/z2 + z22 zY-1 dz2

Заменив ^ на р и воспользовавшись определением (7), получим

H [f ](£) = K7 [f ](p) dp = F [ K7 [f ](p)] (0,

где через ^ обозначено преобразование Фурье. Эта формула устанавливает связь между преобразованиями Ганкеля, Фурье и одномерным преобразованием Радона-Киприянова. Применение обратного преобразования Фурье дает формулу

кшр) = ^ ! ^ щит (8)

—те

Обозначим через С^ (К) подпространство пространства С^К), состоящее из четных функций, а через (К) — подпространство Л.Шварца, также состоящее из четных функций. Через Zev обозначим образ пространства С^ (К) при cos-преобразовании Фурье Приведем следующий известный результат (см. [10]) относительно cos-преобразования Фурье и относительно преобразования Ганкеля:

Лемма 1. Операторы и Щ изоморфно отображают пространства С^ (К) на Zev и Б*,, (К) на себя.

—ос

—ОС

Теперь рассмотрим операторы преобразования Пуассона и Сонина, представленные

посредством преобразований Ганкеля и еоя-преобразованием Фурье следующим обра-7)

зом

-1

Py = H-1 Fc

У-1^2 I Y + 1

2Y Г2

H7 Fc,

2

Б7 = ^Т1 Я7 = (2п)-1^с Я7.

Известны следующие свойства операторов преобразования Р7 и Б7 (см. [10]).

Лемма 2. Операторы Р7 и Б7 отображают пространства О^(Е1) и Беи изоморфно на себя.

Лемма 3. Для любой функции f Е Беи операторы Р7 и Б7 являются взаимно обратными :

Б7 РТ f = Р7 Б7 f = •

Для преобразования Радона-Киприянова функции одной переменной справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. На функциях из пространства Беи (Д1) К7-преобразование (1) представляет собой оператор преобразования Пуассона-Сонина Б7, при этом

Р7 К7 [/] = f, К7 Р7 [/] = f•

□ Если f G Sev, то справедливо равенство (8). Законность выполнения всех операций следует из Леммы 1. Учитывая, что HY [f](£) — четная функция, получим KY [f](p) = Fc-1 HY [f ], что в соответствии с определением оператора SY дает равенство

K [f ](p) = SY [f ](p).

Применение Леммы 3 завершает доказательство. I

Следствие 1 (О преобразовании Радона радиальных функций). Если f G S(Rn) и f = f (|x|), то ее преобразование Радона выражается через преобразование Радона-Киприянова и оператор преобразования Пуассона-Сонина по формулам

R[f ](£; p) = R[f](p) = K„-1[f ](p) = S„-1[f ](p).

При этом Pn-1 R[f ] = f .

>7 7—1

'Оператор Пуассона Пт~ и оператор преобразования Пуассона Р7 в этой работе суть различные операторы.

4. Применение дробных производных

Ясно, что формулы, полученные в Теореме 3, являются формулами обращения К7 -преобразования. При этом роль обращающего оператора выполняет оператор Пуассона8 \ Здесь мы получим формулы обращения, основанные на применении дробных производных (ср. с результатами работ [1] и [2]).

Общие формулы обращения ЯК-преобразования получены в работах [7], [8]. Интерес к обращению одномерного К7-преобразования отчасти связан с тем, что во-первых эти формулы имеют очень простой вид, а во-вторых с тем, что в частном случае, когда весовой показатель 7 целый, эти формулы окажутся обращающими преобразование Радона радиальных функций, а это имеет значение при решении практических задач и задач компьютерной томографии.

Пусть / Е Согласно теореме 3

/ (х) = Р7К7 [/] = Я—1 2FC К7 [/].

Константу, нормирующую обратное преобразование Ганкеля, обозначим через 6*1(7). Итак

+те +те

Г . + 1 М— 1

• (9)

97-1 р2 / 7+1

/(х) = с1(7) у ./ / е"^А7[/](р)ф, Сх(7)

0 -те

Введем обозначение

+те

Ф(£) = У е-^ К7[/](р) ф.

— те

Поскольку К7 [/](р) — четная функция9), то и ее преобразование Фурье (а это еоя-пре-образование) — четная функция. Нашей следующей целью является распространение интегрирования по £ в (9) с полуоси на всю действительную ось. Поступим следующим образом

+те

М= у .У •ЮФК) ТФ 0

(+те +те

I о но 1 о но 00 Во втором слагаемом заменим £ на —£. Тогда

(+те 0

I О НО I | •

0

8В теории обратных задач пара операторов Р7 и £7 называются «операторы преобразования». Эти операторы преобразуют сингулярный дифференциальный оператор Бесселя с индексом 7 во вторую производную и наоборот.

9к7[/](-£; -р) = К7[/](£;р), см. [4], [8]

Учитывая четность подынтегрального выражения во втором слагаемом,

+те —те

Теперь равенство (9) принимает вид

+те

/и = • кг<*е

—те

Заменив функцию Бесселя соответствующим интегралом Пуассона, получим

+те п +те

¡(х) = ! J сово яп7"1 а ¿а ^ /\7[/] (р) йр |£|7

-те 0

Выделим прямое и обратное преобразования Фурье

п

/И = С'(7)(:(7)2" [ [КГ^ЗД] вт7-1 а с1а . (11)

Здесь оператор Пуассона применен к классическому псевдодифференциальному оператору с символом |£|7. Пусть 0 < а < 1 и А=щ^у. Для функции ¡(х), заданной на отрезке [а, Ь], каждое из выражений

х Ь

№+/)(х)=А± [-¿Щ-, (К /)(Х)=-а4- [-¿Щ, 1 а+^А ; йх У (х — г)а к Ьйх У (х — г)а

а х

называется дробной производной Римана-Лиувилля порядка а£ (0,1), соответственно левосторонней и правосторонней (см. [11]). Если же а > 1 и не является целым, то

й \ [а] / й \ [а]

Мы пользуемся стандартными обозначениями: [а] — целая часть числа а, {а} - дробная часть числа а, т. е. а = [а] + {а}.

Далее полагаем а = — то, Ь = +то. В этом случае для дробных производных Римана-Лиувилля (соответственно левосторонней и правосторонней) используем обозначения . Для этих производных справедливо следующее представление в образах Фурье (см. [11], стр. 114):

Р [Фа ^] = (ТгС)аР Ш),

где а > 0, (±г;г)а = |^|а,е±г27Г8ЩП'т. Отсюда вытекают формулы для средней величины дробной производной Римана-Лиувилля

2

Введем обозначение

I \ г гутг

+ - = сов—кт^ме) и-

2

1 + Т)а \

= р-1 [кт^ме)]и = ^фу (12)

Отметим, что дробные производные Римана-Лиувилля представляются в виде производных Маршо:

П±(р{Х) Г(1 - а) ] о

Откуда

2 ) ' 2Г(1 - а) У 11+а

о

Это равенство с точностью до константы [сов^]-1 представляет собой производную Грюнвальда-Летникова-Рисса функции ф (см. [11], стр. 280). Из (12) вытекает полугрупповое свойство: &а&в = . В частности, если а = [а] + {а}, то :Эа^(ж) =

Ф)-

Следуя [12] (стр. 30), введем оператор

¿а

/(р), а— четное;

(Ла/)(р) = <

ф' ¿а

С-—/(р), о—нечетное; фа

„ :Эа/(х), а— дробное число,

где О - преобразование Гильберта:

(<?/)(*) = - [ -^Ф, П з ь — р

а &а — оператор (12).

Теорема 4. Пусть Л' — оператор (12), 7 — фиксированное положительное число. Для / имеет место следующая формула обращения

/(х) = А(7)Щ(ЛрК7[/])(р)|Р=х . (13)

— оо

При этом в случае целого 7

а в случае дробного 7

Ж7) = Н)~77Г

П

АОч) =-г-т-

□ Необходимо рассмотреть три случая, когда 7 четное, нечетное или дробное число.

Если 7 = 2т — четное, то утверждение теоремы следует из того, что выражение (—?'|£|)2т = (—г£)2т представляет собой символ оператора (разумеется в образах Фурье).

Если же 7 = 2т +1 — нечетное, то утверждение теоремы следует из того, что

г+1 = ^п(£) £2т+,

а в1§п(з) — символ представления в образах Фурье преобразования Гильберта (см. например [12], стр. 31, формула (40)) и мы приходим к интегродифференцированию, осуществляемому суперпозицией оператора Гильберта и производной целого порядка 2т + 1: С ф2т+1 • Вычисление соответствующей константы не составляет каких-либо трудностей, таким образом для целых значений 7 получим (13) е оператором Л при четных или нечетных значениях 7.

Пусть 7 — дробное. В этом случае утверждение теоремы вытекает из определения дробной производной &а (12). ■

Отметим, что второе равенство в (12) дает возможность заменить в формуле (13) производную средней величиной дробной производной Римана-Лиувиля. Формулы обращения К7-преобразования через производной Маршо или Грюнвальда-Летникова-Рисса выписываются довольно просто.

Теперь покажем, что при целом 7 дифференцирование в формуле обращения в Теореме 1 может быть заменено дифференцированием, осуществляемым сингулярным дифференциальным оператором Бесселя.

Теорема 5. Пусть f радиальная функция, определенная в Кп и принадлежащая пространству Шварца основных функций Б(Кп). Для преобразования Радона функции f имеет место формула обращения преобразования Радона радиальных функций

f (г) =

7Г С\(П ~ 1) п„_1

Ап— 1

лп-1

(14)

р=г

При нечетном п эта формула примет вид

f (г)

) = ^¿Г 1} В^1ГГ1Кп-г[Л(г)

(15)

При четном п

/(г) = В^тгг4кп-Шг).

гп-1 - "Г ^^п-ПЛУ')- (16)

□ Как известно, преобразование Радона К[/] радиальной функции оказывается преобразованием Радона-Киприянова функции К7 [/] одной переменной при 7 =1. Таким образом, полагая в (13) 7 = п — 1, получим формулу обращения преобразования Радона радиальных функций

№ = жС^~1) пу-1

а

п— 1

ар

^Кп-Шр)

п1

р=г

Тем самым формула (14) доказана.

Если размерность п евклидова пространства Кп нечетное число, то исходя из формулы (см. [17], формула (1.1))

а2 т

вт п7 = п7-—- ,

ах2т

где В — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя

В = — + 1— , 2

\AJtAJ «А/ \AjlAj

из (15) получим

/(х) = А(7) В7/2ЩК7[/])(г).

При четной размерности пространства п из (14) получим /(г

) = Щ^В^ТГГ^Кп-Жг) •

гп-1 г аг

Литература

Ляхов Л.Н. КК1 -преобразование с 7 € (0, 2] весовых сферических функций. Соотношения Асгейрсона // Доклады РАН. - 2011. - 439;№5. - С.589-592.

Ляхов Л.Н. О преобразованиях Радона и Радона-Киприянова сферически симметричных функций // Доклады РАН. - 2008. - 419;№3. - С.315-319.

Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений / М.: ГИФМЛ, 1962. - 656 с.

Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона // Доклады РАН. - 1998. - 360;№2. - С.157-160.

Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические задачи / М.:Наука, 1997. - 199 с.

Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и потенциалы Рисса, порожденные обобщенным сдвигом / Воронеж: Воронеж. гос. технол. акад.,1997. - 144 с.

Ляхов Л.Н. Обращение преобразования Радона-Киприянова // Доклады РАН. - 2004. -399;К5. - С.597-600.

Ляхов Л.Н. Преобразование Киприянова-Радона. // ТР.МИАН. 2005. Т.248. С.153-163.

9. Гоц Е.Г. Преобразование Киприянова-Радона основных функций. Теорема о носителе // Труды участников школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Абрау-Дюрсо / Ростов-на-Дону: Ростовское математическое общество, 2006. - С.185-186.

10. Катрахов В.В. Операторы преобразования и псевдодифференциальные операторы // СМЖ. - 1980. - XXI; №1. - C.86-97.

11. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

12. Хелгасон С. Преобразование Радона / М.: Мир, 1983. - 150 с.

13. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул / М.: Наука, 1974. - 808 с.

14. Ляхов Л.Н. Об одном классе сферических функций и сингулярнух псевдодифференци-альнух операторов // Доклады РАН. - 1983. - 272;№4. - C.781-784.

15. Ляхов Л.Н. О рядах по весовым сферическим функциям // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математ. физики: Сб.научн. тр./ Новосибирск: CO АН СССР, 1984. - C.102-109.

16. Ляхов Л.Н. Весовые сферические функции и сингулярные псевдодифференциальные операторы // Дифференц. уравнения. - 1985. - 21;№6. - C.1020-1032.

17. Киприянов И.А., Кононенко В.И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравнений в частных производных // Дифференц. уравнения. - 1969. - 5;№8. -C.1470-1483.

INVERSION OF RADON-KIPRIYANOV's TRANSFORM OF RADIAL FUNCTIONS L.N. Lyakhov, O.I. Popova

Voronezh State University, Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: lyakhov@box.vsi.ru, olyaa.popova@yandex.ru

Abstract. It is done the deduction of the formula connected the Radon transformation of radial functions

and the Radon-Kipriyanov KY transformation of one-variable functions. It is obtained the formula of KY-transformation of radial functions in Rn. It is done in the form of K7+ra-1-transformation of the one-variable function. The formula of inverse Radon-Kipriyanov transformation of one-variable functions is found. The results extend and refine previous ones obtained by one of the authors.

Key words: Radon transform, Radon-Kipriyanov transform, radial functions.