Преобразование Радона-Киприянова некоторых элементарных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 115

MSC 44А12

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА-КИПРИЯНОВА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

О.И. Попова

Воронежский Государственный Университет,

Университетская пл., 1, Воронеж, 394006, Россия, e-mail: olyaa.popova@yandex.ru

Ключевые слова: преобразование Радона, преобразование Радона-Куприянова, функции действителвного переменного, дробные интегралы.

Классическое преобразование Радона радиальных функций совпадает с преобразованием Радона-Киприянова KY функций одного переменного, когда индекс у — натуральное число. В [2] приведена формула связи преобразования Радона-Киприянова с интегралами дробного порядка Римана-Лиувилля. Это позволяет создать таблицу преобразования Радона радиальных функций и, в обобщающем виде, таблицу преобразований Радона-Киприянова элементарных функций (одного переменного).

Преобразование Радона-Киприянова в R+ {x : х\ > 0} введено в [1] (далее, сокращая, будем писать К7-преобразование) определяется выражением

Y — 1

ky[/](£;р) = / (x) nx S(p - (x,0) xidx, v =

y> °

(1)

где x = (x-\_,x') G R+ = (0, +to) x Rra_b (x,6) = Y^n=1xi — скалярное произведе-

ние векторов в Rn, p = (x,£) — уравнение плоскости, проходящей на расстоянии \р\ от начала координат, ортогонально единичному вектору £, 6(Р) — ^-функция сосредоточенная на (п — 1)—мерной поверхности Р(x) = 0 в Rn, символ П^1 обозначает действие оператора Пуассона порядка v = Y21 по перемен ной x1:

nXi 9(xi,x')

Г №

г rn г 1

g(x1 cos a, x') sin7 1 a da.

Полагая в (1) n = 1, выводим следующую формулу для К7-преобразование функции одного переменного

Ky [/](£; р)

/(x) WJ(p — x) xY dx, v

Y — 1

Y > 0.

Теорема 1. К ^преобразование четной функции одного переменного / G L1 нред-

Y 2

ставляется в виде левостороннего интеграла Римана-Лиувилля дробного порядка 7 в

В ИДС

Y

KY[/]U/q) = /(Vq) = 1 _ /1(q) =

1

/1(т)

Г( 2 )1 , ^_ 2

7 j (т — q) 2

q

dr

(2)

n

П

о

116 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40

от функции

Г( )

h(T) = 2 2- f f е L1 ■

2vж

Отметим, что когда функция (четная) имеет носитель (0,b) в R+, то фикция f1 имеет носитель, принадлежащий множеству (0,b2).

Формулу (2) применим для вычисления ^-преобразования (1) элементарных функций. Заметим, что формула (2), примененная к произвольной степенной функции с неограниченным носителем теряет смысл, поэтому, чтобы избавиться от неопределенности в решении, будем умножать исходную функцию на кусочно-постоянную функцию Хевисайда 0(х), равную нулю для неположительных значений аргумента и единице — для положительных.

Кроме того, отметим, что ^-преобразование определено для четных функций. Учитывая наличие квадратных корней в аргументе функции f1, далее рассматриваем функции от аргумента ж2, что делает функции и четными и очень удобными для применения формулы (2) одновременно.

^-преобразование Функции от ж2.

1. ф(х) = 0(b2 — x2)(b2 — x2)(l3-1\ в > 0

KY [ф)(Р)

Г (Д1

Г(в)

Vn г(2 + в)

0(b2 — x2)(b2 — p2) 2 +e-1.

2. ф(х) = (ж2 — a)e 1(b2 — х2)(а 1)0(b2 — х2).

K Ы(р) = Л(ВУ;> b — af-1b — p2yw-1 2Fi(1 — в, a,1- + - p b

2Г(1/2)Г( 2 + в)

a ;

b2 — a

3. ф(х) = (b2 — x2)13 1 ln(b2 — x2)0(b2 — x2),

KY Ы(Р) =

Р2)в-1

ГО+1 )г(в)

2^ЛГ( 2 + в)

С2)

(b2 — p2)e+l/2-10(b2 — р2)(ф(в) — ф(в + y/2) + ln(b2 — p2)),

где ф(г) - пси-функция Эйлера.

4. ф(х) = e-ax\ KY[p\(p) =

ГУ) a-^e-ar'2.

).

2 Г() e-ap2

5. ф(х) = e-ax sin bx2 KYM(p) =--------2^ ——JO, ,0 sin(bp2 + ap).

фж (a2 + b2)a/2

2 Г( Y++1) e-ap2

6. ф(х) = e-ax COs bx2, Ky [p\(p) = J- (a2 + b2)a/2 C°s(bp2 + -Ф).

Полученные здесь формулы справедливы и для классического преобразования Радона радиальных функций. Достаточно в найденных формулах положить у = 0.

Литература

1. Киприянов И.А., Ляхов Л.Н. О преобразованиях Фурье, Фурье-Бесселя и Радона // ДАН. - 1998. - 360. - №2. - С.157-160.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 117

2. Ляхов Л.Н. ЛК7-преобразование с 7 € (0; 2] весовых сферических средних функций. Соотношение Асгейрсона // ДАН. - 2011. - 439,№ 5. - С.589-592.

3. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев И.О. Интегралв1 и производные дробного порядка и некоторые их приложения / Минск: Наука и техника, 1987. - С.688.

RADON-KIPRIYANOV’S TRANSFORMATION OF SOME ELEMENTARY FUNCTIONS

O.I. Popova

Voronezh State University,

Universitetskaya Sq., 1, Voronezh, 394006, Russia, e-mail: olyaa.popova@yandex.ru

Key words: Radon’s transformation, Radon-Kupriyanov;s transformation, real variable function, fractional integrals.