Преобразование Бэклунда и интегрируемые потенциалы Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 517.9 ББК 22.161.6 К 89

Куижева С.К.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей .математики и системного анализа, ректор Майкопского государственного технологического университета, Майкоп, e-mail: s. [email protected]

Паланджянц Л.Ж.

- ,

- -

го университета, Майкоп, тел. (8772) 57-03-53, e-mail: [email protected]

Преобразование Бэклунда и интегрируемые потенциалы

(Рецензирована)

Аннотация

Рассматривается преобразование Бэклунда для уравнения Кортевега- де Фриза, вводится мультипликативный интеграл и устанавливается связь между преобразованием Бэклунда и интегрируемы. ,

уравнений состоит в том, что существуют подстановки, которые позволяют из более простых решений строить более сложные.

: , - .

Kuizheva S.K.

Candidate of Phisics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis

Department, Rector of Maikop State University of Technology, Maikop, e-mail: [email protected]

Palandzhyants L.Zh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics and System Analysis

Department, Engineering-Economics Faculty, Maikop State University of Technology, Maikop, ph.

(8772) 57-03-53, e-mail: [email protected]

Backlund transformation and integrable potentials

Abstract

This paper discusses the Backlund transformation for the Korteweg-de Vries equation. We introduce the concept of a multiplicative integral and establish a connection between the Backlund transformation and integrable potentials. The meaning of Backlund transformation for differential equations is that there are substitutions that allow us to build more complex solutions from the more simple ones.

Keywords: Backlund transformation, the Korteweg-de Vries equation.

1. Уравнение Кортевега- де Фриза.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

У

У, (1.1)

где т - некоторая постоянная, и(х, ^) - произвольное решение модифицированного уравнения Кортевега- де Фриза

и< — 6иих + иххх = °- О-2)

, W — w ~ ~

Лемма 1. Преобразование у =—-— у, где wx = и , приводит уравнение (1.1) к

уравнению

нх + л~х = -т +1(^ - н)2.

(1.3)

Доказательство. Дифференцируя обе части равенства у =—-— у, получаем

У

нх - нх н - , н - Н

— - у +------у . Учитывая, что у =---------

2 2 2

у, имеем

* 1~х -Нх 0~ - н)2 У = * хУ + -—т^У .

(14)

2 4

Из равенств (1.1) и (1.4) получаем равенство (1.3).

Лемма 2. Пусть и,1х = щ , ^2х = и2, где и1(х,^) и и2(х,^) - решения уравнения Кор-тевега-де Фриза, т1, т2 - некоторые постоянные; и,12х = и12 - также решение уравнения (12).

Пусть имеют места следующие соотношения:

Н1х + Н х =-т1 + 2(Н1 -Н2х + Нх =-т2 + 2(н2 - 1~)2,

К М

Н12х + Н1х =-т2 + 2(Н12 - Н1)

Н12х + Н2х =-т1 +-Т (Н12 - Н2)2.

1

2

Тогда имеет место равенство:

—

2(т1 - т2)

Н1 - Н2

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

причем Пп = Н!2х .

Доказательство. Запишем систему уравнений (1.5)-(1.8) в матричном виде:

ґ К ^2

- т1 + — (н1 - н)

1

' 110 0л Г Н х'

10 10 Н1х

0 10 1 Н2 х

0 0 V Н12 х у

(1.10)

т2 + 2(Н2 - Н)

1 , V

- т2 + 2(Н12 - Н1)

1 ,

- т! +-(- Н2)

V 2 у

Ранг матрицы системы (1.10) равен трем. В самом деле, умножим первую строку на -1 и добавим ко второй строке. Затем вторую строку добавим к третьей строке, которая будет равна четвертой строке. В результате получаем равенство

т1 - 1(Н1 - Н)2 - т2 + 2(Н2 - Н)2 - т2 + 2(Н12 - Н1)2 = -т1 + 2(Н12 - Н2)2 ,

2(т1 - т2) + н1і~ - н2 Н - н12 н1 = -н12 н2 ,

откуда следует равенство (1.9), которое является преобразованием Бэклунда для уравнения (1.2) [1, с. 28].

Таким образом, для получения преобразования Бэклунда достаточно знать какое-либо решение и = Н х уравнения Кортевега- де Фриза, затем с помощью интегрируемых

уравнений Риккати (1.5) и (1.6) найти два решения щ = ~№1х и и2 = w2 х. Тогда решение и12 = и,11 х можно найти с помощью соотношения (1.9).

Для уравнения (1.1) рассмотрим соответствующий мультипликативный интеграл

П

!Е+

( 0 0,2 ^ V 021 0 У

йх,

(1.11)

где о12 (х), о21 (х) - некоторые достаточно гладкие функции.

Лемма 3. [2, с. 57]. Пусть выполняется условие

| о12 (х)йх • | о21(х )йХ = -2.

Тогда мультипликативный интеграл (1.11) вычисляется в конечном виде.

Доказательство. Представим подынтегральную матричную функцию в виде:

(112)

' 0 о12 ' 0 о12 + ' 0 0"

=

V о21 0 І V 0 0 І О 21

Тогда по формуле мультипликативного интегрирования по частям имеет место равенство:

л ^ 0

}Е

+

V 021 0 У

йх ■

1 о,

0

}о12 йх

1

V 021 0 У

1 | о

0

}о12 йх 1

йх

1 о,

|о12йх

V

0

^•1Е

+ о,,

- |о12йх - (о12йх)2 1 | о12йх

йх.

Представим подынтегральную функцию в виде:

2

оп

- |о12йх - (о12йх)2 1 | о12йх

о211 о12йх 0

|о12йх

021 1012'*

+

0 — о 0

0

Применим еще раз формулу мультипликативного интегрирования по частям. Тогда

і і

IЕ

+ о.

21

|о12йх - ((о12йх) 1 |о12йх

йх =

йх

і і

IЕ+

Г *11 *12 Л

V *21 *22 у

йх,

где *11 = -о211о12йх + о211 о21 ( о12йх) йх;

- о211о12йх + о211о21 ((о12йх) йх • о211о21 ((о12йх)

+ о211о12 йх • |о21 (о12 йх ) йх;

*21 о21 ;

Ь22 = о21 |о12йх - о21 |о21 (о12йх^ .

Условие *12 = 0 после сокращения на о211о21 (о12йх))х Ф 0 равносильно равенству 2|о12йх = |о21 (о12йх) йх или после дифференцирования

о21 , интегрируя

которое получаем равенство (1.12).

Так как мультипликативный интеграл

П

0

1

1

п f :+

bn 0

V bll bll J

dx =

exp Iblldx 0

exp Jb11dx • Jb11(exp J(Ь21 - b11)dx)dx exp Jb11dx

то мультипликативный интеграл (1.11) вычисляется в конечном виде: |e . Г 0 anf1 fa11dx^ f 1 - fa, ((ndxJ dx

,

Vall 0 у

dx

0

У lo l

x

x

' г ~n

exp I b11dX 0

exp |b11dx • Jb11(exp J(Ь21 - b11)dx)dx exp |b11dx Лемма З доказана.

Установим теперь связь между условием (1.И) и преобразованием Бэклунда (1.9) для уравнения Кортевега- де Фриза.

Теорема. Условия (1.9) и (1.И) эквивалентны.

Доказательство. Рассмотрим мультипликативный интеграл

і і

\Е+

0

Vull -u

dx.

(113)

Сравнивая интегралы (1.11) и (1.13), получаем Следовательно,

all (ul ul )/(ml mld an un u .

[( - и2)х • [(и12 - и )х = 2( - т2), [и12йХ = [и^ + 2(1—т),

•’ •’ I (и1 - и2 )Х

откуда следует соотношение (1.9).

Таким образом, соотношение (1.9), полученное с помощью преобразования Бэклунда для уравнения (1.2), есть следствие интегрируемости в конечном виде мультипликативного интеграла (1.13). Теорема доказана.

Например, рассмотрим мультипликативный интеграл

і і \Е

+

ґ — Л 0 -1

u0

V

к

dx, к = const .

У

Применяя формулу мультипликативного интегрирования по частям, получаем:

п

JЕ-

+

Ґ кN ' кN Г o 0 ^

0 п 0

1 1 dx = Je+. 1 1 + l к n

0 0 —u - — 0

—u —u v к 1У

V к У V к У

dx ■

ch \—dx sh \—dx j2 j2

sh f— dx ch f— dx

К j2 j2 у

Введем обозначения:

IE

- ch2 f— dx

J1

- cth I—dx - cth2 f— dx j2 j2

1 cthj— dx

dx.

а

V

2 к —и — к2

сИ2 |к-йХ, |а12йх = сіИ ^^йх •

Тогда получаем:

і і

іЕ+

ґ кл г

0 -2

- и 0

У к

йх ■■

сИ \—йх sИ і—йх 22

к

&И і—йх сИ і—йх

У *2 }2 )

і і

іе+

а..

іа12йх — і2 а12йх 1 і~12 йх

йх. (1.14)

Воспользуемся тождеством

7 Г ~ (- I- 12 «12^

IЕ + а12 г~

^ 1 |а12йх

Тогда равенство (1.14) примет вид:

йх = 1 — Га2йх П Г ' 0 а12

J 12 • [Е +

I0 1 І V а21 0 І

йх.

і і

IЕ

+

к"

0

2 2 йх =

0

—и

V к І V

сИ \—йх sИ \-йх •>2 *2

sИ Г— йх сИ Г— йх •>2 ->2

к

ґ 0 а12 Л

V а21 0

йх. (1.15)

Из условия |~12йх • |а21йх = -2, обеспечивающего интегрируемость в конечном виде мультипликативного интеграла (1.15), следует, что

; {к , /Г 2 к

от I— йх • 11 I — и-

2 1 у к 2 J

к

сИ2 йх 2

2к2 к2

йх — —2, и —-.-\-

2 г'^~ 4

Для нахождения решения уравнения (1.2) воспользуемся равенством

|кйх = к (х + / X)),

где /X) - некоторая гладкая функция.

Подставляя равенство (1.16) в уравнение (1.2), получаем

/ х ) = - ^ к 2! + °.

2к2 к2

(116)

Следовательно, и = ■

sИ2 к

5.-2.

у + — есть решение уравнения (1.2).

х—к ^ + о

V 2 У

2. Потенциалы уравнения Шредингера, порожденные преобразованием Бэк-лунда.

Рассмотрим стационарное уравнение Шредингера [3, с. 99]:

/2„, о™ / Ц Л

- Е + —Ц-V ок ах у

й / 2т

---^ +----2

йх Н

Найдем уравнение Кортевега-де Фриза, соответствующее этому уравнению.

Имеем и (х) =

2тЕ 2ти

Н2

Н сИ ах

или и (х) = с +

к

сИ ах

2тЕ , 2ти0

где с = ——, к = ■ 0

%

П2

_ - 2ка• $ках ТТ„ 4ка 6ка тт„

Тогда и =--------3------, и =—2-----------4—, и 3

ок ах ок ах ок ах ок ах

Уравнение (1.2) в стационарном случае примет вид

8ка3 • 8Иах 24ка3 • 8Иах + -

сИ ах

Um - 6UU = 0.

(2.1)

Подставляя значения и, и', ит в уравнение (2.1), получаем к = 2а2, Е = - ц0 < 0, что соответствует рассматриваемому случаю дискретности спектра.

Используя лемму 3, можно вычислить мультипликативный интеграл, соответствующий рассматриваемому потенциалу.

Примечания:

1. Солитоны в действии: сб. ст. М.: Мир, 1981. 312 с.

2. Демина Т.И., Куижева С.К., Паланджянц Л.Ж. Алгебраические методы интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Майкоп: Изд-во Кучеренко В.О., 2013. 112 с.

3. Ландау Л Д., Лифщиц ЕЖ. Квантовая механика. Т. III. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989. 768 с.

References:

1. Solitons in action: coll. of art. M.: Mir, 1981. 312 pp.

2. Demina T.I., Kuizheva S.K., Palandzhyants L.Zh. Algebraic methods of integration of partial differential equations. Maikop: V.O. Kucherenko publishing house, 2013. 112 pp.

3. Landau L.D., Lifshits E.M. Quantum mechanics. Vol. III. Nonrelativistic theory. M.: Nauka, 1989. 768 pp.